2017中考数学经典难题

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2017年天津市中考数学试卷压轴题

2017年天津市中考数学试卷压轴题

2017年天津市中考数学试卷压轴题10.(2017﹒天津)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为()A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-118.(2017﹒天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.(1)AB的长等于________;(2)在△ABC的内部有一点P,满足S△P AB:S△PBC:S△PCA=1:2:3,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________.24.(2017﹒天津)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A( 3,0),点B(0,1),点O(0,0).P 是边AB上的一点(点P不与点A,B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'.(1)如图①,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标;(2)如图②,当P为AB中点时,求A'B的长;(3)当∠BP A'=30°时,求点P的坐标(直接写出结果即可).25.(2017﹒天津)已知抛物线y=x2+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0).(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P'.①当点P'落在该抛物线上时,求m的值;②当点P'落在第二象限内,P'A2取得最小值时,求m的值.2017年天津市中考数学试卷压轴题参考答案10.(2017﹒天津)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为()A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1解:当y=0,则0=x2-4x+3,(x-1)(x-3)=0,解得:x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴M点坐标为:(2,-1),∵平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,∴抛物线向上平移一个单位长度,再向左平移3个单位长度即可,∴平移后的解析式为:y=(x+1)2=x2+2x+1.选A.18.(2017﹒天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.(1)AB的长等于________;(2)在△ABC的内部有一点P,满足S△P AB:S△PBC:S△PCA=1:2:3,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________.解:(1)AB=12+42=17.故答案为17.(2)如图AC与网格相交,得到点D、E,取格点F,连接FB并且延长,与网格相交,得到M,N,G.连接DN,EM,DG,DN与EM相交于点P,点P即为所求.理由:平行四边形ABME 的面积:平行四边形CDNB 的面积:平行四边形DEMG 的面积=1:2:3,△P AB 的面积=12平行四边形ABME 的面积,△PBC 的面积=12平行四边形CDNB 的面积,△P AC 的面积=△PNG 的面积=12△DGN 的面积=12平行四边形DEMG 的面积, ∴S △P AB :S △PBC :S △PCA =1:2:3.24.(2017﹒天津)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中,点A ( 3,0),点B (0,1),点O (0,0).P 是边AB 上的一点(点P 不与点A ,B 重合),沿着OP 折叠该纸片,得点A 的对应点A '.(1)如图①,当点A '在第一象限,且满足A 'B ⊥OB 时,求点A '的坐标;(2)如图②,当P 为AB 中点时,求A 'B 的长;(3)当∠BP A '=30°时,求点P 的坐标(直接写出结果即可).解:(1)∵点A (3,0),点B (0,1),∴OA =3,OB =1,由折叠的性质得:OA '=OA =3,∵A 'B ⊥OB ,∴∠A 'BO =90°,在Rt △A 'OB 中,A 'B =OA ′2-OB 2=2,∴点A '的坐标为(2,1);(2)在Rt △ABO 中,OA =3,OB =1,∴AB =OA 2+OB 2=2,∵P 是AB 的中点,∴AP =BP =1,OP =12AB =1, ∴OB =OP =BP∴△BOP 是等边三角形,∴∠BOP =∠BPO =60°,∴∠OP A =180°-∠BPO =120°,由折叠的性质得:∠OP A '=∠OP A =120°,P A '=P A =1,∴∠BOP +∠OP A '=180°,∴OB ∥P A ',又∵OB =P A '=1,∴四边形OP A 'B 是平行四边形,∴A 'B =OP =1;(3)设P (x ,y ),分两种情况:①如图③所示:点A '在y 轴上,在△OP A '和△OP A 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA ′=OAP A ′=P A OP =OP, ∴△OP A '≌△OP A (SSS ),∴∠A 'OP =∠AOP =12∠AOB =45°, ∴点P 在∠AOB 的平分线上,设直线AB 的解析式为y =kx +b ,把点A (3,0),点B (0,1)代入得:⎩⎨⎧3k +b =0b =1, 解得:⎩⎪⎨⎪⎧k =-33b =1, ∴直线AB 的解析式为y =-33x +1, ∵P (x ,y ),∴x =-33x +1, 解得:x =3-32, ∴P ⎛⎪⎫3-3,3-3;②如图④所示:由折叠的性质得:∠A '=∠A =30°,OA '=OA ,∵∠BP A '=30°,∴∠A '=∠A =∠BP A ',∴OA '∥AP ,P A '∥OA ,∴四边形OAP A '是菱形,∴P A =OA =3,作PM ⊥OA 于M ,如图④所示:∵∠A =30°,∴PM =12P A =32, 把y =32代入y =-33x +1得:32=-33x +1, 解得:x =23-32, ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23-32,32;综上所述:当∠BP A '=30°时,点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3-32,3-32或⎝ ⎛⎭⎪⎫23-32,32.25.(2017﹒天津)已知抛物线y =x 2+bx -3(b 是常数)经过点A (-1,0).(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;(2)P (m ,t )为抛物线上的一个动点,P 关于原点的对称点为P '.①当点P '落在该抛物线上时,求m 的值;②当点P '落在第二象限内,P 'A 2取得最小值时,求m 的值.解:(1)∵抛物线y =x 2+bx -3经过点A (-1,0),∴0=1-b -3,解得b =-2,∴抛物线解析式为y =x 2-2x -3,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴抛物线顶点坐标为(1,-4);(2)①由P (m ,t )在抛物线上可得t =m 2-2m -3,∵点P ′与P 关于原点对称,∴P ′(-m ,-t ),∵点P ′落在抛物线上,∴-t =(-m )2-2(-m )-3,即t =-m 2-2m +3, ∴m 2-2m -3=-m 2-2m +3,解得m =3或m =-3;∴-m <0,-t >0,即m >0,t <0,∵抛物线的顶点坐标为(1,-4),∴-4≤t <0,∵P 在抛物线上,∴t =m 2-2m -3,∴m 2-2m =t +3,∵A (-1,0),P ′(-m ,-t ),∴P ′A 2=(-m +1)2+(-t )2=m 2-2m +1+t 2=t 2+t +4=⎝⎛⎭⎫t +122+154; ∴当t =-12时,P ′A 2有最小值, ∴-12=m 2-2m -3,解得m =2-142或m =2+142, ∵m >0,∴m =2-142不合题意,舍去, ∴m 的值为2+142.。

