信号与系统知识要点

《信号与系统》知识要点

第一章 信号与系统

1、周期信号的判断 （1）连续信号

思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果

11

22

T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。 （2）离散信号

思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①

02πω为整数时，周期0

2N π

ω=； ②

1

2

2N N π

ω=

为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③

2π

ω为无理数时，为非周期序列 注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。 2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义

连续信号 离散信号

信号能量： 2

|()|

k E f k ∞

=-∞

=

∑

信号功率： def

2

22

1lim ()d T T T P f t t T →∞-

=⎰ /2

2/2

1lim

|()|N N k N P f k N →∞=-=∑

（2）判断方法

能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律

①一般周期信号为功率信号；

②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；

③还有一些非周期信号，也是非能量信号。

⎰∞∞

-=t t f E d )(2

def

3 ① ②

4、信号的基本运算

1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化

a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →

3) 信号的微分和积分

注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。 5、阶跃函数和冲激函数 （1）单位阶跃信号

00

()10t u t t <⎧=⎨>⎩

0t =是()u t 的跳变点。

（2）单位冲激信号

定义：

性质：

()1

()00

t dt t t δδ∞-∞⎧=⎪⎨

⎪=≠⎩⎰ t

1）取样性 11()()(0)

()()()

f t t dt f t t f t dt f t δδ∞

-∞∞

-∞

=-=⎰⎰

()()(0)()f t t f t δδ=

000()()()()f t t t f t t t δδ-=-

2）偶函数 ()()t t δδ=-

3）尺度变换 ()1

()at t a

δδ=

4）微积分性质 d ()

()d u t t t

δ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰

（3）冲激偶 ()t δ'

性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-

()()d (0)f t t t f δ∞-∞

''=-⎰

()d ()t

t t t δδ-∞

'=⎰

()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞

-∞

'=⎰

（4）斜升函数 ()()()d t

r t t t εεττ-∞

==⎰

（5）门函数 ()()()22

G t t t τττ

εε=+--

6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性

1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。

当激励为1122()()C f t C f t +时，系统的响应为1122()()C y t C y t +。 2）线性系统

①分解特性： )()()(t y t y t y zs zi += ②零输入线性 ③零状态线性

（2）时不变性 :当激励为0()f t t -时，响应为0()y t t -。 （3）因果性 （4）稳定性

（5）微、积分特性。

第二章 连续系统的时域分析

1、时域分析法

；

强迫响应自由响应全响应)()()(t y t y t y p h +=

；零状态响应零输入响应全响应)()()(t y t y t y zs zi +=（一般都可以通过复频域分

析法求）

2、冲激响应与阶跃响应 （1）定义：

冲激响应：由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应，记为h (t)。 阶跃响应：由单位阶跃函数ε(t )所引起的零状态响应，记为g (t)。 （2）关系：()()

()(),t dg t h t g t h d dt

ττ-∞==⎰

3、卷积积分

（1）定义 ()()()()1212*f t f t f f t d τττ∞-∞

=-⎰

（ 两个因果信号的卷积，其积分限是从0到t ）

（2）计算：一般计算用拉普拉斯变换；如果要计算某一个值，比如设

()()()12*f t f t f t =，计算()3f ，用图示法。图示法可分解为四步： 1）换元： t 换为τ→得 f 1(τ)， f 2(τ)

2）反转平移：由f 2(τ)反转→ f 2(-τ) 右移t → f 2(t-τ) 3）乘积： f 1(τ) f 2(t-τ)

4）积分： τ从-∞到∞对乘积项积分。 （3）性质：

a ）代数律（交换律；结合律、分配律）

b ）()()()*f t t f t δ=

()()()00*f t t t f t t δ-=-

)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ

()*()()t t t t εεε=

()*()()d t f t t f εττ-∞

=⎰

c ）卷积的微分与积分：设()()()12*f t f t f t =，则()()()()()()12*i j i j f t f t f t -=

d ）卷积结果函数定义域的确定

设 ()1f t 的定义域为：[]12t t t ∈，()2f t 的定义域为：[]34t t t ∈，

那么()()()12*f t f t f t =的定义域为：[]1324t t t t t ∈++

第三章 离散系统的时域分析

1、时域分析法

全响应y(k)=自由响应y h (k)+强迫响应y p (k)