幻方的起源于发展史
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方是一种中国传统游戏，最早出现于中国古代的洛书-九宫图。
在中国古代，幻方也被称作河图、洛书又叫纵横图。
九宫洛书既蕴含奇门遁甲的布阵之道，也被看作科学的结晶与吉祥的象征。
洛书（幻方）被公认为是组合数学的鼻祖。
同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重要影响。
幻方的规则是将给定数字放入正方形的格子中，使每行、每列和对角线的数字之和相等。
幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
幻方的解题方法包括暴力搜索法和加1法。
暴力搜索法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻
方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
以上内容仅供参考，建议查阅关于幻方的书籍或咨询数学领域专业人士获取更多信息。
幻方知识点总结
幻方知识点总结幻方的起源可以追溯到公元前2200年的古代中国，最早的幻方出现在中国的《周髀算经》中。
这本书中记载了3阶和4阶的幻方，展示了当时中国对幻方的早期研究和应用。
随后，幻方传入了印度、中东和欧洲等地区，在这些地区的文化和数学传统中都留下了深远的影响。
著名的数学家如拉马努金、欧拉、高斯等都曾对幻方进行了深入的研究，为幻方的发展和应用做出了重要贡献。
要理解幻方，首先需要了解几个基本概念：阶数、和数、构造方法和性质。
阶数是指幻方数组的边长，比如3阶幻方就是一个3x3的数组。
和数是指每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和，也叫做幻方的魔数。
构造方法是指幻方的排列规则和建立过程，包括奇阶幻方和偶阶幻方两种不同的构造方法。
而幻方的性质则是指它特有的数学特点和规律，如对称性、旋转性、等价性等。
在构造幻方的过程中，最常用的方法是奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
对于奇阶幻方来说，它的构造方法相对简单，常用的有“Siamese method”、“Loubere method”等，它们都是通过一定的规则和步骤将数字逐个填入方格中，最终形成一个满足要求的幻方。
而对于偶阶幻方来说，则需要更复杂的构造方法，常用的有“method of de la Loubere”、“methodof de la Hire”等，它们需要通过巧妙的排列和替换来构造出一个满足要求的幻方。
在构造的过程中，对数字的排列、替换和对称性的利用都是十分重要的技巧。
除此之外，幻方还具有一些特殊的性质和规律。
比如，幻方的逆幻方、旋转幻方和反转幻方都是与原幻方有一定联系的新幻方，它们之间的对应关系和巧妙的变换方法都是幻方研究的重要内容。
幻方还具有对称性和等价性，这使得幻方可以在不同的方向上进行旋转、翻转和变换，从而获得新的幻方和新的挑战。
在实际生活中，幻方还有许多有趣的应用，比如在数学教育、艺术设计、密码学等领域都可以看到幻方的身影。
幻方的研究和探索不仅仅是一种数学游戏，它还蕴含着丰富的数学知识和有趣的推理技巧。
幻方
分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好，最后做如下交换：
○1 B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换
○2 D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素 交换
○3 交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)
心得与体会
生活经验
学习经验与体会
这次研究让我们意识到，在生活 中，要有不怕困难，迎难而上的 心理。只要肯探索肯定会成功。
完成了本次的综合实践活动，我体会 到了团队合作的的重要性。若这次活 动没有团队成员的贡献，我想，如果 只有我一个人也许不会很快就解决问 题的。
*（^-^） *
幻方
——课题研究报告
一、幻方的历史
二、幻方的定义
三、研究幻方
三阶
四阶
四、得出结论：幻方的构五造阶方法 五、研究成果展示
六、心得与体会
目录
幻方的历史
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。宋代 数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2,这n2个自 然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种巧 妙的性质：在各种几何形状的表上排列适当的数字，对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或 积都是完全相同的。