2017年江苏省13市中考数学难题真题压轴题2

2017年江苏省13市中考数学难题真题压轴题2

2017江苏13市中考数学好题集锦2一.选择题(共6小题)1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=2cm,点P在边AC上,从点A 向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动.若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则线段PQ 的最小值是()A.20cm B.18cm C.2cm D.3cm2.如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1),若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是()A.b≤﹣2 B.b<﹣2 C.b≥﹣2 D.b>﹣23.如图所示,一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发,沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处,再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处;接着又从A2点出发,沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处,再向右沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处;…按此规律运动到点A2017处,则点A2017与点A0间的距离是()A.4 B.2 C.2 D.04.如图,P为反比例函数y=(k>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴,y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B.若∠AOB=135°,则k的值是()A.2 B.4 C.6 D.85.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是()A.B.6 C.4 D.56.点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上,BE=DF,点P在边AB上,AP:PB=1:n(n>1),过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分,将△CDF分成面积为S3、S4的两部分(如图),下列四个等式:①S1:S3=1:n②S1:S4=1:(2n+1)③(S1+S4):(S2+S3)=1:n④(S3﹣S1):(S2﹣S4)=n:(n+1)其中成立的有()A.①②④B.②③C.②③④D.③④二.填空题(共7小题)7.如图,矩形ABOC的顶点O在坐标原点,顶点B,C分别在x,y轴的正半轴上,顶点A在反比例函数y=(k为常数,k>0,x>0)的图象上,将矩形ABOC 绕点A按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′,若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上,则的值是.8.若关于x的方程﹣2x+m+4020=0存在整数解,则正整数m的所有取值的和为.9.如图,已知点A是反比例函数y=﹣的图象上的一个动点,连接OA,若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB,则点B所在图象的函数表达式为.10.如图,已知等边三角形OAB与反比例函数y=(k>0,x>0)的图象交于A、B两点,将△OAB沿直线OB翻折,得到△OCB,点A的对应点为点C,线段CB 交x轴于点D,则的值为.(已知sin15°=)11.如图,在平面内,线段AB=6,P为线段AB上的动点,三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点A运动到点B,则点E运动的路径长为.12.将从1开始的连续自然数按以下规律排列:第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行252423222120191817…则2017在第行.13.已知实数m满足m2﹣3m+1=0,则代数式m2+的值等于.三.解答题(共12小题)14.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC、BC.(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;(2)求△ABC外接圆的半径;(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.15.如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=,点E在边CD上移动,连接AE,将多边形ABCE沿直线AE翻折,得到多边形AB′C′E,点B、C的对应点分别为点B′、C′.(1)当B′C′恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;(2)若B′C′分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°(如图2),求△DFG的面积;(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C′运动的路径长.16.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点,连接CP,过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC 上,对角线EG、PF相交于点O.(1)若AP=1,则AE=;(2)①求证:点O一定在△APE的外接圆上;②当点P从点A运动到点B时,点O也随之运动,求点O经过的路径长;(3)在点P从点A到点B的运动过程中,△APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.17.如图,已知二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(3,0),B(4,1),且与y轴交于点C,连接AB、AC、BC.(1)求此二次函数的关系式;(2)判断△ABC 的形状;若△ABC 的外接圆记为⊙M ,请直接写出圆心M 的坐标;(3)若将抛物线沿射线BA 方向平移,平移后点A 、B 、C 的对应点分别记为点A 1、B 1、C 1,△A 1B 1C 1的外接圆记为⊙M 1,是否存在某个位置,使⊙M 1经过原点?若存在,求出此时抛物线的关系式;若不存在,请说明理由.18.问题呈现:如图1,点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上,AE=DG ,求证:2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD .(S 表示面积)实验探究:某数学实验小组发现:若图1中AH ≠BF ,点G 在CD 上移动时,上述结论会发生变化,分别过点E 、G 作BC 边的平行线,再分别过点F 、H 作AB 边的平行线,四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1,得到矩形A 1B 1C 1D 1.如图2,当AH >BF 时,若将点G 向点C 靠近(DG >AE ),经过探索,发现:2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD +S .如图3,当AH >BF 时,若将点G 向点D 靠近(DG <AE ),请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与S 之间的数量关系,并说明理由.迁移应用:请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题:(1)如图4,点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点,已知AH >BF ,AE >DG ,S 四边形EFGH =11,HF=,求EG 的长.(2)如图5,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E、H分别在边AB、AD上,BE=1,DH=2,点F、G分别是边BC、CD上的动点,且FG=,连接EF、HG,请直接写出四边形EFGH面积的最大值.19.阅读理解:如图①,图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.例如:图②中,线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.解决问题:如图③,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.(1)当t=4时,求点P到线段AB的距离;(2)t为何值时,点P到线段AB的距离为5?(3)t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)20.平面直角坐标系xOy中,点A、B的横坐标分别为a、a+2,二次函数y=﹣x2+(m﹣2)x+2m的图象经过点A、B,且a、m满足2a﹣m=d(d为常数).(1)若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点.①当a=1、d=﹣1时,求k的值;②若y1随x的增大而减小,求d的取值范围;(2)当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时,判断直线AB与x轴的位置关系,并说明理由;(3)点A、B的位置随着a的变化而变化,设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D,线段CD的长度会发生变化吗?如果不变,求出CD的长;如果变化,请说明理由.21.【操作发现】如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.(1)请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′;(2)在(1)所画图形中,∠AB′B=.【问题解决】如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;想法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.…请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)【灵活运用】如图③,在四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示).22.如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空:b=,c=;(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;(4)如图②,点N的坐标为(﹣,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.23.如图1,Rt△ACB 中,∠C=90°,点D在AC上,∠CBD=∠A,过A、D两点的圆的圆心O在AB上.(1)利用直尺和圆规在图1中画出⊙O(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线条描清楚);(2)判断BD所在直线与(1)中所作的⊙O的位置关系,并证明你的结论;(3)设⊙O交AB于点E,连接DE,过点E作EF⊥BC,F为垂足,若点D是线段AC的黄金分割点(即=),如图2,试说明四边形DEFC是正方形).24.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B坐标为(4,t)(t>0),二次函数y=x2+bx(b<0)的图象经过点B,顶点为点D.(1)当t=12时,顶点D到x轴的距离等于;(2)点E是二次函数y=x2+bx(b<0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O 不重合),求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式;(3)矩形OABC的对角线OB、AC交于点F,直线l平行于x轴,交二次函数y=x2+bx (b<0)的图象于点M、N,连接DM、DN,当△DMN≌△FOC时,求t的值.25.【回顾】如图1,△ABC中,∠B=30°,AB=3,BC=4,则△ABC的面积等于.【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺,一个含有30°的角,较短的直角边长为a;另一个含有45°的角,直角边长为b,小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD(如图3),用了两种不同的方法计算它的面积,从而推出sin75°=,小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH(如图4),也推出sin75°=,请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程.【应用】在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=75°,BC=6,CD=5,AD=10(如图5)(1)点E在AD上,设t=BE+CE,求t2的最小值;(2)点F在AB上,将△BCF沿CF翻折,点B落在AD上的点G处,点G是AD 的中点吗?说明理由.2017江苏13市中考数学好题集锦2参考答案与试题解析一.选择题(共6小题)1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=2cm,点P在边AC上,从点A 向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动.若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则线段PQ 的最小值是()A.20cm B.18cm C.2cm D.3cm【解答】解:∵AP=CQ=t,∴CP=6﹣t,∴PQ===,∵0≤t≤2,∴当t=2时,PQ的值最小,∴线段PQ的最小值是2,故选C.2.如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1),若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是()A.b≤﹣2 B.b<﹣2 C.b≥﹣2 D.b>﹣2【解答】解:抛物线y=x2+bx+1与y轴的交点为(0,1),∵C(2,1),∴对称轴x=﹣≤1时,二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,∴b≥﹣2.故选:C.3.如图所示,一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发,沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处,再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处;接着又从A2点出发,沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处,再向右沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处;…按此规律运动到点A2017处,则点A2017与点A0间的距离是()A.4 B.2 C.2 D.0【解答】解:如图,∵⊙O的半径=2,由题意得,A0A1=4,A0A2=2,A0A3=2,A0A4=2,A0A5=2,A0A6=0,A0A7=4,…∵2017÷6=336…1,∴按此规律运动到点A2017处,A2017与A1重合,∴A0A2017=2R=4.故选A.4.如图,P为反比例函数y=(k>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴,y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B.若∠AOB=135°,则k的值是()A.2 B.4 C.6 D.8【解答】解:方法1、作BF⊥x轴,OE⊥AB,CQ⊥AP,如图1,设P点坐标(n,),∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4,PB⊥y轴,PA⊥x轴,∴C(0,﹣4),G(﹣4,0),∴OC=OG,∴∠OGC=∠OCG=45°∵PB∥OG,PA∥OC,∴PA=PB,∵P点坐标(n,),∴OD=CQ=n,∴AD=AQ+DQ=n+4;∵当x=0时,y=﹣x﹣4=﹣4,∴OC=DQ=4,GE=OE=OC=;同理可证:BG=BF=PD=,∴BE=BG+EG=+;∵∠AOB=135°,∴∠OBE+∠OAE=45°,∵∠DAO+∠OAE=45°,∴∠DAO=∠OBE,∵在△BOE和△AOD中,,∴△BOE∽△AOD;∴=,即=;整理得:nk+2n2=8n+2n2,化简得:k=8;故选D.方法2、如图2,过B作BF⊥x轴于F,过点A作AD⊥y轴于D,∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4,PB⊥y轴,PA⊥x轴,∴C(0,﹣4),G(﹣4,0),∴OC=OG,∴∠OGC=∠OCG=45°∵PB∥OG,PA∥OC,∴PA=PB,∵P点坐标(n,),∴A(n,﹣n﹣4),B(﹣4﹣,)∵当x=0时,y=﹣x﹣4=﹣4,∴OC=4,当y=0时,x=﹣4.∴OG=4,∵∠AOB=135°,∴∠BOG+∠AOC=45°,∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4,∴∠AGO=∠OCG=45°,∴∠BGO=∠OCA,∠BOG+∠OBG=45°,∴∠OBG=∠AOC,∴△BOG∽△OAC,∴=,∴=,在等腰Rt△BFG中,BG=BF=,在等腰Rt△ACD中,AC=AD=n,∴,∴k=8.故选D.5.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是()A.B.6 C.4 D.5【解答】解:∵将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,∴AF=AB,∠AFE=∠B=90°,∴EF⊥AC,∵∠EAC=∠ECA,∴AE=CE,∴AF=CF,∴AC=2AB=6,故选B.6.点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上,BE=DF,点P在边AB上,AP:PB=1:n(n>1),过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分,将△CDF分成面积为S3、S4的两部分(如图),下列四个等式:①S1:S3=1:n②S1:S4=1:(2n+1)③(S1+S4):(S2+S3)=1:n④(S3﹣S1):(S2﹣S4)=n:(n+1)其中成立的有()A.①②④B.②③C.②③④D.③④【解答】解:由题意∵AP:PB=1:n(n>1),AD∥l∥BC,∴=()2,S3=n2S1,=()2,整理得:S2=n(n+2)S1,S4=(2n+1)S1,∴S1:S4=1:(2n+1),故①错误,②正确,∴(S1+S4):(S2+S3)=[S1+(2n+1)S1]:[n(n+2)S1+n2S1]=1:n,故③正确,∴(S3﹣S1):(S2﹣S4)=[n2S1﹣S1]:[n(n+2)S1﹣(2n+1)S1]=1:1,故④错误,故选B.二.填空题(共7小题)7.如图,矩形ABOC的顶点O在坐标原点,顶点B,C分别在x,y轴的正半轴上,顶点A在反比例函数y=(k为常数,k>0,x>0)的图象上,将矩形ABOC 绕点A按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′,若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上,则的值是.【解答】解:设A(m,n),则OB=m,OC=n,∵矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′,∴O′C′=n,B′O′=m,∴O′(m+n,n﹣m),∵A,O′在此反比例函数图象上,∴(m+n)(n﹣m)=mn,∴m2+mn﹣n2=0,∴m=n,∴=,(负值舍去),∴的值是,故答案为:.8.若关于x的方程﹣2x+m+4020=0存在整数解,则正整数m的所有取值的和为15.【解答】解:由题意m=,令y=,则x=2017﹣y2,∴m==,∵m是正整数,y≥0,∴y=1时,m=12,y=2时,m=3,∴正整数m的所有取值的和为15,故答案为15.9.如图,已知点A是反比例函数y=﹣的图象上的一个动点,连接OA,若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB,则点B所在图象的函数表达式为y=.【解答】解:∵点A是反比例函数y=﹣的图象上的一个动点,设A(m,n),过A作AC⊥x轴于C,过B作BD⊥x轴于D,∴AC=n,OC=﹣m,∴∠ACO=∠BDO=90°,∵∠AOB=90°,∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°,∴∠CAO=∠BOD,在△ACO与△ODB中,∴△ACO≌△ODB,∴AC=OD=n,CO=BD=﹣m,∴B(n,﹣m),∵mn=﹣2,∴n(﹣m)=2,∴点B所在图象的函数表达式为y=,故答案为:y=.10.如图,已知等边三角形OAB与反比例函数y=(k>0,x>0)的图象交于A、B两点,将△OAB沿直线OB翻折,得到△OCB,点A的对应点为点C,线段CB 交x轴于点D,则的值为.(已知sin15°=)【解答】解:解法一:过O作OM⊥AB于M,∵△AOB是等边三角形,∴AM=BM,∠AOM=∠BOM=30°,∴A、B关于直线OM对称,∵A、B两点在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,且反比例函数关于直线y=x对称,∴直线OM的解析式为:y=x,∴∠BOD=45°﹣30°=15°,设等边三角形AOB的边长为x,过B作BF⊥x轴于F,过C作CN⊥x轴于N,sin∠BOD=sin15°===,∴BF=∵∠BOC=60°,∠BOD=15°,∴∠CON=45°,∴△CNO是等腰直角三角形,∴CN==,∵BF⊥x轴,CN⊥x轴,∴BF∥CN,∴△BDF∽△CDN,∴==,故答案为:.解法二:如图,过O作OM⊥AB于M,∵△AOB是等边三角形,∴AM=BM,∠AOM=∠BOM=30°,∴A、B关于直线OM对称,∵A、B两点在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,且反比例函数关于直线y=x对称,∴直线OM的解析式为:y=x,∴∠BOD=45°﹣30°=15°,过B作BF⊥x轴于F,过C作CN⊥x轴于N,sin∠BOD=sin15°==,∵∠BOC=60°,∠BOD=15°,∴∠CON=45°,∴△CNO是等腰直角三角形,∴CN=ON,设CN=x,则OC=x,∴OB=x,∴=,∴BF=,∵BF⊥x轴,CN⊥x轴,∴BF∥CN,∴△BDF∽△CDN,∴==,故答案为:.11.如图,在平面内,线段AB=6,P为线段AB上的动点,三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点A运动到点B,则点E运动的路径长为6.【解答】解:如图,由题意可知点C运动的路径为线段AC′,点E运动的路径为EE′,由平移的性质可知AC′=EE′,在Rt△ABC′中,易知AB=BC′=6,∠ABC′=90°,∴EE′=AC′==6,故答案为6.12.将从1开始的连续自然数按以下规律排列:第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行252423222120191817…则2017在第45行.【解答】解:∵442=1936,452=2025,∴2017在第45行.故答案为:45.13.已知实数m满足m2﹣3m+1=0,则代数式m2+的值等于9.【解答】解:∵m2﹣3m+1=0,∴m2=3m﹣1,∴m2+=3m﹣1+=3m﹣1+=====9,故答案为:9.三.解答题(共12小题)14.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC、BC.(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;(2)求△ABC外接圆的半径;(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.【解答】解:(1)在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得x2﹣2x﹣3=0,解得x=﹣1或x=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),令x=0可得y=﹣3,又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N,∴C(0,3),设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c,把A、B、C的坐标代入可得,解得,∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=﹣x2+2x+3;(2)设△ABC外接圆的圆心为M,则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点,∵B(3,0),C(0,3),∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,又线段AB的解析式为曲线N的对称轴,即x=1,∴M(1,1),∴MB==,即△ABC外接圆的半径为;(3)设Q(t,0),则BQ=|t﹣3|①当BC为平行四边形的边时,如图1,则有BQ∥PC,∴P点纵坐标为3,即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P,x轴上对应的即为点Q,当点P在曲线M上时,在y=x2﹣2x﹣3中,令y=3可解得x=1+或x=1﹣,∴PC=1+或PC=﹣1,当x=1+时,可知点Q在点B的右侧,可得BQ=t﹣3,∴t﹣3=1+,解得t=4+,当x=1﹣时,可知点Q在点B的左侧,可得BQ=3﹣t,∴3﹣t=﹣1,解得t=4﹣,∴Q点坐标为(4+,0)或(4﹣,0);当点P在曲线N上时,在y=﹣x2+2x+3中,令y=3可求得x=0(舍去)或x=2,∴PC=2,此时Q点在B点的右侧,则BQ=t﹣3,∴t﹣3=2,解得t=5,∴Q点坐标为(5,0);②当BC为平行四边形的对角线时,∵B(3,0),C(0,3),∴线段BC的中点为(,),设P(x,y),∴x+t=3,y+0=3,解得x=3﹣t,y=3,∴P(3﹣t,3),当点P在曲线M上时,则有3=(3﹣t)2﹣2(3﹣t)﹣3,解得t=2+或t=2﹣,∴Q点坐标为(2+,0)或(2﹣,0);当点P在曲线N上时,则有3=﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3,解得t=3(Q、B重合,舍去)或t=1,∴Q点坐标为(1,0);综上可知Q点的坐标为(4+,0)或(4﹣,0)或(5,0)或(2+,0)或(2﹣,0)或(1,0).15.如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=,点E在边CD上移动,连接AE,将多边形ABCE沿直线AE翻折,得到多边形AB′C′E,点B、C的对应点分别为点B′、C′.(1)当B′C′恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;(2)若B′C′分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°(如图2),求△DFG的面积;(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C′运动的路径长.【解答】解:(1)如图1中,设CE=EC′=x,则DE=1﹣x,∵∠ADB′+∠EDC′=90°,∠B′AD+∠ADB′=90°,∴∠B′AD=∠EDC′,∵∠B′=∠C′=90°,AB′=AB=1,AD=,∴DB′==,∴△ADB′∽△DEC′,∴=,∴=,∴x=﹣2.∴CE=﹣2.(2)如图2中,∵∠BAD=∠B′=∠D=90°,∠DAE=22.5°,∴∠EAB=∠EAB′=67.5°,∴∠B′AF=∠B′FA=45°,∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°,∴DF=DG,在Rt△AB′F中,AB′=FB′=1,∴AF=AB′=,∴DF=DG=﹣,=(﹣)2=﹣.∴S△DFG(3)如图3中,点C的运动路径的长为的长,在Rt△ADC中,∵tan∠DAC==,∴∠DAC=30°,AC=2CD=2,∵∠C′AD=∠DAC=30°,∴∠CAC′=60°,∴的长==π.16.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点,连接CP,过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC 上,对角线EG、PF相交于点O.(1)若AP=1,则AE=;(2)①求证:点O一定在△APE的外接圆上;②当点P从点A运动到点B时,点O也随之运动,求点O经过的路径长;(3)在点P从点A到点B的运动过程中,△APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.【解答】(1)解:∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形,∴∠A=∠B=∠EPG=90°,PF⊥EG,AB=BC=4,∠OEP=45°,∴∠AEP+∠APE=90°,∠BPC+∠APE=90°,∴∠AEP=∠BPC,∴△APE∽△BCP,∴,即,解得:AE=;故答案为:;(2)①证明:∵PF⊥EG,∴∠EOP=90°,∴∠EOP+∠A=180°,∴A、P、O、E四点共圆,∴点O一定在△APE的外接圆上;②解:连接OA、AC,如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∠BAC=45°,∴AC==4,∵A、P、O、E四点共圆,∴∠OAP=∠OEP=45°,∴点O在AC上,当P运动到点B时,O为AC的中点,OA=AC=2,即点O经过的路径长为2;(3)解:设△APE的外接圆的圆心为M,作MN⊥AB于N,如图2所示:则MN∥AE,∵ME=MP,∴AN=PN,∴MN=AE,设AP=x,则BP=4﹣x,由(1)得:△APE∽△BCP,∴,即,解得:AE=x﹣x2=﹣(x﹣2)2+1,∴x=2时,AE的最大值为1,此时MN的值最大=×1=,即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为.17.如图,已知二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(3,0),B(4,1),且与y轴交于点C,连接AB、AC、BC.(1)求此二次函数的关系式;(2)判断△ABC的形状;若△ABC的外接圆记为⊙M,请直接写出圆心M的坐标;(3)若将抛物线沿射线BA方向平移,平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1,△A1B1C1的外接圆记为⊙M1,是否存在某个位置,使⊙M1经过原点?若存在,求出此时抛物线的关系式;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)把点A(3,0),B(4,1)代入y=ax2+bx+3中,,解得:,所以所求函数关系式为:y=x2﹣x+3;(2)△ABC是直角三角形,过点B作BD⊥x轴于点D,易知点C坐标为:(0,3),所以OA=OC,所以∠OAC=45°,又∵点B坐标为:(4,1),∴AD=BD,∴∠DAB=45°,∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°,∴△ABC是直角三角形,圆心M的坐标为:(2,2);(3)存在取BC的中点M,过点M作ME⊥y轴于点E,∵M的坐标为:(2,2),∴MC==,OM=2,∴∠MOA=45°,又∵∠BAD=45°,∴OM∥AB,∴要使抛物线沿射线BA方向平移,且使⊙M1经过原点,则平移的长度为:2﹣或2+;∵∠BAD=45°,∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移=个单位长度或=个单位长度,∵y=x2﹣x+3=(x﹣)2﹣,∴平移后抛物线的关系式为:y=(x﹣+)2﹣﹣,即y=(x﹣)2﹣,或y=(x﹣+)2﹣﹣,即y=(x﹣)2﹣.综上所述,存在一个位置,使⊙M1经过原点,此时抛物线的关系式为:y=(x﹣)2﹣或y=(x﹣)2﹣.18.问题呈现:如图1,点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上,AE=DG ,求证:2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD .(S 表示面积)实验探究:某数学实验小组发现:若图1中AH ≠BF ,点G 在CD 上移动时,上述结论会发生变化,分别过点E 、G 作BC 边的平行线,再分别过点F 、H 作AB 边的平行线,四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1,得到矩形A 1B 1C 1D 1.如图2,当AH >BF 时,若将点G 向点C 靠近(DG >AE ),经过探索,发现:2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD +S .如图3,当AH >BF 时,若将点G 向点D 靠近(DG <AE ),请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与S 之间的数量关系,并说明理由.迁移应用:请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题:(1)如图4,点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点,已知AH >BF ,AE >DG ,S 四边形EFGH =11,HF=,求EG 的长.(2)如图5,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=5,点E 、H 分别在边AB 、AD 上,BE=1,DH=2,点F 、G 分别是边BC 、CD 上的动点,且FG=,连接EF 、HG ,请直接写出四边形EFGH 面积的最大值.【解答】问题呈现:证明:如图1中,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB ∥CD ,∠A=90°,∵AE=DG ,∴四边形AEGD 是矩形,∴S △HGE =S 矩形AEGD ,同理S △EGF =S 矩形BEGC ,∴S 四边形EFGH =S △HGE +S △EFG =S 矩形ABCD .实验探究:结论:2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD ﹣.理由:∵=,=,=,=,∴S四边形EFGH=+++﹣,∴2S四边形EFGH=2+2+2+2﹣2,∴2S四边形EFGH =S矩形ABCD﹣.迁移应用:解:(1)如图4中,∵2S四边形EFGH =S矩形ABCD﹣.∴=25﹣2×11=3=A 1B1•A1D1,∵正方形的面积为25,∴边长为5,∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4,∴A1D1=2,A1B1=,∴EG2=A1B12+52=,∴EG=.(2)∵2S四边形EFGH =S矩形ABCD+.∴四边形A1B1C1D1面积最大时,四边形EFGH的面积最大.①如图5﹣1中,当G与C重合时,四边形A1B1C1D1面积最大时,四边形EFGH 的面积最大.此时矩形A1B1C1D1面积=1•(﹣2)=②如图5﹣2中,当G与D重合时,四边形A1B1C1D1面积最大时,四边形EFGH 的面积最大.此时矩形A1B1C1D1面积=2•1=2,∵2>﹣2,∴矩形EFGH的面积最大值=.19.阅读理解:如图①,图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.例如:图②中,线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.解决问题:如图③,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.(1)当t=4时,求点P到线段AB的距离;(2)t为何值时,点P到线段AB的距离为5?(3)t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)【解答】解:(1)如图1,作AC⊥x轴于点C,则AC=4、OC=8,当t=4时,OP=4,∴PC=4,∴点P到线段AB的距离PA===4;(2)如图2,过点B作BD∥x轴,交y轴于点D,①当点P位于AC左侧时,∵AC=4、P1A=5,∴P1C===3,∴OP1=5,即t=5;②当点P位于AC右侧时,过点A作AP2⊥AB,交x轴于点P2,∴∠CAP2+∠EAB=90°,∵BD∥x轴、AC⊥x轴,∴CE⊥BD,∴∠ACP2=∠BEA=90°,∴∠EAB+∠ABE=90°,∴∠ABE=∠P2AC,在△ACP2和△BEA中,∵,∴△ACP2≌△BEA(ASA),∴AP2=BA===5,而此时P2C=AE=3,∴OP2=11,即t=11;(3)如图3,①当点P位于AC左侧,且AP3=6时,则P3C===2,∴OP3=OC﹣P3C=8﹣2;②当点P位于AC右侧,且P3M=6时,过点P2作P2N⊥P3M于点N,则四边形AP2NM是矩形,∴∠AP2N=90°,∠ACP2=∠P2NP3=90°,AP2=MN=5,∴△ACP2∽△P2NP3,且NP3=1,∴=,即=,∴P2P3=,∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=,∴当8﹣2≤t≤时,点P到线段AB的距离不超过6.20.平面直角坐标系xOy中,点A、B的横坐标分别为a、a+2,二次函数y=﹣x2+(m﹣2)x+2m的图象经过点A、B,且a、m满足2a﹣m=d(d为常数).(1)若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点.①当a=1、d=﹣1时,求k的值;②若y1随x的增大而减小,求d的取值范围;(2)当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时,判断直线AB与x轴的位置关系,并说明理由;(3)点A、B的位置随着a的变化而变化,设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D,线段CD的长度会发生变化吗?如果不变,求出CD的长;如果变化,请说明理由.【解答】解:(1)①当a=1、d=﹣1时,m=2a﹣d=3,所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6.∵a=1,∴点A的横坐标为1,点B的横坐标为3,把x=1代入抛物线的解析式得:y=6,把x=3代入抛物线的解析式得:y=0,∴A(1,6),B(3,0).将点A和点B的坐标代入直线的解析式得:,解得:,所以k的值为﹣3.②∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m=﹣(x﹣m)(x+2),∴当x=a时,y=﹣(a﹣m)(a+2);当x=a+2时,y=﹣(a+2﹣4)(a+4),∵y1随着x的增大而减小,且a<a+2,∴﹣(a﹣m)(a+2)>﹣(a+2﹣m)(a+4),解得:2a﹣m>﹣4,又∵2a﹣m=d,∴d的取值范围为d>﹣4.(2)∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4,2a﹣m=d,∴m=2a+4.∴二次函数的关系式为y=﹣x2+(2a+2)x+4a+8.把x=a代入抛物线的解析式得:y=a2+6a+8.把x=a+2代入抛物线的解析式得:y=a2+6a+8.∴A(a,a2+6a+8)、B(a+2,a2+6a+8).∵点A、点B的纵坐标相同,∴AB∥x轴.(3)线段CD的长度不变.∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m过点A、点B,2a﹣m=d,∴y=﹣x2+(2a﹣d﹣2)x+2(2a﹣d).∴y A=﹣a2+(2﹣d)a﹣2d,y B=a2+(2﹣d)a﹣4d﹣8.∵把a=0代入y A=﹣a2+(2﹣d)a﹣2d,得:y=﹣2d,∴C(0,﹣2d).∵点D在y轴上,即a+2=0,∴a=﹣2,.把a=﹣2代入y B=a2+(2﹣d)a﹣4d﹣8得:y=﹣2d﹣8.∴D(0,﹣2d﹣8).∴DC=|﹣2d﹣(﹣2d﹣8)|=8.∴线段CD的长度不变.21.【操作发现】如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.(1)请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′;(2)在(1)所画图形中,∠AB′B=45°.【问题解决】如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;想法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.…请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)【灵活运用】如图③,在四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示).【解答】解:【操作发现】(1)如图所示,△AB′C′即为所求;(2)连接BB′,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,∴AB=AB′,∠B′AB=90°,∴∠AB′B=45°,故答案为:45°;【问题解决】如图②,∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,∴△APP′是等边三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°,∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,∴∠PP′C=90°,∠P′PC=30°,∴PP′=PC,即AP=PC,∵∠APC=90°,∴AP2+PC2=AC2,即(PC)2+PC2=72,∴PC=2,∴AP=,∴S=AP•PC=7;△APC【灵活运用】如图③中,∵AE⊥BC,BE=EC,∴AB=AC,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,∵∠BAD=∠CAG,∴∠BAC=∠DAG,∵AB=AC,AD=AG,∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,∴△ABC∽△ADG,∵AD=kAB,∴DG=kBC=4k,∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,∴∠ADG+∠ADC=90°,∴∠GDC=90°,∴CG==.∴BD=CG=.22.如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空:b=,c=4;(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;(4)如图②,点N的坐标为(﹣,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.。

2017年江苏省扬州市中考数学试卷压轴题

2017年江苏省扬州市中考数学试卷压轴题

2017年江苏省扬州市中考数学试卷压轴题8.(2017﹒扬州)如图,已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0,2)、B (1,0)、C (2,1),若二次函数y =x 2+bx +1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b 的取值范围是( ) A .b ≤-2 B .b <-2 C .b ≥-2 D .b >-218.(2017﹒扬州)若关于x 的方程-2x +m 2017-x +4020=0存在整数解,则正整数m 的所有取值的和为________.26.(2017﹒扬州)我们规定:三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在△ABC 中,AO 是BC 边上的中线,AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2-BO 2的值,可记为AB △AC =AO 2-BO 2.(1)在图1中,若∠BAC =90°,AB =8,AC =6,AO 是BC 边上的中线,则AB △AC =________,OC △OA =________;(2)如图2,在△ABC 中,AB =AC =4,∠BAC =120°,求AB △AC 、BA △BC 的值;(3)如图3,在△ABC 中,AB =AC ,AO 是BC 边上的中线,点N 在AO 上,且ON =13AO .已知AB △AC =14,BN △BA =10,求△ABC 的面积.27.(2017﹒扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50日销售量p(千克) 600 450 300 150 0(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式;(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用)28.(2017﹒扬州)如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点,连接CP,过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EG、PF相交于点O.(1)若AP=1,则AE=________;(2)①求证:点O一定在△APE的外接圆上;②当点P从点A运动到点B时,点O也随之运动,求点O经过的路径长;(3)在点P从点A到点B的运动过程中,△APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.2017年江苏省扬州市中考数学试卷压轴题参考答案8.(2017﹒扬州)如图,已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0,2)、B (1,0)、C (2,1),若二次函数y =x 2+bx +1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b 的取值范围是( ) A .b ≤-2 B .b <-2 C .b ≥-2 D .b >-2解:抛物线y =x 2+bx +1与y 轴的交点为(0,1) ∵C (2,1),∴对称轴x =-b 2≤1时,二次函数y =x 2+bx +1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,∴b ≥-2, 选C .18.(2017﹒扬州)若关于x 的方程-2x +m 2017-x +4020=0存在整数解,则正整数m 的所有取值的和为________.解:由题意m =2x -40202017-x ,令y =2017-x ,则x =2017-y 2,∴m =2()2017-y 2-4020y =14y-2y ,∵m 是正整数,y ≥0, ∴y =1时,m =12, y =2时,m =3,∴正整数m 的所有取值的和为15.26.(2017﹒扬州)我们规定:三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在△ABC 中,AO 是BC 边上的中线,AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2-BO 2的值,可记为AB △AC =AO 2-BO 2.(1)在图1中,若∠BAC =90°,AB =8,AC =6,AO 是BC 边上的中线,则AB △AC =________,OC △OA =________;(2)如图2,在△ABC 中,AB =AC =4,∠BAC =120°,求AB △AC 、BA △BC 的值;(3)如图3,在△ABC 中,AB =AC ,AO 是BC 边上的中线,点N 在AO 上,且ON =13AO .已知AB △AC =14,BN △BA =10,求△ABC 的面积.解:①∵∠BAC =90°,AB =8,AC =6, ∴BC =10,∵点O 是BC 的中点, ∴OA =OB =OC =12BC =5,∴AB △AC =AO 2-BO 2=25-25=0, ②如图1,取AC 的中点D ,连接OD , ∴CD =12AC =3,∵OA =OC =5, ∴OD ⊥AC ,在Rt △COD 中,OD =OC 2-CD 2=4, ∴OC △OA =OD 2-CD 2=16-9=7, 故答案为0,7;(2)①如图2,取BC 的中点O ,连接AO ,∵AB =AC , ∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°, ∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =4,∠ABC =30°, ∴AO =2,OB =23,∴AB △AC =AO 2-BO 2=4-12=-8, ②取AC 的中点D ,连接BD , ∴AD =CD =12AC =2,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°-∠BAC =60°, ∴∠ABE =30°, ∵AB =4,∴AE =2,BE =23, ∴DE =AD +AE =4,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =BE 2+DE 2=28=27, ∴BA △BC =BD 2-CD 2=24;(3)如图3,设ON =x ,OB =OC =y , ∴BC =2y ,OA =3x , ∵AB △AC =14,∴OA 2-OB 2=14,∴9x 2-y 2=14①,取AN 的中点D ,连接BD ,∴AD =DN =12AN =12×23OA =ON =x ,∴OD =ON +DN =2x ,在Rt △BOD 中,BD 2=OB 2+OD 2=y 2+4x 2,∵BN △BA =10, ∴BD 2-DN 2=10, ∴y 2+4x 2-x 2=10,∴3x 2+y 2=10②联立①②得,⎩⎨⎧x =2y =2或⎩⎨⎧x =-2y =-2(舍),∴BC =4,OA =32, ∴S △ABC =12BC ×AO =62.27.(2017﹒扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表: 销售价格x (元/千克) 30 35 40 45 50 日销售量p (千克)600450300150(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式; (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元(a >0)的相关费用,当40≤x ≤45时,农经公司的日获利的解:(1)假设p 与x 成一次函数关系,设函数关系式为p =kx +b ,则⎩⎨⎧30k +b =60040k +b =300, 解得:k =-30,b =1500, ∴p =-30x +1500,检验:当x =35,p =450;当x =45,p =150;当x =50,p =0,符合一次函数解析式, ∴所求的函数关系为p =-30x +1500;(2)设日销售利润w =p (x -30)=(-30x +1500)(x -30) 即w =-30x 2+2400x -45000,∴当x =-24002×(-30)=40时,w 有最大值3000元,故这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大;(3)日获利w =p (x -30-a )=(-30x +1500)(x -30-a ), 即w =-30x 2+(2400+30a )x -(1500a +45000),对称轴为x =-2400+30a 2×(-30)=40+12a ,①若a >10,则当x =45时,w 有最大值,即w =2250-150a <2430(不合题意); ②若a <10,则当x =40+12a 时,w 有最大值,将x =40+12a 代入,可得w =30⎝⎛⎭⎫14a 2-10a +100,当w =2430时,2430=30⎝⎛⎭⎫14a 2-10a +100,解得a 1=2,a 2=38(舍去),综上所述,a 的值为2.28.(2017﹒扬州)如图,已知正方形ABCD 的边长为4,点P 是AB 边上的一个动点,连接CP ,过点P 作PC 的垂线交AD 于点E ,以 PE 为边作正方形PEFG ,顶点G 在线段PC 上,对角线EG 、PF 相交于点O . (1)若AP =1,则AE =________;(2)①求证:点O 一定在△APE 的外接圆上;②当点P 从点A 运动到点B 时,点O 也随之运动,求点O 经过的路径长;(3)在点P 从点A 到点B 的运动过程中,△APE 的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB 边的距离的最大值.∴∠A =∠B =∠EPG =90°,PF ⊥EG ,AB =BC =4,∠OEP =45°, ∴∠AEP +∠APE =90°,∠BPC +∠APE =90°, ∴∠AEP =∠BPC , ∴△APE ∽△BCP , ∴AE BP =AP BC ,即AE 4-1=14, 解得:AE =34;故答案为:34;(2)①证明:∵PF ⊥EG , ∴∠EOP =90°,∴∠EOP +∠A =180°, ∴A 、P 、O 、E 四点共圆,∴点O 一定在△APE 的外接圆上; ②解:连接OA 、AC ,如图1所示:∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠B =90°,∠BAC =45°, ∴AC =42+42=42, ∵A 、P 、O 、E 四点共圆, ∴∠OAP =∠OEP =45°, ∴点O 在AC 上,当P 运动到点B 时,O 为AC 的中点,OA =12AC =22,即点O 经过的路径长为22;(3)解:设△APE 的外接圆的圆心为M ,作MN ⊥AB 于N ,如图2所示:则MN ∥AE , ∵ME =MP , ∴AN =PN , ∴MN =12AE ,设AP =x ,则BP =4-x , 由(1)得:△APE ∽△BCP , ∴AE BP =AP BC ,即AE 4-x =x 4, 解得:AE =x -14x 2=-14(x -2)2+1,∴x =2时,AE 的最大值为1,此时MN 的值最大=12×1=12,即△APE 的圆心到AB 边的距离的最大值为12.。

