巧用分离参数法求参数的取值范围
用分离参数法确定参数范围
以静制动变量的不等式或方程问题大致可以 分为两类：（１）已知参数的取值范围，求函数的值域和 求不等式或方程的解；（２）求使不等式或方程有解和求 不等式或方程恒成立的参数的取值范围。 显然后者增大了我们解题的难度。但是，如果我 们能将参数分离出来，以静制动，再利用有关的函数 方程等知识，常常可以化难为易。
于等于函数叫一上ｏ∈（０，｝】）的最大值，即口≥一下５，故
选Ｃ。 例５．（２００７广东广州模拟）若不等式菇２＋缸＋ 口≥—严一勿对任意实数石、Ｙ都成立，则实数ａ的取值 范围是（
Ａ．口≥０
空，即关于菇的不等式１－Ｔ＋ａ４＂＜Ｏ有解，分离参数ａ得
不等式认一（｝）缸＋（｝ｒ有解。注意到（ａ２），我们只需
砌）。设￡＝（｝广，ｇ＠一ｔ２＋￡ｏ＞０），易得ｇ—ｏ）＝了１，
ａ２＿ａ＜３，得一丁１＜吠争，故选ｃ。
例４．（２００６江西）若不等式＊２＋僦＋ｌ Ｉ＞０对一切
例１．方程茹２一导ｘ＝ｋ在（一ｌ，１）上有实根，求ｋ
的取值范围。 【解析】原方程可以看作是以省为自变量，ｋ为 因变量，注意到（ａ４），则求取值范围转化为求值域： 定义域为（一ｌ，１）的一元二次函数，故ｋ的取值范围
（ｂ２）ａ＜Ａｘ）恒成立铸蜒ｋ０）； （ｂ３）ｏ≥触）恒成立§ａ≥镰缸）５ （ｂ４）口气触）恒成立铮ｏ＝一－厶缸）
例３．（２００５辽宁）在Ｒ上定义运算⑧：菇＠＝
茹（１—力．若不等式０一回＠０＋由＜ｌ对任意实数髫成立， 则（ ）
Ｂ．０＜ａ＜２ Ａ．一１＜ｏ＜ｌ
一、有解问题
在这一节，我们主要应用到以下的事实：
ｃ．一争＜认手
Ｄ．一手＜畎争
【解析】由题意知，０－ａ）ｏ缸＋回＜１对任意实数茗 成立铮０一ａ）（１－－－ｘ－ａ）＜１恒成立。通过分离参数等价于
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸思路探寻含参不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明含参不等式恒成立；（2）在确保某个含参不等式恒成立的情况下，求参数的取值范围；（3）在已知变量的约束条件的情况下，求含参不等式中参数的取值范围.含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，其解法灵活多变，常常令考生头疼不已.对此，笔者将结合实例，介绍求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”.一、分离参数分离参数法是求解含参不等式恒成立问题的常用方法，该方法适用于求参数和变量可分离的情形.运用分离参数法解题的一般步骤为：1.根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；2.将含有变量一侧的式子当成一个函数，判断出函数的单调性，并根据函数的单调性求出函数在定义域内的最值；3.将问题进行等价转化，建立新的不等式，如将a ≥f (x )恒成立转化为a ≥f (x )max ；将a ≤f (x )恒成立转化为a ≤f (x )min .例1.已知函数f (x )=1+ln xx，当x ≥1时，不等式f (x )≥k x +1恒成立，求实数k 的取值范围.解：由f (x )≥k x +1，得1+ln x x ≥k x +1,将其变形可得(x +1)(1+ln x )x≥k ，设g (x )=(x +1)(1+ln x )x，则g ′(x )=[(x +1)(1+ln x )]′·x -(x +1)(1+ln x )x 2=x -ln xx 2,令h (x )=x -ln x ，则h ′(x )=1-1x,当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[)1,+∞上单调递增，所以h (x )min =h (1)=1>0，从而可得g ′(x )>0，故函数g (x )在[)1,+∞上单调递增，所以g (x )min =g (1)=2，因此k 的取值范围为k ≤2.观察不等式1+ln x x ≥k x +1，发现参数k 可以从中分离出来，于是采用分离参数法，先将参数、变量分离，使不等式变形为(x +1)(1+ln x )x≥k ；再构造函数g (x )，对其求导，根据导函数与函数的单调性判断出函数的单调性，即可求出g (x )在x ∈[)1,+∞上的最小值，使k ≤g (x )min ，即可得到实数的取值范围.通过分离参数，便将含参不等式恒成立问题转化为函数最值问题来求解，这样便可直接利用函数的单调性来解题.二、数形结合数形结合法是解答数学问题的重要方法.在解答含参不等式问题时，将数形结合起来，可有效地提升解题的效率.有些含参不等式中的代数式为简单基本函数式、曲线的方程、直线的方程，此时可根据代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过研究函数图象、曲线、直线、点之间的位置关系，确定临界的情形，据此建立新不等式，从而求得参数的取值范围.例2.已知f (x )=ìíî3x +6,x ≥-2,-6-3x ,x <-2,若不等式f (x )≥2x -m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：由题意可设g (x )=2x -m ，则函数g (x )、f (x )的图象如图所示.要使对任意x ,f (x )≥g (x )恒成立，则需使函数f (x )的图象恒在g (x )图象的上方，由图可知，当x =-2时，f (x )的图象与g (x )的图象有交点，而此时函数f (x )取最小值，即f (-2)=0，因此，只需使g (-2)=-4-m ≤0，解得m ≥-4.故实数m 的取值范围为m ≥-4.函数f (x )与g (x )都是常见的函数，容易画出其图象，于是采用数形结合法，画出两个函数的图象，将问题转化为函数f (x )的图象恒在g (x )图象的上方时，求参数的取值范围.运用数形结合法求解含参不等式恒成立问题，需将数形结合起来，将问题进行合理的转化，如若对∀x ∈D ,f (x )<g (x )恒成立，则需确保函数f (x )的图象始终在g (x )的下方；若对∀x ∈D ,f (x )>g (x )恒成47立，则确保函数f(x)的图象始终在的上方即可.三、变更主元我们常常习惯性地将x看成是主元，把参数看成辅元.受定式思维的影响，在解题的过程中，我们有时会陷入解题的困境，此时不妨换一个角度，将参数视为主元，将x看作辅元，通过变更主元，将问题转化为关于新主元的不等式问题，这样往往能够取得意想不到的效果.例3.对任意p∈[-2,2]，不等式(log2x)2+p log2x+1> 2log2x+p恒成立，求实数x的取值范围.解：将不等式(log2x)2+p log2x+1>2log2x+p变形，得：p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0，设f(p)=p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1，则问题等价于对任意p∈[-2,2]，f(p)>0恒成立，由于f(p)是关于p的一次函数，所以要使不等式恒成立，只需使ìíîf(-2)=-2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0, f(2)=2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0,解得：x>8或0<x<12，故实数x的取值范围为x>8或0<x<12.