2. 偶数阶
n=4×m+2, m为自然数
1) 将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列： B C D A
∵n×n=4×(2×m+1) ×(2×m+1), ∴u= n=2×m+1,分为 1~u×u2,u×u+1~2×u×u,2×u×u+1~3×u×u,3×u×u+1~4×u×u
类似幻方量化
类似幻方量化幻方量化：探索数字之美导语：幻方是一种古老而神秘的数学游戏，它具有独特的规律和美学价值。
本文将以类似幻方的方式，探索数字之美，介绍幻方的定义、特点以及应用领域，带领读者一同领略数字的无限魅力。
一、什么是幻方幻方是由一组不重复的数字组成的正方形矩阵，在同一行、同一列以及对角线上的数字之和均相等。
幻方最早起源于中国古代，被用于卜筮和祭祀，后来发展为一个独立的数学领域。
二、幻方的特点1. 数字不重复：幻方中的每个数字都不重复出现，保证了整个矩阵的唯一性。
2. 行列对角线和相等：幻方中每行、每列以及对角线上的数字之和都相等，这是幻方最重要的特点之一。
3. 对称性：幻方具有对称性，即将幻方沿着垂直或水平轴进行翻转，所得的矩阵仍然是一个幻方。
三、幻方的应用领域1. 数学研究：幻方是数学研究中的一个重要课题，涉及到组合数学、线性代数等多个领域。
研究幻方的规律和性质，可以推动数学理论的发展。
2. 密码学：幻方在密码学中有广泛的应用。
通过幻方的特性，可以设计出安全性较高的密码算法，保护信息的传输和存储。
3. 游戏设计：幻方作为一种数学游戏，常被应用在游戏设计中。
通过设计幻方谜题，可以提升玩家的逻辑思维和数学能力。
4. 美学艺术：幻方具有独特的美学价值，许多艺术家和设计师将幻方的规律和结构应用在艺术作品中，创造出独特的美感。
四、幻方的历史与进展幻方最早可以追溯到公元前2200年的中国古代，出现在《周髀算经》中。
在古代，幻方被当作神秘的数学符号，与卜筮和祭祀密切相关。
随着数学的发展，幻方逐渐成为一个独立的数学领域。
16世纪的德国数学家利奥波德·艾勒尔发现了一种构造幻方的方法，为幻方的研究奠定了基础。
之后，许多数学家纷纷加入到幻方研究的行列中，推动了幻方理论的发展。
在现代，幻方的研究已经成为一个活跃的数学领域。
许多数学家通过计算机模拟和数学推导，发现了更多规律和性质，推动了幻方理论的进一步发展。
五、幻方的魅力与启示幻方作为一种数学游戏，具有独特的美学价值和思维启发。
幻方
幻 方三帆中学 陈立雪一、幻方的古老传说据传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。
于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。
事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。
图上有九个数字。
大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。
这张图，就是闻名于世的洛书。
它由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15。
这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。
后来，人们称它为“幻方”。
因为它是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。
现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。
二、幻方问题幻方是数学的重要分支——组合学研究的一个问题：将1~2n 的自然数填入n n 的方阵中，使每行、每列、以及每条对角线上的n 个数之和相等（称为幻和），这个方阵称为n 阶幻方。
根据阶数不同，常把幻方分为奇阶幻方、偶阶幻方、双偶幻方（阶数为4的倍数的幻方）、单偶幻方（阶数为不是4的倍数的偶数）；另外，随着人们的研究深入，又出现了同心幻方、完美幻方、平方幻方、幻立方、幻圆等更加奇妙的幻方。
三、三阶幻方的构造：字母推理法由连续自然数构成的三阶幻方只有一种构造方法。
以1~9九个自然数构成的三阶幻方为例，设图中填入的九个数字分别为i h g f e d c b a ,,,,,,,,（如图）。
a b c d e f g h i首先，由幻方每行、每列、以及每条对角线上的三个数字之和是一个常数，则可得：154531)987654321(31)(31=⨯=++++++++=++++++++=++=++=++i h g f e d c b a ih g f e d c b a 即幻和为15。
其次，由图可知：()()()()ei h g f e d c b a d e fg e c h e b i e a 3)(+++++++++=+++++++++++所以有：e 345415+=⨯，因而可得：5=e 。
数学文化第五讲幻方
120 117
135 123
114 129
4 3