2017年武汉市中学考试数学试卷含问题详解解析汇报版

2017年武汉市中学考试数学试卷含问题详解解析汇报版

实用标准文档文案大全2017年武汉市中考数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.计算的结果为()A.6 B.﹣6 C.18 D.﹣182.若代数式在实数范围内有意义,则实数a的取值范围为()A.a=4 B.a>4C.a<4D.a≠43.下列计算的结果是x5的为()A.x10÷x2 B.x6﹣xC.x2?x3 D.(x2)34.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:成绩/m1.51.61.61.71.71.8人数232341则这些运动员成绩的中位数、众数分别为()A.1.65、1.70 B.1.65、1.75 C.1.70、1.75 D.1.70、1.705.计算(x+1)(x+2)的结果为()A.x2+2 B.x2+3x+2 C.x2+3x+3 D.x2+2x+26.点A(﹣3,2)关于y轴对称的点的坐标为()A.(3,﹣2)B.(3,2)C.(﹣3,﹣2)D.(2,﹣3)7.某物体的主视图如图所示,则该物体可能为()A.B.C.D.8.按照一定规律排列的n个数:﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…,若最后三个数的和为768,则n为()实用标准文档文案大全A.9 B.10 C.11 D.129.已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切圆的半径为()A.B.C.D.10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()A.4 B.5 C.6 D.7二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.计算2×3+(﹣4)的结果为12.计算﹣的结果为13.如图,在?ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为14.一个不透明的袋中共有5个小球,分别为2个红球和3个黄球,它们除颜色外完全相同.随机摸出两个小球,摸出两个颜色相同的小球的概率为15.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D、E都在边BC 上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为16.已知关于x的二次函数y=ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是三、解答题(共8题,共72分)实用标准文档文案大全17.(8分)解方程:4x﹣3=2(x﹣1)18.(8分)如图,点C、F、E、B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE,写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论.19.(8分)某公司共有A、B、C三个部门,根据每个部门的员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图各部门人数及每人所创年利润统计表员工每人所创的年利万元A510B b8C c5(1)①在扇形图中,C部门所对应的圆心角的度数为②在统计表中,b=,c=(2)求这个公司平均每人所创年利润.20.(8分)某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工,计划购买甲、乙两种奖品共20件.其中甲种奖品每件40元,乙种奖品每件30元(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元,求甲、乙两种奖品各购买了多少件?(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍,总花费不超过680元,求该公司有哪几种不同的购买方案?实用标准文档文案大全21.(8分)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB 于点D(1)求证:AO平分∠BAC;(2)若BC=6,sin∠BAC=,求AC和CD的长.22.(10分)如图,直线y=2x+4与反比例函数y=的图象相交于A(﹣3,a)和B两点(1)求k的值;(2)直线y=m(m>0)与直线AB相交于点M,与反比例函数的图象相交于点N.若MN=4,求m的值;(3)直接写出不等式>x的解23.(10分)已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,求证:ED?EA=EC?EB;(2)如图2,若∠ABC=120°,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积;(3)如图3,另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC=cos ∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示)实用标准文档文案大全24.(12分)已知点A(﹣1,1)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx上(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点F的坐标为(0,m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证:FH∥AE;(3)如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点.点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度;同时点Q从原点O出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度.点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,QM=2PM,直接写出t的值.实用标准文档文案大全2017年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.(3分)(2017?武汉)计算的结果为()A.6B.﹣6 C.18 D.﹣18解:=6.故选:A.2.(3分)(2017?武汉)若代数式在实数范围内有意义,则实数a的取值范围为()A.a=4 B.a>4C.a<4D.a≠4解:依题意得:a﹣4≠0,解得a≠4.故选:D.3.(3分)(2017?武汉)下列计算的结果是x5的为()A.x10÷x2 B.x6﹣x C.x2?x3 D.(x2)3解:A、x10÷x2=x8.B、x6﹣x=x6﹣x.C、x2?x3=x5.D、(x2)3=x64.(3分)(2017?武汉)在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:成绩/m1.501.601.651.701.751.80人数232341则这些运动员成绩的中位数、众数分别为()A.1.65、1.70 B.1.65、1.75 C.1.70、1.75 D.1.70、1.70解:共15名学生,中位数落在第8名学生处,第8名学生的跳高成绩为1.70m,故中位数为1.70;跳高成绩为1.75m的人数最多,故跳高成绩的众数为1.75;故选C.实用标准文档文案大全5.(3分)(2017?武汉)计算(x+1)(x+2)的结果为()A.x2+2 B.x2+3x+2 C.x2+3x+3 D.x2+2x+2解:原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2,故选B6.(3分)(2017?武汉)点A(﹣3,2)关于y轴对称的点的坐标为()A.(3,﹣2)B.(3,2)C.(﹣3,﹣2)D.(2,﹣3)解:A(﹣3,2)关于y轴对称的点的坐标为(3,2),故选:B.7.(3分)(2017?武汉)某物体的主视图如图所示,则该物体可能为()A.B.C.D.解:A、球的主视图为圆,符合题意;B、圆锥的主视图为矩形,不符合题意;C、六棱柱与六棱锥的组合体的主视图为矩形和三角形的结合图,不符合题意;D、五棱柱的主视图为矩形,不符合题意,故选:A.8.(3分)(2017?武汉)按照一定规律排列的n个数:﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…,若最后三个数的和为768,则n为()A.9B.10 C.11 D.12解:由题意,得第n个数为(﹣2)n,那么(﹣2)n﹣2+(﹣2)n﹣1+(﹣2)n=768,当n为偶数:整理得出:3×2n﹣2=768,解得:n=10;当n为奇数:整理得出:﹣3×2n﹣2=768,则求不出整数,故选B.为(﹣2)n是解9.(3分)(2017?武汉)已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切圆实用标准文档文案大全的半径为()A.B.C.D.解:如图,AB=7,BC=5,AC=8,内切圆的半径为r,切点为D、E、F,作AD⊥BC于D,设BD=x,则CD=5﹣x.由勾股定理可知:AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,即72﹣x2=82﹣(5﹣x)2,解得x=1,∴AD=4,∵?BC?AD=(AB+BC+AC)?r,×5×4=×20×r,∴r=,故选C10.(3分)(2017?武汉)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()A.4 B.5 C.6 D.7解:如图:实用标准文档文案大全故选D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.(3分)(2017?武汉)计算2×3+(﹣4)的结果为2解:原式=6﹣4=2,故答案为:212.(3分)(2017?武汉)计算﹣的结果为解:原式=,故答案为:13.(3分)(2017?武汉)如图,在?ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为30°解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D=100°,AB∥CD,∴∠BAD=180°﹣∠D=80°,∵AE平分∠DAB,∴∠BAE=80°÷2=40°,实用标准文档文案大全∵AE=AB,∴∠ABE=(180°﹣40°)÷2=70°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°;故答案为:30°14.(3分)(2017?武汉)一个不透明的袋中共有5个小球,分别为2个红球和3个黄球,它们除颜色外完全相同.随机摸出两个小球,摸出两个颜色相同的小球的概率为解:画树状图如下:由树状图可知,共有20种等可能结果,其中取出的小球颜色相同的有8种结果,∴两次取出的小球颜色相同的概率为=,故答案为:15.(3分)(2017?武汉)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为3﹣3解:将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,连接EF,过点E作EM ⊥CF于点M,过点A作AN⊥BC于点N,如图所示.∵AB=AC=2,∠BAC=120°,∴BN=CN,∠B=∠ACB=30°在Rt△BAN中,∠B=30°,AB=2,∴AN=AB=,BN==3,∴BC=6.∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,∴∠BAD+∠CAE=60°,实用标准文档文案大全∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°在△ADE和△AFE中,,∴△ADE≌△AFE(SAS),∴DE=FE.∵BD=2CE,BD=CF,∠ACF=∠B=30°,∴设CE=2x,则CM=x,EM=x,FM=4x﹣x=3x,EF=ED=6﹣6x..在Rt△EFM中,FE=6﹣6x,FM=3x,EM=x,∴EF2=FM2+EM2,即(6﹣6x)2=(3x)2+(x)2,解得:x1=,x2=(不合题意,舍去),∴DE=6﹣6x=3﹣3.故答案为:3﹣3.16.(3分)(2017?武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是<a<或﹣3<a<﹣2解:∵y=ax2+(a2﹣1)x﹣a=(ax﹣1)(x+a),∴当y=0时,x1=,x2=﹣a,∴抛物线与x轴的交点为(,0)和(﹣a,0).∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(m,0)且2<m<3,∴当a>0时,2<<3,解得<a<;当a<0时,2<﹣a<3,解得﹣3<a<﹣2.故答案为:<a<或﹣3<a<﹣2.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)(2017?武汉)解方程:4x﹣3=2(x﹣1)实用标准文档文案大全解:4x﹣3=2(x﹣1)4x﹣3=2x﹣24x﹣2x=﹣2+32x=1x=18.(8分)(2017?武汉)如图,点C、F、E、B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE,写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论.解:CD∥AB,CD=AB,理由是:∵CE=BF,∴CE﹣EF=BF﹣EF,∴CF=BE,在△AEB和△CFD中,,∴△AEB≌△CFD(SAS),∴CD=AB,∠C=∠B,∴CD∥AB.19.(8分)(2017?武汉)某公司共有A、B、C三个部门,根据每个部门的员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图各部门人数及每人所创年利润统计表部门员工人数每人所创的年利润/万元A510B b8C c5(1)①在扇形图中,C部门所对应的圆心角的度数为108°实用标准文档文案大全②在统计表中,b=9,c=6(2)求这个公司平均每人所创年利润.(1)①在扇形图中,C部门所对应的圆心角的度数为:360°×30%=108°;解:②A部门的员工人数所占的百分比为:1﹣30%﹣45%=25%,各部门的员工总人数为:5÷25%=20(人),∴b=20×45%=9,c=20×30%=6,故答案为:108°,9,6;(2)这个公司平均每人所创年利润为:=7.6(万元).20.(8分)(2017?武汉)某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工,计划购买甲、乙两种奖品共20件.其中甲种奖品每件40元,乙种奖品每件30元(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元,求甲、乙两种奖品各购买了多少件?(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍,总花费不超过680元,求该公司有哪几种不同的购买方案?解:(1)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(20﹣x)件,根据题意得40x+30(20﹣x)=650,解得x=5,则20﹣x=15,答:甲种奖品购买了5件,乙种奖品购买了15件;(2)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(20﹣x)件,根据题意得,解得≤x≤8,∵x为整数,∴x=7或x=8,实用标准文档文案大全当x=7时,20﹣x=13;当x=8时,20﹣x=12;答:该公司有2种不同的购买方案:甲种奖品购买了:7件,乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件,乙种奖品购买了12件.21.(8分)(2017?武汉)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D(1)求证:AO平分∠BAC;(2)若BC=6,sin∠BAC=,求AC和CD的长.(1)证明:延长AO交BC于H,连接BO,如图1所示:∵AB=AC,OB=OC,∴A、O在线段BC的垂直平分线上,∴AO⊥BC,又∵AB=AC,∴AO平分∠BAC;(2)解:延长CD交⊙O于E,连接BE,如图2所示:则CE是⊙O的直径,∴∠EBC=90°,BC⊥BE,∵∠E=∠BAC,∴sinE=sin∠BAC,∴=,∴CE=BC=10,∴BE==8,OA=OE=CE=5,∵AH⊥BC,实用标准文档文案大全∴BE∥OA,∴=,解得:OD=,∴CD=5+=,∵BE∥OA,即BE∥OH,OC=OE,∴OH是△CEB的中位线,∴OH=BE=4,CH=BC=3,∴AH=5+4=9,在Rt△ACH中,AC===322.(10分)(2017?武汉)如图,直线y=2x+4与反比例函数y=的图象相交于A(﹣3,a)和B两点(1)求k的值;(2)直线y=m(m>0)与直线AB相交于点M,与反比例函数的图象相交于点N.若MN=4,求m的值;(3)直接写出不等式>x的解集.实用标准文档文案大全(1)∵点A(﹣3,a)在y=2x+4与y=的图象上,∴2×(﹣3)+4=a,∴a=﹣2,∴k=(﹣3)×(﹣2)=6;(2)∵M在直线AB上,∴M(,m),N在反比例函数y=上,∴N(,m),∴MN=x N﹣x m=﹣=4或x M﹣x N=﹣=4,解得:∵m>0,∴m=2或m=6+4;(3)x<﹣1或x5<x<6,由>x得:﹣x>0,∴>0,∴<0,∴><或>,结合抛物线y=x2﹣5x﹣6的图象可知,由><得<或><,实用标准文档文案大全∴<<或<,∴此时x<﹣1,由<>得,<>,∴<<>,解得:5<x<6,综上,原不等式的解集是:x<﹣1或5<x<6.23.(10分)(2017?武汉)已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,求证:ED?EA=EC?EB;(2)如图2,若∠ABC=120°,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积;(3)如图3,另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC=cos ∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示)实用标准文档文案大全解:(1)如图1中,∵∠ADC=90°,∠EDC+∠ADC=180°,∴∠EDC=90°,∵∠ABC=90°,∴∠EDC=∠ABC,∵∠E=∠E,∴△EDC∽△EBA,∴=,∴ED?EA=EC?EB.(2)如图2中,过C作CF⊥AD于F,AG⊥EB于G.在Rt△CDF中,cos∠ADC=,∴=,∵CD=5,∴DF=3,∴CF==4,实用标准文档文案大全∵S△CDE=6,∴?ED?CF=6,∴ED==3,EF=ED+DF=6,∵∠ABC=120°,∠G=90°,∠G+∠BAG=∠ABC,∴∠BAG=30°,∴在Rt△ABG中,BG=AB=6,AG==6,∵CF⊥AD,AG⊥EB,∴∠EFC=∠G=90°,∵∠E=∠E,∴△EFC∽△EGA,∴=,∴=,∴EG=9,∴BE=EG﹣BG=9﹣6,∴S四边形ABCD=S△ABE﹣S△CDE=(9﹣6)×6﹣6=75﹣18(3)如图3中,作CH⊥AD于H,则CH=4,DH=3,∴tan∠E=,作AG⊥DF于点G,设AD=5a,则DG=3a,AG=4a,∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a,∵CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F,易证△AFG∽△CEH,∴=,实用标准文档文案大全∴=,∴a=,∴AD=5a=24.(12分)(2017?武汉)已知点A(﹣1,1)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx 上(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点F的坐标为(0,m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证:FH∥AE;(3)如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点.点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度;同时点Q从原点O出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度.点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,QM=2PM,直接写出t的值.解:(1)将点A(﹣1,1)、B(4,6)代入y=ax2+bx中,,解,∴抛物线的解析式为x2﹣x.(2)证明:设直线AF的解析式为y=kx+m,将点A(﹣1,1)代入y=kx+m中,即﹣k+m=1,∴k=m﹣1,实用标准文档文案大全∴直线AF的解析式为y=(m﹣1)x+m.联立直线AF和抛物线解析式成方程组,,解得:,,∴点G的坐标为(2m,2m2﹣m).∵GH⊥x轴,∴点H的坐标为(2m,0).∵抛物线的解析式为x x=x(x﹣1),∴点E的坐标为(1,0).设直线AE的解析式为y=k1x+b1,将A(﹣1,1)、E(1,0)代入y=k1x+b1中,,解得:,∴直线AE的解析式为y x+设直线FH的解析式为y=k2x+b2,将F(0,m)、H(2m,0)代入y=k2x+b2中,,解得,∴直线FH的解析式为y=﹣x+m.∴FH∥AE.(3)设直线AB的解析式为y=k0x+b0,将A(﹣1,1)、B(4,6)代入y=k0x+b0中,,解得:,∴直线AB的解析式为y=x+2.当运动时间为t秒时,点P的坐标为(t﹣2,t),点Q的坐标为(t,0).当点M在线段PQ上时,过点P作PP′⊥x轴于点P′,过点M作MM′⊥x轴于点M′,则△PQP′∽△MQM′,如图2所示.实用标准文档文案大全∵QM=2PM,∴=,∴QM′=,MM′=t,∴点M的坐标为(,t).又∵点M在抛物线x2﹣x上,∴t=×()(),解得:t=;当点M在线段QP的延长线上时,同理可得出点M的坐标为(t﹣4,2t),∵点M在抛物线x2﹣x上,∴2t=×(t﹣4)(t﹣4),解得:t=综上所述:当运动时间为秒、秒、秒或秒时,QM=2PM.。

2017中考数学压轴题及答案精选

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A O C
Bx
y = a(x + 1) ( x − 3) ( a ≠ 0 ),

把 C(0, ∴C1:
1 3 a= 2 2 )代入可得 1 2 3 x −x− 2 2
…………………………………………………………4 分
y=
1 2 3 n −n− 2) 设 P( n , 2
∴ △ PBC 3 3 2 27 − (n − ) + 4 2 16 = S = S △ POC + S △ BOP – S △ BOC
…………………………………6 分 3 3 27 a=− n= 16 4 2 ∵ <0, ∴当 时, S△PBC 最大值为 . ……………………………………7 分 (3)由 C2 可知: B(3,0),D(0, −3m ),M(1, − 4m )
2 2 2 BD2= 9m + 9 , BM2= 16m + 4 ,DM2= m + 1 ,
图 12
3 1 5 y = x2 − x + 4 4 2 (2)sin ∠ ACB= 5 ,
--------------4 分
P
N
90° , (3)证明:因为 D 为圆心,A 在圆周上,DA=r=5,故只需证明 ∠DAF =
9 25 9 2 15 9 2 (5, − ) DF = 4 + = , AF = 3 + ( ) = 4 4 4 4 , 4 , 抛物线顶点坐标:F
1
∵2.25<4, ∴x 轴下方不存在 B 点, ∴点 B 的坐标为:(4,4); ③∵点 B 的坐标为:(4,4), ∴∠BOD=45°,BO= =4 ,
当∠POB=90°, ∴∠POD=45°, 设 P 点横坐标为:﹣x,则纵坐标为:x2﹣3x, 即﹣x=x2﹣3x, 解得 x=2 或 x=0, ∴在抛物线上仅存在一点 P (2,﹣2). ∴OP= =2 ,