若将x当成主元进行求解，那么解题的过程将会非常繁琐.由于已知p的取值范围，要求满足不等式条件的实数x的取值范围，所以考虑采用变更主元法，将p看成是主元，构造关于p的一次函数，根据函数的图象建立使不等式恒成立的不等式组，即可求出实数x的取值范围.通过变更主元，便可从新的角度找到解题的思路，从而化难为易.四、分类讨论当不等式左右两边的式子较为复杂，且含有较多的不确定因素时，就需采用分类讨论法来解题.用分类讨论法求解含参不等式恒成立问题，需先确定哪些不确定因素会对参数的取值有影响；然后将其作为分类的对象，并确定分类的标准，对每一种情形进行分类讨论；最后综合所有的结果，就可以得到完整的答案.例4.已知f(x)=x|x-a|-2，若当x∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数a的取值范围.解：①当x=0时，f(x)=-2<0，不等式显然成立，此时，a∈R；②当x∈(0,1]时，由f(x)<0，可得x-2x<a<x+2x，令g(x)=x-2x,h(x)=x+2x，则g′(x)=1+2x2>0，可知g(x)为单调递增函数，因此g(x)max=g(1)=-1；则h′(x)=1-2x2<0，可知h(x)为单调递减函数，因此h(x)min=h(1)=3，此时-1<a<3.综上可得，实数a的取值范围为-1<a<3.本题的函数式中含有绝对值，需对x的取值进行分类讨论，即分为x=0和x∈(0,1]这两种情况进行讨论，建立使不等式恒成立的关系，如当x∈(0,1]时，需使æèöøx-2x max<a<æèöøx+2x min，即可解题.五、利用判别式法判别式法通常只适用于求解二次含参数不等式恒成立问题.运用该方法解题的一般步骤为：首先根据不等式的特点构造一元二次方程；然后运用一元二次方程的判别式对不等式恒成立的情形进行讨论、研究；最后得出结论.一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0,x∈R)，有：（1）若对任意x∈R,f(x)>0恒成立，则ìíîa>0,Δ=b2-4ac<0;（2）对任意x∈R,f(x)<0恒成立，则{a<0,Δ=b2-4ac<0.例5.设f(x)=x2-2mx+2，当x∈[-1,+∞)时，f(x)≥m 恒成立，求实数m的取值范围.解：设F(x)=x2-2mx+2-m，令x2-2mx+2-m=0，则Δ=4m2-4(2-m)，当Δ≤0，即-2≤m≤1时，F(x)≥0显然恒成立；当Δ=4m2-4(2-m)>0时，F(x)≥0恒成立的充要条件为：ìíîïïïïΔ>0,F(-1)≥0,--2m2<-1,解得：-3≤m<-2，所以实数m的取值范围为-3≤m≤1.运用判别式法求解含参二次不等式恒成立问题，关键是确保在定义域范围内，二次函数F(x)的图象恒在x轴的上方或下方，根据方程F(x)=0无解，建立关于判别式的关系式.本文介绍了几种求解含参不等式恒成立问题的方法，这些方法的适用情形各不相同.但不论采用何种方法，都要对问题进行具体的分析，针对实际情况，选用最恰当的方法，才能达到事半功倍的效果.（作者单位：广东省东莞市第一中学）思路探寻48。
每日一题型7恒成立之分离参数最值法
每日一题型 7 恒成立之分离参数最值法 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题．这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．分离参数最值法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、x D ∈,[](),f x a b ∈()m f x x D m b >∈⇔>在上恒成立 ()m f x x D m a <∈⇔<在上恒成立 ()m f x x D m b ≥∈⇔≥在上恒成立 ()m f x x D m a ≤∈⇔≤在上恒成立思路2、x D ∈,()(),f x a b ∈()m f x x D m b >∈⇔≥在上恒成立 ()m f x x D m a <∈⇔≤在上恒成立 ()m f x x D m b ≥∈⇔≥在上恒成立 ()m f x x D m a ≤∈⇔≤在上恒成立先看看几道例题：1．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。
解：若对任意，恒成立， 即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得.即22a x x >--而223x x --≤- 所以3a >- 2.已知当x R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即： 要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)=4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+33,∴即上式等价于或解得.注：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
参数分离法解函数值域文艺
参数分离法解函数值域文艺参数分离法是一种解函数值域的方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质。
在本文中，我们将介绍参数分离法的原理和具体应用，并提供一个全面详细的函数来说明这个方法。
一、参数分离法的原理参数分离法是一种将函数的自变量和因变量进行分离，然后通过对自变量和因变量进行分类讨论来求出函数值域的方法。
具体来说，我们可以将自变量和因变量分别表示为x和y，然后根据不同情况讨论x和y之间的关系，进而求出y的取值范围。
二、应用举例下面我们将通过一个具体例子来说明参数分离法的应用。
例1：求函数f(x)=|x-2|+|3-x|+|x+4|-5的值域。
1.当x≤-4时，有f(x)=|-6-x|+|-1-x|-5=-7-2x。
2.当-4<x≤2时，有f(x)=|-6-x|+(3-x)+|(x+4)|-5=8+x。
3.当x>2时，有f(x)=(x-2)+(3-x)+(x+4)-5=2x。
综上所述，当x≤-4时，f(x)∈[-∞,-7]；当-4<x≤2时，f(x)∈[3,∞)；当x>2时，f(x)∈[2,∞)。
三、函数示例下面我们将提供一个全面详细的函数来说明参数分离法的应用。
函数：f(x)=log2(1+x)+log2(1-x)-log2(1+x^2)1.当x<-1时，有1+x<0，1-x<0，1+x^2>0，所以f(x)不存在实数解。
2.当-1≤x<0时，有1+x>0，1-x<0，1+x^2>0，所以f(x)=log2(1+x)-log2(1-x)-log2(1+x^2)。
由于x≠0且-1≤x<0，所以有|log2(1+x)|>|log2(1-x)|和|log2(1+x^2)|>|log2(1-x)|。
因此，当x属于[-1,0)时，f(x)<0。
