复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧

毛涛

（理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000）

指导老师：延军

[摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的

定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现

的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的

有效学习。

[关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用

1引言

复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。

2复合函数的定义

如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算

定理1[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 也可导，且：

000()()()f x u x v x '''=±

定理2[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =⋅在点0x 也可导，且：

00000()()()()()f x u x v x u x v x '''=⋅+⋅

推论1[1] 若函数()v x 在点0x 可导，c 为常数，则：

00(())()x x cv x cv x =''=

定理3[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 都可导，且0()0v x ≠，则()()()u x f x v x =

在点0x 也可导，且： []0000020()()()()

()()u x v x u x v x f x v x ''-'=

4复合函数求导方法和技巧

4.1链式法则求复合函数的导数

定理4[1] 如果函数()u t ϕ=及()v t =ψ都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数(),()z f t t ϕ=[ψ]在对应点t 可导，且其导数可用下列公式计算：

dt z du z dv dz u dt v dt

δδδδ=⋅+⋅。 思路 根据公式00000()()()()(())()f x f u x f x x ϕϕϕϕ'''''==我们首先要清楚的分析出复合函数的复合关系，找出要求导的复合函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后再恰当的设置中间变量，把它分解成一些基本的初等函数的复合，最后由最外层开始，先使用法则，后使用导数基本公式，由表及里的一层一层地求导，注意不可忘记里层的求导。

例1

求复合函数()(In x f x =的导函数。

解 （分析过程）

第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：

()f x Inu =

u x =

（可以看出要求导的函数是由这两个函数复合而来，然后设置中间变量）

第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的x 变量：

())(Inu f u x '=''

1()Inu u '==

1u '=+ （注意对u

也是一个复合函数，

(1x ''=+

2

1)x '=+

1x =

1=+

不可忘记里层的求导，要做到准确求导）

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

()f x '=

=

例2 求复合函数2cos In x y =的导函数。

解 （分析过程）

第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：

y Inu = 2u v = cos v x =

（可以看出要求导的函数是由这三个函数复合而来，设置恰当的中间变量）

第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的x 变量：

()(2)(cos )y Inu v x ''''=

1()Inu u

'= (2)2v '= (cos )sin x x '=- （注意,,y u v 的表达式均是一元函数表达式）

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

()(2)(cos )y Inu v x ''''=

12sin x u =

⋅⋅- 12sin 2x v =

⋅⋅- sin cos x x

-= tan x =-

例3 求复合函数()In In y Inx [=]的导函数。

解 （分析过程）