2017年河北中考压轴题数学含答案

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2017年河北中考压轴题【17·河北·25·11分】平面内,如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,tan A=,点P为AD边上任意点,连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;(2)当tan∠ABP:tan A=3:2时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号);(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π)【解答】解:(1)如图1中,①当点Q在平行四边形ABCD内时,∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°,②当点Q在平行四边形ABCD外时,∠APB=180°﹣(∠QPB﹣∠QPD)=180°﹣(90°﹣10°)=100°,综上所述,当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°.(2)如图2中,连接BQ,作PE⊥AB于E.∵tan∠ABP:tan A=3:2,tan A=,∴tan∠ABP=2,在Rt△APE中,tan A==,设PE=4k,则AE=3k,在Rt△PBE中,tan∠ABP==2,∴EB=2k,∴AB=5k=10,∴k=2,∴PE=8,EB=4,∴PB==4,∵△BPQ是等腰直角三角形,∴BQ=PB=4.(3)①如图3中,当点Q落在直线BC上时,作BE⊥AD于E,PF⊥BC于F.则四边形BEPF是矩形.在Rt△AEB中,∵tan A==,∵AB=10,∴BE=8,AE=6,∴PF=BE=8,∵△BPQ是等腰直角三角形,PF⊥BQ,∴PF=BF=FQ=8,∴PB=PQ=8,∴PB旋转到PQ所扫过的面积==32π.②如图4中,当点Q落在CD上时,作BE⊥AD于E,QF⊥AD交AD的延长线于F.设PE=x.易证△PBE≌△QPF,∴PE=QF=x,EB=PF=8,∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1,∵CD∥AB,∴∠FDQ=∠A,∴tan∠FDQ=tan A==,∴=,∴x=4,∴PE=4,=4,在Rt△PEB中,PB==4,∴PB旋转到PQ所扫过的面积==20π③如图5中,当点Q落在AD上时,易知PB=PQ=8,∴PB旋转到PQ所扫过的面积==16π,综上所述,PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.。

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2017年宜昌市近五届中考数学几何压轴题(23题)汇编及答案(本题一般3小问,共11分)上传校勘:柯老师【2012/23】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E为底AD上一点,将△ABE沿直线BE折叠,点A落在梯形对角线BD上的G处,EG的延长线交直线BC于点F.(1)点E可以是AD的中点吗?为什么?(2)求证:△ABG∽△BFE;(3)设AD=a,AB=b,BC=c①当四边形EFCD为平行四边形时,求a,b,c应满足的关系;②在①的条件下,当b=2时,a的值是唯一的,求∠C的度数.【2013/23】半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线L的同侧,⊙O与L相切于点F,DC在L上.(1)过点B作⊙O的一条切线BE,E为切点.①填空:如图1,当点A在⊙O上时,∠EBA的度数是;②如图2,当E,A,D三点在同一直线上时,求线段OA的长;(2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置....,向左移动正方形(图3),至边BC与OF 重合时结束移动,M,N分别是边BC,AD与⊙O的公共点,求扇形MON的面积的范围.【2014/23】在矩形ABCD中,=a,点G,H分别在边AB,DC上,且HA=HG,点E为AB边上的一个动点,连接HE,把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE.(1)如图1,当DH=DA时,①填空:∠HGA= 度;②若EF∥HG,求∠AHE的度数,并求此时a的最小值;(2)如图3,∠AEH=60°,EG=2BG,连接FG,交边FG,交边DC于点P,且FG⊥AB,G为垂足,求a 的值.【2015/23】如图四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点E,F是边BA延长线上一点,连接EF,以EF为直径作⊙O,交边DC于D,G两点,AD分别与EF,GF交于I,H两点。

(1)求∠FDE的度数;(2)试判断四边形FACD的形状,并证明你的结论;(3)当G为线段DC的中点时,①求证:FD=FI;②设AC=2m,BD=2n,求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比。

2017年中考数学精选压轴题(华东师大版)

2017年中考数学精选压轴题(华东师大版)

“蓬溪县群力乡小学校-杨天强”2017年中考数学精选压轴题一、函数与几何综合的压轴题1.(2004安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB 、CD 都垂直于x 轴,垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知:A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证:E 点在y 轴上;(2) 如果有一抛物线经过A ,E ,C 三点,求此抛物线方程.(3) 如果AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位,此时AD 与BC 相交于E ′点,如图②,求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.[解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ''''==又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC''+= ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=,∴2316EO DO DB AB ''=⨯=⨯= ∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上方法二:由D (1,0),A (-2,-6),得DA 直线方程:y =2x -2① 再由B (-2,0),C (1,-3),得BC 直线方程:y =-x -2 ②图①图②“蓬溪县群力乡小学校-杨天强”联立①②得02x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标(0,-2),即E 点在y 轴上(2)设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A (-2,-6),C (1,-3)E (0,-2)三点,得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2(3)(本小题给出三种方法,供参考)由(1)当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

2017中考数学压轴题及答案40例(3)

2017中考数学压轴题及答案40例(3)

2017中考数学压轴题及答案40例(3)28.如图,Rt △ABC 的顶点坐标分别为A (0,3),B (-21,23),C (1,0),∠ABC =90°,BC 与y 轴的交点为D ,D 点坐标为(0,33),以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B .(1)求该抛物线的解析式;(2)将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′,求证:四边形AOCB ′是矩形,并判断点B ′是否在(1)的抛物线上;(3)延长BA 交抛物线于点E ,在线段BE 上取一点P ,过P 点作x 轴的垂线,交抛物线于点F ,是否存在这样的点P ,使四边形PADF 是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由. 解:(1)∵抛物线的顶点为D (0,33) ∴可设抛物线的解析式为y =ax 2+33. ··········································· 1分 ∵B (-21,23)在抛物线上∴a (-21)2+33=23,∴a =332. ····················· 3分 ∴抛物线的解析式为y =332x 2+33. ···················· 5分(2)∵B (-21,23),C (1,0)∴BC =2223121)+()-(-=3 又B ′C =BC ,OA =3,∴B ′C =OA . ·················································· 6分∵AC =22OC OA +=2213+)(=2 ∴AB =22BC AC -=2232)-(=1又AB ′=AB ,OC =1,∴AB ′=OC . ····················································· 7分 ∴四边形AOCB ′是矩形. ···································································· 8分 ∵B ′C =3,OC =1∴点B ′ 的坐标为(1,3) ······························································ 9分 将x =1代入y =332x 2+33得y =3∴点B ′ 在抛物线上. ······································································· 10分(3)存在 ································································································· 11分理由如下:设直线AB 的解析式为y =kx +b ,则⎪⎩⎪⎨⎧32321 ==+-b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧33 ==b k ∴直线AB 的解析式为y =33+x ··················································· 12分 ∵P 、F 分别在直线AB 和抛物线上,且PF ∥AD∴设P (m ,33+m ),F (m ,332m 2+33)∴PF =(33+m )-(332m 2+33)=-332m 2+m 3+332AD =333-=332 若四边形PADF 是平行四边形,则有PF =AD . 即-332m 2+m 3+332=332 解得m 1=0(不合题意,舍去),m 2=23. ····································· 13分当m =23时,33+m =3×23+3=235.∴存在点P (23,235),使四边形PADF 是平行四边形. ·············· 14分29.如图1,平移抛物线F 1:y =x 2后得到抛物线F 2.已知抛物线F 2经过抛物线F 1的顶点M 和点A (2,0),且对称轴与抛物线F 1交于点B ,设抛物线F 2的顶点为N . (1)探究四边形ABMN 的形状及面积(直接写出结论);(2)若将已知条件中的“抛物线F 1:y =x 2”改为“抛物线F 1:y =ax 2”(如图2),“点A (2,0)”改为“点A (m ,0)”,其它条件不变,探究四边形ABMN 的形状及其面积,并说明理由;(3)若将已知条件中的“抛物线F 1:y =x 2”改为“抛物线F 1:y =ax 2+c ”(如图3),“点A (2,0)”改为“点A (m ,c )”其它条件不变,求直线AB 与y 轴的交点C 的坐标(直接写出结论).解:(1)四边形ABMN 是正方形,其面积为2. ···················································· 1分(2)四边形ABMN 是菱形.当m >0时,四边形ABMN 的面积为43am ;当m <0时,四边形ABMN 的面积为-43am . ·················································· 2分 (说明:如果没有说理过程,探究的结论正确的得2分)理由如下:∵平移抛物线F 1后得到抛物线F 2,且抛物线F 2经过原点O . ∴设抛物线F 2的解析式为y =ax 2+bx .∵抛物线F 2经过点A (m ,0),∴am 2+bm =0. 由题意可知m ≠0,∴b =-am .∴抛物线F 2的解析式为y =ax 2-amx . ·············································· 3分∴y =a (x -2m )2-42am∴抛物线F 2的对称轴为直线x =2m ,顶点N (2m,-42am ). ········· 4分∵抛物线F 2的对称轴与抛物线F 1的交点为B ,∴点B 的横坐标为2m. ∵点B 在抛物线F 1:y =ax 2上∴y B =a (2m )2=42am ·········································································· 5分设抛物线F 2的对称轴与x 轴交于点P ,如图1.∵a >0,∴BP =42am .∵顶点N (2m,-42am ),∴NP =|-42am |=42am .∴BP =NP . ···························································· 6分 ∵抛物线是轴对称图形,∴OP =AP .∴四边形ABMN 是平行四边形. ····························· 7分 ∵BN 是抛物线F 2的对称轴,∴BN ⊥OA .∴四边形ABMN 是菱形. ··································································· 8分∵BN =BP +NP ,∴BN =22am .∵四边形ABMN 的面积为21×OA ·BN =21×|m |×22am∴当m >0时,四边形ABMN 的面积为21×m ×22am =43am . ·········· 9分 当m <0时,四边形ABMN 的面积为21×(-m )×22am =-43am . · 10分 (3)点C 的坐标为(0,22am +c )(参考图2).30.如图,抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B . (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上求点M ,使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍;(3)连结OA ,AB ,在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ,使△OBN 与△OAB 相似?若存在,求出N 点的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由题意,可设抛物线的解析式为y =a (x -2)2+1.∵抛物线经过原点,∴a (0-2)2+1=0,∴a =-41.∴抛物线的解析式为y =-41(x -2)2+1=-41x 2+x . ······················ 3分(2)△AOB 和所求△MOB 同底不等高,若S △MOB =3S △AOB ,则△MOB 的高是△AOB 高的3倍,即M 点的纵坐标是-3. ···································································· 5分∴-41x 2+x =-3,整理得x 2-4x -12=0,解得x 1=6,x 2=-2.∴满足条件的点有两个:M 1(6,-3),M 2(-2,-3) ·························· 7分 (3)不存在. ···························································································· 8分理由如下:由抛物线的对称性,知AO =AB ,∠AOB =∠ABO . 若△OBN ∽△OAB ,则∠BON =∠BOA =∠BNO . 设ON 交抛物线的对称轴于A ′ 点,则A ′ (2,-1).∴直线ON 的解析式为y =-21x .由21x =-41x 2+x ,得x 1=0,x 2=6. ∴N (6,-3).过点N 作NC ⊥x 轴于C .在Rt △BCN 中,BC =6-4=2,NC =3 ∴NB =2232+=13.∵OB =4,∴NB ≠OB ,∴∠BON ≠∠BNO ,∴△OBN 与△OAB 不相似. 同理,在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点.∴在x 轴下方的抛物线上不存在点N ,使△OBN 与△OAB 相似. ······ 10分31.如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB .(1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由.(1)如图1,过点B 作BM ⊥x 轴于M .由旋转性质知OB =OA =2.∵∠AOB =120°,∴∠BOM =60°.∴OM =OB ·cos60°=2×21=1,BM =OB ·sin60°=2×23=3.∴点B 的坐标为(1,3). ······································ 1分 (2)设经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ∵抛物线过原点,∴c =0.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-3024b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33233b a ∴所求抛物线的解析式为y =33x 2+332x . ·································· 3分 (3)存在. ······························································································ 4分如图2,连接AB ,交抛物线的对称轴于点C ,连接OC .∵OB 的长为定值,∴要使△BOC 的周长最小,必须BC +OC 的长最小. ∵点A 与点O 关于抛物线的对称轴对称,∴OC =AC . ∴BC +OC =BC +AC =AB .由“两点之间,线段最短”的原理可知:此时BC +OC 最小,点C 的位置即为所求.设直线AB 的解析式为y =kx +m ,将A (-2,0),B (1,3)代入,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-302m k m k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33233m k∴直线AB 的解析式为y =33x +332. 抛物线的对称轴为直线x =332332⨯-=-1,即x =-1.将x =-1代入直线AB 的解析式,得y =33×(-1)+332=33. ∴点C 的坐标为(-1,33). ·························································· 6分 (4)△PAB 有最大面积. ········································································· 7分如图3,过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D . ∵S △PAB =S △PAD +S △PBD=21(y D -y P )(x B -x A ) =21[(33x +332)-(33x 2+332x )](1+2) =-23x 2-23x +3 =-23(x +21)2+839 ∴当x =-21时,△PAB 的面积有最大值,最大值为839.·············· 8分此时y P =33×(-21)2+332×(-21)=-43. ∴此时P 点的坐标为(-21,-43). ··············································· 9分。