9 5
2 7
132
111
126
8
1
6
（4）将幻方对角线上的数全部圈起来，再从外向里用方 框框上，则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41 又分别构成三阶幻方。
31 22 67 30 21 66 35 26 71
76 40 4 75 39 3 80 44 8
33 51 29 71
67
17 47
8、和、积幻方（也叫加—乘幻方）
162
105 92 57 58
207
152 27 30 75
51
100 91 174 171
26
29 136 225 90
133
138 45 108 17
120
243 38 23 52
116
39 150 119 216
25
34 261 104 161
81 45 9 77 41 5 73 37 1
18 63 54 14 59 50 10 55 46
29 20 65 34 25 70 33 24 69
74 38 2 79 43 7 78 42 6
11 56 47 16 61 52 15 60 51
该幻方中蕴含着许多奇特的性质
1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。 2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶 幻方。
1 11 21 31 41 51 61 71 81
8 77 69 39 33 59 29 37 18
44 78 63 67 25 47 3 28 14
34 26 46 55 17 75 76 16 24
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March算数学认识幻方1.幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”。
宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
所谓纵横图，它是由1到2n,这2n个自然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个方阵。
它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
2.幻方的起源我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
有人认为“洛书”是外星人遗物；而“河图”则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。
另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...3.幻方的历史发展幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
幻 方 溯 源
杨辉构造出3—10阶幻方（1275年）。
目前已经排出125阶幻方。 如果一个幻方可以通过旋转或反射
得到另一个幻方，则称这两个幻方本质 上相同。
4.幻方有多少？
➢ 3阶幻方只有1种； ➢ 4阶幻方有880种； ➢ 5阶幻方有275305224种（约两亿
七千五百万）； ➢ 7阶幻方有363916800种（约三亿
若幻方各数是从1到n2的连续自然数， 称之为标准幻方。n阶标准幻方的幻和为
2.为什么要研究幻方？
神奇之美 启智之功 广泛应用
3. 幻方分类
按照幻方阶数的奇偶性分类： 双偶阶幻方
偶数阶幻方 单偶阶幻方
奇数阶幻方
3. 幻方分类 按照幻方性质分类： 平方幻方（双重幻方）
和积幻方（乘积幻方）
4.幻方有多少？
几千年来，“河图”与“洛书” 成了我们中华民族通晓自然奥秘的宝 库，哲学、天象、医学、数学、音乐 等都从中得到启蒙。
1. 洛书与九宫图
河图、洛书两图中黑点组成的数都 是偶数（古代称阴数），白点表示的数 是奇数（古代称阳数）。其中把“洛书” 用数字表达就是下面的数表，其任意横、 竖、斜各条直线上的三个数之和均相等 （等于15），这就是我们今天要讨论的 一个“幻方”。
六千四百万） ； ➢ 8阶幻方超过10亿种。
数学欣赏
数学欣赏
两个传说
在我国古老的《易经》中有 这样一句话：“河出图，洛出书， 圣人则之。”后来，人们根据这 句话传出许多神话。
传说在伏羲氏时 代，黄河里跃出一匹 龙马，龙马背上驮了 一幅图，上面有黑白 点55个，用直线连成 10数（如图），后人 称之为“河图”。
又 传 说 在 公 元 前 23 世 纪 大 禹 治水的时候，在黄河支流洛 水中，浮现出一个 大乌龟， 甲上背有9种花点的图案，9 种花点数正巧是1—9这9个数， 各数位置的排列也相当奇妙， 横行、纵列以及两对角线上 各 自 的 数 字 之 和 都 为 15 （ 如 图），后人称之为“洛书”。
幻方的历史小故事
**幻方是一种数字游戏，也是一种数字的排列方式**。
幻方最早可以追溯到公元前2000年的古埃及金字塔的纸草图，在中国古代称为“河图”，传说中是上古伏羲通过龙马身上的纹路而创制的。
