3.2 时延分析

路由器A每秒平均发送8个分组到路由器B,分组间隔 服从负指数分布,分组长度服从均值为400字节的负 指数分布.路由器A,B之间的链路速率为64kbit每秒. 问: 路由器A逗留的分组数？等待发送的呢? 路由器A的缓存里分组大于等于10的概率? 解: λ= 8 packets/s, µ = 64 kbit/s/(400×8 bit/packet) = 20 packets/s ) , ρ =λ/µ = 8/20 = 0.4 E[N] = 0.4/(1 − 0.4) = 0.67. 缓存里分组大于等于10的概率=0.410 = 10−4.
排队系统的Kendall表示法
A/B/C/D/E 影响服务时间概率分布的因素
服务时间 = 顾客提交的工作量(分组长度)/ 服务器的工作速率(信道容量)
排队系统的Kendall表示法
M/M/1 Poisson到达过程 服务时间服从指数分布 一个服务器 无穷多系统空间 无穷多顾客
pn n (1 - )
系统中等候的平均顾客数目
N

1-

l
m -l
M/M/1排队系统
顾客在系统中停留的平均时间(Little定理)
T
N
l
1 l m -l m -l
1
l
M/M/1排队系统
排队长度超过n的概率
P{N n} 1 - P{N n}
i n pi
md
1 - ld - md
md
系统处于稳态时，脱离状态n 与进入状态n的概率相等，即
p0l p1m
p1 (l m ) p0l p2 m p 2 (l m ) p1l p3 m p 3 (l m ) p 2 l p 4 m
... p n (l m ) p n-1l p n 1m
例题
解: M/M/1排队系统 已知w=5分钟，λ=5人/分钟 1 l W T -
m
( m - l )m
解得μ=5.193 人/分钟
平均服务时间为1/μ=0.1926分钟/人 提高10%的服务速度，μ=5.712人/分钟 平均服务时间=1/μ=0.175分钟/人
例子2
i=0，j=1
P(N (t t ) 1 | N (t ) 0) p(t内到达一个顾客 ) lte - lt lt o(t )
i=0，j>1
(lt ) j e -lt p(t内到达j个顾客) o(t ) j!
p i ,i 1(t ) P(t内到一个顾客而没有顾 客离开）

i n n p0

p0 i n n

p0 n 1-
n
问题：如果是后到先服务，概率是什么？
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
=0.8； N= /(1- )；P(Nn)= n
Pij P{N k 1 j | N k i, N k -1 i - 1, , N0 0}
P{Nk 1 j | Nk i}
转移概率计算
p0,0 p 0, j pi ,i 1 pi , j (t ) pi , j pi ,i -1 pi , j pi , j i 0, j 0 i 0, j 1 i 0, j i 1 i 0, j i 1 i 0, j i - 1 i 0, j i - 1 j i 1
M/M/1 排队系统
2 服务过程的统计特性
服务时间服从参数为m的指数分布S(t)，即：
服务速率为m--平均服务时间为1/ m 顾客离开的间隔时间是独立同分布的 顾客服务采用等待制
M/M/1 排队系统
3 系统状态转移特性
系统状态转移图
4 系统的稳态分布
系统中的平均顾客数目 顾客在系统中的平均停留时间 顾客在系统中的平均等待时间
排队系统的Kendall表示法
M/M/m/m Poisson到达过程 服务时间服从指数分布 m个服务器 m个系统空间（没有等待空间） 无穷多顾客
排队系统的Kendall表示法
M/M/∞ Poisson到达过程 服务时间服从指数分布 无穷个服务器 无穷系统空间 无穷多顾客
k ( l t ) e -lt (1 - e - mt ) P (服务完k 1个顾客） k! mt o(t )
i>0，j<i-1
pii (t ) P (t内没有顾客到达 , 也没有顾客离开） P（t内有k个顾客到达，有 k个顾客离开）
k - lt ( l t ) e -ut (1 - lt )(e ) P（有k个顾客离开） k! (lt ) k e -lt (1 - lt )(1 - mt ) P（有k个顾客离开） k! 1 - lt - mt o(t )
n 0 n 0 n 0