2017年江苏省13市中考数学难题真题压轴题1

2017年江苏省13市中考数学难题真题压轴题1

2017年江苏省13市中考数学难题真题压轴题1一.选择题(共4小题)1.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()A.2 B.C.D.2.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=8,F是AB的中点.过点F作FE⊥AD,垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移,得到△A'E'F'.设P、P'分别是EF、E'F'的中点,当点A'与点B重合时,四边形PP'CD的面积为()A.28B.24C.32D.32﹣83.如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()A.5 B.10C.10D.154.如图,将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()A.B.C.D.5.如图,已知矩形ABCD中,AB=3,AD=2,分别以边AD,BC为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O1和半圆O2,一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F,且EF=2(EF与AB在圆心O1和O2的同侧),则由,EF,,AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于.6.在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D 都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于.7.如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC 的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB'、CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则=(结果保留根号).8.如图,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,如此下去,则线段OA n的长度为.9.如图,四边形OABC是平行四边形,点C在x轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(5,12),且与边BC交于点D.若AB=BD,则点D的坐标为.10.如图,曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的,过点A(﹣4,4),B(2,2)的直线与曲线l相交于点M、N,则△OMN的面积为.11.已知函数y=﹣x2+(m﹣1)x+m(m为常数).(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是.A.0B.1C.2D.1或2(2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上.(3)当﹣2≤m≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.12.折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(图①),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图②).第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC.(1)说明△PBC是等边三角形.【数学思考】(2)如图④,小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程.(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为a cm,对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.13.操作:“如图1,P是平面直角坐标系中一点(x轴上的点除外),过点P作PC⊥x轴于点C,点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换.(1)点P(a,b)经过T变换后得到的点Q的坐标为;若点M经过T 变换后得到点N(6,﹣),则点M的坐标为.(2)A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点,经过T变换后得到点B.①求经过点O,点B的直线的函数表达式;②如图2,直线AB交y轴于点D,求△OAB的面积与△OAD的面积之比.14.如图,以原点O为圆心,3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点(点B在点A的右边),P是半径OB上一点,过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C,D两点(点C在点D的上方),直线AC,DB交于点E.若AC:CE=1:2.(1)求点P的坐标;(2)求过点A和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.15.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动,连接CP,作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t(s).(1)若m=6,求当P,E,B三点在同一直线上时对应的t的值.(2)已知m满足:在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,求所有这样的m的取值范围.16.某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练.机器人从点A 出发,在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动,到达点D时停止移动.已知机器人的速度为1个单位长度/s,移动至拐角处调整方向需要1s(即在B、C处拐弯时分别用时1s).设机器人所用时间为t(s)时,其所在位置用点P 表示,P到对角线BD的距离(即垂线段PQ的长)为d个单位长度,其中d与t的函数图象如图②所示.(1)求AB、BC的长;(2)如图②,点M、N分别在线段EF、GH上,线段MN平行于横轴,M、N的横坐标分别为t1、t2.设机器人用了t1(s)到达点P1处,用了t2(s)到达点P2处(见图①).若CP1+CP2=7,求t1、t2的值.17.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D在⊙O上,OD∥BC,过点D 作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.(1)求证:△DOE∽△ABC;(2)求证:∠ODF=∠BDE;(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若=,求sinA的值.18.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E 是抛物线的顶点.(1)求b、c的值;(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE 上,求点F的坐标;(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.19.如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠,展平后,得折痕AD、BE(如图①),点O为其交点.(1)探求AO与OD的数量关系,并说明理由;(2)如图②,若P,N分别为BE,BC上的动点.①当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度;②如图③,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值=.20.如图,已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,⊙C的半径为,P为⊙C上一动点.(1)点B,C的坐标分别为B(),C();(2)是否存在点P,使得△PBC为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接PB,若E为PB的中点,连接OE,则OE的最大值=.21.如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD、BE、BC于点P、O、Q,连接BP、EQ.(1)求证:四边形BPEQ是菱形;(2)若AB=6,F为AB的中点,OF+OB=9,求PQ的长.22.我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.(1)等边三角形“內似线”的条数为;(2)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求证:BD是△ABC 的“內似线”;(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在边AC、BC上,且EF 是△ABC的“內似线”,求EF的长.23.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D.(1)若∠AOB=60°,AB∥x轴,AB=2,求a的值;(2)若∠AOB=90°,点A的横坐标为﹣4,AC=4BC,求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证:DE=CO.24.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y 轴上,⊙F与y轴相交于另一点G.(1)求证:BC是⊙F的切线;(2)若点A、D的坐标分别为A(0,﹣1),D(2,0),求⊙F的半径;(3)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.25.【探索发现】如图①,是一张直角三角形纸片,∠B=90°,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.【拓展应用】如图②,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别(用在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为.含a,h的代数式表示)【灵活应用】如图③,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.【实际应用】如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC 上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.26.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点,①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求的最大值;②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.2017年江苏省13市中考数学难题真题压轴题1参考答案与试题解析一.选择题(共4小题)1.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()A.2 B.C.D.【解答】解:如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,∴BC==5,∵CD=DB,∴AD=DC=DB=,∵•BC•AH=•AB•AC,∴AH=,∵AE=AB,∴点A在BE的垂直平分线上.∵DE=DB=DC,∴点D在BE使得垂直平分线上,△BCE是直角三角形,∴AD垂直平分线段BE,∵•AD•BO=•BD•AH,∴OB=,∴BE=2OB=,在Rt△BCE中,EC===,故选D.2.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=8,F是AB的中点.过点F作FE⊥AD,垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移,得到△A'E'F'.设P、P'分别是EF、E'F'的中点,当点A'与点B重合时,四边形PP'CD的面积为()A.28B.24C.32D.32﹣8【解答】解:如图,连接BD,DF,DF交PP′于H.由题意PP′=AA′=AB=CD,PP′∥AA′∥CD,∴四边形PP′CD是平行四边形,∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∵AF=FB,∴DF⊥AB,DF⊥PP′,在Rt△AEF中,∵∠AEF=90°,∠A=60°,AF=4,∴AE=2,EF=2,∴PE=PF=,在Rt△PHF中,∵∠FPH=30°,PF=,∴HF=PF=,∵DF=4,∴DH=4﹣=,∴平行四边形PP′CD的面积=×8=28.故选A.3.如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()A.5 B.10C.10D.15【解答】解:作点E关于BC的对称点E′,连接E′G交BC于点F,此时四边形EFGH 周长取最小值,过点G作GG′⊥AB于点G′,如图所示.∵AE=CG,BE=BE′,∴E′G′=AB=10,∵GG′=AD=5,∴E′G==5,∴C=2E′G=10.四边形EFGH故选B.4.如图,将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()A.B.C.D.【解答】解:∵函数y=(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=(1﹣2)2+1=1,n=(4﹣2)2+1=3,∴A(1,1),B(4,3),过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C(4,1),∴AC=4﹣1=3,∵曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),∴AC•AA′=3AA′=9,∴AA′=3,即将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象,∴新图象的函数表达式是y=(x﹣2)2+4.故选D.二.填空题(共6小题)5.如图,已知矩形ABCD中,AB=3,AD=2,分别以边AD,BC为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O1和半圆O2,一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F,且EF=2(EF与AB在圆心O1和O2的同侧),则由,EF,,AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于3﹣﹣.【解答】解:连接O1O2,O1E,O2F,则四边形O1O2FE是等腰梯形,过E作EG⊥O1O2,过FH⊥O1O2,∴四边形EGHF是矩形,∴GH=EF=2,∴O1G=,∵O1E=1,∴GE=,∴=;∴∠AO1E=30°,同理∠BO2F=30°,∴阴影部分的面积=S﹣2S﹣S=3×1﹣2×﹣(2+3)×=3﹣﹣.故答案为:3﹣﹣.6.在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D 都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于3.【解答】解:方法一:平移CD到C′D′交AB于O′,如右图所示,则∠BO′D′=∠BOD,∴tan∠BOD=tan∠BO′D′,设每个小正方形的边长为a,则O′B=,O′D′=,BD′=3a,作BE⊥O′D′于点E,则BE=,∴O′E==,∴tanBO′E=,故答案为:3.方法二:连接AM、NL,在△CAH中,AC=AH,则AM⊥CH,同理,在△MNH中,NM=NH,则NL⊥MH,∴∠AMO=∠NLO=90°,∵∠AOM=∠NOL,∴△AOM∽△NOL,∴,设图中每个小正方形的边长为a,则AM=2a,NL=a,∴=2,∴,∴,∵NL=LM,∴,∴tan∠BOD=tan∠NOL==3,故答案为:3.方法三:连接AE、EF,如右图所示,则AE∥CD,∴∠FAE=∠BOD,设每个小正方形的边长为a,则AE=,AF=,EF=a,∵,∴△FAE是直角三角形,∠FEA=90°,∴tan∠FAE=,即tan∠BOD=3,故答案为:3.7.如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC 的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB'、CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则=(结果保留根号).【解答】解:连接AC,AG,AC',由旋转可得,AB=AB',AC=AC',∠BAB'=∠CAC',∴=,∴△ABB'∽△ACC',∴=,∵AB'=B'G,∠AB'G=∠ABC=90°,∴△AB'G是等腰直角三角形,∴AG=AB',设AB=AB'=x,则AG=x,DG=x﹣4,∵Rt△ADG中,AD2+DG2=AG2,∴72+(x﹣4)2=(x)2,解得x1=5,x2=﹣13(舍去),∴AB=5,∴Rt△ABC中,AC===,∴==,故答案为:.8.如图,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,如此下去,则线段OA n的长度为()n.【解答】解:∵△OBA1为等腰直角三角形,OB=1,∴BA1=OB=1,OA1=OB=;∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=,OA2=OA1=2;∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=OA2=2;∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2,OA4=OA3=4.∵△OA4A5为等腰直角三角形,∴A4A5=OA4=4,OA5=OA4=4,∵△OA5A6为等腰直角三角形,∴A5A6=OA5=4,OA6=OA5=8.∴OA n的长度为()n.故答案为:()n.9.如图,四边形OABC是平行四边形,点C在x轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(5,12),且与边BC交于点D.若AB=BD,则点D的坐标为(8,).【解答】解法1:如图,连接AD并延长,交x轴于E,由A(5,12),可得AO==13,∴BC=13,∵AB∥CE,AB=BD,∴∠CED=∠BAD=∠ADB=∠CDE,∴CD=CE,∴AB+CE=BD+CD=13,即OC+CE=13,∴OE=13,∴E(13,0),由A(5,12),E(13,0),可得AE的解析式为y=﹣x+,∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(5,12),∴k=12×5=60,∴反比例函数的解析式为y=,解方程组,可得,,∴点D的坐标为(8,).解法2:∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(5,12),∴k=12×5=60,∴反比例函数的解析式为y=,设D(m,),由题可得OA的解析式为y=x,AO∥BC,∴可设BC的解析式为y=x+b,把D(m,)代入,可得m+b=,∴b=﹣m,∴BC的解析式为y=x+﹣m,令y=0,则x=m﹣,即OC=m﹣,∴平行四边形ABCO中,AB=m﹣,如图所示,过D作DE⊥AB于E,过A作AF⊥OC于F,则△DEB∽△AFO,∴=,而AF=12,DE=12﹣,OA==13,∴DB=13﹣,∵AB=DB,∴m﹣=13﹣,解得m1=5,m2=8,又∵D在A的右侧,即m>5,∴m=8,∴D的坐标为(8,).故答案为:(8,).10.如图,曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的,过点A(﹣4,4),B(2,2)的直线与曲线l相交于点M、N,则△OMN的面积为8.【解答】解:∵A(﹣4,4),B(2,2),∴OA⊥OB,建立如图新的坐标系,OB为x′轴,OA为y′轴.在新的坐标系中,A (0,8),B (4,0), ∴直线AB 解析式为y′=﹣2x′+8, 由,解得或,∴M (1,6),N (3,2),∴S △OMN =S △OBM ﹣S △OBN =•4•6﹣•4•2=8, 故答案为8.三.解答题(共16小题)11.已知函数y=﹣x 2+(m ﹣1)x +m (m 为常数). (1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是 D . A.0 B.1 C.2 D.1或2(2)求证:不论m 为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x +1)2的图象上. (3)当﹣2≤m ≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围. 【解答】解:(1)∵函数y=﹣x 2+(m ﹣1)x +m (m 为常数), ∴△=(m ﹣1)2+4m=(m +1)2≥0,则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2, 故选D ;(2)y=﹣x 2+(m ﹣1)x +m=﹣(x ﹣)2+, 把x=代入y=(x +1)2得:y=(+1)2=,则不论m 为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x +1)2的图象上; (3)设函数z=,当m=﹣1时,z有最小值为0;当m<﹣1时,z随m的增大而减小;当m>﹣1时,z随m的增大而增大,当m=﹣2时,z=;当m=3时,z=4,则当﹣2≤m≤3时,该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4.12.折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(图①),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图②).第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC.(1)说明△PBC是等边三角形.【数学思考】(2)如图④,小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程.(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为a cm,对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的a 的取值范围.【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.【解答】(1)证明:由折叠的性质得:EF是BC的垂直平分线,BG是PC的垂直平分线,∴PB=PC,PB=CB,∴PB=PC=CB,∴△PBC是等边三角形.(2)解:以点B为中心,在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度,得到△P1BC1;再以点B为位似中心,将△P1BC1放大,使点C1的对应点C2落在CD上,得到△P2BC2;如图⑤所示;(3)解:本题答案不唯一,举例如图6所示,(4)解:如图7所示:△CEF是直角三角形,∠CEF=90°,CE=4,EF=1,∴∠AEF+∠CED=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠D=90°,AD=CD,∴∠DCE+∠CED=90°,∴∠AEF=∠DCE,∴△AEF∽△DCE,∴=,设AE=x,则AD=CD=4x,∴DE=AD﹣AE=3x,在Rt△CDE中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=42,解得:x=,∴AD=4×=.故答案为:.13.操作:“如图1,P是平面直角坐标系中一点(x轴上的点除外),过点P作PC⊥x轴于点C,点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换.(1)点P(a,b)经过T变换后得到的点Q的坐标为(a+b,b);若点M经过T变换后得到点N(6,﹣),则点M的坐标为(9,﹣2).(2)A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点,经过T变换后得到点B.①求经过点O,点B的直线的函数表达式;②如图2,直线AB交y轴于点D,求△OAB的面积与△OAD的面积之比.【解答】解:(1)如图1,连接CQ,过Q作QD⊥PC于点D,由旋转的性质可得PC=PQ,且∠CPQ=60°,∴△PCQ为等边三角形,∵P(a,b),∴OC=a,PC=b,∴CD=PC=b,DQ=PQ=b,∴Q(a+b,b);设M(x,y),则N点坐标为(x+y,y),∵N(6,﹣),∴,解得,∴M(9,﹣2);故答案为:(a+b,b);(9,﹣2);(2)①∵A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点,∴可设A(t,t),∴t+×t=t,×t=t,∴B(t,t),设直线OB的函数表达式为y=kx,则tk=t,解得k=,∴直线OB的函数表达式为y=x;②方法1、设直线AB解析式为y=k′x+b,把A、B坐标代入可得,解得,∴直线AB解析式为y=﹣x+t,∴D(0,t),且A(t,t),B(t,t),∴AB==|t|,AD==|t|,∴===.方法2、由(1)知,A(t,t),B(t,t),∴==,∵△AOB、△AOD和△BOD的边AB、AD和BD上的高相同,∴=.14.如图,以原点O为圆心,3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点(点B在点A的右边),P是半径OB上一点,过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C,D两点(点C在点D的上方),直线AC,DB交于点E.若AC:CE=1:2.(1)求点P的坐标;(2)求过点A和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.【解答】解:(1)如图,作EF⊥y轴于F,DC的延长线交EF于H.设C(m,n),则P(m,0),PA=m+3,PB=3﹣m.∵EH∥AP,∴△ACP∽△ECH,∴===,∴CH=2n,EH=2m+6,∵CD⊥AB,∴PC=PD=n,∵PB∥HE,∴△DPB∽△DHE,∴===,∴=,∴m=1,∴P(1,0).方法二:过C作CF∥AB,交BE于F,则CF=2/3AB=4,所以PB=2,则P点坐标为(1,0);(2)由(1)可知,PA=4,HE=8,EF=9,连接OC,在Rt△OCP中,PC==2,∴CH=2PC=4,PH=6,∴E(9,6),∵抛物线的对称轴为CD,∴(﹣3,0)和(5,0)在抛物线上,设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣5),把E(9,6)代入得到a=,∴抛物线的解析式为y=(x+3)(x﹣5),即y=x2﹣x﹣.15.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动,连接CP,作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t(s).(1)若m=6,求当P,E,B三点在同一直线上时对应的t的值.(2)已知m满足:在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,求所有这样的m的取值范围.【解答】解:(1)如图1中,设PD=t.则PA=6﹣t.∵P、B、E共线,∴∠BPC=∠DPC,∵AD∥BC,∴∠DPC=∠PCB,∴∠BPC=∠PCB,∴BP=BC=6,在Rt△ABP中,∵AB2+AP2=PB2,∴42+(6﹣t)2=62,∴t=6﹣2或6+2(舍弃),∴PD=6﹣2,∴t=(6﹣2)s时,B、E、P共线.(2)如图2中,当点P与A重合时,点E在BC的下方,点E到BC的距离为3.作EQ⊥BC于Q,EM⊥DC于M.则EQ=3,CE=DC=4易证四边形EMCQ是矩形,∴CM=EQ=3,∠M=90°,∴EM===,∵∠DAC=∠EDM,∠ADC=∠M,∴△ADC∽△DME,=,∴=,∴AD=4,(当AD=4时,直线BC上方还有一个点满足条件,见图2)如图3中,当点P与A重合时,点E在BC的上方,点E到BC的距离为3.作EQ⊥BC于Q,延长QE交AD于M.则EQ=3,CE=DC=4在Rt△ECQ中,QC=DM==,由△DME∽△CDA,∴=,∴=,∴AD=,综上所述,在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,这样的m的取值范围≤m<4.16.某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练.机器人从点A 出发,在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动,到达点D时停止移动.已知机器人的速度为1个单位长度/s,移动至拐角处调整方向需要1s(即在B、C处拐弯时分别用时1s).设机器人所用时间为t(s)时,其所在位置用点P表示,P到对角线BD的距离(即垂线段PQ的长)为d个单位长度,其中d与t的函数图象如图②所示.(1)求AB、BC的长;(2)如图②,点M、N分别在线段EF、GH上,线段MN平行于横轴,M、N的横坐标分别为t1、t2.设机器人用了t1(s)到达点P1处,用了t2(s)到达点P2处(见图①).若CP1+CP2=7,求t1、t2的值.【解答】解:(1)作AT⊥BD,垂足为T,由题意得,AB=8,AT=,在Rt△ABT中,AB2=BT2+AT2,∴BT=,∵tan∠ABD=,∴AD=6,即BC=6;(2)在图①中,连接P1P2.过P1,P2分别作BD的垂线,垂足为Q1,Q2.则P1Q1∥P2Q2.∵在图②中,线段MN平行于横轴,∴d1=d2,即P1Q1=P2Q2.∴P1P2∥BD.∴.即.又∵CP1+CP2=7,∴CP1=3,CP2=4.设M,N的横坐标分别为t1,t2,由题意得,CP1=15﹣t1,CP2=t2﹣16,∴t1=12,t2=20.17.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D在⊙O上,OD∥BC,过点D 作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.(1)求证:△DOE∽△ABC;(2)求证:∠ODF=∠BDE;(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若=,求sinA的值.【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵DE⊥AB,∴∠DEO=90°,∴∠DEO=∠ACB,∵OD∥BC,∴∠DOE=∠ABC,∴△DOE~△ABC;(2)证明:∵△DOE~△ABC,∴∠ODE=∠A,∵∠A和∠BDC是所对的圆周角,∴∠A=∠BDC,∴∠ODE=∠BDC,∴∠ODF=∠BDE;(3)解:∵△DOE~△ABC,∴,即S△ABC =4S△DOE=4S1,∵OA=OB,∴,即S△BOC=2S1,∵,∴,∴,即,∴.18.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1)求b、c的值;(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE 上,求点F的坐标;(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.【解答】解:(1)∵CD∥x轴,CD=2,∴抛物线对称轴为x=1.∴.∵OB=OC,C(0,c),∴B点的坐标为(﹣c,0),∴0=c2+2c+c,解得c=﹣3或c=0(舍去),∴c=﹣3;(2)设点F的坐标为(0,m).∵对称轴为直线x=1,∴点F关于直线l的对称点F的坐标为(2,m).由(1)可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴E(1,﹣4),∵直线BE经过点B(3,0),E(1,﹣4),∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6.∵点F在BE上,∴m=2×2﹣6=﹣2,即点F的坐标为(0,﹣2);(3)存在点Q满足题意.设点P坐标为(n,0),则PA=n+1,PB=PM=3﹣n,PN=﹣n2+2n+3.作QR⊥PN,垂足为R,∵S△PQN=S△APM,∴,∴QR=1.①点Q在直线PN的左侧时,Q点的坐标为(n﹣1,n2﹣4n),R点的坐标为(n,n2﹣4n),N点的坐标为(n,n2﹣2n﹣3).∴在Rt△QRN中,NQ2=1+(2n﹣3)2,∴时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为;②点Q在直线PN的右侧时,Q点的坐标为(n+1,n2﹣4).同理,NQ2=1+(2n﹣1)2,∴时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为.综上可知存在满足题意的点Q,其坐标为或.19.如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠,展平后,得折痕AD、BE(如图①),点O为其交点.(1)探求AO与OD的数量关系,并说明理由;(2)如图②,若P,N分别为BE,BC上的动点.①当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度;②如图③,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值=.【解答】解:(1)AO=2OD,理由:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,∴AO=OB,∵BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠BDO=90°,∴OB=2OD,∴OA=2OD;(2)如图②,作点D关于BE的对称点D′,过D′作D′N⊥BC于N交BE于P,则此时PN+PD的长度取得最小值,∵BE垂直平分DD′,∴BD=BD′,∵∠ABC=60°,∴△BDD′是等边三角形,∴BN=BD=,∵∠PBN=30°,∴=,∴PB=;(3)如图③,作Q关于BC的对称点Q′,作D关于BE的对称点D′,连接Q′D′,即为QN+NP+PD的最小值.根据轴对称的定义可知:∠Q′BN=∠QBN=30°,∠QBQ′=60°,∴△BQQ′为等边三角形,△BDD′为等边三角形,∴∠D′BQ′=90°,∴在Rt△D′BQ′中,D′Q′==.∴QN+NP+PD的最小值=,故答案为:.20.如图,已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,⊙C的半径为,P为⊙C上一动点.(1)点B,C的坐标分别为B(3,0),C(0,﹣4);(2)是否存在点P,使得△PBC为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接PB,若E为PB的中点,连接OE,则OE的最大值=.【解答】解:(1)在y=x2﹣4中,令y=0,则x=±3,令x=0,则y=﹣4,∴B(3,0),C(0,﹣4);故答案为:3,0;0,﹣4;(2)存在点P,使得△PBC为直角三角形,①当PB与⊙相切时,△PBC为直角三角形,如图(2)a,连接BC,∵OB=3.OC=4,∴BC=5,∵CP2⊥BP2,CP2=,∴BP2=2,过P2作P2E⊥x轴于E,P2F⊥y轴于F,则△CP2F∽△BP2E,∴==,设OC=P2E=2x,CP2=OE=x,∴BE=3﹣x,CF=2x﹣4,∴==2,∴x=,2x=,∴FP2=,EP2=,∴P2(,﹣),过P1作P1G⊥x轴于G,P1H⊥y轴于H,同理求得P1(﹣1,﹣2),②当BC⊥PC时,△PBC为直角三角形,过P4作P4H⊥y轴于H,则△BOC∽△CHP4,∴==,∴CH=,P4H=,∴P4(,﹣﹣4);同理P3(﹣,﹣4);综上所述:点P的坐标为:(﹣1,﹣2)或(,﹣)或(,﹣﹣4)或(﹣,﹣4);(3)如图(3),连接AP,∵OB=OA,BE=EP,∴OE=AP,∴当AP最大时,OE的值最大,∵当P在AC的延长线上时,AP的值最大,最大值=5+,∴OE的最大值为故答案为:.21.如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD、BE、BC于点P、O、Q,连接BP、EQ.(1)求证:四边形BPEQ是菱形;(2)若AB=6,F为AB的中点,OF+OB=9,求PQ的长.【解答】(1)证明:∵PQ垂直平分BE,∴QB=QE,OB=OE,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠PEO=∠QBO,在△BOQ与△EOP中,,∴△BOQ≌△EOP(ASA),∴PE=QB,又∵AD∥BC,∴四边形BPEQ是平行四边形,又∵QB=QE,∴四边形BPEQ是菱形;(2)解:∵O,F分别为PQ,AB的中点,∴AE+BE=2OF+2OB=18,设AE=x,则BE=18﹣x,在Rt△ABE中,62+x2=(18﹣x)2,解得x=8,BE=18﹣x=10,∴OB=BE=5,设PE=y,则AP=8﹣y,BP=PE=y,在Rt△ABP中,62+(8﹣y)2=y2,解得y=,在Rt△BOP中,PO==,∴PQ=2PO=.22.我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.(1)等边三角形“內似线”的条数为3;(2)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求证:BD是△ABC 的“內似线”;(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在边AC、BC上,且EF 是△ABC的“內似线”,求EF的长.【解答】(1)解:等边三角形“內似线”的条数为3条;理由如下:过等边三角形的内心分别作三边的平行线,如图1所示:则△AMN∽△ABC,△CEF∽△CBA,△BGH∽△BAC,∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”;故答案为:3;(2)证明:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,∴△BCD∽△ABC,又∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠ABD=∠CBD,∴BD平分∠ABC,即BD过△ABC的内心,∴BD是△ABC的“內似线”;(3)解:设D是△ABC的内心,连接CD,则CD平分∠ACB,∵EF是△ABC的“內似线”,∴△CEF与△ABC相似;分两种情况:①当==时,EF∥AB,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5,作DN⊥BC于N,如图2所示:则DN∥AC,DN是Rt△ABC的内切圆半径,∴DN=(AC+BC﹣AB)=1,∵CD平分∠ACB,∴=,∵DN∥AC,∴=,即,∴CE=,∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,即,解得:EF=;②当==时,同理得:EF=;综上所述,EF的长为.23.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D.(1)若∠AOB=60°,AB∥x轴,AB=2,求a的值;(2)若∠AOB=90°,点A的横坐标为﹣4,AC=4BC,求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证:DE=CO.【解答】解:(1)如图1,∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴,且AB∥x轴,∴A与B是对称点,O是抛物线的顶点,∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∵AB=2,AB⊥OC,∴AC=BC=1,∠BOC=30°,∴OC=,∴A(﹣1,),把A(﹣1,)代入抛物线y=ax2(a>0)中得:a=;(2)如图2,过B作BE⊥x轴于E,过A作AG⊥BE,交BE延长线于点G,交y 轴于F,∵CF∥BG,∴,∵AC=4BC,∴=4,∴AF=4FG,∵A的横坐标为﹣4,∴B的横坐标为1,∴A(﹣4,16a),B(1,a),∵∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOE=90°,∵∠AOD+∠DAO=90°,∴∠BOE=∠DAO,∵∠ADO=∠OEB=90°,∴△ADO∽△OEB,∴,∴,∴16a2=4,a=±,∵a>0,∴a=;∴B(1,);(3)如图3,设AC=nBC,由(2)同理可知:A的横坐标是B的横坐标的﹣n倍,则设B(m,am2),则A(﹣mn,am2n2),∴AD=am2n2,过B作BF⊥x轴于F,∴DE∥BF,∴△BOF∽△EOD,∴==,∴,∴=,DE=am2n,∴=,∵OC∥AE,∴△BCO∽△BAE,∴,∴=,∴CO==am2n,∴DE=CO.。