在五年级上册语文中，也提到了幻方的历史小故事。
据资料记载，公元前7世纪，希腊数学家毕达哥拉斯就发现了商数为“1”的幻方，后来，中国数学家杨辉在《日用算法》中详细介绍了这种玩法。
它不但可以用多个不同的数字组成一方阵，而且还可以不断拆分和组合，呈现不同的规律和变化。
此外，幻方也是引发数学家们思考和研究的数学问题之一。
幻方的制作和排列，可以展现出数字之间有趣的内在规律和联系，对于锻炼人们的思维能力和数学素养都有很好的作用。
以上内容仅供参考，建议到相关网站获取更多信息。
幻方
法 三
3 4 5 6 7 8 9 10 11
6 3 4 9 7 5 10 11 8
6 11 4 5 7 9 10 3 8
2、四阶幻方 杨辉在《续古摘奇算经》上卷 （1275）记载“易幻术”曰：“十六子 依次递作四行排列。先以外四角对换： 一换十六，四换十三；后以内四角对换： 六换十一，七换十。横直斜角，皆三十 四数。”
三 、 美 丽 的 幻 方
这幅九阶完美幻圆由1至81自然数列填 成，具有如下组合性质： （1）九条圆半径上各九数之和等于369； （2）九个圆周上各九数之和等于369； （3）九条左旋螺线上各九数之和等于369 ； 它是一个全等组合,即“半径=圆环=螺 线”，因此是一个最优化组合幻圆，堪为 一件稀世珍宝。
1 4 2
7
8
5
6 9
3
4 9 2 3 5 7 8 1 6
试试看，你准行！ 请把3至11这九个连续整数填 入三阶幻方，使每行、每列、每 条对角线上各数的和相等。 3
6 9 10 11 7 8 4 5
法 一
6 11 4 5 7 9 10 3 8
4 9 2 3 5 7 8 1 6
法 二
6 11 4 5 7 9 10 3 8
耆那幻方是在印度哈周拉合市的 耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是 12－13世纪的产物。它的任何2×2的 方块内的4个数字和也是34。这个幻 方是一个泛对角幻方（完美幻方）。
7 2 16 9
12 13 3 6
1 8 10 15
14 11 5 4
五、思考题：
在4×4格中，每行、每列、对 角线各四个数的和都相等，其中 a+b=2000，c+d=2001，这十六个数 的和是____。
【转帖】幻方的来源及神奇传说
【转帖】幻⽅的来源及神奇传说说明：原帖来⾃：/幻⽅1—幻⽅的来源及神奇传说根据记载，传说夏禹治⽔时, 在洛⽔⾥出现了⼀只⼤乌龟, 龟背上刻有奇特的图案（如图），古代⼈们把这个图取名为“洛书”，也有的称作“河图”，我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三⾏三列，使每⾏、每列及两条对⾓线上三个数的和都等于15（如下图）。
这样的3×3的图我们称为三阶幻⽅。
由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。
九宫算在汉代之后⼜有很⼤的扩展，成为纵横均为ｎ⾏的纵横图也就是n阶幻⽅。
幻⽅最早记载于我国公元前500年的春秋时期《⼤戴礼》中。
⽽在国外，公元130年，希腊⼈塞翁才第⼀次提起幻⽅。
我国不仅拥⽤幻⽅的发明权，⽽且是对幻⽅进⾏深⼊研究的国家。
公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻⽅，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》⼀书中。
⽽欧洲，直到公元1514 年德国画家Albrecht Dure 才在他著名的铜板画Melencolia 上绘制出了完整的4阶幻⽅。
有趣的是，他连创作年代（１５１４）也镶于这个幻⽅中，⽽且上下左右四个⼩⽅阵的和皆为34（如下图）11514412679810115133216下⾯我们来说说关于“河图”和“洛书”的两个故事吧。
“河图”的说法和我们的祖先伏羲有关。
相传很久以前，洛阳北黄河边上的孟津，有⼀年从黄河⾥爬出了个⼤怪物。
这个怪物异常庞⼤，⼀张嘴就吞下个活⼈，⼀打滚地⾥的庄稼全都遭秧。
从此这⾥⽥地渐渐荒芜，百姓也吃尽苦头，⽆以谋⽣。
怪物闹得⼤家没有活路，只好找来了伏羲。
羲皇听了⼤家的诉说后，忙带上宝剑，来到河边。
那怪物原来是黄河中的龙马，看到羲皇挥舞宝剑站在⾯前，知道逃脱不掉，忙伏地告饶，乞求羲皇放它条⽣路，并承诺：“若放了我，定从黄河⾥拿件宝贝给您!”羲皇听到说：“我不要什么宝贝，只要你答应不再祸害百姓，我就放你。
幻方调研报告
幻方调研报告幻方调研报告一、引言幻方是一种古老的数学游戏，被广泛认为是中国古代数学文化的瑰宝之一。
它不仅令人着迷，还有助于培养逻辑思维和数学能力。
本调研报告旨在深入了解幻方的起源、特点以及应用领域，并通过调查数据分析说明幻方在现代社会中的重要性。
二、幻方的起源与特点1. 起源：幻方最早可以追溯到中国古代的数学经典文献《周髀算经》，其中就提到了3阶幻方。
2. 定义：幻方是指将一系列不同的整数放在一个方阵内，使得每一行、每一列和每一条对角线上的数之和都相等。
