杭州电子科技大学学生期中试卷

> 0 ，则 lim n n→∞
x1x2...xn
=
lim
n→∞
xn
。
六
（14 分）证明函数
f (x) =
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin x
x
|
在每个区间
J1
= (−1 <
x
< 0) 及 J2
= (0 <
x < 1) 上是
一致连续的，但在它们的和 J1 + J2 = (0 <| x |< 1) 上并非一致连续的。
七 （15 分）设 y = arcsin x ，
10 设 f (x) 为可导函数，且满足条件 lim f (1) − f (1 − x) = −1 ，则曲线 y = f (x) 在点
x→0
2x
(1, f (1)) 处的切线斜率为（ ）。
（A）2， (B) − 1，(C) 1 ，(D) − 2 。 2
二 （每小题 3 分，共 6 分）用英语写出下列极限的“ ε − δ ”叙述。
2 当 x → 0 时， (1 − cos x)2 是 sin2 x 的（ ）。
（A） 高阶无穷小， (B) 同阶无穷小，但不是等价无穷小， (C) 低阶无穷小， (D) 等价无穷小。 3 下列各式中正确的是（ ）。
1
1
1
（A） lim(1 + 2x) x = e2 ， (B) lim(1 − x) x = e ，
(C) e f (x){ f '(x) + f ''(x)} ， (D) e f (x){[ f '(x)]2 + f ''(x)} 。
9 设 f (x) 可导，F (x) = f (x)(1+ | sin x |) ，若使 F (x) 在 x = 0 处可导，则必有（ ）。
（A） f (x) = 0 ， (B) f '(0) = 0 ，(C) f (0) + f '(0) = 0 ，(D) f (0) − f '(0) = 0
（1） lim f (x) ≠ A ，（2） lim f (x) = −∞ 。
x → −∞
x→x0 +0
三 （每小题 5 分，共 10 分）求极限。
（1） lim 1 − [ 1 ] ， （2） lim ( x + x + x − x ) 。
x→1 x x
x → +∞
n
四 （每小题 5 分，共 15 分）求下列函数的导数。
x→0
x→0
(C)
lim(1 + tan x)cot x = e ，(D)
lim(1 +
n
1)x
=
1
en
。
x→0
x→∞
x
4 下列命题正确的是（ ）。
（A）无界数列必趋于无穷大，
(B) 趋于无穷大的数列必无界，
(C) 趋于正无穷大的数列必在充分大时单调， (D) 不趋于无穷大的数列必有界。
5 已知实数域上的函数 f (x) 为单调增加函数， g(x) 为单调减少函数，
证明 (1 − x2 ) y(n+2) (x) − (2n + 1)xy(n+1) (x) − n2 y(n) (x) = 0, (n ≥ 0) 。
7
函数
⎪⎨⎧x
sin
1 x
,
x ≠ 0 在 x = 0 处（
）。
⎪⎩ 0, x = 0
（A） 连续，且可导， (B)连续，不可导，(C)不连续，(D)不仅可导，且导数也连续。
8 已知 y = e f (x) ，则 y''= （ ）。
（A） e f (x) ，
(B) e f (x) f ''(x) ，
考试课程 课程号 考生姓名
杭州电子科技大学学生期中试卷
数学分析 教师号 学号
考试日期
04 年 11 月 12 日 任课教师姓名
年级
成绩 专业
题号
一
二
三
四
五
六
七
得分
一选择题（每小题 2 分，共 20 分）
1
设
f
(x)
=
sin(x + 1) 1+ x2
，−
∞
<
x
<
+∞
，则此函数是（
）。
（A）有界函数， (B) 奇函数，(C) 偶函数，(D) 周期函数。
（1） y = arctan(x + 1 + x2 ) ，（2） y = ln(ln2 (ln3 x)) ，
（3） y = ex 求 y(5) (x) 。 x
五 （每小题 10 分，共 20 分）证明
（1）若
lim
n→∞
xn
=
+∞ ，则 lim n→∞
x1
+
x2
+ ... + n
xn
= +∞ 。
（2）若序列{xn} 收敛，且 xn
则 f (g(x)) 是（ ）。
（A）单调增函数， (B) 单调减函数，(C) 非减非增函数，(D) 以上都不是。
6 设函数 f (x) 在点 x = a 处可导，则 lim f (a + x) − f (a − x) = （ ）。
x→0
x
（A） 2 f '(a) ， (B) f '(a) ，(C) f '(2a) ，(D) 0 。