2017年中考数学选择题压轴题汇编

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2017年中考数学选择题压轴题汇编2017年中考数学选择题压轴题汇编(1)1.(2017重庆)若数a 使关于x 的分式方程2411a x x+=--的解为正数,且使关于y 的不等式组()213220y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y 2<-,则符合条件的所有整数a的和为( )A .10B .12C . 14D .16【答案】A【解析】①解关于x 的分式方程,由它的解为正数,求得a 的取值范围.2411a x x+=-- 去分母,得2-a =4(x -1)去括号,移项,得 4x =6-a系数化为1,得x =64a - ∵x 0>且x≠1,∴64a -0>,且64a -≠1,解得a 6<且a ≠2; ②通过求解于y 的不等式组,判断出a 的取值范围.()213220y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩解不等式①,得y 2<-;解不等式②,得y≤a;∵不等式组的解集为y2<-,∴a2≥-;③由a6<且a≠2和a2≥-,可推断出a的取值范围a-≤<,且a≠2,符合条件的所有整数a为-2、26-1、0、1、3、4、5,这些整数的和为10,故选A.2.(2017内蒙古赤峰)正整数x、y满足(2x-5)(2y-5)=25,则x+y等于()A.18或10 B.18 C.10 D.26【答案】A,【解析】本题考查了分解质因数,有理数的乘法法则和多项式的乘法,能列出满足条件的等式是解题的关键.由两数积为正,则这两数同号.∵25=5×5=(-5)×(-5)=1×25=(-1)×(-25)又∵正整数x、y满足(2x-5)(2y-5)=25,∴2x-5=5,2y-5=5或2x-5=1,2y-5=25 解各x=5,y=5或x=3,y=15.∴x+y=10或x+y=18.故选A.5.(2017聊城) 端午节前夕,在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队500米的赛道上,所划行的路程()y m 与时间(min)x 之前的函数关系式如图所示,下列说法错误的是( )A .乙队比甲队提前0.25min 到达终点B .当乙队划行110m 时,此时落后甲队15mC .0.5min 后,乙队比甲队每分钟快40mD .自1.5min 开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需提高到255m/min【答案】D ,【解析】由图象可知甲到达终点用时2.5min ,乙到达终点用时2.25min ,∴乙队比甲队提前0.25min 到达终点,A 正确;由图象可求出甲的解析式为:()2000 2.5y x x =≤≤,乙的解析式为:()()16000.5240400.5 2.25x x y x x ⎧≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩<,当乙队划行110m 时,可求出乙的时间为58,代入甲的解析式可得125y =,∴当乙队划行110m 时,此时落后甲队15m ,B 正确;由图象可知0.5min 后,乙队速度为240m/min ,甲队速度为200m/min,∴C正确;由排除法可知选D.6.(2017丽水)在同一条道路上,甲车从A地到B地,乙车从B地到A地,乙先出发,图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象,下列说法错误的是()A.乙先出发的时间为0.5小时B.甲的速度是80千米/小时C.甲出发0.5小时后两车相遇小时D.甲到B地比乙到A地早112【答案】D.【解析】由图象可知乙先出发0.5小时后两车相距70千米,即乙的速度是60千米/小时,这样乙从B地出发到达A地所用时间为2小时,由10060=13函数图形知此时两车相距不到100千米,即乙到达A地时甲还没有到达B地(甲到B地比乙到A 地迟),故选项D错误.7.(2017海南)如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2)、B(4,2)、C(4,4).若反比例函数y =k x在第一象限内的图象与△ABC 有交点,则k 的取值范围是( )A .1≤k ≤4B .2≤k ≤8C .2≤k ≤16D .8≤k ≤16【答案】C【解析】当反比例函数的图象过点A 时,k =2;过点C 时,k =16;要使反比例函数y =k x在第一象限内的图象与△ABC 有交点,则交点在线段AC 上,故2≤k ≤168.(2017吉林长春)如图,在平面直角坐标系中,□OABC 的顶点A 的坐标为(-4,0),顶点B 在第二象限.∠BAO =60°,BC 交y 轴于点D ,BD ︰DC =3︰1.若函数k y x(k >0,x >0)的图象经过点C ,则k 的值为( )A .33 B .32 C .233 D .3xy O D C B A【答案】D ,【解析】如图所示,作BE ⊥AO 交AO 于点E .∵ 四边形OABC 是平行四边形,又∵ A (-4,0),∴ BC =AO =4;∵ BD ︰DC =3︰1,∴ CD =1;易得∠CDO =90°,又∵在□OABC 中,∠C=∠BAO =60°,∴ OD =CD ·tan ∠C =CD ·tan60°=1×33,∴ 点C (1,3);∵ 函数k y x(k >0,x >0)的图象经过点C ,∴ k 3.9.(2017湖北荆门)已知:如图,在平面直角坐标系xoy 中,等边△AOB 的边长为6,点C 在边OA 上,点D 在边AB 上,且OC =3BD .反比例函数y =k x(k ≠0)的图象恰好经过点C 和点D .则k 的值为( )A 813B 813C 813D 813【答案】Ax O yB DC A【解析】如答图,分别过点C ,D 作x 轴的垂线,垂足分别为E ,F ,则△OCE ∽△BDF ,且相似比为3.设OE =a ,则CE =OE ·tan ∠AOB =3a .∴点C (a ,3a ).由相似三角形的性质,得BF =3a ,DF =3a .∵OB =6,∴OF =OB -BF =6-3a .∴点D (6-3a ,3a ).∵点C ,D 在同一双曲线上,∴a ·3a =(6-3a )·33a .解得a =95.∴k =a ·3a =3a 2=81325.故选A . 10.(2017衡阳)如图,已知点A 、B 分别在反比例函数y =1x (x >0),y =- 4x(x >0)的图象上,且OA ⊥OB ,则OB OA 的值为( ) A . 2 B .2 C . 3 D .4x O y B D CA答图 F E【答案】B ,【解析】过点A 作AM ⊥y 轴于点M ,过点B 作BN ⊥y 轴于点N ,∴∠AMO =∠BNO =90°,∴∠AOM +∠OAM =90°,∵OA ⊥OB ,∴∠AOM +∠BON =90°, ∴∠OAM =∠BON ,∴△AOM ∽△OBN ,∵点A ,B 分别在反比例函数y =1x (x >0),y =-4x(x >0)的图象上,∴S △AOM :S △BON =1:4,∴AO :BO=1:2,∴OB :OA =2.故选B .11.(2017湖南怀化)如图,A ,B 两点在反比例函数y =1kx 的图象上,C ,D 两点在反比例函数y =2k x 的图象上,AC ⊥y 轴于点E ,BD ⊥y 轴于点F ,AC =2,BD =1,EF =3,则k 1﹣k 2的值是( )A .6B .4C .3D .2 【答案】D【解析】解:连接OA 、OC 、OD 、OB ,如图: 由反比例函数的性质可知S △AOE =S △BOF =12|k 1|=12k 1,S △COE =S △DOF =12|k 2|=﹣12k 2,∵S △AOC =S △AOE +S △COE , ∴12AC •OE =12×2OE =OE =12(k 1﹣k 2)…①, ∵S △BOD =S △DOF +S △BOF , ∴12BD •OF =12×(EF ﹣OE )=12×(3﹣OE )=32﹣12OE =12(k 1﹣k 2)…②, 由①②两式解得OE =1,则k 1﹣k 2=2.故选D .12.(2017山东临沂)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数k y x=(0x >)的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ,BC 分别相交于M ,N 两点,△OMN 的面积为10.若动点P 在x 轴上,则PM +PN 的最小值是( )A.62 B .10 C .26D .29【答案】C 【解析】设出M ,N 两点坐标,然后根据△OMN 的面积可以得到关于两点坐标的方程,然后反比例函数的性质xy =k ,得到关于k 的方程,从而求出k ,进一步得到M ,N 的坐标;然后作N 关于x 轴的对称点N ',连接N 'M ,交x 轴于点P ,则此时可得到PM +PN 的最小值;设点N (a ,6),M (6,b ),则S △OMN =S OABM -S △MBN -S △OAN =()()()b b a a ⨯⨯----⨯+-621662166621=10 ∵M ,N 两点在反比例函数k y x=(0x >)的图象上,∴6a =k k b k a ==6,6∴a =b .解得a =b =4.∴点N(4,6),M (6,4);∴k =4×6=24,∴y =24x. 作N (4,6)关于x 轴的对称点N '(4,-6),连接N 'M ,交x 轴于点P ,此时PM +PN 值最小.PM +PN 的最小值=MN ′()22264226++= 13.(2017山东威海)如图正方形ABCD 的边长为5,点A 的坐标为(-4,0)点B 在y 轴上,若反比例函数y =k x(k ≠0)的图像经过点C ,则该反比例函数的表达式为( )A . y =3xB . y =4xC . y =5xD . y =6x【答案】A ,【解析】AB =5,OA =4,∴OB =3.∵△AOB ∽△BOE ,∴OB 2=AO ×OE ,即9=4×OE ,∴OE =94;∵△ABE ∽△BOE ,∴EB 2=AE ×OE ,即EB 2=94×(4+94),∴EB =154,∴CE =54;∵△CEF ∽△ABE ,∴CF :AB =CE :AE ,即CF :5=54:254,∴CF =1,同理EF =34,∴C (3,1),∴k =3. 14.(2017四川达州)已知函数()()12030x x y x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的图像如图所示,点P 是y 轴负半轴上一动点,过点P 作y 轴的垂线交图象于A ,B 两点,连接OA 、OB .下列结论:①若点()()111222M x y M x y ,,,在图象上,且120x x <<,则12y y <;②当点P 坐标为(0,-3)时,AOB ∆是等腰三角形;③无论点P 在什么位置,始终有7.54AOB S AP BP ∆==,;④当点P 移动到使90AOB ∠=︒时,点A 的坐标为(26,-6).其中正确的结论个数为( )A .1B .2 C. 3D .4 【答案】C【解析】∵120x x <<,所以M 点在左边的函数图象上,由于y 随x 的增大而减小,所以12y y >,∴①是错的;当点P 的坐标为(0,-3)时,B 点的坐标为(-1,-3),A 点的坐标为(4,-3),∴AB =4+1=5,OA 22345+=.,∴OA =AB ,∴△AOB 是等腰三角形,所以②是对的;根据反比例函数的几何意义,可知:13322OBP S∆=⨯=,11262OAP S ∆=⨯=, ∴7.5OAB OBP OAP S S S ∆∆∆=+=,又有61.5OPAOPB S AP S BP ∆∆==,∴AP =4BP ,所以③是对的;设B 点的坐标为(m ,3m),则A 点的坐标为(-4m ,3m ),当∠BOA =90°时,有△OBP ∽△AOP ,∴OP BP AP OP =,∴2OP PB PA =⨯,∴23()4m m m =-⨯,解得m =6-,∴A 点的坐标为(26,-6),所以④是正确的,故本题选C.15.(2017四川乐山)如图,平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上,点B 坐标为(6,4),反比例函数xy 6=的图象与AB 边交于点D ,与BC 边交于点E ,连结DE ,将△BDE 沿DE 翻折至△B’DE 处,点B’恰好落在正比例函数y=kx 图象上,则k 的值是( )A .52-B .211-C .51-D .241-【答案】B ,【解析】过点E 作EF//y 轴,过点B’作B’F ⊥EF 交EF 于点F ,过点B’作B’G ⊥BG 交BD 的延长线于点G ,∵点B 坐标为(6,4),反比例函数xy 6=的图象与AB 边交于点D ,与BC 边交于点E ,∴D (6,1),E (23,4).∴BE=B’E=29,BD=B’D=3,设B’(a ,b ),则DG=1-b ,B’G =6-a ,B’F =a -23,EF=4-b.易证△B’EF ∽△D B’G .∴32''''===D B E B G B EF DG F B ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--324632231b a a b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1321342b a .∴k =211-=a b .16.(2017天津)已知抛物线y =x 2-4x +3与x 轴相交于点A ,B (点A 在点B 左侧),顶点为M .平移该抛物线,使点M 平移后的对应点M ’落在x 轴上,点B 平移后的对应点B ’落在y 轴上.则平移后的抛物线解析式为( )A .y =x 2+2x +1B .y =x 2+2x -1C .y =x 2-2x +1D .y =x 2-2x -1【答案】A ,【解析】令y =0可得x 2-4x +3=0,解得x 1=1,x 2=3,可得A (1,0),B (3,0),根据抛物线顶点坐标公式可得M (2,-1),由M 平移后的对应点M ’落在x 轴上,点B 平移后的对应点B ’落在y 轴上,可知抛物线分别向左平移3个单位,再向上平移1个单位,根据抛物线平移规律,可知平移后的抛物线为y =(x +1)2=x 2+2x +1,故选A .17.(2017陕西)已知抛物线y =x 2-2mx -4(m>0)的顶点M关于原点O的对称点为M’,过点M’在这条抛物线上,则点M的坐标为A.(1,-5)B.(3,-13)C.(2,-8)D.(4,-20)【答案】C,【解析】抛物线y=x2-2mx-4的顶点坐标为M (m,-m2-4),M关于原点O的对称点为M’(-m,m2+4),将点M’的坐标代入y=x2-2mx -4的得,m=±2,由于m>0,所以m=2.故选B.18.(2017贵州安顺)二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠1),其中结论正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C,【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;根据-b2a=-1,得出b=2a,再根据a+b+c<0,可得12b+b+c<0,所以3b+2c<0;根据对称轴是x=-1,可得x=﹣2、0时,y的值相等,所以4a-2b+c>0;即4a+c<2b;而x =-1时该二次函数取得最大值,即当m≠-1时,am2+bm+c<a-b+c,∴m(am+b)+b <a(m≠1).19.(2017黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①4a﹣b=0;②c<0;③﹣3a+c>0;④4a﹣2b>at2+bt(t为实数);⑤点(﹣92,y1),(﹣52,y2),(﹣12,y3)是该抛物线上的点,则y1<y2<y3,正确的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】解:∵抛物线的对称轴为直线x =﹣2b a =﹣2,∴4a ﹣b =0,所以①正确;∵与x 轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(﹣1,0)和(0,0)之间,∴抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴,即c <0,故②正确;∵由②知,x =﹣1时y >0,且b =4a ,即a ﹣b +c = a ﹣4a + c =﹣3 a + c >0,所以③正确;由函数图象知当x =﹣2时,函数取得最大值,∴4 a ﹣2b + c ≥a t 2+bt + c ,即4 a ﹣2b ≥at 2+bt (t 为实数),故④错误;∵抛物线的开口向下,且对称轴为直线x =﹣2,∴抛物线上离对称轴水平距离越小,函数值越大,∴y 1<y 3<y 2,故⑤错误;故选B .20.(2017年广西北部湾经济区四市)如图,垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线1C :2y x =(0≥x )和抛物线2C :24xy =.(0≥x )交于B A ,两点,过点A 作x CD //轴分别与y 轴和抛物线1C 交于点C 、D ,过点B 作EF ∥x 轴分别与y 轴和抛物线1C 交于点FE ,,则OFBEAD SS ∆∆的值为( )A 2B 2 C. 41 D .61 【答案】D.【解析】设点2(,)A a a ,因此可得21(,)4B a a ,2(2,)D a a ,211(,)24F a a ,所以22111122413624OFBEAD a a SS a a ∆∆⋅⋅==⋅。

2017全国中考数学压轴题——解答题部分(四)

2017全国中考数学压轴题——解答题部分(四)
72.(湖南常德25)如图12,已知抛物线的对称轴是y轴,且点(2,2),(1,)在抛物线上,点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点,过P作PA⊥x轴于A,PC⊥y轴于C,延长PC交抛物线于E,设M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点.
(1)求抛物线解析式及顶点N的坐标;
(2)求证:四边形PMDA是平行四边形;
(3)求证△DPE∽△PAM,并求当它们的相似比为时的点P的坐标.
73.(湖南常德26)如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.
(1)如图13,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;
(2)如图14,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,
(2)如图,顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B(点A在点B的右侧)与x轴交于点C,D
①若∠CAB=90°求m的值;
②如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线的一个动点,∆PBC的面积记为S,当S取得最大值时,求m的值.
70.(湖北宜昌23)正方形ABCD的边长为1,点O是BC边上的一个动点(与B,C不重合),以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C.
①若∆ABC是以BC为腰的等腰三角形,求此时抛物线的解析式;
②将抛物线G向下平移4个单位后,恰好与直线AB只有一个交点N,求点N的坐标.
77.(湖南衡阳27)如图,正方形ABCD的边长为1,点E为边AB上一动点,连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF,连结DF,以CE、CF为邻边作矩形CFGE,GE与AD、AC分别交于点H、M,GF交CD延长线于点N.

北京2017届中考数学压轴题100题归类汇编(二)【第28题几何综合题】

北京2017届中考数学压轴题100题归类汇编(二)【第28题几何综合题】

述求 GE 长的思路.
A
A
B
D
C
B
图1
C
备用图
1
网络版答案: 28. 解:(1) ①补全图形,如图 1 所示.
………………………1 分
图1
② BC 和 CG 的数量关系: BC = CG ,位置关系: BC ⊥ CG .…………………2 分
证明: 如图 1.
∵ AB = AC , ∠BAC = 90° , ∴ ∠B = ∠ACB = 45° , ∠1 + ∠2 = 90° . ∵射线 BA 、 CF 的延长线相交于点 G , ∴ ∠CAG = ∠BAC = 90° . ∵四边形 ADEF 为正方形, ∴ ∠DAF = ∠2 + ∠3 = 90° , AD = AF . ∴ ∠1 = ∠3 . ∴△ ABD ≌△ ACF .…………………3 分[来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴ ∠B = ∠ACF = 45° . ∴ ∠B = ∠G = 45° , ∠BCG = 90° . ∴ BC = CG , BC ⊥ CG .…………………4 分
3
●方法一:旋转变换
⎡正方形ADEF中
⎤⎫

⎥⎪
⎢GF = 2,GA = 2 ⎢⎢∠AGF = 135° ⎢⎣FA = FE,∠AFE =
⎡问题: ⎤ ⎢⎣求GE的长⎥⎦
⎥ ⎥ ⎥ 90°⎥⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

⎡旋转变换,如图 6 ⎢⎢将∆FGE绕点F顺时针旋转 ⎢⎣得到∆FHA
⎤ 90°,⎥⎥ ⇒
AE 和 AB 的垂线,两条垂线交于点 F,研究 AE 和 EF 的数量关系. (1)【探究发现】 某数学兴趣小组在探究 AE,EF 的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,他们发现当点 E 是