1 l N (1 - ) 2 (1 - ) 1 - m - l
结论与启发：
服务器的利用率 (服务器繁忙程度)
l m
ρ=1-p0: 对任何 M/G/1 排队系统成立,系统稳定的条件: ρ<1 系统中有n 个顾客的概率
1. 2. 3. 4. 到达过程的统计特性 服务过程的统计特性 系统状态转移特性 我们最终关心的是：系统的稳态特征
单服务器 指数分布 m Poisson到达速率l 无限缓存
M/M/1 排队系统
1 到达过程的统计特性：
顾客以速率为 l 的泊松过程 A(t) 到 顾客到达的间隔时间是独立同分布的
p0 1 n 0 p n n 0 p 0 1-
n
用户不需要等待的概率
p0 1 -
M/M/1排队系统稳态分析
p0 1 - pn p0
n
M/M/1排队系统的平均队长N：
N npn (1 - ) n n (1 - ) n n -1
i>0，j=i+1
P(t内到k个顾客且服务完 k - 1个顾客,k 2) lte - lte - mt o(t ) lt o(t )
i>0，j>i+1
i>0，j=i-1
pi ,i -1 (t ) P (t内没有顾客到达而正在 接受服务的顾客离开） P (t内到k个顾客，服务完 k 1个顾客k 1)
0 1
ld
2
ld
n
ld
n+1
1 - ld
md
1 - ld - md
md
1 - ld - md
md
1 - ld - md
md
系统位于状态n的概率
p n lim P{Nk n}
k
M/M/1排队系统稳态分析
ld
0 1
ld
2
ld
n
ld
n+1
1 - ld
md
1 - ld - md
md
1 - ld - md
M/M/1排队系统
在队列中的平均等候时间
W T -
1
m
1 1 m - (m - l ) - m -l m ( m - l )m m -l
在队列中排队等候的平均顾客数
l2 2 NQ lW ( m - l )m 1 -
例题 1
顾客按照平均5人/分钟的泊松过程到快 餐店， 每个顾客在收银台(只有一个)前 平均要等5分钟才能点餐。对顾客的服务 时间服从指数分布，并且相互独立。问: 1 顾客在收银台的平均服务时间是多 少？ 2 如果收银员将服务速度提高10%，顾 客的平均服务时间是多少？
3 系统的状态转移特性
涉及3个变量：t 时刻系统里的顾客数目N(t)、正在 服务的顾客剩余服务时间、剩余到达时间 由于负指数的无记忆性，剩余到达时间、剩余服 务时间的分布与原来的相同； 系统的状态只由N(t)决定，且系统未来的变化只 与现在的状态有关，与队长演变的历史无关； 因此，M/M型排队系统的队长分布具有Markov性， 可以用Markov随机过程的分析.
N1=0 δ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …… N11=10 N5=4 N6=5 N7=5 N8=6 N9=8 N10=10 N11=10 N12=10 N13=12
t
状态转移概率计算
定义：系统的一步转移概率Pij
系统从Nk=i 转换到Nk+1=j 的状态转移概率
为什么要研究排队系统？
排队系统的Kendall表示法
A/B/C/D/E
A：顾客的到达过程 B：服务时间的概率分布 C: 服务器的数目 D：系统总空间(缺省值为无穷大) E：顾客数目(缺省值为无穷大)
排队系统的Kendall表示法
A/B/C/D/E
M : 无记忆的Poisson过程，顾客到达/服务时 间间隔服从指数分布 G :任意(一般)分布 D : 顾客到达/服务的间隔时间固定 Ek: k阶Erlang分布
例3
设某校有一部传真机，为全校2万名师 生提供传真服务。假定每份传真的传 输时间服从指数分布，其平均传输时 间为3分钟。假定每个人发传真的可能 性相同。如希望平均排队的队长不大 于5人，问:平均每人间隔多少天才可以 发一份传真？
M/M/1排队系统
M/M/1 排队系统
Poisson到达速率l
单服务器 指数分布 m
无限缓存

M:顾客以速率为l的泊松过程到达 M:服务时间服从参数为m的指数分布 服务时间和到达时间间隔互相独立 1个服务器;1个排队等候的队列 无限等待空间 无限顾客数目
M/M/1 排队系统
1 - lt o(t )
o(t )
lt o(t )
o(t )
mt o(t )
o(t )
1 - lt - mt o(t )
p0,0 i 0, j 0 p i ,i 1 i 0, j i 1 pi , j ( t ) p i ,i -1 i 0, j i -1 p i , j j i , j1
பைடு நூலகம்
排队系统的Kendall表示法
M/G/1，G/G/1 M/D/1，M/D/1/m
思考
话音交换中，如何抽象排队模型？ 分组交换中呢？ P2P系统?
关心的问题是
状态空间，稳态分布，逗留时间、平均速率、平均排队长 度
如果网卡出口为10Mb/s，你能以10Mb/s的速率发 送数据吗？
M/M/1排队系统稳态分析
令 l/m
p1 (l m ) p0l p2 m
... pn (l m ) pn-1l pn 1m
p0l p1m
l p1 p 0 p 0 m
...... p n p0
n
M/M/1排队系统稳态分析
根据 pn 的定义 ,求平稳概率分布
分析步骤
转移概率 状态转移图 平稳概率
M/M/1 Queue: Discrete-Time Approach 将时间轴离散化，以间隔δ>0 (d任意小)对 N(t)进行采样 N1=0 离散时间点t=0, d, 2d,… N2=1 N3=2 离散时间点过程: Nk = N(t) =N(dk) N4=3
ld
0 1
1 - lt o(t )
lt o(t )
mt o(t )
1 - lt - mt o(t )
ld
n n+1
ld
2
ld
1 - ld
md
1 - ld - md
md
1 - ld - md
md
1 - ld - md
md
4 M/M/1系统稳态分析
ld
p0,0 p 0, j pi ,i 1 pi , j (t ) pi , j pi ,i -1 pi , j pi , j
i 0, j 0 i 0, j 1 i 0, j i 1 i 0, j i 1 i 0, j i - 1 i 0, j i - 1 j i 1