湖南科技大学考试试题

湖南科技大学考试试题 (2008 -200 9 学年第二学期)

计算方法 课程 信息、能源 院（系）

07级 通信工程1—3，电气工程1-4，电子工程1—2，建筑环境1—2，自动化1—2 班级 考试时量 100分钟 命题教师 唐运梅 交题时间：2009 年 4月 22日 考试时间：2009 年5 月 17日 一、选择题（每小题4分，共20分）

1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）

A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；

B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；

C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；

D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。

2. 若132)(356++−=x x x x f ，则其六阶差商

=]3,,3,3,3[6

210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）

A. 0；

B. 1；

C. 2；

D. 3 。

4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ）

A. 都发散；

B. 都收敛

C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；

D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。

5. 对于试验方程y y λ=′，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）

A. 02≤≤−h ；

B. 0785.2≤≤−h ；

C. 02≤≤−h λ；

D. 0785.2≤≤−h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分）

1. 已知

−−=′−=4321,)2,1(A x ，则 =2

x 5，

=

1

Ax

16 ，

=

2A 22115+

2. 已知3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。

3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表，

1. 用复化梯形公式计算积分

dx

x f I )(6

.28

.1∫

=的近似值；

解：1.用复化梯形公式计算 取

2.048

.16.2,4=−=

=h n 1分

10.46675

8.03014

6.04241

4.42569

3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x

分分分7058337

.55))6.2()2.08.1(2)8.1((22

.04))

()(2)((231

1

1

4=+++=++=∑∑=−=f k f f b f x f a f h

T k n k k

2. 用复化Simpson 公式计算积分

dx

x f I )(6

.28

.1∫

=的近似值。 (要求计算结果保留到小数点后六位). （14分）

解：用复化辛甫生公式计算 取

4.028

.16.2,2=−=

=h n 8分

分分分14033002.512)}6.2()2.2(2)]4.2()0.2([4)8.1({6

4

.011))()(2)(4)((61

1

1022

1=++++=

+++=∑∑−=−=+f f f f f b f x f x f a f h

S n k k n k k

四、已知矩阵

=1256144412A ，求矩阵A 的Doolittle 分解。 （10分） 解：用紧凑格式法

分分分14033002

.512)}6.2()2.2(2)]4.2()0.2([4)8.1({6

4

.011))

()(2)(4)((61

11022

1=++++=+++=∑∑−=−=+f f f f f b f x f x f a f h

S n k k n k k

41

2131312121111======a u a u a u 2分

7

2

213

21232312

2122221121

21−=⋅−==⋅−===

u l a u u l a u a a l 5分

7

1

3

233213

31333322

12

31323211

3121=⋅−⋅−==⋅−=

==u l u l a u u u l a l a a

l 8分

−⋅

==∴772412113121

LU A 10分

五、用Newton 迭代法求解方程0133

=−−x x 在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。 （12分）

解：

013)(3

=−−=x x x f ， 0.20=x

331

23313)()(2

3

231−+=−−−−=′−=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 6分

8889.19

17

3

2312233122320301==

−×+×=

−+=

x x x 8分

8794

.13

31221

312=−+=

x x x ，

8794

.13

31222

3

23=−+=

x x x 11分

故，方程的近似根为1.8974 12分

六、对下面线性方程组 （12分）

=++=++=++3

8.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x 1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；

2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 解 1. 雅可比法:

A 是对角元素为正的实对称阵,下面判别A D A −2 和是否同时正定:

296.01

8.04.08.014.04

.04.01 , 016.011

4.04

.01 , 01 >=>−=>

A ∴正定 5分

−−−−−−=−18.04.08.014.04.04.01

2A D

216.01

8.04.08.014.04.04.01 , 016.011

4.04

.01 , 01 <−=−−−−−−>−=−−>

A D −∴2 不正定.即A D A −2 和不同时正定 8分

故,Jacobi 法发散. 9分 2. 高斯-塞德尔法:由1知, A 是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel 法收敛. 10分

其迭代格式为 −−=−−=−−=++++++)

1(2

)1(1)1(3)

(3)1(1)1(2

)(3

)(2)1(1

8.04.0380 4.02 4.04.01 k k k k k k k k k x x x x .x x x x x 12分

七、已知初值问题：

=≤<−= 1)0(4

.00,'y x y x y ，取步长h =0.1，