2017年全国各地中考数学压轴题集锦附答案

2017年全国各地中考数学压轴题集锦附答案

2017年全国各地中考数学压轴题集锦答案1.(北京模拟)已知抛物线y =-x2+2x +m -2与y 轴交于点A (0,2m -7),与直线y =2x 交于点B 、C (B 在C 的右侧). (1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为E ,在抛物线的对称轴上是否存在一点F ,使得∠BFE =∠CFE ,若存在,求出点F 的坐标,若不存在,说明理由;(3)动点P 、Q 同时从原点出发,分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动,以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ (直角边分别平行于坐标轴),设运动时间为t 秒.若△PMQ 与抛物线y =-x2+2x +m -2有公共点,求t 的取值范围.解:(1)把点A (0,2m -7)代入y =-x2+2x +m -2,得m =5∴抛物线的解析式为y =-x2+2x +3(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =-x2+2x +3y =2x 解得⎩⎨⎧x 1=3y 1=23 ⎩⎨⎧x 2=-3y 2=-23 ∴B (3,23),C (-3,-23)∵y =-x2+2x +3=-(x -1)2+4 ∴抛物线的对称轴为x =1 设F (1,y )∵∠BFE =∠CFE ,∴tan ∠BFE =tan ∠CFE 当点F 在点B 上方时,3-1 y -23 =3+1y +23解得y =6,∴F (1,6)当点F 在点B 下方时,3-1 23-y =3+1-y -23解得y =6(舍去)∴满足条件的点F 的坐标是F (1,6)(3)由题意,OP =5t ,OQ =25t ,∴PQ =5t ∵P 、Q 在直线直线y =2x 上 ∴设P (x ,2x ),则Q (2x ,4x )(x<0)∴x 2+4x 2=5t ,∴x =-t∴P (-t ,-2t ),Q (-2t ,-4t ) ∴M (-2t ,-2t )当M (-2t ,-2t )在抛物线上时,有-2t =-4t2-4t +3解得t =13-14(舍去负值) 当P (-t ,-2t )在抛物线上时,有-2t =-t2-2t +3 解得t =3(舍去负值) ∴t 的取值范围是:13-14≤t≤ 32.(北京模拟)在平面直角坐标系中,抛物线y 1=ax2+3x +c 经过原点及点A (1,2),与x 轴相交于另一点B .(1)求抛物线y 1的解析式及B 点坐标;(2)若将抛物线y 1以x =3为对称轴向右翻折后,得到一条新的抛物线y 2,已知抛物线y 2与x 轴交于两点,其中右边的交点为C 点.动点P 从O 点出发,沿线段OC 向C 点运动,过P 点作x 轴的垂线,交直线OA 于D 点,以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF . ①当点E 落在抛物线y 1上时,求OP 的长;②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度,同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动,速度为每秒2个单位长度,当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动.过Q 点作x 轴的垂线,与直线AC 交于G 点,以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN .当这两个正方形解:(1)∵抛物线y 1=ax2+3x +c 经过原点及点A(1,2)∴⎩⎪⎨⎪⎧c =2a +3+c =2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1c =0 ∴抛物线y 1的解析式为y 1=-x2+3x令y 1=0,得-x2+3x =0,解得x 1=0,x 2=3 ∴B (3,0)(2)①由题意,可得C (6,0) 过A 作AH ⊥x 轴于H ,设OP =a可得△ODP ∽△OAH ,∴DPOP=AHOH=2 ∴DP =2OP =2a∵正方形PDEF ,∴E (3a ,2a ) ∵E (3a ,2a )在抛物线y 1=-x2+3x 上∴2a =-9a2+9a ,解得a 1=0(舍去),a 2=7 9∴OP 的长为79②设直线AC 的解析式为y =kx +b∴⎩⎪⎨⎪⎧2=k +b 0=6k +b 解得k =-2 5 ,b =12 5∴直线AC 的解析式为y =-2 5 x +125由题意,OP =t ,PF =2t ,QC =2t ,GQ =45t 当EF 与MN 重合时,则OF +CN =6 ∴3t +2t +45t =6,∴t =3029当EF 与GQ 重合时,则OF +QC =6 ∴3t +2t =6,∴t =65当DP 与MN 重合时,则OP +CN =6 ∴t +2t +4 5 t =6,∴t =3019当DP 与GQ 重合时,则OP +CQ =6∴t +2t =6,∴t =23.(北京模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax2+bx +4经过A (-3,0)、B(4,0)两点,且与y 轴交于点C ,点D 在x 轴的负半轴上,且BD =BC .动点P 从点A 出发,沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动,同时动点Q 从点C 出发,沿线段CA 以某一速度向点A 移动. (1)求该抛物线的解析式;(2)若经过t 秒的移动,线段PQ 被CD 垂直平分,求此时t 的值;(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ +MA 的值最小?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线y =ax2+bx +4经过A (-3,0)、B (4,0)两点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a -3b +4=016a +4b +4=0解得a =-1 3 ,b =1 3∴所求抛物线的解析式为y =-1 3x2+ 13x +4(2)连接DQ ,依题意知AP =t∵抛物线y=-13x2+13x+4与y轴交于点C∴C(0,4)又A(-3,0,B(4,0)可得AC=5,BC=42,AB=7∵BD=BC,∴AD=AB-BD=7-42∵CD垂直平分PQ,∴QD=DP,∠CDQ=∠CDP ∵BD=BC,∴∠DCB=∠CDB∴∠CDQ=∠DCB,∴DQ∥BC∴△ADQ∽△ABC,∴ADAB=DQBC∴ADAB=DPBC,∴7-427=DP42解得DP=42-327,∴AP=AD+DP=177∴线段PQ被CD垂直平分时,t的值为17 7(3)设抛物线y=-13x2+13x+4的对称轴x=12与x轴交于点E由于点A、B关于对称轴x=12对称,连接BQ交对称轴于点M则MQ+MA=MQ+MB,即MQ+MA=BQ当BQ⊥AC时,BQ最小,此时∠EBM=∠ACO∴tan∠EBM=tan∠ACO=3 4∴MEBE=34,即ME4-12=34,解得ME=218∴M(12,218)∴在抛物线的对称轴上存在一点M(12,218),使得MQ+MA的值最小4.(北京模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.动点P从点A出发,沿AC→CB→BA边运动,点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位.直线l从与AC重合的位置开始,以每秒43个单位的速度沿CB方向移动,移动过程中保持l∥AC,且分别与CB、AB边交于点E、F.点P与直线l同时出发,设运动的时间为t秒,当点P 第一次回到点A时,点P和直线l同时停止运动.(1)当t=_________秒时,点P与点E重合;当t=_________秒时,点P与点F重合;(2)当点P在AC边上运动时,将△PEF绕点E逆时针旋转,使得点P的对应点P′落在EF上,点F的对应点为F′,当EF′⊥AB时,求t的值;(3)作点P关于直线EF的对称点Q,在运动过程中,若形成的四边形PEQF为菱形,求t的值;(4)在整个运动过程中,设△PEF的面积为S,直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值.解:(1)3;4.5提示:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8∴AB=62+82=10,∴sin B=ACAB=35,cos B=BCAB=45,tan B=ACBC=34当点P与点E重合时,点P在CB边上,CP=CE∵AC=6,点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位∴点P在AC边上运动的时间为2秒,CP=4(t-2)∵CE=43t,∴4(t-2)=43t,解得t=3当点P与点F重合时,点P在BA边上,BP=BF∵AC=6,BC=8,点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒,BF=BP=5(t-4)∵CE=43t,∴BE=8-43t在Rt△BEF中,BEBF=cos B∴8-43t5(t-4)=45,解得t=4.5(2)由题意,∠PEF=∠MEN∵EF∥AC,∠C=90°,∴∠BEF=90°,∠CPE=∠PEF ∵EN⊥AB,∴∠B=∠MEN∴∠CPE=∠B,∴tan∠CPE=tan B∵tan∠CPE=CECP,tan B=ACBC=34∴CECP=34,∴CP=43CE∵AP=3t(0<t<2),CE=43t,∴CP=6-3t∴6-3t=43×43t,解得t=5443(3)连接PQ交EF于O∵P、Q关于直线EF对称,∴EF垂直平分PQ若四边形PEQF为菱形,则OE=OF=12EFBCA PlFEBCA备用图EBMCAPlFNBCAlFE(P)BCAlFE(P)①当点P 在AC 边上运动时易知四边形POEC 为矩形,∴OE =PC ∴PC =12EF ∵CE =4 3t ,∴BE =8-4 3 t ,EF =BE ·tan B = 3 4 ( 8- 43t)=6-t∴6-3t =1 2 (6-t),解得t =65②当点P 在CB 边上运动时,P 、E 、Q 三点共线,不存在四边形PEQF③当点P 在BA 边上运动时,则点P 在点B 、F 之间 ∵BE =8-43t ,∴BF = BE cos B=5 4 (8-4 3 t )=10-5 3t ∵BP =5(t -4),∴PF =BF -BP =10-53t -5(t -4)=30-203t ∵∠POF =∠BEF =90°,∴PO ∥BE ,∴∠OPF =∠B 在Rt △POF 中,OFPF=sin B ∴12(6-t)30- 20 3t= 3 5 ,解得t =30 7∴当t =65或t =307时,四边形PEQF 为菱形 (4)S =⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧-23t2+4t (0≤t≤2)4 3t2-12t +24(2<t≤3)-43t2+12t -24(3<t≤4)8 3t2-28t +72(4<t≤4.5)-8 3t2+28t -72(4.5<t≤6)S 的最大值为1635.(北京模拟)在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =10,CD =6,AD =BC =4.点P 从点B 出发,沿线段BA 向点A 匀速运动,速度为每秒2个单位,过点P 作直线BC 的垂线PE ,垂足为E .设点P 的运动时间为t (秒). (1)∠A =___________°; (2)将△PBE 沿直线PE 翻折,得到△PB ′E ,记△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;(3)在整个运动过程中,是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.EBOC APl FQEB CAPlF QO解:(1)60°(2)∵∠A =∠B =60°,PB =PB ′ ∴△PB ′B 是等边三角形∴PB =PB ′=BB ′=2t ,BE =B ′E =t ,PE =3t 当0<t≤2时S =S △PB ′E =12B ′E ·PE =1 2 t ·3t = 3 2t2 当2<t≤4时S =S △PB ′E-S △FB ′C=3 2t2- 3 4 ( 2t -4 )2=- 3 2t2+43t -4 3当4<t≤5时设PB ′、PE 分别交DC 于点G 、H ,作GK ⊥PH 于K ∵△PB ′B 是等边三角形,∴∠B ′PB =60°=∠A ∴PG ∥AD ,又DG ∥AP∴四边形APGD 是平行四边形 ∴PG =AD =4∵AB ∥CD ,∴∠GHP =∠BPH∵∠GPH =∠BPH =12∠B ′PB =30°∴∠GHP =∠GPH =30°,∴PG =GH =4 ∴GK =12PG =2,PK =KH =PG ·cos30°=2 3 ∴PH =2PK =4 3 ∴S =S △PGH=12PH ·GK =12×43×2=4 3 综上得,S 与t 之间的函数关系式为: S =⎩⎨⎧32t2(0<t≤2)-3 2t2+43t -43(2<t≤4)43(4<t≤5)(3)①若∠DPB ′=90° ∵∠B ′PB =60°,∴∠DP A =30° 又∠A =60°,∴∠ADP =90°∴AP =2AD ,∴10-2t =8,∴t =1 若∠PDB ′=90°A CB D P EB ′ACBD备用图C DE B ′作DM⊥AB于M,DN⊥B′B于N则AM=2,DM=23,NC=3,DN=3 3PM=|10-2-2t|=|8-2t|NB′=|3+4-2t|=|7-2t|DP2=DM2+PM2=(23)2+(8-2t)2=(8-2t)2+12 DB′2=DN2+NB′=(33)2+(7-2t)2=(7-2t)2+27 ∵DP2+DB′2=B′P2∴(8-2t)2+12+(7-2t)2+27=(2t)2解得t1=15+732>5(舍去),t2=15-732若∠DB′P=90°,则DB′2+B′P2=DP2∴(7-2t)2+27+(2t)2=(8-2t)2+12 解得t1=-1(舍去),t2=0(舍去)∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形,此时t=1或t=15-732②若DP=B′P,则(8-2t)2+12=(2t)2解得t=19 8若B′D=B′P,则(7-2t)2+27=(2t)2解得t=19 7若DP=DB′,则(8-2t)2+12=(7-2t)2+27 解得t=0(舍去)∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为等腰三角形,此时t=198或t=1976.(北京模拟)已知二次函数y=-33mx2+3mx-2的图象与x轴交于点A(23,0)、点B,与y轴交于点C.(1)求点B坐标;(2)点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动,到达点O后停止运动,过点P作PQ∥AC交OA于点Q,将四边形PQAC沿PQ翻折,得到四边形PQA′C′,设点P的运动时间为t.①当t为何值时,点A′恰好落在二次函数y=-33mx2+3mx-2图象的对称轴上;②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出S 的最大值.解:(1)将A(23,0)代入y=-33mx2+3mx-2得0=-33m×(23)2+3m×23-2,解得m=33∴y=-13x2+3x-2ACBDPEB′MNACBDPEB′ACBDPB′E令y =0,得-13x 2+3x -2=0,解得:x 1=3,x 2=2 3 ∴B(3,0) (2)①由y =-13x 2+3x -2,令x =0,得y =-2 ∴C (0,-2) ∵y =-13x2+3x -2=-1 3 (x -323)2+1 4∴二次函数图象的对称轴为直线x =323过A ′作A ′H ⊥OA 于H在Rt △AOC 中,∵OC =2,OA =2 3 ∴∠OAC =30°,∠OCA =60° ∴∠PQA =150°,∠A ′QH =60°,AQ =A ′Q =2QH ∵点A ′在二次函数图象的对称轴上∴⎩⎪⎨⎪⎧OQ +QH =3 23OQ +2QH =23解得QH =32∴AQ =3,CP =1 ∴t =1②分两种情况:ⅰ)当0<t≤1时,四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形QA ′DDQ =A ′Q =3tA ′H =AQ ·sin60°=3t ·32=32t S =S △A ′DQ=12 ·3t ·3 2t =33 4t2 ∵当0<t≤1时,S 随t 的增大而增大 ∴当t =1时,S 有最大值334ⅱ)当1<t<2时,四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为四边形EOQA ′ S 四边形EOQA ′=S 梯形PQA ′C ′-S △OPQ-S △PC ′E=[23-3 2 (2-t )2]- 3 2 ( 2-t )2- 3 4t2 =-534t2+43t -2 3 ∵-53 4 t2+43t -23=-53 4 (t -8 5)2+635且1<85<2,∴当t =8 5 时,S 有最大值63 5∵63 5>33 4 ,∴S 的最大值是63 57.(北京模拟)已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A =120°,E 是DAB的中点,过E点作射线EF∥BC,交CD于点G,AB、AD的长恰好是方程x2-4x+a2+2a+5=0的两个相等实数根,动点P、Q分别从点A、E出发,点P以每秒1个单位长度的速度沿AB由A向B运动,点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动,设点P、Q运动的时间为t(秒).(1)求线段AB、AD的长;(2)当t>1时,求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式;(3)是否存在△DPQ是直角三角形的情况,如果存在,求出时间t;如果不存在,请说明理由.解:(1)由题意,△=42-4(a2+2a+5)=-4(a+1)2=0∴a=-1原方程可化为x2-4+4=0,解得∴x1=x2=2∴AB=AD=2(2)作AH⊥BC于H,交EG于O,DK⊥EF于K,PM⊥DA交DA的延长线于M∵AD∥BC,∠A=120°,AB=AD=2∴∠B=60°,AH= 3∵E是AB中点,且EF∥BC,∴AO=DK=3 2∵AP=t,∴PM=3 2t∵t>1,∴点P在点E下方延长FE交PM于S,设DP与EF交于点N则PS=32t-32∵AD∥BC,EF∥BC,∴EF∥AD∴ENAD=PEP A,∴EN2=t-1t∴EN=2(t-1)t,∴QN=2t-2(t-1)t∴S=12(2t-2(t-1)t)(32t-32+32)=32t2-32t+32即S=32t2-32t+32(t>1)(3)由题意,AM=12t,∴DM=2+12t∴DP2=DM2+PM2=(2+12t)2+(32t)2=t2+2t+4又DQ2=DK2+KQ2=(32)2+(2t-12-2)2=4t2-10t+7PQ2=PS2+SQ2=(32t-32)2+(2t+t-12)2=7t2-4t+1ABDQCPE FN GS O KHM①若∠PDQ=90°,则DP2+DQ2=PQ2∴t2+2t+4+4t2-10t+7=7t2-4t+1解得t=6-1(舍去负值)②若∠DPQ=90°,则PD2+PQ2=DQ2∴t2+2t+4+7t2-4t+1=4t2-10t+7解得t=62-1(舍去负值)③若∠DQP=90°,则DQ2+PQ2=PD2∴4t2-10t+7+7t2-4t+1=t2+2t+4解得t=4±6 5综上所述,存在△DPQ是直角三角形的情况,此时t=6-1,t=62-1,t=4±658.(天津模拟)如图,在平面直角坐标系中,直y=-x+42交x轴于点A,交y轴于点B.在线段OA上有一动点P,以每秒2个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,以OP为边作正方形OPQM交y轴于点M,连接QA和QB,并从QA和QB的中点C和D向AB作垂线,垂足分别为点F和点E.设P点运动的时间为t秒,四边形CDEF的面积为S1,正方形OPQM与四边形CDEF重叠部分的面积为S2.(1)直接写出A点和B点坐标及t的取值范围;(2)当t=1时,求S1的值;(3)试求S2与t的函数关系式(4)直接写出在整个运动过程中,点C和点D所走过的路程之和.解:(1)A(42,0)、B(0,42),0≤t≤4(2)过Q作QH⊥AB于H∵C、D分别是QA和QB的中点∴CD∥AB,CD=12AB=12×42×2=4∵CF⊥AB,DE⊥AB,∴CF∥DE∴四边形CDEF是平行四边形又∵CF⊥AB,∴四边形CDEF是矩形∵CF⊥AB,QH⊥AB,∴CF∥QH又∵C是QA中点,∴CF=12QH连接OQ∵正方形OPQM,∴∠1=∠2,OP=PQ=QM=MO ∵OA=OB,∴P A=MB∴Rt△QP A≌Rt△QMB,∴QA=QB,∠PQA=∠MQB∵QH ⊥AB ,∴∠3=∠4 ∴∠1+∠MQB +∠3=180°,∴O 、Q 、H 三点共线 ∴QH =OH -OQ∵t =1,点P 的运动速度为每秒2个单位长度 ∴OP =2,∴OQ =2 又∵OA =42,∴OH =4∴QH =OH -OQ =4-2=2,∴CF =1 ∴S 1=CD ·CF =4×1=4(3)当点Q 落在AB 上时,OQ ⊥AB ,△QOA 是等腰直角三角形∴t =22÷2=2 当0≤t≤2时,S 2=0当点E 落在QM 上,点F 落在PQ 上时, △CFK 和△DEG 都是等腰直角三角形 过C 作CT ⊥PQ 于T则CT =12AP =1 2 (42-2t)=22(4-t) ∴CF =2CT =4-t连接OQ ,分别交AB 、CD 于N 、R 则ON =22OA =22×42=4 ∵OP =2t ,∴OQ =2t ,∴QN =2t -4 ∴CF =12QN =t -2 ∴4-t =t -2,∴t =3当2<t≤3时,重叠部分为等腰梯形GHIK △QGK 和△QHI 都是等腰直角三角形∵QN =2t -4,RN =CF =t -2,∴QR =t -2 ∴GK =2QR =2t -4,HI =2QN =4t -8∴S 2=1 2 (GK +HI)·RN =1 2(2t -4+4t -8)(t -2)=3(t -2)2当3<t≤4时,重叠部分为六边形GHEFIK易知Rt △CIK ≌Rt △DHG ,∴GH =KI =2CT =2(4-t)∴S 2=S 矩形CDEF-2S △CIK=CD ·CF -KI ·CT=4(t -2)-2(4-t)·22(4-t)=-t 2+12t -24 综上得S 2关于t 的函数关系式为:S 2= ⎩⎨⎧0(0≤t≤2)3( t -2 )2(2<t≤3)-t2+12t -24(3<t≤4)(4)8提示:点C 和点D 走过的路程分别为以OP 为边的正方形的对角线的一半9.(上海模拟)如图,正方形ABCD中,AB=5,点E是BC延长线上一点,CE=BC,连接BD.动点M从B出发,以每秒2个单位长度的速度沿BD向D运动;动点N从E出发,以每秒2个单位长度的速度沿EB向B运动,两点同时出发,当其中一点到达终点后另一点也停止运动.设运动时间为t秒,过M作BD的垂线MP交BE于P.(1)当PN=2时,求运动时间t;(2)是否存在这样的t,使△MPN为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(3)设△MPN与△BCD重叠部分的面积为S,直接写出S与t的函数关系式和函数的定义域.解:(1)∵正方形ABCD,∴∠DBC=45°∵MP⊥DB,∴△BMP是等腰直角三角形∵BM=2t,∴BP=2BM=2t又PN=2,NE=2t当0<t<2.5时,BP+PN+NE=BE∴2t+2+2t=10,∴t=2当2.5<t<5时,BP-PN+NE=BE∴2t-2+2t=10,∴t=3(2)过M作MH⊥BC于H则△NQC∽△NMH,∴QCCN=MHHN∴QC5-2t=t10-t-2t,∴QC=5t-2t210-3t令QC=y,则y=5t-2t2 10-3t整理得2t2-(3y+5)t+10y=0∵t为实数,∴[-(3y+5)]2-4×2×10y≥0即9y2-50y+25≥0,解得y≥5(舍去)或y≤5 9∴线段QC长度的最大值为5 9(3)当0<t<2.5时∵∠MPN=∠DBC+∠BMP=45°+90°=135°∴∠MPN为钝角,∴MN>MP,MN>PN若PM=PN,则2t=10-4t解得t=57(4-2)ABDNCPMEABDNCPMEQHABDPCN EMABDNCP EMA DM当2.5<t<5时∵∠MNP>∠MBP=∠MPB,∴MP>MN若MN=PN,则∠PMN=∠MPN=45°∴∠MNP=90°,即MN⊥BP∴BN=NP,BP=2BN∴2t=2(10-2t),解得t=103若PM=PN∵PN=BP-BN=BP-(BE-NE)=BP+NE-BE∴2t=2t+2t-10,解得t=57(4+2)∴当t=57(4-2),t=103,t=57(4+2)时,△MPN为等腰三角形(4)S=⎩⎨⎧8t3-50t2+75t20-6t(0<t<2.5)5t-252(2.5<t<5)10.(重庆模拟)如图,已知△ABC是等边三角形,点O是AC的中点,OB=12,动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P为顶点,作等边△PMN,点M,N在直线OB上,取OB的中点D,以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF,点E在线段AB上.(1)求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值;(2)求等边△PMN的边长(用含t的代数式表示);(3)设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围;(4)点P在运动过程中,是否存在点M,使得△EFM是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.