2020届高中数学分册同步讲义(必修4) 第3章 微专题突破五

微专题突破五 应对三角恒等变换的几个小技巧

三角函数题是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．

一、灵活降幂

例1 3－sin 70°2－cos 210°

＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 利用降幂公式化简求值

答案 2

解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2

＝2. 点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ

＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12

sin 22θ等． 二、化平方式

例2 化简求值： 12－12 12＋12

cos 2α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 利用半角公式化简求值

解 因为α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以cos α>0，sin α2

>0， 故原式＝12－12 1＋cos 2α2＝12－12cos α＝sin 2α2＝sin α2

. 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α，1－cos 2α，1＋sin 2α，1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α，2sin 2α，(sin α＋cos α)2，(sin α－cos α)2.

三、灵活变角 例3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭

⎫2π3＋2α＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值

答案 －79

解析 cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭

⎫π3＋α－1 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79

. 点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3

＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．

四、构造齐次弦式比，由切求弦

例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ

的值是________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 利用弦化切对齐次分式化简求值

答案 3

解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ

＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－14

1＋14

＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝3414＝3. 点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ

”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．

五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1·α的值

例5 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值

解 原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11

＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sin π11

＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sin π11

＝sin π1125sin π11

＝132. 点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦值的倍数即可．