数学三考研常见的知识点解析

知识点1：二重积分对称性问题

数学三考研对于二重积分对称性问题，要弄清这个问题首先就是要解决二重积分坐标变换的问题，首先是对二重积分坐标变化的引理，也就是通过什么样的坐标变换，使得积分的值不变，以及极坐标变换中r,为什么会出现，

上述公式有以下几个意思

第一点经过此坐标变换积分的值不改变，

第二点坐标变化应该是一对一的，只有这样才能保证积分的值不变， 第三点关于极坐标变换的r,其本质是雅可比行列式的值，也可以说是

.),()],(),,([),(:)3(;0)

,(),(),()2(),(),,()1()

,(),,(:),(⎰⎰⎰⎰=→'≠∂∂='''==D D dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D D T v u y x v u J D D v u y v u x D xoy D uov v u y y v u x x T D xoy y x f 是一对一的，则有变换上雅可比式在；

上具有一阶连续偏导数在且满足，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换上平面上的闭区域在设定理

积分复合函数的性质，所以在做极坐标变化的题目的时候，应注意关于后缀r 的书写

由上面的坐标变化我们引出对于二重积分对称性的证明，首先看第一条性质，

关于函数对称性问题性质一的证明我们可以用上面来证明，说一下思路，我们可以进行坐标变换如果积分区域关于x 轴对称那么我们采用坐标变换x 的值保持不变y 值变为(-t)，那么在xot 的坐标下积分的值是不变，（用上面的坐标变换定理），所以dxdt t x f xdy y x f d p ⎰⎰⎰⎰-=2

1),(d ),( 又由()⎰⎰==1

)-,(,1d y ,x f d y x f t y x x y 积分公式就变为了那么积分区域就变成了变换使得的奇函数，在经过坐标是关于函数

由

于函数是y 的奇函数所以dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f d d d d ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=11d 12),(),(),(),(),(所

以如果y 是奇函数那么我们就能得到积分结果为零

所以结论的证！

知识点2：什么是自由度

统计学上的自由度（degree of freedom, df ），是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度。

例如，在估计总体的平均数时，由于样本中的n个数都是相互独立的，从其中抽出任何一个数都不影响其他数据，所以自由度就是估计总体参数时独立数据的数目，而平均数是根据n个独立数据来估计的，因此自由度为n。

在估计总体的方差时，使用的是离差平方和。只要n-1个数的离差平方和确定了，方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知道了其中n-1个数的值，第n个数的值也就确定了。

这里，均值就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，估计总体方差的自由度为n-1。

首先来看一下卡方分布的定义：若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξ^2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ^2(n)分布，其中参数n 称为自由度，自由度不同就是另一个卡方分布，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样。卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布。

卡方分布在一象限内，呈正偏态，随着参数n 的增大，卡方分布趋近于正态分布。

卡方分布的均值为自由度n，均值是n方差是2n, 随机变量求均值；表示对随机变量求方差。从χ2分布的均值与方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。

接下来在我们经常会看到(n-1)s2/ó2是自由度为n-1的卡方分布，

为什么(n-1)s^2/ó^2是自由度为n-1的卡方分布呢？请看如下证明：xi为取自总体x∽N(u,ó^2)

显然,肯定有(xi-u)/σ∽N(0, 1) ,即服从标准正态分布

而根据卡方分布定义，（当xi服从标准正太分布时，xi^2服从卡方分布，且当被抽样数为n时,其自由度为n）

则可知：

∑(xi-u)^2/σ^2∽X^2 (n）

S^2 =1/(n-1)*∑(xi-x~)^2

而σ2=1/n*∑(xi-u)^2

所以有：

（n-1）S^2/σ^2=[（n-1）*1/(n-1)*∑(x-x~)^2]/σ^2

=∑(x-x~)^2/σ^2

问题就在x~为样本均值,而不是常数u,样本空间为n-1。而不是总体均值u,空间为n，也可以这样说样本均值出现以后，只需要n-1个数就能将所有的都确定。

因为在均值确定后，如果知道了其中n-1个数的值，第n个数的值也就确定了。

即如果将中的总体均值μ，用样本平均数x~代替，即得，它是否也服从χ2分布呢？

理论上可以证明，它是服从χ2分布的，但是参数不是n 而是n-1 了，究其原因在于它是n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变

量的平方和。

知识点3：

关于矩阵A*B=C r(c)<=min(r(A),r(B))的证明矩阵的帙的证明，通常要借助线性方程组，向量组，一些性质去解释，

那为什么A+B=C ;r(c)<=r(a)+r(b)

设:A的行向量组的一个最大无关组为: A1,

B的行向量组的一个最大无关组为: B1,

C为A1,B1合在一起的向量组,

显然,C可线性表示(A+B)的行向量组.

故r(A+B) <= r(C). (1)

又:C的向量个数为:r(A)+r(B).

故r(C)<=r(A)+r(B). (2)

综合知:r(A+B)<=r(A)+r(B).