高等数学第五章定积分试题

第五章 定 积 分§5—1 定积分概念一、填空题1． )(x f 在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． nn knk n ∑=∞→1lim用定积分表示可表示成 。

3． 由定积分的几何意义知⎰-ππxdx sin = ，⎰-ππxdx sin = 。

4． 定积分dx x a aa⎰--22的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。

（ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。

（ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。

（ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。

（ ） 三．单项选择题。

1． 定积分⎰badx x f )(表示和式的极限是 。

（A ）、))((1lim a b nkf n ab nk n --∑=∞→ （B ）、))(1(1lim a b nk f n ab nk n ---∑=∞→（C ）∑=∞→∆nk kkn x f 1)(lim ξ（i ξ为i x ∆中任一点）（D ）、∑=∞→∆nk kkx f 1)(lim ξλ（}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，i ξ为i x ∆中任一点）2．定积分⎰badx x f )(=∑=∞→∆nk kkxf 1)(lim ξλ表明（A ）、[b a ,]必须n 等分,kξ是[x k-1,x k ]的端点。

（B ）、[b a ,]可以任意分,ξk必是[x k-1,x k ]的端点。

（C ）、[b a ,]可以任意分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取。

（D ）、[b a ,]必须等分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取四．利用定积分定义计算 ⎰baxdx )(b a <§5—2 定积分的性质 中值定理一、判断题1．若函数)(x f 在[b a ,]上连续，且0)(2=⎰dx x f ba则在[b a ,]上f(x)0≡ （ ）2．若f(x),g(x)在[b a ,]上可积且f(x)<g(x),则dx x g dx x f baba⎰⎰<)()( （ ）3．若函数)(x f 在[b a ,]上可积且[d c ,]⊂ [b a ,] 则⎰⎰≤badcdx x f dx x f )()( （ ）4．若函数)(x f 在[b a ,]上可积，则至少有一点∈δ[b a ,],使⎰-baa b f ))((δ （ ）5．不等式 32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x 成立。

（ ） 二、单选题a) 积分中值定理))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ中ξ是[b a ,]上（A ）任意一点 （B ）必存在的某一点 （C ）唯一的某点 （D ）中点 b) 设 I 1=⎰xetdt ln I 2=dt t xe⎰2ln （x>0）。

则（A ）仅当x>e 时I 1<I 2 （B ）对一切e x ≠有I 1<I 2(C) 仅当x<e 时I 1<I 2 (D) 对一切e x ≠有I 1≥I 2c) I=dx x x an n n ⎰+∞→1sin lim（a 为常数）积分中值定理=⋅∞→δδ1sin a(A) =⋅∞→δδ1sin lim a n 2a sin a 1 (B) =⋅∞→δδ1sin lim a n 0(C) =⋅∞→δδ1sin lim a n a ( D) =⋅∞→δδ1sin lim a n ∞三、比较下列积分的大小。

1．⎰⎰+-11)1(dx x dx ex与 2.⎰⎰4040cos sin ππxdx xdx 与四、估计积分dx exx ⎰-22的值。

五、证明：若函数)(x f 在[b a ,]上连续，非负，且)(x f 0≠ 则0)(>⎰badx x f六、设函数)(x f 在[b a ,]上连续，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f 222)()()()(七、设函数)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且)0(f =3⎰132)(dx x f证明：在（0，1）内至少存在一点C ，使0)(='c f§5.3 微积分基本公式一、填空题1．dx x dx d ⎰202sin π= 。

2．=⎰dt t dx d x 02sin 。

3．=⎰dt t dx d x 202sin 。

4．=⎰dt t dx d x22sin 。

5．=⎰→32sin limx dt t x x 。

6．()=+⎰∞→1arctan lim22x dt t xx 。

7．()⎰-2sin x tdt t x dx d =- 。

8。

⎰+101x edx = 。

9．=⎰2)(dx x f 。

其中)(x f =⎩⎨⎧-x x 22 2110≤<≤≤x x10. 函数)(x f =2x 2+3x+3 在 [1，4] 上的平均值为 。

二． 判断题1．0)(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰x a dt t x dx d ( ) 2. 1cos cos 303-='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x tdt x ( )3.若函数)(x f 在[b a ,]上连续，则)(x F =⎰xadt t f )( 在[b a ,]上可导。