3.当0≤x<√3-1时，有：① 1+x>0；② 由于-√3<x<√3-1，则有|x|<√3和|x^3|<(√3)^3=3；因此有：(a) x^4+4x^3+6x^2+4x+4=(x+2)^4-8(x+2)^3+24(x+2)^2-32(x+2)+20>20-(8*8)-(24*7)-(32*4)=0；(b) x^4+4x^3-6x^2-4x+4=(x-2)^4+8(x-2)^3+24(x-2)^2 >0；③ 由于1+x^2>0，则有：(a) log2(1+x)>log2(1-x)；(b) log2(1+x^2)>0。
分离变量法求最值或范围
分离参数法解高考压轴题新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。
而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。
“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。
此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。
下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。
一 洛必达法则介绍如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(limx g x f x x →或)()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为00或∞∞． 1．（洛必达法则1）型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→)()(lim（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）．把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．2（洛必达法则2）∞∞型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或无穷大）． 则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00（或为无穷大）把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立． 二 典型例题: 例1．（08江苏理14）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】42（2010 辽宁）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。
分离参数法求解参数问题含详解
1．已知函数 f x ax2 x lnx 1 ax2 x . （a∈R）． 2
（1）当 a＝0 时，求曲线 y＝f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e＝2.718…） （2）已知 x＝e 为函数 f（x）的极值点，求函数 f（x）的单调区间． 【答案】（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）． 【解析】（1）∵a＝0， ∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx， 则直线的斜率 k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1， f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0， 故所求切线方程为 x+y﹣e＝0． （2）函数的导数 f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx， ∵x＝e 为函数 f（x）的极值点，
2 作出函数 u=1+ x 1 （r＜x＜a-2）的图象，得 a-2=-1，解得：a=1，矛盾．
9
综上，r=1，a=2+ 3 ．
10．已知函数 f (x) mx 1 1 (m, n 是常数 ) ，且 f (1) 2 ， f (2) 11 .
nx 2
4
（1）求 m,n 的值；
（2）当 x 1, 时，判断 f (x) 的单调性并证明；
（2）若 a= 1 ，并且对区间[3，4]上的每一个 x 的值，不等式 f（x）＞（ 1 ）x+t 恒成立，求实数 t 的取值
2
2
范围．
（3）当 x∈（r，a-2）时，函数 f（x）的值域是（1，+∞），求实数 a 与 r 的值．
【答案】（1）1；（2）
t
9 8
；（3）
高中数学分离参数法详解
高中数学分离参数法详解高中数学中，分离参数法是解决一类同参数的关系式的常用方法。
这类问题往往给出了几个参数之间的关系，需要求解其中一个参数或者确定参数的取值范围。
下面我们详细介绍一下高中数学中的分离参数法以及相关的解题思路。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设已知实数a，b，c满足方程组：ax + by = 1bx + cy = 2我们需要求解a，b，c的值。
这时候，我们可以使用分离参数法来解决这个问题。
首先，我们可以将第一个方程变形，得到：ax = 1 - by然后，我们将第二个方程中的x替换为ax，得到：bax + cy = 2接下来，我们将b的系数移到右边，得到：c = 2 - bax现在，我们得到了c关于a和b的表达式。
我们知道，在两个不同的方程中，同一个未知数的系数所对应的值是相同的。
所以我们可以令左边的c等于右边的c，即：1 - by =2 - bax现在，我们可以得到一个关于x和y的方程。
我们可以通过这个方程来求解x和y的值。
通过上面的例子，我们可以看出，分离参数法的主要思路是通过变形和等式的设定，将参数从方程中分离出来。
然后再通过这些参数的关系来求解问题。
下面，我们来看一个稍微复杂一点的例子：已知实数a满足方程：(x-1)(x-2)(x-3)+a=0我们需要求解a的取值范围。
首先，我们可以将方程展开得到：x^3-6x^2+11x-a+6=0然后，我们设另一个变量t，使得方程右边等于t：x^3-6x^2+11x-a+6=t接下来，我们考虑当t等于0时，方程x^3-6x^2+11x-a+6=t的解。
这时候，方程化为：x^3-6x^2+11x-a+6=0我们可以发现，这其实是一个关于x的三次方程。
由代数基本定理可知，这个方程存在三个根。
所以，我们可以通过三次方程的根的性质，来确定a的取值范围。
根据三次方程的性质，我们知道，三次方程的根满足以下关系：x1+x2+x3=6x1x2+x1x3+x2x3=11x1x2x3=a-6由于a是一个实数，所以根的乘积x1x2x3也是一个实数。
分离参数法求变量范围
分离参数法求变量范围分离参数法求变量x 范围1已知任意a ∈[-1, 1], 函数f (x ) =x 2+(a -4)x +4-2a 的值总是大于0，求x的范围2设不等式对于满足的一切m 的值都成立, 求x 的取值范围.3. 已知函数f (x )=x 3+3ax -1, g (x )=f '(x )-ax -5，其中f ' (x )是f (x )的导函数.（1）对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )4. 对于满足|a|≤2的所有实数a, 求使不等式x 2+ax+1>2a+x恒成立的x 的取值范围。
