人教B版高中数学必修四第三章 三角恒等变换

第三章三角恒等变换

§3．1和角公式

3．1．1两角和与差的余弦

课时目标

1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式．2．能利用两角和与差的余弦公式进行三角函数式的化简和求值．

1．两角差的余弦公式：

Cα－β：cos(α－β)＝________________________________________________________．

2．两角和的余弦公式：

在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即：

cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝________________________________________________

＝________________________________________________________________________．

一、选择题

1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°等于( )

A ．－12

B ．1

2

C ．0

D ．1

2．化简cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α得( ) A ．cos αB ．cos β

C ．cos (2α＋β)

D ．sin (2α＋β)

3．化简cos (45°－α)cos (α＋15°)－sin (45°－α)sin (α＋15°)得( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32 4．若cos (α－β)＝55，cos 2α＝10

10

，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )

A ．π6

B ．π4

C ．3π4

D ．5π

6

5．若sin (π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos (θ－φ)的值是( )

A ．－55

B ．55

C ．115

25

D ． 5

6．若sin α＋sin β＝1－

32，cos α＋cos β＝1

2

， 则cos (α－β)的值为( ) A ．12B ．－32C ．3

4D ．1

二、填空题

7．若cos (α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2

＝________．

8．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝1

2

，则tan αtan β＝________．

9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos (α－β)的值是

________．

10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010

，则α－β的值为________．

三、解答题

11．已知tan α＝43，cos (α＋β)＝－11

14

，α、β均为锐角，求cos β的值．

12．已知cos (α－β)＝－45，sin (α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π

2

<α＋β<2π，

求β的值．

能力提升

13．已知cos (α－β2)＝－19，sin (α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β

2

的

值．

14．已知α、β、γ∈⎝

⎛

⎭⎪⎫

0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β

－α的值．

1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．

第三章 三角恒等变换 §3．1 和角公式

3．1．1 两角和与差的余弦

答案

知识梳理

1．cos αcos β＋sin αsin β 2．cos αcos (－β)＋sin α·sin (－β) cos αcos β－sin αsin β 作业设计 1．C 2．B

3．A [原式＝cos (α－45°)cos (α＋15°)＋sin (α－45°)sin (α＋15°)

＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos (－60°)＝1

2．]

4．C [sin (α－β)＝－255(－π

2<α－β<0)．

sin 2α＝

310

10

， ∴cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]

＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)

＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－255＝－22，

∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π

4．]

5．B [∵sin (π＋θ)＝－35，∴sin θ＝3

5

，

∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－4

5．

∵sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，

∴sin φ＝－5

5

．

∴cos (θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋35×⎝ ⎛⎭⎪

⎫－55＝55．] 6．B [由题意知⎩⎪⎨

⎪⎧

sin α＋sin β＝1－3

2

①cos α＋cos β＝1

2 ②

①2

＋②2

⇒cos (α－β)＝－

3

2

．] 7．83

解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)

＝2＋2cos (α－β)＝8

3

．

8．15

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧

cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1

3

cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1

2，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

sin α sin β＝112cos αcos β＝5

12，

∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1

5

．

9．－12

解析 由⎩

⎪⎨

⎪⎧

sin α＋sin β＝－sin γ ①

cos α＋cos β＝－cos γ ②

①2

＋②2

⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1

⇒cos (α－β)＝－1

2

．