（ ）4．2cos 2cos 22cos 1020===+⎰⎰⎰πππxdx dx x dx x sinxπ=0 ( )5．函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=>--⎰xxx x dt t x x x e e 02)0(cos 21)0(2)0(1)1(2sin 在R 上处处连续 （ ）三．单项选择题1． 设)(x f 为连续函数，且F(x)=⎰xxdt t f ln 1)(，则)(x F '等于（A ）x 1f(x)+)1(12x f x (B) )1()(ln x f x f + (C) )1(1)(ln 12x f xx f x - (D) )1()(ln x f x f - 2． 设F(x)=⎰-xadt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（A ）2a (B) )(2a f a (C) 0 (D) 不存在3． )(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤)2(sin 1)0(cos 122πx b xb x x且2)(20=⎰πdx x f 则b=(A)2π (B)3π (C)4π (D)6π 四．设)(x f y =由方程 012=-⎰+-y x t dt e x 确定，求曲线)(x f y =在x=0处的切线。

五.计算下列定积分 1．dx xx 221)1(⎰+2.⎰+321xdx3. ⎰404tan πxdx 4. 设)(x f =⎰-⎩⎨⎧≤>12)()0(cos )0(πdx x f x x x ex 求5. ⎰20}cos ,max{sin πdx x x 6.⎰-202sin 1πdx x四、 设 )(x f =x x -2⎰⎰+12)(2)(dx x f dx x f , 求 )(x f五．求b a ,的值，使 ⎰=+-→xx dt t a t x bx 0201sin 1lim六．设)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧1sin 21x ππ><≤≤x x x 或00 求F(x)=⎰x at t f 0)(在(+∞∞-,)内的表达式.七． 设)(x f 为连续函数,证明:⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x xt dt t x t f dt du u f 000))(()(§5.4 定积分的换元法一、填空题1．若函数)(x f 在[a a ,-]上连续，则=--⎰-aadx x f x f )]()([ 。

2．设)(x f '连续，则='⎰badx x f )2( 。

3．=-⎰xdt x t dx d 0)cos( 。

4．=-+⎰-33239)4(dx x x 。

5．设)(x f 是以T 为周期的连续函数，且,1)(0=⎰Tdx x f 则⎰+Tdx x f 200211)(= 。

二、判断题1．若)(x f 为(+∞∞-,)上的连续函数，且⎰⎰=-xxxdt t f dt t f 0)(2)(则f(x)必为偶函数。

（ ）2．由于I =I tdtt x x dx -=+-=+⎰⎰--112112111令 0=∴I ( ) 3⎰⎰⎰⎰+=+=--2122111210dx x dx x x dx x x dx x x （ ）三、单项选择题1． 定积分dx e xx 12121⎰-的值是 （A ）21e (B) 21e e - (C) 1 （D ）不存在 2． I=dx x f x a⎰23)( （0>a ）,则I=(A)⎰2)(a dx x xf (B)⎰a dx x xf 0)( (C) ⎰20)(21a dx x xf (D)21⎰adx x xf 0)(四、计算下列定积分 1．⎰+31ln 1e xx dx 2.⎰⋅25cos 2sin πxdx x3．⎰-++02222x x dx 4.⎰---1122)2(dx x x5．.)2()0()0(1)(312⎰-⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-dx x f x e x x x f x 求设五、证明：⎰⎰+=+2020cos sin cos cos sin sin ππθθθθθθθθd d ，并利用结果计算⎰+20cos sin sin πθθθθd 之值。

六、设函数)(x f 为[a a ,-]上连续的偶函数。

求证：⎰⎰=+-a aa x dx x f dx e x f 0)(1)( 并利用结果计算xdx e e x x422sin 1⎰-+ππ七．设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续、可导，且⎰-=xdt t f t x x F 0)()2()(，证明：（1）若)(x f 是偶函数，则)(x F 也是偶函数； （2）若0)(<'x f ，则)(x F 在),(+∞-∞内单调增加。

§5.5 定积分的分部积分法一、判断题1．若)(x f '连续，则⎰⎰⎰-=='11011)2()2()2()2(dx x f x xf x xdf dx x f x ( )2．)ln 1(11ln 1ln ln 111e ee e e e e dx x x xx dx x x eee eee-=+--=⋅-=⎰⎰ （ ） 二、填空题1．=⎰27sin πxdx 。