5. 已知函数f (x ) 是定义在[-1,1]上的奇函数，且f (1)=1，若a , b ∈[-1, ]1，a +b ≠0，有f (a ) +f (b ) >0，（1）证明f (x ) 在[-1,1]上的单调性；（2）若f (x ) ≤m 2-2a m +1对所有a ∈[-1,1]恒成立，a +b求m 的取值范围6、已知函数（Ⅰ）若函数（Ⅱ）设函数的图象在，. 处的切线与直线平行，求实数的值；成立，求实数的取值范围；，对满足的一切的值，都有5 已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1（I ）讨论函数f (x ) 的单调性；（II ）设a19.(本小题9分)x 2(a >0, 且a ≠1) 。
已知f (x -5) =log a 10-x 22（1）求f(x)的解析是，并写出定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并证明；（3）当a>1时，求使f(x)≥0成立的x 的集合。
110．（１0分）已知≤a ≤1，若函数f (x )=ax 2-2x +1在区间[1，3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，3令g (a )=M (a )-N (a )．（1）求g (a )的函数表达式；1 （2）判断函数g (a )在区间[，1]上的单调性，并求出g (a )的最小值 . 320．(10分) 已知函数f (x ) ＝2|x ＋1|＋ax (x ∈R ) ．(1) 证明：当 a ＞2时，f (x ) 在 R 上是增函数．(2) 若函数f (x ) 存在两个零点，求a 的取值范围．5．已知二次函数f (x ) =ax +2ax +1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为6．一元二次方程x22+(a 2-1) x +a -2=0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是7．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a , b , c ∈R ）满足f (-1) =0, f (1) =1, 且对任意实数x 都有f (x ) -x ≥0, 求f (x ) 的解析式.⎧log 2x (x >0) 18. 已知函数f (x ) =⎧x (x ≤0) ⎧3(1)作出f (x ) 的大致图像；(2) 关于x 的方程f (x ) +x -a =0有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围8．a >0，当x ∈[-1, 1]时，函数时相应的x 的值.9．已知f (x ) =-x 2-ax +b 的最小值是－1，最大值是1. 求使函数取得最大值和最小值f (x ) =-4x 2+4ax -4a -a 2在区间[0，1]上的最大值是－5，求a 的值（12）.(2019全国2理科) ．设函数f’(x)是奇函数f (x )(x ∈R ) 的导函数，f （-1）=0，当x >0时，xf (x ) -f (x ) 0成立的x 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ） '17、（本小题满分13分）已知函数f (x ) =x ⋅(x -4)（1）（2）10．函数y =画出函数的图象；利用图象回答：当k 为何值时，方程x ⋅(x -4)=k有一个解？有两个解？有三个解？ f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时, f (x ) =2x -x 2，（Ⅱ）问是否存在这样的正数a ，b ，当x ∈[a , b ]时, f (x ) 的值域为[, ]？若存在，f (x ) 的解析式；（Ⅰ）求xb a求出所有的a ，b 的值；若不存在，说明理由.已知函数（Ⅰ）若函数（Ⅱ）设函数，的图象在，对满足. 处的切线与直线平行，求实数的值；成立，求实数的取值范围；的一切的值，都有（Ⅱ）令则依题意：对满足，即的一切的值，都有，即解得：13. 对于满足|a|≤2的所有实数a, 求使不等式x 2+ax+1>2a+x恒成立的x 的取值范围。
小度写范文巧用分离参数法求参数的取值范围模板
巧用分离参数法求参数的取值范围一、分离参数法求参数取值范围在恒成立问题中的应用恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x 的符号，需对x是否为0分类讨论．解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．20当012，g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．∴f′(x)>0,g′(x)0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)e x在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．∵f′(x)=(2x－a)e x+(x2－ax+5)e x=e x(x2－ax+2x－a+5)=e x［x2+(2－a)x+5－a］∴e x［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．方法一：（转化为恒成立问题）x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．方法二：（转化为二次方程实根分布问题）10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．20当>0即a>4或a 综上得a的取值范围是a≤4．求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．。
分离参数法与分类讨论法在求参数范围问题中的运用
‘’ ．
对任意 。∈（０，ｅ］，都存 在
∈［０，２］，使 得 ，（ ）≥
ｇ（ ：），．‘．只需 当 ∈［０，２］时，ｇ（ ） ≤ 一１，即 一４ｂｘ一
ｌ １ ≤
—
一
≥ ＋÷在 ∈［０，２］恒成立．
① 当 ＝０时 ，不等 式不成立 ；
② 当 ０＜ ≤２时 ，４ｂ≥ ＋— ．
· ’ ．
当 ０＜ ＜１和 ２＜ ≤ｅ时 （ ）＜０；
当 ｌ＜ ＜２时 厂（ ）＞０；
’
．
．
）在 （０，１］和［２，ｅ］上单调递减 ，在 ［１，２］上递增．
＇
又 ，（１）＝ 一１ ｅ）＝三 一ｅ＋１， ｅ
且 ｅ）一，（１）＝一
＞０，
’ ． ．
∈（０，ｅ］√＾（ ） ； ： １）＝ 一１．
丢斗 ≥ ，当且仅当 ＝砉珥Ｘ （０＜ ≤２）ｊ ＝孚ｚ 时
“ ＝ ”成 立 ，
．
·
．
４ｂ￣ ＞
４＇３－
，
即６≥字，故６取值范围为［字，＋ ）．
（方法二 ：分类讨论法 ） 由存在 Ｅ［０，２］使得 ｇ（ ）≤ 一１（求ｆ（ ）～ 同上 ）恒 成 立 ． 。 ． ‘ｇ（ ）的对称轴 方程 为 ＝２ｂ，
精 ●
解 题 技巧 与 方 法 ●
·
·
●
禹参 法 分囊谫论法在謇参礁笼 咿
◎徐 浩 （安 徽 省 灵 璧县 第 一 中学 ，安 徽 宿 州 ２３４２００）
一 、 问题 提 出
通过高考数学试题研究 不难发现 ，求不等 式恒成立 （有
解 ）中参数取值 范围（最值 ）问题是重点和难点 内容之一 ，并
对 于求 一次 、二 次不 等式 中含参 数 取值 范 围的 较为 简