解:(1)当点M与点O重合时∵△ABC、△PMN是等边三角形,O为AC中点∴∠AOP=30°,∠APO=90°∵OB=12,∴AO=43=2AP=23t解得t=2AO DCBF E备用图AO DCBF E备用图A DB PCNMEAO D BPF E(N)(M)∴当t =2时,点M 与点O 重合(2)由题设知∠ABM =30°,AB =83,AP =3t ∴PB =83-3t ,PM =PB ·tan30°=8-t 即等边△PMN 的边长为8-t(3)S =⎩⎪⎨⎪⎧23t +63(0≤t≤1)-23t2+63t +43(1<t≤2)-32t2+103(2<t≤4)23t2-203t +503(4<t≤5)0(5<t≤8)提示:①当0≤t≤1时,PM 经过线段AF设PM 交AF 于点J ,PN 交EF 于点G ,则重叠部分为直角梯形FONG∵AP =3t ,∴AJ =23t ,JO =43-23t MO =4-2t ,ON =8-t -(4-2t)=4+t 作GH ⊥ON 于H则GH =FO =23,HN =2,FG =OH =4+t -2=2+t ∴S =S 梯形FONG=12(FG +ON)·FO=12(2+t +4+t)·23=23t +6 3 ②当1<t≤2时,PM 经过线段FO设PM 交EF 于点I ,则重叠部分为五边形IJONGFJ =AJ -AF =23t -23,FI =2t -2∴S =S 梯形FONG-S △FIJ=23t +63-12(23t -23)(2t -2)=-23t 2+63t +4 3③当2<t≤4时,PN 经过线段ED设PN 交ED 于点K ,则重叠部分为五边形IMDKG∵AP =3t ,∴PE =43-3t ∴IG =GE =4-t ,EK =43-3t∴KD =23-(43-3t)=3t -23,DN =t -2 ∴S =S 梯形IMNG -S △KDN=1 2 (4-t +8-t)·23-12(3t -23)(t -2) =-32t 2+10 3 ④当4<t≤5时,PM 经过线段ED设PM 交ED 于点R ,则重叠部分为△RMD ∵AP =3t ,∴EP =3t -4 3 ∴ER =2EP =23t -8 3∴RD =23-(23t -83)=103-23t MD =10-2tA ODCBP N F ME∴S =S △RMD=12(10-2t)(103-23t)=23t 2-203t +50 3 ⑤当5<t≤8时,S =0(4)∵MN =BN =PN =8-t ,∴MB =16-2t ①若FM =EM ,则M 为OD 中点 ∴OM =3∵OM +MB =OB ,∴3+16-2t =12 ∴t =3.5②若FM =FE =6,则OM =6 2-( 23)2=2 6∵OM +MB =OB ,∴26+16-2t =12 ∴t =2+ 6③若EF =EM =6,点M 在OD 或DB 上则DM =6 2-( 23)2=2 6∴DB +DM =MB 或者DB -DM =MB∴6+26=16-2t 或6-26=16-2t ∴t =5-6或t =5+ 6综上所述,当t =3.5、2+6、5-6、5+6时,△MEF 是等腰三角形11.(浙江某校自主招生)如图,正方形OABC 的顶点O 在坐标原点,且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y =34x 和y =-4 3 x + 253. (1)求正方形OABC 的边长;(2)现有动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发,点P 沿线段CB 向终点B 运动,速度为每秒1个单位,点Q 沿折线A →O →C 向终点C 运动,速度为每秒k 个单位,设运动时间为2秒.当k 为何值时,将△CPQ 沿它的一边翻折,使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形? (3)若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO 下滑,直至顶点B 落在x 轴上时停止下滑.设正方形在x 轴下方部分的面积为S ,求S 关于滑行时间t 的函数关系式,并写出相应自变量t 的取值范围.A OD CBP NF ME AOD C BP NF M E A O D C B PN F M E AO D C BPN F M E解:(1)联立 ⎩⎨⎧y =34x y =- 4 3 x +25 3解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4y =3∴A (4,3),∴OA =4 2+32=5 ∴正方形OABC 的边长为5(2)要使△CPQ 沿它的一边翻折,翻折前后的两个三角形组成的 四边形为菱形,根据轴对称的性质,只需△CPQ 为等腰三角形即可 当t =2秒时∵点P 的速度为每秒1个单位,∴CP =2 分两种情况:①当点Q 在OA 上时,∵PQ ≥BA >PC ,∴只存在一点Q ,使QC =QP作QN ⊥CP 于N ,则CN =12CP =OQ =1 ∴QA =5-1=4,∴k =42=2 ②当点Q 在OC 上时,同理只存在一点Q ,使CP =CQ =2 ∴OQ +OA =10-2=8,∴k =82=4 综上所述,当t =2秒时,以所得的等腰三角形CPQ 沿底边翻折, 翻折后得到菱形的k 值为2或4 (3)①当点A 运动到点O 时,t =3 当0<t≤3时,设O ′C ′ 交x 轴于点D则tan ∠DOO ′=3 4 ,即DO ′OO ′=DO ′5 3t= 3 4 ,∴DO ′= 54t∴S =1 2 DO ′·OO ′= 1 2 ·5 4 t ·5 3 t = 25 24t 2②当点C 运动到x 轴上时,t =(5×4 3)÷5 3=4当3<t≤4时,设A ′B ′ 交x 轴于点E∵A ′O =5 3 t -5,∴A ′E = 34 A ′O =5t -15 4∴S =1 2 (A ′E +O ′D )·A ′O ′=1 2 (5t -15 4+54 t )·5=50t -75 8③当点B 运动到x 轴上时,t =(5+5×4 3)÷5 3=7当4<t≤7时,设B ′C ′ 交x 轴于点F∵A ′E =5t -15 4,∴B ′E =5-5t -15 4=35-5t4∴B ′F =43 B ′E =35-5t 3∴S =52-12 ·35-5t 4·35-5t 3=-25 24 t 2+ 175 12 t -625 24综上所述,S 关于滑行时间t 的函数关系式为:S = ⎩⎪⎨⎪⎧2524t 2(0<t≤3)50t -758(3<t≤4)-25 24t2+175 12t -625 24(4<t≤7)12.(浙江某校自主招生)如图,正方形ABCD 的边长为8cm ,动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /秒的速度向点B 匀速移动(点P 不与点A 、B 重合),动点Q 从点B 出发沿折线BC -CD 以2cm /秒的速度匀速移动.点P 、Q 同时出发,当点P 停止时,点Q 也随之停止.连接AQ 交BD 于点E .设点P 运动时间为t (秒).(1)当点Q 在线段BC 上运动时,点P 出发多少时间后,∠BEP =∠BEQ ? (2)设△APE 的面积为S (cm 2),求S 关于t 的函数关系式,并写出t 的取值范围; (3)当4<t <8时,求△APE 的面积为S 的变化范围.解(1)AP =x cm ,BQ =2x cm∵∠BEP =∠BEQ ,BE =BE ,∠PBE =∠QBE =45° ∴△PBE ≌△QBE ,∴PB =BQ 即8-x =2x ,∴x =83∴点P 出发83秒后,∠BEP =∠BEQ (2)①当0<x≤4时,点Q 在BC 上,作EN ⊥AB 于N ,EM ⊥BC 于M ∵AD ∥BC ,∴ AEEQ=ADBQ=8 2x=4x即AEEQ=4 x,∴AEAQ =4x +4∴NEBQ=AEAQ,∴NE =AE ·BQAQ =8x x +4∴S =1 2 AP ·NE = 1 2 x · 8x x +4 =4x2x +4A B DEC PQ A BDE CPQN M即S =4x2x +4(0<x≤4)②当4<x<8时,点Q 在CD 上,作QF ⊥AB 于F ,交BD 于H则AEEQ=ADHQ=8 16-2x=48-x即AEEQ=4 8-x,∴AEAQ = 4 8-x +4 =412-x作EN ⊥AB 于N ,则 NEFQ=AEAQ∴NE =AE ·FQFQ=32 12-x∴S =1 2 AP ·NE = 1 2 x ·32 12-x =16x12-x即S =16x12-x(4<x<8) (3)当4<x<8时,由S =16x12-x,得x =12S16+S∵4<x<8,∴4<12S16+S<8 ∵S>0,∴16+S>0,∴4(16+S)<12S<8(16+S) 解得8<S<32 13.(浙江模拟)如图,菱形ABCD 的边长为6且∠DAB =60°,以点A 为原点、边AB 所在直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系.动点P 从点D 出发沿折线D -C -B 向终点B 以每秒2个单位的速度运动,同时动点Q 从点A 出发沿x 轴负半轴以每秒1个单位的速度运动,当点P 到达终点时停止运动.设运动时间为t ,直线PQ 交边AD 于点E . (1)求出经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式;(2)是否存在时刻t ,使得PQ ⊥BD ?若存在,求出t 值,若不存在,请说明理由; (3)设AE 长为y ,试求y 与t 之间的函数关系式;(4)若F 、G 为DC 边上两点,且点DF =FG =1,试在对角线DB 上找一点M 、抛物线对称轴上找一点N ,使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值.解:(1)由题意得:D (3,33)、C (9,33)设经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式为y =ax2+bx 把D 、C 两点坐标代入上式,得:A BDE CP QNF H⎩⎨⎧9a +3b =3381a +9b =33 解得:a =-3 9 ,b =433∴抛物线的解析式为:y =-39 x2+433x (2)连接AC∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD 若PQ ⊥BD ,则PQ ∥AC 当点P 在DC 上时∵PC ∥AQ ,PQ ∥AC ,∴四边形PQAC 是平行四边形 ∴PC =AQ ,即6-2t =t, ∴t =2当点P 在CB 上时,PQ 与AC 相交,此时不存在符合要求的t 值 (3)①当点P 在DC 上,即0≤t≤3时 ∵DP ∥AQ ,∴△DEP ∽△AEQ∴ DE y= DP AQ = 2tt =2,∴y = 13AD =2②当点P 在CB 上,即3<t≤6时∵AE ∥BP ,∴△QEA ∽△QPB∴AEBP=QAQB,即y12-2t=t6+t∴y =12-2t6+t综上所述,y 与t 之间的函数关系式为: y =⎩⎪⎨⎪⎧2 (0≤t≤3) 12-2t6+t(3<t≤6)(4)作点F 关于直线BD 的对称点F ′,由菱形对称性知F ′ 在DA 上,且DF ′=DF =1作点G 关于抛物线对称轴的对称点G ′,易求DG ′=4连接F ′G ′ 交DB 于点M 、交对称轴于点N ,则点M 、N过F ′ 作F ′H ⊥DG ′ 于H ,可得HD =1 2,F ′H = 3 2 ,HG ′=92∴F ′G ′=F ′H 2+HG ′ 2=21∴四边形FMNG 周长最小值为F ′G ′+FG =21+1 14.(浙江模拟)如图,直线y =-x +5和直线y =kx -4交于点C (3,m ),两直线分别交y 轴于点A 和点B ,一平行于y 轴的直线l 从点C 出发水平向左平移,速度为每秒1个单位,运动时间为t ,且分别交AC 、BC 于点P 、Q ,以PQ 为一边向左侧作正方形PQDE . (1)求m 和k 的值;(2)当t 为何值时,正方形的边DE 刚好在y 轴上?(3)当直线l 从点C 出发开始运动的同时,点M 也同时在线段AB 上由点A 向点B 以每秒4个单位的速度运动,问点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间有多长?解:(1)把C (3,m )代入y =-x +5得m =2 ∴C (3,2),代入y =kx -4得k =2 (2)由题意,点P 横坐标为3-t当x =3-t 时,y =-x +5=t +2,∴P (3-t ,t +2) ∵PQ ∥y 轴,∴点Q 横坐标为3-t当x =3-t 时,y =2x -4=2-2t ,∴Q (3-t ,2-2t ) ∴PQ =t +2-(2-2t)=3t ∵正方形PQDE ,∴PQ =PE当正方形的边DE 刚好在y 轴上时,3t =3-t ,∴t =34(3)∵直线y =-x +5交y 轴于点A ,∴A (0,5) ∴点M 坐标为(0,5-4t )当点M 和点P 的纵坐标相等时,5-4t =t +2,∴t =35∵3 5<3 4,∴点M 进入正方形PQDE 时,t =3 4当点M 和点Q 的纵坐标相等时,5-4t =2-2t ,∴t =3 2∴点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间为:t =32-3 4=3 415.(浙江模拟)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上,点B 坐标为(3,1),以OB 所在直线为对称轴将△OAB 作轴对称变换得△OCB .动点P 从点O 出发,沿线段OA 向点A 运动,动点Q 从点C 出发,沿线段CO 向点O 运动.P 、Q 两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点P (1)求∠AOC 的度数;(2)记四边形BCQP 的面积为S (平方单位),求S 与t (3)设PQ 与OB 交于点M . ①当△OMQ 为等腰三角形时,求t 的值. ②探究线段OM 长度的最大值,说明理由.解:(1)∵点B坐标为(3,1),∴OA=3,AB=1∴在Rt△OAB中,tan∠AOB=ABOA=13=33∴∠AOB=30°∵将△OAB作轴对称变换得△OCB∴△OCB≌△OAB,∴∠COB=∠AOB=30°∴∠AOC=60°(2)∵OP=CQ=t,AB=1,OC=OA= 3 ∴AP=OQ=3-t∴S=2S△OAB-S△OPQ-S△P AB=OA·AB-12OP·OQ·sin∠AOC-12P A·AB=3×1-12×t×(3-t)×32-12×(3-t)×1=34t2-14t+32(3)①若△OMQ为等腰三角形,则可能有三种情况:(i)若OM=MQ,则∠MQO=∠MOQ=30°∵∠AOC=60°,∴∠OPQ=90°∴OP=12OQ,即t=12(3-t)解得:t=3 3(ii)若OM=OQ,则∠OMQ=∠OQM=75°∵∠AOC=60°,∴∠OPQ=45°过点Q作QD⊥OA于D,则QD=DP即32(3-t)=t-12(3-t)解得:t=1(iii)若MQ=OQ,则∠OMQ=∠MOQ=∠MOP 得PQ∥OA,显然不符合题意②分别过点P、Q作OB的垂线,垂足分别为E、F ∵OP=t,OQ=3-t,∠MOP=∠MOQ=30°∴S△OPQ=S△OPM+S△OOM=12OM·PE+12OM·QF=14OM·OP+14OM·OQ=14OM(OP+OQ)=14OM(t+3-t)=34OM过点Q作QG⊥OA于G则S△OPQ=12OP·QG=12OP·OQ·sin60°=34t(3-t)=-34(t2-3t)∴34OM=-34(t2-3t)∴OM =-(t 2- 3t )=-(t -32)2+3 4∴当t =32时,线段OM 的长度取得最大值 3416.(浙江模拟)已知直线y =43x +4与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,点C 从O 点出发沿射线OA 以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时点D 从A 点出发沿AB 以每秒1个单位长度的速度向B 点匀速运动,当点D 到达B 点时C 、D 都停止运动.点E 是CD 的中点,直线EF ⊥CD 交y 轴于点F ,点E ′与E 点关于y t (秒).(1)当t =________秒时,点F 经过原点O ; (2)设四边形BDCO 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式;(3)当直线EF 与△AOB 的一边垂直时,求t 的值;(4)以CD 为一边,在CD 的右侧作菱形CDMN ,其中DM ∥x 轴.当点N 在直线E ′F 左侧时,直接写出菱形CDMN 与△EFE ′重叠部分为轴对称图形时t 的取值范围.解:(1)52提示: ∵直线y =43x +4与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ∴A (-3,0),B (0,4),∴AO =3,BO =4 ∴AB =AO 2+BO 2=3 2+42=5 当点F 经过原点时,连接OD 由题意,EF 是CD 的垂直平分线 ∴OD =OC =t∵AD =t ,∴AD =OD ,∴∠DAO =∠DOA ∵∠DBO +∠DAO =90°,∠DOB +∠DOA =90° ∴∠DBO =∠DOB ,∴OD =BD∴AD =BD ,∴AD =12AB =5 2(2)∵AO =3,BO =4,AB =5 ∴sin ∠BAO =BOAB=4 5 ,cos ∠BAO =AOAB =3 5过D 作DH ⊥AC 于H当0≤t≤3时∵CO =t ,AD =t ,∴AC =3-t ,DH =AD ·sin ∠BAO =45t ∴S =S △ABO-S △ADC=1 2 ×3×4-1 2 ·(3-t)·4 5 t = 2 5 t 2-65t +6当3<t≤5时,AC =t -3∴S =S △ABO+S △ADC=1 2 ×3×4+1 2 ·(t -3)·4 5 t = 2 5 t 2- 65t +6综合得S 与t 的函数关系式为: S =25t 2-65t +6(0≤t≤5) (3)当EF ⊥BO 时∵EF ⊥CD ,∴CD ∥BO ,∴∠ACD =90° 在Rt △ADC 中,ACAD=cos ∠BAO∴3-t t=3 5 ,∴t =158当EF ⊥AB 时∵EF ⊥CD ,∴直线CD 与直线AB 重合 ∴点C 与点A 重合,∴t =3 (4)t =5 4 或t =154提示:①当0<t<158则∠PEQ =∠MQE∵菱形CDMN ,∴CD ∥MN∴∠MQE =∠CEQ ,∴∠PEQ =∠CEQ ∵EF ⊥CD ,即∠CEF =90°,∴∠CEQ =∴∠ACD =∠CEQ =45°过D 作DH ⊥AC 于H ,则△DHC 是等腰直角三角形∴DH =HC ,∴4 5t =3-t -3 5 t ,∴t =54②当158<t<5,且重叠部分为等腰梯形EHNK 时 同理可得∠CHE =45° 连接DH∵EF 垂直平分CD ,∴CH =DH ,∠DHE =∠CHE =45° ∴∠DHC =90°,∴DH =45t 而CH =CO -HO =CO -(AO -AH)=t -(3-35t) ∴t -(3-3 5 t )=45 t ,∴t =15417.(浙江模拟)如图1,矩形ABCD中,AB=21,AD=12,E是CD边上的一点,DE=16,M是BC边的中点,动点P从点A出发,沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动.设动点P的运动时间是t秒.(1)求线段AE的长;(2)当△ADE与△PBM相似时,求t的值;(3)如图2,连接EP,过点P作PH⊥AE于H.①当EP平分四边形PMEH的面积时,求t的值;②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′,当线段B′C′与线段AE有公共点时,写出t的取值范围(直接写出答案).解:(1)∵ABCD是矩形,∴∠D=90°∴AE=AD2+DE2=122+162=20(2)∵∠D=∠B=90°∴△ADE与△PBM相似时,有两种情况:当∠DAE=∠PMB时,有DEPB=ADBM即1621-t=126,解得t=13当∠DAE=∠BPM时,有DEBM=ADPB即166=1221-t,解得t=332(3)①由题意得:S△EHP=S△EMP∵DC∥AB,∴∠DEA=∠HAP又∵∠D=∠AHP=90°,∴△ADE∽△PHA∴AHDE=PHAD=APAE,即AH16=PH12=t20∴AH=45t,PH=35t,EH=20-45t∴S△EHP=12×35t×(20-45t)∵DC=21,DE=16,∴EC=5∴S△EMP=S梯形EPBC-S△ECM-S△PBM=12(5+21-t)×12-12×5×6-12×(21-t)×6DACEBMP图1DACEBMPH图2DACEBM备用图D CEBMPHD CEBMPH∴12×35t×(20-45t)=12(5+21-t)×12-12×5×6-12×(21-t)×6解得t=75±5174∵0<t<21,∴t=75-5174②14011≤t≤20提示:当点B′落在线段AE上时连接B′P、EB,∵B′C′和BC关于PE对称∴B′P=BP=21-t,B′E=BE=BC2+EC2=122+52=13∴AB′=AE-B′E=20-13=7,B′H=AH-AB′=45t-7在Rt△B′HP中,B′H2+PH2=B′P2∴(45t-7)2+(35t)2=(21-t)2,解得t=14011当点C′落在线段AE上时连接C′P、CP,∵B′C′和BC关于PE对称C′P2=CP2=122+(21-t)2,C′E=CE=5∴AC′=AE-C′E=20-5=15,C′H=AH-AC′=45t-15在Rt△C′HP中,C′H2+PH2=C′P2∴(45t-15)2+(35t)2=122+(21-t)2,解得t=2018.(浙江模拟)如图,抛物线与x轴交于A(6,0)、B(19,0)两点,与y轴交于点C (0,8),直线CD∥x轴交抛物线于另一点D.动点P、Q分别从C、D两点同时出发,速度均为每秒1个单位,点P向射线DC方向运动,点Q向射线BD方向运动,设P、Q运动的时间为t(秒),AQ交CD于E.(1)求抛物线的解析式;(2)求△APQ的面积S与t的函数关系式;(3)连接BE.是否存在某一时刻t,使得∠AEB=∠BDC?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线与x轴交于A(6,0)、B(19,0)两点∴设抛物线的解析式为y=a(x-6)(x-19)∵抛物线与y轴交于点C(0,8)∴8=a(0-6)(0-19),∴a=457DACEBMPHC′B′NDACEBMPHB'C'∴y=457(x-6)(x-19)(2)作PF⊥x轴于F,QG⊥x轴于G,DH⊥x轴于H,∵CD∥x轴,∴PF=DH=OC=8当y=8时,457(x-6)(x-19)=8解得x1=0,x2=25∴D(25,8),OH=CD=25∵B(19,0),∴BH=25-19=6∴BD=BH2+DH2=62+82=10∵△BDH∽△BQG,∴BDBQ=DHQG=BHBG∴1010+t=8QG=6BG∴QG=45t+8,BG=35t+6∴FG=t+19+35t+6=85t+25,AG=35t+19∴S=S梯形PFGQ-S△P AF-S△QAG=12(PF+QG)·FG-12AF·PF-12AG·QG=12(8+45t+8)(85t+25)-12(t+6)·8-12(35t+19)(45t+8)=25t2+445t+100(3)∵AC=BD=10,∴四边形ABDC是等腰梯形∴∠ACD=∠BDC若∠AEB=∠BDC,则∠AEC+∠BED=∠BED+∠EBD ∴∠AEC=∠EBD,∴△AEC∽△EBD∴ACED=CEDB,即10ED=25-ED10解得ED=5或ED=20(>AB,舍去)∵△QED∽△QAB,∴EDAB=QDQB即513=tt+10,∴t=254∴存在某一时刻t,使得∠AEB=∠BDC,t=25 4。

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1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二)
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二)
3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点.
求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F .
求证:∠DEN =∠F .
A P C D
B A F G C
E B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
F
1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O
(1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)
2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线
EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形
CBFG ,点P 是EF 的中点.
求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.
1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .
求证:CE =CF .(初二)
2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .
求证:AE =AF .(初二)
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE .
求证:PA =PF .(初二)
4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于
B 、D .求证:AB =D
C ,BC =A
D .(初三)
1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5.
求:∠APB 的度数.(初二)
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA . 求证:∠PAB =∠PCB .(初二)
3、Ptolemy (托勒密)定理:设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·BD . (初三)
4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)
经典难题(五)
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,l =PA +PB +PC ,求证:
≤l <2.
2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC
3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.
4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA =300,∠EBA =200,求∠BED 的度数.。

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