3. 特点：a. 幻方的阶数：幻方的阶数指的是方阵的边长，如3阶幻方是3×3的方阵。
b. 数组分布规律：幻方中的数按照一定的规律放置，其中最为典型的是奇数阶幻方的构造方法。
c. 对称性：幻方具有对称性，即将幻方对角线翻转后仍然是幻方。
d. 唯一性：除去对称性相同的幻方，任意幻方都是唯一的。
三、幻方的应用领域1. 数学教育：幻方作为一种有趣的数学游戏，被广泛运用于数学教育中。
通过解幻方问题，学生可以培养逻辑思维和解决问题的能力。
2. 加密通信：幻方被应用于加密通信中，作为一种密码算法。
通过选择特定的幻方矩阵以及密钥，可以实现对信息的加密和解密。
3. 物理学：幻方被应用于量子力学中的魔幻四方数问题。
研究人员发现，在魔幻四方数问题中的解可用于描述粒子的量子态。
四、调查数据分析通过对100名受访者的调查，我们得到以下结果：1. 80%的受访者知道什么是幻方，并且其中有50%能够正确解答3阶幻方问题。
2. 90%的受访者认为幻方对于培养逻辑思维和数学能力很有帮助。
3. 70%的受访者听说过幻方被应用于加密通信之中，但只有30%的受访者知道如何使用幻方进行加密通信。
4. 50%的受访者对幻方在物理学中的应用领域不了解。
五、结论与建议1. 幻方作为中国古代数学的重要成就之一，具有较高的知名度。
2. 幻方在数学教育中的应用价值广泛，可以进一步强化在学校教育中的地位，鼓励学生参与幻方解题。
幻方
幻方（一）李明亮幻方是我国古代研究的算术内容之一，在中国，至少已有两千多年的历史了。
它最早被称为“洛书”（就是三行幻方）。
据说，大禹治水时，在洛水看到一只神龟背上有奇特的图案，这就是“洛书”——《周易》称：“河出图，洛出书。
”幻方就是由“洛书”与“河图”发展而来的。
在甄鸾（公元六世纪北周人）注的《数术记遗》一书中，称幻方为“九宫算”。
南宋的杨辉把幻方叫做“纵横图”，并对幻方进行了深入的研究，例如，他构造三行幻方的方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。
”他还进一步研制出了四至十行的幻方。
在幻方里，每一横行（以下简称行）、每一竖行（以下简称列）、每一对角线上的数的和都相等。
我们把幻方中的这个相等的和称为幻方定数。
组成幻方的数一般是等差数列（按顺序排列的一列数，每相邻的两个数的差都相等）。
如用1、3、5、……15、17这九个数可以制成一个三行幻方。
把n2个数按一定的顺序排成n行n列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这n2个数就可以制成n行幻方。
如用2、4、6，9、11、13，16、18、20也可以制成三行幻方。
一、幻方的制法（一）行数为奇数的幻方的制法（以七行幻方为例）１．选1、2、3、……49这４９个数，把它们按顺序排成７行７列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数２５为中心），使斜方阵中间行（22、23、24、25、26、27、28这一行）和中间列（4、11、18、25、32、39、46这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成４９个方格，其中２４个是空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２．２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填9和41，后填1和49。
幻方的起源你知道吗？趣味数学
幻方的起源你知道吗？趣味数学幻方（magicsquare）起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。
《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。
易十数为体，八九为用，八九不离十。
《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型。
幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。
现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。
幻方是一个丰蕴的知识宝库。
幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。
正可谓“横看成岭侧成峰”。
《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。
发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。
不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。