巧用分离常(参)数法进行等价转化
巧用分离常（参）数法进行等价转化作者：高慧明来源：《广东教育·高中》2018年第02期分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用，越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.一、分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1. 用分离常数法求分式函数的最值例1. 函数f（x）=（x≥2）的最大值为_________.【解析】f（x）=1+≤1+1=2，即最大值为2.2. 用分离常数法求函数的值域分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有y=，y=，y=，y= 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例2. 函数y=（x>1）的最小值是（）A. 2+2B. 2-2C. 2D. 2【解析】∵x>1，∴x-1>0.∴y=====x-1++2≥2+2.3. 用分离常数法判断分式函数的单调性例3. 已知函数f（x）=x2+2ax-lnx，若f（x）在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围______.【解析】∵f′（x）=x+2a-≥0在[，2]恒成立，即2a≥-x+在[，2]恒成立，∵（-x+）max=，∴2a≥，即a≥.二、分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1. 用分离参数法解决不等式恒成立问题例4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n+1-2.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求使（n-8）bn≥nk对任意n∈N？鄢恒成立的实数k的取值范围.【解析】（1）因为Sn=2n+1-2，所以Sn-1=2n-2，（n≥2）所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-（2n-2）=2n.又a1=S1=22-2=2，满足上式，所以数列{an}的通项公式an=2n（n∈N？鄢）.（2）bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+3+…+n=.由（n-8）bn≥nk对任意n∈N？鄢恒成立，即使≥k对n∈N？鄢恒成立.设cn=（n-8）（n+1），则当n=3或4时，cn取得最小值为-10，所以k≤-10.例5. 若x+1+x-3>k对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围.【解析】要使得不等式x+1+x-3>k对任意的x∈R恒成立，需f（x）=x+1+x-3的最小值大于k，问题转化为求f（x）的最小值，首先设f（x）=x+1+x-3，则有f（x）=-2x+2，x≤-14，-1≤x≤3 2x-2，x≥3当x≤-1时，f（x）有最小值为4，当-1≤x≤3时，f（x）有最小值为4，当x≥3时，f（x）有最小值为4，综上所述，f（x）有最小值为4，∴k例6. 已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q>0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列.（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足，Tn为数列{bn}前n项和，若Tn >m恒成立，求m的最大值.【解析】（1）由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），∴S3-S1+S3-S2=a1+a2-2a3，即4a3=a1，于是=q2=，∵q>0，∴q=. ∵a1=1，∴an=（）n-1.Tn=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1……①∴ 2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n……②∴①- ②得：-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=（1-n）2n-1，∴Tn=1+（n-1）2n.∵Tn >m恒成立，只需（Tn）min≥m∵Tn+1-Tn=n·2n+1-（n-1）·2n=（n+1）·2n>0，∴{Tn}为递增数列，∴当n=1时，（Tn）min=1，∴ m≤1，∴ m的最大值为1.例7. 记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max{3，}=. 已知函数f（x）=max{x2-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，-x2+（a2-）x+2a2+4a}.（1）设h（x）=f（x）-3（x-）（x-1）2，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数a∈（-2，+∞），使得g（x）【解析】（1）设F（x）=x2-1-2lnx，F ′（x）=2x-=，令F ′（x）>0，得x>1，F（x）递增；令F ′（x）∴F（x）min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x2-1≥2lnx，∴f（x）=x2-1.设G（x）=3（x-）（x-1）2，结合f（x）与G（x）在（0，1]上图像可知，这两个函数的图像在（0，1]上有两个交点，即h（x）在（0，1]上零点的个数为2.（2）假设存在实数a∈（-2，+∞），使得g（x）则x+lnx即lnx-x0，对x∈（a+2，+∞）恒成立.（i）设H（x）=lnx-x，H′（x）=-=，令H′（x）>0，得02，H（x）递减.∴H（x）max=h（2）=ln2-1.当0ln2-1，∴a>.∵a故当a∈（，0）时，lnx-x当a+2≥2，即a≥0时，H（x）在（a+2，+∞）上递减，∴H（x）∵（ln（a+2）-a-1）=-≤0，∴H（a+2）≤H（0）=ln2-1故当a≥0时，lnx-x（ii）若（x+2）（x-a2）>0对x∈（a+2，+∞）恒成立，则a+2≥a2，∴a∈[-1，2].由（i）及（ii）得，a∈（，2）.故存在实数a∈（-2，+∞），使得g（x）2. 求定点的坐标例8. 已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R，求证：直线l恒过定点.【解析】直线l的方程可化为x+y-4+m（2x+y-7）=0，设直线l恒过定点M（x，y），由m∈R，得x+y-4=02x+y-7=0？圯M（3，1），∴直线l恒过定点（3，1）.【点评】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式（方程）变形到不等号（等号）两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法. 