§1-3在维势箱中运动的粒子-结构化学课件.

ˆ a , A j j j
ˆ 当取前式复共轭时，得 A i

a
i
aj
*
ai* i* ai i*
ˆ d a * d 由于 i* A j j i j
而


ˆ d a * d A i j i i j


*
按共轭算符的定义，上两式左边应相等，故
在一定条件下，如果粒子的活动范围扩大（即 l 增大）， 相应的能量降低，如有机共轭分子中的离域效应。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) 零点能
h2 E1 零点能即基态能量，任何微观粒子的零点能不为零， 8ml 2 (3) 相邻能级间的能差
h h 2 2 E En1 En n 1 n 2n 1 2 2 8ml 8ml
* a a i j i j d 0
2
(1) n与En相对应
说明在一维箱中粒子存在多种可能的运动状态。
2 n x n x sin , n 1, 2,3…称为量子数， l l
箱中粒子的每一个 i x 与一个 Ei对应。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) n x 的图像 以 n x ~ x,
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(2)
l 0, B 0, 只有 sin l 0
n 因此， l n n 1, 2,3……， l 注: n 0
n 的特解： n ( x) B sin x l
n 即 , 两边平方: l n 2 2 2 n 2 h 2 En = (n 1, 2,3) 2 2 2ml 8ml 2mE
0 V x
0 xl x 0和x l
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
③应用范围：
● ● ● ●
金属内自由电子
共轭分子的 电子
真空管中电子的运动 原子内部电子在两个能级之间的跃迁
§1-3
在一维势箱中运动的粒子
二、用薛定谔方程处理一维势箱模型 用量子力学处理一个体系的一般步骤：
2 n
x ~ x 作图，范围
0 xl
n=4
n=3
n=2 n=1
波函数
几率密度
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波函数可以有正负变化，但几率密度总是非负的。 节点： 除边界条件 x 节点数：
0, x l 外其余各处 x 0 的点称为节点。
n 1
一般来说,节点越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高。 当 n 很大时，将分辨不清箱中各处几率密度的变化，这就是 说，高量子态时趋于经典的均一的几率密度分布。
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2 sin n x 是正交归一化的 (3) n l l
归一性：是指粒子在整个空间出现的几率为1
即： n dx 1
* n
正交性：是指
dx 0 n m
* n m
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正交性证明如下：
ˆ a , 设有 A i i i
x Acos x B sin x
2mE
其中：
§1-3 在一维势箱中运动的粒子 3．根据边界条件讨论微分方程的特解
必须是连续的，作为该体系的边界条件，应有
0 0, l 0.
(1) 0 0 0 A cos 0 B sin 0 0 A 0 0 A 0
●
研究体系
建立薛定谔方程 求出，E
●
●
●
解释、预言体系的性质
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
1．体系的薛定谔方程 箱外：由于粒子在势箱外不出现，(x)=0
ˆ x 0, 箱内：势能为零，V
哈密顿算符：
2 d ˆ T ˆ V ˆ H 2 2 8 m dx 2 2 d h ( ) 2 2m dx 2
于是得到量子化的本征值和本征函数。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
三、对本征值和本征函数的讨论
1．本征值E的讨论 (1) 能量量子化
n 1, 基态 n2 h2 En (n 1, 2,3) 2 n 2,3, 激发态 8 ml 注：
一维势箱中粒子的能量是量子化的，不连续的。
n 不能为零。 n 越大，对应的能级越高，m 越大，能量越低。
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4．用波函数的归一化条件,确定待定系数B 根据玻恩的统计解释—即在整个空间找到粒子的几率必须是 100%。要求波函数是归一化的，即：

2
d 1,
n B sin 0 l
l
2 x d 1, 得到B l
2
2 n n ( x) sin x l l
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型 二、薛定谔方程处理一维势箱模型 三、对本征值和本征函数的讨论 四、三维势箱
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型——求解Schrodinger方程的实例 1．建立模型 ①物理模型：一个质量为m的粒子，不受外力，在一维 方向上被束缚在长度为 l ，势能为零的箱内运动，箱 外的势能无穷大。 ②势能函数：
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§1-3 在一维势箱中运动的粒子
薛定谔方程：
ˆ E H
2 2
d E 2 2m dx 2 d x 2m 2 E x 0 2 dx '' 2 x 2mE x 0
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2．解微分方程的通解 上述方程是二阶常系数线性齐次方程 方程的通解：
m越大， l 越大,
E 越小,能量趋向于连续；
2
2
m越小， l 越小, E 越大，量子化越显著。
对于宏观质点，m, l 较大，能量变化非常小，E 0, 完全可以认 为能量的变化是连续的。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2．一维箱中粒子的波函数 n x 和几率密度 n x