[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc
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（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A*是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
13设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是_________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14
15设ATA=E，证明：A的实特征值的绝对值为1．
16设λ0为A的特征值．(1)证明：AT与A特征值相等；(2)求A2，AT+2A+3E的特征值；(3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E—A-1的特征值．
43设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．
44设A为n阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
35
36பைடு நூலகம்
37
38用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3
39用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．
40设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中 (1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵A．
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵
（C）正定矩阵
（D）正交矩阵
6设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．
（A）A，B合同
（B）A，B相似
（C）方程组AX=0与BX=0同解
（D）r(A)=r(B)
7设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
（A）r(A)=r(B)
45
46设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3为正定二次型，求t的范围．
47设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．
41二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2—8x1x3—4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+by22一4y32，求：(1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．
42设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2．(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．
（B）2个
（C）3个
（D）4个
二、填空题
10二次型f(x1，x2，x3)=(x1—2x2)2+4x2x3的矩阵为_________．
11设 ，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_________
12设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=_________．
23设A，B为n阶矩阵．
(1)是否有AB～BA；
(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
24设α为n维非零列向量， (1)证明：A可逆并求A-1；(2)证明：α为矩阵A的特征向量．
25
26设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．
17设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．
18
19设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．(1)求方程组AX=0的通解；(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．
20
21
22设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵
（B）｜A｜=｜B｜
（C）A～B
（D）A，B与同一个实对称矩阵合同
8
（A）相似且合同
（B）相似不合同
（C）合同不相似
（D）不合同也不相似
9设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：
(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)｜A｜=｜B｜中正确的命题个数为( )．
（A）1个
（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
4设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X( )．
（A）规范形与标准形都不一定相同
（B）规范形相同但标准形不一定相同
（C）标准形相同但规范形不一定相同
（D）规范形和标准形都相同
5设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．
27
28设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．
29设非零n维列向量α，β正交且A=αβT．证明：A不可以相似对角化．
30
31设 有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
32设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．
33
34设 的逆矩阵A-1的特征向量．求x，y，并求A-1对应的特征值μ．
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A*是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
13设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是_________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14
15设ATA=E，证明：A的实特征值的绝对值为1．
16设λ0为A的特征值．(1)证明：AT与A特征值相等；(2)求A2，AT+2A+3E的特征值；(3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E—A-1的特征值．
43设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．
44设A为n阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
35
36பைடு நூலகம்
37
38用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3
39用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．
40设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中 (1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵A．
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵
（C）正定矩阵
（D）正交矩阵
6设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．
（A）A，B合同
（B）A，B相似
（C）方程组AX=0与BX=0同解
（D）r(A)=r(B)
7设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
（A）r(A)=r(B)
45
46设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3为正定二次型，求t的范围．
47设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．
41二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2—8x1x3—4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+by22一4y32，求：(1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．
42设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2．(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．
（B）2个
（C）3个
（D）4个
二、填空题
10二次型f(x1，x2，x3)=(x1—2x2)2+4x2x3的矩阵为_________．
11设 ，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_________
12设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=_________．
23设A，B为n阶矩阵．
(1)是否有AB～BA；
(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
24设α为n维非零列向量， (1)证明：A可逆并求A-1；(2)证明：α为矩阵A的特征向量．
25
26设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．
17设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．
18
19设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．(1)求方程组AX=0的通解；(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．
20
21
22设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵
（B）｜A｜=｜B｜
（C）A～B
（D）A，B与同一个实对称矩阵合同
8
（A）相似且合同
（B）相似不合同
（C）合同不相似
（D）不合同也不相似
9设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：
(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)｜A｜=｜B｜中正确的命题个数为( )．
（A）1个
（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
4设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X( )．
（A）规范形与标准形都不一定相同
（B）规范形相同但标准形不一定相同
（C）标准形相同但规范形不一定相同
（D）规范形和标准形都相同
5设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．
27
28设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．
29设非零n维列向量α，β正交且A=αβT．证明：A不可以相似对角化．
30
31设 有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
32设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．
33
34设 的逆矩阵A-1的特征向量．求x，y，并求A-1对应的特征值μ．