两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题. 分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.例9. 已知抛物线C的标准方程为y2=2px（p>0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18.（1）求抛物线C的标准方程；（2）记t=+，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意，S△MON=·OA·MN=··2p==18，∴p=6，抛物线C的标准方程为y2=12x.（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+a，联立x=my+a，y2=12x，得y2-12my-12a=0，∴△=144m2+48a>0，y1+y2=12m，y1y2=-12a .由对称性，不妨设m>0，（1）a0，∴y1，y2同号，又t=+=+，∴t2=·=·=（1-），不论a取何值，t均与m有关，即a（ii）a>0时，∵y1y2=-12a又t=+=+，∴t2=·=·=·=（1+），∴仅当a-1=0，即a=3时，t与m无关.题组练习：1. 若函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A.（-∞，0]B.[ 0，+∞）C.（-∞，0）D.（0，+∞）2. 函数f（x）=loga（2-ax2）在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.[ ，1）B.（1，2）C.（1，2]D.（，1）3. 定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有A. [-3，-）B. [-3，-]C. [-5，-）D.[-5，-]4. 1+11+111+…+之和是____________.5. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则t实数的取值范围是 .6. 若不等式x27. 当x∈（-2，-1）时，不等式x4+mx2+1答案简析：1. 由题意得：求函数m=-log2x（x≥1）的值域，由x≥1？圯log2x≥0？圯m≤0，所以选A.2. 设u=2-ax2，由题设知， a>0且a ≠1，所以u=2-ax2在（0，1）上为减函数，且u>0在区间（0，1）上恒成立，所以有 a>1，2-a≥0？圯13. 设x10，即f（x1）>f（x2），所以函数f（x）为减函数. 因为函数y=f（x-1）的图像关于（1，0）成中心对称，所以y=f（x）为奇函数，所以 f（s2-2s）≤-f（2t-t2）=f（t2-2t），所以s2-2s≥t2-2t，即（s-t）（s+t-2）≥0.因为=1-=1-，而在条件（s-t）（s+t-2）≥0，1≤s≤4下，易求得∈[-，1]，所以1+∈[，2]，所以∈[，6]，所以1-∈[-5，-]，即∈[-5，-]，故选D.4. 因为=×=，所以1+11+111+…+=[（10-1）+（102-1）+（103-1）+…+（10n-1）]=（10+102+103+…+10n）-=×-=.5. ∵ f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，∴当x0，f（-x）=（-x）2，∴ -f（x）=x2，即f（x）=-x2，∴ f（x）=x2，（x≥0）-x2，（x6. x28. x4+mx2+1-，∴ m≤-.责任编辑徐国坚。
例说参数分离法求解取值范围问题
例说参数分离法求解取值范围问题参数分离法是一种利用参数的特性来求解取值范围问题的方法。
它通常在数学中应用较多，特别是在不等式求解、方程求解和极值问题中。
参数分离法的主要思想是通过将不等式中的参数与变量分离，进而得到一个只包含变量的新不等式，然后通过具体的条件对变量进行限制，从而确定取值范围。
为了更好地理解参数分离法的应用，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们要求解不等式f(x,a)>0的取值范围，其中f(x,a)=(x-a)(x-a-2)(x+a+2)。
首先，我们需要将参数a与变量x分离。
可以将f(x,a)=(x-a)(x-a-2)(x+a+2)分解为三个部分，即f(x,a)=(x-a)(x-a-2)(x+a+2)=g(x)h(x)a+k(x)b+l(x)c，其中g(x)=x-a，h(x)=x-a-2，k(x)=x+a+2，l(x)=1，a,b,c为常数。
接下来，我们需要分别讨论不等式g(x)>0，h(x)>0和k(x)>0的情况。
对于g(x)>0，显然当a=0时，g(x)=x>0，即x∈(0,+∞)。
当a>0时，可以将g(x)化简为x>a。
因此，g(x)>0的解集为x∈(a,+∞)。
对于h(x)>0，当a=-2时，h(x)=x-(-2)-2=x-2>0，即x>2、所以h(x)>0的解集为x∈(2,+∞)。
当a>-2时，可以得到h(x)=x-(a+2)>0，即x>a+2、因此，h(x)>0的解集为x∈(a+2,+∞)。
对于k(x)>0，当a=-2时，k(x)=x-(-2)+2=x+2>0，即x>-2、所以k(x)>0的解集为x∈(-2,+∞)。
当a>-2时，可以得到k(x)=x-(-a-2)+2>0，即x>-a。
因此，k(x)>0的解集为x∈(-a,+∞)。
四“分”法求参数范围的策略
高中四“分”法求参数范围的策略?江苏省如皋市第一中学 孙海建 求参数范围的问题是高考中的热点和难点．因其综合性强、思维要求高且解法灵活，所以学生难以掌握．这类题型要求学生在解题中掌握分离参数、分类讨论等基本思想的运用．对参数的讨论是考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论．笔者就参数范围的问题进行多角度、多方面的剖析，概括为几个“分”字诀，以飨读者．一、分离参数若已知的等式或不等式中出现两个变量，通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，研究一个变量的已知范围来确定所求变量的范围，则可转化成函数的最值问题求解．例１ 已知函数犳（狓）＝（狓２－２狓）ｌｎ狓＋犪狓２＋２．（１）当犪＝－１时，求犳（狓）在（１，犳（１））处的切线方程．（２）设函数犵（狓）＝犳（狓）－狓－２．（ｉ）若函数犵（狓）有且仅有一个零点时，求犪的值；（ｉｉ）在（ｉ）的条件下，若ｅ－２＜狓＜ｅ，犵（狓）≤犿，求犿的取值范围．解：（１）略．（２）（ｉ）令犵（狓）＝犳（狓）－狓－２＝０，即犪＝１－（狓－２）ｌｎ狓狓．令犺（狓）＝１－（狓－２）ｌｎ狓狓，则犺′（狓）＝１－狓－２ｌｎ狓狓２．令狋（狓）＝１－狓－２ｌｎ狓，借助于二次求导，可以得到犺（狓）在（０，１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减，所以犺（狓）ｍａｘ＝犺（１）＝１，所以当函数犵（狓）有且仅有一个零点时，犪＝１．（ｉｉ）当犪＝１，犵（狓）＝（狓２－２狓）ｌｎ狓＋狓２－狓，若ｅ－２＜狓＜ｅ，犵（狓）≤犿，只需证明犵（狓）ｍａｘ≤犿，犵′（狓）＝（狓－１）（３＋２ｌｎ狓）＝０，狓＝１或狓＝ｅ－３２．