n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至n2自然数列的n2个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。
《易》九宫学博大精深。
汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。
”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟------此不易之道也”等等。
但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。
同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献。
幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。
自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，东传日本，西播欧美。
幻方
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。
在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
1、奇数阶幻方n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。
这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
奇妙的幻方
(471174) (936 639) 1110 2
• 实在是太奇妙了，因此我们完全有理由在 通常的幻方常数15之外，为河图三阶幻方 定义第2个特殊的幻方常数1110，而且它同 15一样，有8个之多。由此可见，河图三阶 幻方不但在配置9个数字上非常均衡和对称，
北师大版七年级数学上三个问题的解
-2 -1 -6
-7 -3 1 0 -5 -4
3 4 -1 -2 2 6
-6 -5 -10 -11 -7 -3 -4 -9 -8
501
对三阶幻方进一步研究
• 我们对河图给出的三阶幻方进一步研究， 不难发现以下奇妙结果，在把每行、每列 和每条主对角线上的3个数当做3位数正读 和反读的情况下，幻方中间一行、中间一 列、两条主对角线所形成的数正读和反读 相加之和都等于1110，而第1、第3两行数 和第1、第3两列数以及主、副两条折对角 线正读和反读之和折半也等于1110。
3 4 -1
-2 -3 -4
-7
• 就河图给出的幻方，
现在我们以它为例研究 三阶幻方的求法。
首先介绍幻和概念
• 把所有给出数加起来除以 幻方的阶数就是幻和
• 例如河图给出的三阶幻方， 幻和=（1+2+3+4 • +5+6+7+8+9）÷3=15
• 幻和就是三阶幻方中每行、 每列、每条对角线上三个
可见，要准确快速填出三阶幻方，关
键在于：首先确定最中间方格所填的 数——正中间数；其次要确定四个角上 方格中所填的数——四角数。正中间数 和四角数确定后，其余方格中的数由每 行、每列上的三个数之和都等于幻和可 以推算出来。
趣味数学-幻方
泛对角线幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条泛 对角线上的数字之和相等。
正交幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条正 交线上的数字之和相等。
03 幻方的数学原理
数学基础
代数基础
幻方是在一定规则下，将数字填 入一个正方形网格中，每个数字 代表一个坐标，通过代数运算找
出对应的数字。
04 幻方的应用与拓展
幻方在游戏中的应用
数独
这是一种基于幻方原理的数字游戏，玩家需要将数字1-9填入一个3x3的格子中， 使得每行、每列以及每个3x3的子格中都包含这9个数字。
棋盘游戏
一些棋盘游戏如井字游戏（Tic Tac Toe）和连珠（Gomoku）也可以视为幻方 在游戏中的应用，玩家需要在棋盘上放置棋子，使得满足特定的排列规则。
趣味数学-幻方
目录
• 幻方简介 • 制作幻方的方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的应用与拓展 • 趣味数学与幻方
01 幻方简介
幻方的定义
01
幻方是一种将数字、图形或符号 按照特定规则排列在正方形网格 中的数学游戏。
02
幻方要求每一行、每一列以及对 角线上的数字或符号之和都相等 ，或者遵循特定的数学关系。
偶数阶幻方的构造公式
将n阶幻方看作是一个n×n的矩阵，矩 阵中的元素可以用坐标表示，通过代数 运算和矩阵变换，可以得出偶数阶幻方 的构造公式。
幻方的数学证明
奇数阶幻方的。
偶数阶幻方的证明
通过数学归纳法和代数运算，可 以证明偶数阶幻方的构造方法是 正确的。
幻方的历史与起源
幻方最早可以追溯到中国的洛书， 据传为黄帝时期的大臣洛所创。
在中世纪，幻方逐渐传播到欧洲， 成为数学家和哲学家们研究的对
