概率和抽样分布

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（二）概率
1. 概率的定义
n 概率就是指随机事件发生的可能性，或称为 机率，是对随机事件发生可能性的度量。
n 随机事件A发生可能性大小称为事件A发生 的概率，记为：P(A)=p。 正确理解和计算随机事件的概率是进行统计 推断和统计决策的基础
按不同的观点和不同情的况，概率有古典概率、 试验概率和主观概率三种不同的解释
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n 3. 试验概率 古典概率在应用上受到两个条件的限制：一 是随机试验的结果只有有限个，二是这些结 果出现的可能性相同。
如果采用试验概率，就不受上述条件的限制
4. 主观概率
在实际问题中，有些试验是无法在相同的条 件下重复进行。如：股价指数在未来一周内 上升的可能性有多大。只能凭经验进行主观 的估计。
n 3.总体是唯一的、确定的，而样本是不确定 的、可变的、随机的。
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n 定义: 离散型随机变量X的期望值为
n
n 性质： n 其中X1，X2都是随机变量，α，β是任意常数。
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n 定义: 离散型随机变量X的方差为
n 方差的平方根σ称为标准差。 n 方差σ2或标准差σ反映随机变量X相对其期
望值的 n 离散程度，σ2或σ越小, 说明期望值的代表
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n 2. 概率的基本性质
¨ 性质1 1≥P(A)≥0。
¨ 性质2 P(Ω)=1。
¨ 性质3 若事件A与事件B互不相容，即 AB=Ф，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
¨ 推论1 不可能事件的概率为0，即： P(Ф)=0。
¨ 推论2 P( )=1-P(A), 表示A的对 立事件，即它们二者必有一事件发生但 又不能同时发生。
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第二节 随机变量概率分布
n 随机变量X是定义在样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn} 上的一个函数，这个函数的取值随试验的结果不 同而变化。这个函数还要求满足条件：对任意的 实数x，X<x是随机事件。如果随机变量所有可能 的取值是有限的，或可排成一列的，这种随机变 量称为离散型随机变量；另一种情况是随机变量 的取值范围是一个区间或整个数轴，这种随机变 量称为连续型随机变量。
n 这些概念是统计学特有的，体现了统 计学的基本思想与方法。
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总体和样本（参见第1章）
n 1.总体：又称全及总体、母体，指所要研究 对象的全体，由许多客观存在的具有某种共 同性质的单位构成。总体单位数用 N 表示。
n 2.样本：又称子样，来自总体，是从总体中 按随机原则抽选出来的部分，由抽选的单位 构成。样本单位数用 n 表示。
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n 2. 古典概率 起源于17世纪很流行的赌博输赢的估计。 设事件A是样本空间Ω中的一个随机事件， 事件A的古典概率定义为：
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n 例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。 从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率 有多大？
n 解：由于摸出的任何1只球都形成一个基本 事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸 出的是白球事件，则A由两个基本点组成， 即A={白球，白球}，有利场合数m=2。因此， 刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4
n （1）每次试验的可能结果不是唯一的； n （2）每次试验之前不能确定何种结果会出现； n （3）试验可在相同条件下重复进行。
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n 例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的 点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。 这六种结果是基本结果，不可以再分解成 更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5， 6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇数” 这一事件就不是简单事件，它是由基本事 件{1}，{3}和{5}组合而成的。我们通常用大 写字母A，B，C，…来表示随机事件，例 如，设A表示“出现点数是奇数”，则A={1， 3，5}；设B表示“出现点数是偶数”，则 B={2，4，6}。
性越好；σ2或σ越大，说明期望值的代表性 越差。 n 性质：对于任意的α，D(αX)=α2 D(X) 成立
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n 2. 连续型随机变量的概率分布
n 设X是R.V., x 是一实数. 记
n F(x)=P(X<x)。该函数就是随机变量X的分布 函数。分布函数的导数称为密度函数，记作 p(x )。
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2020/11/20
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第一节 频率、概率与概率分布
一、随机事件与概率 n （一）随机试验与事件
n 随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系 列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验 或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象 的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的 性质：
n 1. 离散型随机变量的概率分布
n 设离散型随机变量X的所有可能取值为x1, x2，…, xn, …，相应的概率为p(x1)，p(x2),…,p(xn),…。 用表格统一表示出来是：
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X x1 x2 … xn … P p(x1) p(x2) … p(xn) … n 这称为离散型随机变量X的概率分布。 n 性质：(1) 0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …)； n (2)
n 性质
n (1) p(x)≥0
n (2)
n (3)
•P(a≤x<b)
•x
•a
b
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n 定义: 连续型随机变量X的期望值为 n 方差为
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n 例：某大学英语考试成绩服从正态分 布，已知平均成绩为70分，标准差为 10分。求该大学英语成绩在60—75分 的概率。
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第三节 抽样分布
n 一、抽样的基本概念 n 二、抽样分布
¨ （一）重复抽样分布 ¨ （二）不重复抽样分布
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概率和抽样分布
一、抽样ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基本概念
n 抽样涉及的基本概念有：
¨ 总体与样本(见第一章) ¨ 样本容量与样本个数 ¨ 总体参数与样本统计量 ¨ 重复抽样与不重复抽样