又因为ｅ－２＜狓＜ｅ，所以函数犵（狓）在（ｅ－２，ｅ－３２）上单调递增，在（ｅ－３２，１）上单调递减，在（１，ｅ）上单调递增，犵（ｅ－３２）＝－１２ｅ－３＋２ｅ－３２，犵（ｅ）＝２ｅ２－３ｅ，犵（ｅ－３２）＜犵（ｅ），所以犵（狓）ｍａｘ＝犵（ｅ）＝２ｅ２－３ｅ，所以犿≥２ｅ２－３ｅ．点评：本题中变量犿可以“分离”出，能用含狓的函数表示，且可以确定新函数是单调的．若变量犿无法分离，或新函数的单调性无法确定，或存在极值点，但又无法求出此极值，则“分离参数”就无法解答此类问题．为此，笔者还提供一种对此类问题的解法．二、分类讨论例２ 设犳（狓）＝狓ｌｎ狓，犵（狓）＝狓２－１．（１）令犺（狓）＝犳（狓）－犵（狓），求犺（狓）的单调区间；（２）若当狓≥１时，犳（狓）－犿犵（狓）≤０恒成立，求实数犿的取值范围．解：（１）略．（２）令犉（狓）＝狓ｌｎ狓－犿（狓２－１），则犉′（狓）＝ｌｎ狓＋１－２犿狓，令犌（狓）＝ｌｎ狓＋１－２犿狓，则犌′（狓）＝１狓－２犿．①当犿≥１２时，因为狓≥１，所以１狓≤１．所以１狓－２犿≤０，即犌′（狓）≤０．所以犌（狓）在［１，＋∞）上单调递减，所以犌（狓）≤犌（１）＝１－２犿≤０，即犉′（狓）≤０．所以犉（狓）在［１，＋∞）上单调递减，所以犉（狓）≤犉（１）＝０，所以犳（狓）－犿犵（狓）≤０．所以犿≥１２符合题意．②当犿≤０时，显然有犉′（狓）＝ｌｎ狓＋１－２犿狓≥０，所以犉（狓）在（１，＋∞）上单调递增，所以犉（狓）＞犉（１）＝０，即犳（狓）－犿犵（狓）＞０不符合题意．６５教学参谋解法探究 ２０２０年８月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中③当０＜犿＜１２时，令犌′（狓）＝１狓－２犿＞０解得１＜狓＜１２犿；犌′（狓）＝１狓－２犿＜０解得狓＞１２犿．所以犌（狓）在１，１２犿［］上单调递增，所以犌（狓）≥犌（１）＝１－２犿＞０，即犉′（狓）＞０，所以犉（狓）在１，１２犿［］上单调递增，所以当狓∈０，１２犿（）时，犉（狓）＞犉（０）＝０，即犳（狓）－犿犵（狓）＞０不符合题意．综合①②③可知，犿≥１２，符合题意．所以犿的取值范围是１２，＋∞［）．点评：本题分离参数后，新函数无法求出最大值，所以不宜分离参数，需分类讨论，讨论时要求做到不重复、不遗漏，并力求最简．若函数可以因式分解，解答更为简洁．三、分解因式例３ 函数犳（狓）＝犪２狓２＋犪狓－２在［－１，１］上有零点，求犪的范围．本题实质为根的分布问题，若分类讨论则比较麻烦，可因式分解，求出方程犳（狓）＝０的根，只要“至少有一只脚站在给定区间上”便可“把根留住”．解：当犪＝０时，犳（狓）＝犪２狓２＋犪狓－２＝－２，则不符合条件，所以犪≠０．令犪２狓２＋犪狓－２＝０，即（犪狓＋２）·（犪狓－１）＝０，解之，得狓１＝－２犪，狓２＝１犪．由题意得－１≤－２犪≤１或－１≤１犪≤１，解得犪≥－１或犪≤１．说明：本题还有其特殊的一面，那就是犳（０）＝－２＜０，函数图像开口向上，由犳（１）≥０或犳（－１）≥０也可以求解．例４ 若关于狓的不等式（２狓－１）２＜犪狓２的解集中整数恰好有３个，则实数犪的取值范围是．解：当犪≤０时，不等式（２狓－１）２＜犪狓２为空集．所以犪＞０，原不等式转化为（２狓－１）２－犪狓２＜０，即［（２＋槡犪）狓－１］［（２－槡犪）狓－１］＜０．因为不等式的解集中整数有３个，所以不等式解集必须是方程的两根之间，即２－槡犪＞０，故０＜犪＜４，不等式的解集为狓１２＋槡犪＜狓＜１２－槡犪｛｝．又１４＜１２＋槡犪＜１２，则一定有１，２，３为所求的整数解集．所以３＜１２－槡犪＜４，解得犪的范围为２５９，４９１６（）．点评：解决含参问题时，笔者认为应优先考虑式子能否因式分解，若可以因式分解，我们可以求出函数零点，为研究函数性质提供了方便，可以避免对参数的讨论．若不能因式分解，除了以上介绍的几种方法，在此我们再提供一种方法．四、分清主元例５ 已知函数犳（狓）是定义在［－１，１］上的奇函数，且犳（１）＝１，若狓，狔∈［－１，１］，狓＋狔≠０，则有（狓＋狔）·［犳（狓）＋犳（狔）］＞０．（１）判断犳（狓）的单调性，并加以证明；（２）若犳（狓）≤犿２－２犪犿＋１对所有狓∈［－１，１］，犪∈［－１，１］恒成立，求实数犿的取值范围．本题将狓当作主元时，几种方法效果都不佳，此时可以变换思维，即把变元与参数换个位置，再结合其他的方法，会起到意想不到的效果．解：（１）略．（２）由犳（狓）在［－１，１］上单调递增，犳（狓）ｍａｘ＝犳（１）＝１．由题意知，１≤犿２－２犪犿＋１，即犿２－２犪犿≥０对任意犪∈［－１，１］恒成立，令犵（犪）＝－２犿犪＋犿２，犪∈［－１，１］，犵（－１）＝２犿＋犿２≥０，犵（１）＝－２犿＋犿２≥０，｛所以犿＝０或犿≤－２或犿≥２．说明：很多同学学习时很容易造成思维定式，解题时总是认为函数的自变量是狓，其实什么字母都可以作为自变量．我们可以利用函数的性质，进行变换主元，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题．总之，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，解决参数有关问题，我们要注重其解决的方法，对于不同类型的问题，采用灵活的方法进行解决．系统地掌握含参问题的解题方法，对培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助．犠７５２０２０年８月 解法探究教学参谋Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
当新函数分母为0时,如何求分离出来的参数的取值范围
湖南省沅江市第一中学 王习波
分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法。通过分离参
数，用函数观点讨论主变量的变化情况，我们可以确定参数的变化范
围。
这种方法的最大优点是可以避免分类讨论的麻烦。
解题的关键是从原函数式中分离出参数之后转化为求新函数的
最值或值域问题。
再令
h(x)
=
ln
x
+
1−
x2
x2
+1
，
则
x x h′(x)
=
(ln
x)′ +
1− (2
2
)′ +1
=
1 x
+
x x x x (1− 2)′i( 2+1)−(1− 2)i( 2+1)′ ( x 2+1) 2
=
1 x
+
x x (−2 x)i( 2+1)−(1− 2)i2 x ( x 2+1) 2
=
1 x
ln
x
=
2( x 2
+1) ln x + 2(1−
(1− x 2) 2
x2)
=
2(x2 +1) (1− x 2)2
(ln
x
+
1−
x2
x2)
+1
显然，当
x
∈
(0,1)
∪
(1,
+∞)
，
2(x2 +1) (1− x 2) 2
>
0
下面需要求出
ln
x
+
1−
用分离参数法求解参数范围题
用分离参数法求解参数范围题
赖忠华;任樟辉
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1992(000)010
【摘要】参数范围题是中学数学习题中常见的一类重要问题。
通常在解这类题时总是抓住题中的主变量x、y等进行函数或方程角度的分类讨论而获结果。
实际上,如果能变换角度思考问题,则常可使解题过程得到简化。
这只需先将所给范围题根据题设改写为含参数k的不等式f(x,k)≤0(或其它相应形式),再将参数k与主变量x 进行分离,转化为k≤g(x)(或其它相应形式),这时确定参数k的范围问题就已化归为求函数g(x)的值域或最值
【总页数】2页(P16-17)
【作者】赖忠华;任樟辉