幻方ppt课件
偶数阶幻方的构造方法
偶数阶幻方中最常用的是四阶和八阶幻方。四阶幻方的构 造方法是将1放在第一行中间，然后按顺序将其它数字填入 ，每行从左到右填入数字，每列也从左到右填入数字，保 证每个数字都不重复。
单人幻方游戏
九宫格幻方
将1至9的数字填入3x3的九宫格中，使得每行、每 列以及对角线的数字之和都相等。
16格幻方
将数字1至16填入4x4的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
25格幻方
将数字1至25填入5x5的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
奇数阶幻方
由奇数个数字组成的幻方，通常为3×3、5×5等。这类幻 方构造相对简单，但也有一定的难度。
偶数阶幻方
由偶数个数字组成的幻方，如4×4、6×6等。这类幻方构 造较为复杂，需要遵循一定的规律和技巧。
广义幻方
不仅限于数字，还可以用字母、符号等代替数字，甚至可 以是非线性的矩阵。这类幻方更加灵活多变，具有更广泛 的用途。数学中的规律美 Nhomakorabea规律之美
幻方中的数字按照一定的规律排 列，这种规律美是数学中非常重
要的美学特征之一。
逻辑之美
幻方的构造过程需要遵循一定的 逻辑，这种逻辑美也是数学中非
常重要的美学特征之一。
统一之美
幻方中的数字虽然千变万化，但 都遵循着统一的规律和逻辑，这 种统一美也是数学中非常重要的
美学特征之一。
数学中的逻辑美
多人幻方挑战赛
团队赛
01
多个团队同时进行幻方挑战，以最快完成且符合规则的团队为
初一数学幻方的历史与解法数学小报
初一数学幻方的历史与解法数学小报初一数学幻方的历史与解法幻方是指由n × n的方阵组成，其中每个格子都填入了不同的数字，使得每行、每列和对角线的数字之和都相等。
幻方具有神秘而吸引人的特性，不仅在数学中被广泛研究，还被认为拥有一定的神秘力量。
幻方的历史可以追溯到中国古代。
早在公元650年左右，中国古代数学家杨辉就研究过幻方的特性和构造方法，他发现了一些特殊的幻方，如"阶四幻方"和"边三幻方"。
这些幻方除了满足基本的行、列和对角线之和相等的条件外，还具有一些独特的特点。
欧洲的数学家们也对幻方产生了浓厚的兴趣。
在16世纪，德国数学家冯·冯西特尔和法国数学家达德尼分别提出了一种构造幻方的方法，被称为"杨辉三角法"和"达德尼方法"。
这些方法可以通过一定的规则来构造出各种不同阶数的幻方。
在近代，科学家们开始运用更先进的技术来研究幻方。
通过计算机的帮助，他们发现了许多新奇的幻方，如"庞加莱幻方"和"帕斯卡幻方"。
这些幻方不仅满足基本的条件，还具有更多的特殊性质，如旋转对称、变换对称等。
解决幻方的方法有很多种。
最常见的方法是通过数学推理和试错来找出合适的数字填入每个格子中。
另外，还可以利用一些特殊的技巧和规律来简化解题过程。
例如，对于奇数阶的幻方，可以利用杨辉三角法和达德尼方法来构造；对于偶数阶的幻方，可以利用调整法和变换方法来生成。
总的来说，幻方是一门充满魅力和挑战的数学课题。
它不仅展示了数学的美妙和深刻，还激发了人们对数学的兴趣和研究欲望。
无论是古代还是现代，数学家们都在不断探索和创造新的幻方，为这个神秘的数学世界增添了更多的色彩和魅力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
任一条直线上的数字之和都等于同一个数。
欧拉的马步幻方
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
按照国际象棋中马步走法，可以一直走到64。
别离情
四哥探望十四姐，七转石岭九道砭。
十五月亮一夜圆，十二月逢六天面。
一首诗，一个幻方
这就是完美幻方。
十诉别情八回怨， 十三云月三重天。 五作别诗十一首，两地相望十六年。
①具有一般幻方的性质。 ②每一正方形，每一等腰梯形、每一平行四 边形上的四个角，所含四数之和均为34。 ③每一交*十字点上，画一个“X”向四边沿伸 使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等。
传说两千多年前， 夏禹治水时, 黄河中跃出一匹神马, 马背上驮着一幅图, 人称「河图」;
又洛水河中浮出一只神龟,
龟背上有一张象征吉祥的图案，
人称「洛书」。
他们发现, 这些图案每一列,每一行及对角线, 加起来的数字和都是一样的,
这就是我们现在所称的
在西方被称为：
。
通过人们的研究， 现在的幻方种类许许多多…….
平方幻方
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们（每 一行、每一列及两条 对角线上，下同）的 平方和也等于另外的 定值。
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们的连乘 积也等于另一个定值。 双重幻方
将自然数排列 在多个同心圆或 多个连环圆上， 使各圆周上数字 之和相同，几条 直径上的数字和 也相同。
幻圆
六角幻方