复旦版数学分析答案全解ex12-1

df (1,2) = 8dx − dy 。
(2) 因为 df (x, y) = 2x dx + 2 y dy ，所以
1+ x2 + y2
1+ x2 + y2
df (2,4) = 4 dx + 8 dy 。
21 21
(3)
因为
df
(x,
y)
=
cos y2
x
dx
−
2 sin y3
x
dy
，所以
df (0,1) = dx , df (π ,2) = 2 dx − 2 dy 。
∂z
( )3
x2 + y2 + z2 2
(14) ∂u = y z x yz −1 ， ∂u = zy z−1x yz ln x ， ∂u = y z x yz ln x ln y 。
∂x
∂y
∂z
(15)
∂u ∂xi
= ai ,
i = 1,2,", n 。
(16)
∂u ∂xi
=
n
∑ aij y j ,
j =1
i = 1,2,", n ，
∂u ∂y j
n
= ∑ aij xi ,
i=1
j = 1,2,", n 。
2. 设 f (x, y) = x + y − x 2 + y 2 ，求 f x (3,4) 及 f y (3,4) 。
解
因为 fx = 1−
x x2 +
y2
,
fy
=1−
y ，所以
x2 + y2
（13） u =
1
；
x2 + y2 + z2
（14） u = x yz ；
n
n
∑ ∑ （15） u = ai xi ， ai 为常数； （16） u = aij xi y j , aij = a ji 为常数。
i =1
i, j=1
解 (1) ∂z = 5x 4 − 24x3 y 2 ， ∂z = 6 y5 −12x4 y 。
∂x x + ln y ∂y y(x + ln y)
(10) 注意 z = arctan x + arctan y ， ∂z = 1 ，
∂x 1 + x2
∂z = 1 。
∂y 1 + y 2
(11)
∂u
=
(3x 2
+
y2
+
z2)
， e x( x2 + y2 + z2 )
∂u
=
2xy
， e x( x2 + y2 + z2 )
∂x
∂y
(2) ∂z = 2x ln(x 2 + y 2 ) + 2x3 ， ∂z = 2x2 y 。
∂x
x 2 + y 2 ∂y x 2 + y 2
(3) ∂z = y + 1 ， ∂z = x − x 。
∂x
y ∂y
y2
(4) ∂z = y[cos(xy) − sin(2xy)]， ∂z = x[cos(xy) − sin(2xy)]。
4
5. 求下列函数在指定点的全微分：
（1） f (x, y) = 3x2 y − xy 2 ，在点 (1,2) ；
（2） f (x, y) = ln(1 + x2 + y 2 ) ，在点 (2,4) ；
（3）
f
(x,
y)
=
sin x y2
，在点
(0,1)
和 ⎜⎛
⎝
π 4
,2 ⎟⎞ ⎠
。
解 (1) 因为 df (x, y) = (6xy − y2 )dx + (3x2 − 2xy)dy ，所以
x
轴的正向所夹的角度是
⎪⎩ y = 4
多少？
解 以 x 为参数，曲线在点 (2,4,5) 处的切向量为 (dx , dy , dz ) = (1, 0,1) ，
dx dx dx x=2
设它与 x 轴的正向所夹的角度为θ ，则
cosθ = (1, 0,1) ⋅ (1, 0, 0) = 1 ，
2
2
所以θ = π 。
4
8
8
6. 求下列函数的全微分： （1） z = y x ； （3） z = x + y ；
x− y
（2） z = xy exy ； （4） z = y ；
x2 + y2
（5） u = x 2 + y 2 + z 2 ；
（6） u = ln(x2 + y 2 + z 2 ) 。
解 (1) dz = y x ln ydx + xy x−1dy 。
第十二章 多元函数的微分学
习 题 12. 1 偏导数与全微分
1． 求下列函数的偏导数： （1） z = x5 − 6x 4 y 2 + y 6 ；
（2） z = x2 ln(x2 + y 2 ) ；
（3） z = xy + x ；
y
（4） z = sin(xy) + cos2 (xy) ；
（5） z = ex (cos y + xsin y) ；
∂x
∂y
∂u = 2xz 。 e x( x2 + y2 + z2 )
∂z
(12)
∂u
=
y
x
y z
−1
，
∂u
=
ln x
y
xz
， ∂u
=
−
y ln x
y
xz 。
∂x z
∂y z
∂z
z2
(13) ∂u = −
x
， ∂u = −
y
， ∂u = −
z
。
∂x
( )3
x2 + y2 + z2 2
∂y
( )3
x2 + y2 + z2 2
cos
x y
cos
y x
+
y x2
sin
x y
sin
y x
，
∂z ∂y
=
−
x y2
cos
x y
cos
y x
−
1 sin x
x y
sin
y x
。
1
(8)
∂z = y 2 (1 + xy) y−1 ，
∂x
∂z ∂y
=
(1 +
xy) y
⎡ ⎢ln(1
+
⎣
xy)
+
xy ⎤
1
+
xy
⎥ ⎦
。
(9) ∂z = 1 ， ∂z = 1 。
fx
(3,4)
=
2 5
，
f
y
(3,4)
=
1 5
。
3.
设z
=
x
e y2
，验证 2x
∂z
+
y
∂z
=
0。
∂x ∂y
证
由于 ∂z
∂x
=
1 y2
x
e y2 ,
∂z ∂y
=
−
2x y3
x
e y2
，所以
2x ∂z + y ∂z = 0 。
∂x ∂y
2
4.
曲线
⎪⎨⎧z
=
x2
+ 4
y2
,
在点 (2,4,5)
处的切线与
∂x
∂y
(5) ∂z = e x (cos y + x sin y + sin y) ， ∂z = e x (x cos y − sin y) 。
∂x
∂y
(6)
∂z ∂xห้องสมุดไป่ตู้
=
2x y
sec2 ⎜⎜⎝⎛
x2 y
⎟⎟⎠⎞ ，
∂z ∂y
=
−
x2 y2
sec2 ⎜⎜⎝⎛
x2 y
⎟⎟⎠⎞
。
(7)
∂z ∂x
=
1 y
(2) dz = e xy (1 + xy)( ydx + xdy) 。
（6）
z
=
tan⎜⎜⎝⎛
x2 y
⎟⎟⎠⎞
；
（7） z = sin x ⋅ cos y ；
yx
（8） z = (1 + xy) y ；
（9） z = ln(x + ln y) ；
（10） z = arctan x + y ；
1− xy
（11） ； u = e x(x2+ y2+z2 )
y
（12） u = x z ;