【作者单位】[1]浙江龙游中学;[2]浙江师大
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.以静制动:用分离参数法确定参数范围 [J], 赵春燕
2.分离法求解参数范围问题 [J], 马欣
3.用分离参数法确定有解或恒成立的含参不等式的参数范围 [J], 田宝运;刘瑞杰
4.分离参数法与分类讨论法在求参数范围问题中的运用 [J], 徐浩;
5.用分离参数法确定有解或恒成立的含参不等式的参数范围 [J], 田宝运;刘瑞杰
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高中数学必考【参变分离求参范围】
高中数学必考【参变分离求参范围】
参变分离是求参数取值范围的一种常用方法，通过分离参数用函数观点讨论主要变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
参变分离方法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围等问题中会时常用到。
解决这类问题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或者值域问题。
1、用参变分离法解决函数零点、实根问题
由以上这几道例题可以得知，含参不等式问题覆盖很多知识点，其方法也多种多样，但其核心思想还是要学会等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们在知识积累的过程中不断的去领悟、体会和总结。
教师简介
合肥工业大学毕业，对数学研究透彻，精心研究数学教法，有自己的教学体系；学会适应现代教育，希望能够成为学生的良师益友，做家长和学生沟通桥梁，提高教学质量，争取做到学生的学习和身心发展双丰收。
始终坚持“授人以鱼不如授人以渔”的教学理念。
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巧用分离参数法求参数的取值范围
作者：李惠
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第09期
一、分离参数法求参数取值范围在恒成立问题中的应用
恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．
例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．
思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．
解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．
20当0
a≥2x2－12x a≤2x2+12x在（0,12］恒成立．
令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x则原命题
a≥f(x)max a≤g(x)min
∵0
且f′(x)=4x+12x2>12，
g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．
∴f′(x)>0,g′(x)
∴f(x)在（0,12］上为增函数，g(x)在（0,12］上为减函数．
∴f(x)max=f(12)=－12，
g(x)min=g(12)=32.
所以a的取值范围是［－12,32］．
点评：分离参数时，不等式左右两端同除以一个代数式时应注意其正负，分离参数后，函数的最值常借助于导数来求．
二、分离参数法求参数取值范围在二次方程根的分布中的应用
在二次方程根的分布问题中求参数的取值范围，可利用二次方程根的分布知识建立关于参数的不等式组，解之即得所求参数的取值范围；若方程中的参数可以分离，利用分离参数求解，更为简洁．
例2方程x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根，求实数a的取值范围．
思路点拨：分离参数a原命题转化为a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．只需在同一坐标系中作出函数f(x)=x2+12x与函数y=a的图像，使两图像在［12,3］内至少有一个交点，从而将问题转化为求函数值域．
解析：x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．令f(x)=x2+12x,x∈［12,3］，y=a，画出两函数图像如图所示：
∵f(x)在（12,1］上为减函数，在［1,3］上为增函数，
∴f(x)的值域为［1,53］．∴f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈
［1,53］．
点评：“对勾函数”y=ax+bx（a>0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．
三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用
函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．
例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)e x在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．
思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．
解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．
∵f′(x)=(2x－a)e x+(x2－ax+5)e x=e x(x2－ax+2x－a+5)=e x［x2+(2－a)x+5－a］
∴e x［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．
原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．
方法一：（转化为恒成立问题）
x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．
a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．
注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．
令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．
g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，
即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．
方法二：（转化为二次方程实根分布问题）
10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．
20当 >0即a>4或a
综上得a的取值范围是a≤4．
求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．。