趣味逻辑推理

动手的问题

下面三个问题都需要用计算机编程实现。（难度逐渐加大）

首先作如下约定：

输入的命题变元用小写字母表示，如p、q、r、s、t

计算机中命题连接词否定连接词、合取连接词、析取连接词、

蕴含连接词和等价连接词分别用!、&、|(键盘上回车上面右方括

号按键右边那个按键上档的符号)、-和+表示。

根据以上约定，一个命题公式的示例如下：!p&q即

题目：

1. 判断一个给定的公式是不是命题公式。难度系数：0.9

例如输入公式 !p+q，程序应该显示肯定的答复(中文，英文皆可)；输入q!&p，程序应该返回否定的结果。

2. 在题目1的基础上判断给定的命题公式是重言式、矛盾式或者非

重言可满足式。（参考阅读文章“命题公式真值表的生成算

法”）难度系数：0.4

例如输入公式!p+q，程序应该返回为非重言可满足式；输入p-(q-p),程序应该返回重言式，输入p&!p，程序应该返回矛盾式。

3. 在题目1的基础上求取给定公式的主析取范式和主合取范式。

(参考阅读文章“命题逻辑等值演算的计算机实现”)难度系数：0.3

思考问题

趣味逻辑问题

大华正在凝望一幅照片。有人问他﹕「照片中的人是谁？」大华回答说﹕「我没有兄

弟姊妹，但这个人的父亲是我父亲的儿子。」那么，大华望着谁的照片？

发生了一宗劫案，事主损失惨重，劫匪驾驶一辆货车逃走了。你只知道，(1) 除了疑

犯A，B和C之外，不会有其他人牵涉在内﹔(2) 没有A的陪同，C是不会独自犯案的﹔

(3) B 是不懂驾驶的。如此看来，A 有没有罪？

假设有一座小镇，(1) 镇上每个人头发的数目都不同﹔(2) 没有人有409根头发﹔(3) 镇

的人口比镇里任何一人头发的数目多。问题是，镇上有多少人？

下面两个重点思考:

如何采用数理逻辑的方法求解:

一个很特别的岛屿只住了君子和流氓。君子只讲真话，从不说谎﹔但相反流氓的说话

没有一句是真确的。

有天你遇到两个岛民，大明和小明。大明说小明是流氓，而小明却告诉你﹕「我和大明都不是流氓。」

你可以分出谁是君子，谁是流氓吗？

如上面的情况一样，你在这个只住了君子和流氓的岛上探访，刚好遇到三个岛民，冬

瓜、南瓜和西瓜。冬瓜声称南瓜和西瓜是同一种人﹔南瓜却说﹕「我和西瓜至少有一

个是君子。」而西瓜则说冬瓜是个流氓。你可以分出谁是君子，谁是流氓吗？

世界上最难的逻辑问题

根据已故的麻省理工( MIT )哲学及逻辑学家George Boolos，以下的趣味逻辑问题可算是全世界最难的一个。你可以解决这个难题吗？

有甲、乙、丙三个精灵，其中一个只说真话，另外一个只说假话，还有一个随机地决定何时说真话，何时说假话。你可以向

这三个精灵发问三条是非题，而你的任务是从他们的答案找出谁说真话，谁说假话，谁是随机答话。你每次可选择任何一个精灵问话，问的问题可以取决于上一题的答案。这个难题困难的地方是这些精灵会 以「Da」或「Ja」回答，但你并不知道它们的意思，只知道其中一个字代表「对」，另外一个字代表「错」。你应该问那三条问题呢？

悖论和难题

悖论是指某些奇特的推论。这些推论的假设和逻辑看似合理，但却带出明显地不可接受的结论。要正确处理这些悖论，便要指出它们的问题。这里我们列出一些著名的悖论和逻辑问题，让大家动动脑筋。

亚基里斯和乌龟

一日亚基里斯和乌龟来一次赛跑，因为亚基里斯认为自己比乌龟快，所以他让乌龟少跑一段距离。他们的协议是亚基里斯会在某地点d 1开始起跑，而乌龟则会以较接近终点的地方d 2为起点。但试想想，当亚基里斯跑到d 2的时候，乌龟会跑到了另一地方d 3。亚基里斯追到d 3的时候，乌龟却已到了d 4。如此类推，每次亚基里斯跑到乌龟之前到过的地方，乌龟却已再向前跑了一段距离。这样看来，亚基里斯怎能追到乌龟呢？

沙丘悖论

沙粒堆在一起，聚少成多，堆成沙丘。例如十万粒沙堆在一起就成了沙丘。沙丘这样大，若随便拿走一粒沙，沙丘仍会存在，因为一粒沙实在微不足道。同样，从九万九千九百九十九粒沙组成的沙丘再拿走一粒沙，沙丘也不会因此消失。总而言之，从一个沙丘拿走一粒沙，沙丘会继续存在。但若真的如此，连续把沙粒一粒一粒拿走，直至剩下最后一粒沙，沙丘也继续存在。但一粒沙怎可以构成一个沙丘呢？

不自称的悖论

如果一个谓词不能应用于它自己身上，我们称之为「不自称」的。反之，我们则称为「自称」。例如，「由中文字所组成的」这个谓词便正是由中文字所组成，所以是个自称的谓词。「是个红色的水果」只可以形容水果，不可以形容自己，所以不自称。

那么「是不自称的」本身是不是不自称的？如果是，它不应用于自己身上，即是说它应用于自己身上。但如果不是，它应用于自己身上，亦即是说它不应用于自己身上。换言之，如果它应用于自己身上，它就不应用于自己身上了！

律师和徒弟

学生甲是某大律师的徒弟。当他还在受训的时候，他答应老师，说会在他完成训练、打胜了第一场官司后缴交学费。但毕业后学生甲却一直不接手任何官司，于是老师便决定控告他拖欠学费。

老师的论据是，如果老师自己打胜了这场官司，学生甲必要立即缴交学费；如果是学生甲打胜，甲便应该按照原本的协议缴交学费。所以无论如何学生都应交学费。

但甲的论据是，如果法庭判他胜利，他便不需缴交学费；如果是老师胜利，他自己便从来没有打胜过，所以根据协议他也不需缴交学费。

到底谁的论据有道理？

说谎的人

有人这样说：「我现在所讲这句话是假的。」

那么，这个人所讲的到底是真或是假的呢？若他所说的是真，则他便是在讲假话，亦即他所说的是假的了。但若他所说的是假，那么他说自己在讲假话，岂非正确？但一句说话又怎可能是既真又假的呢？也许有些人会认为他那句话既不真也不假，但如果他所讲的其实是不真不假，而他却说自己在讲假话，那么他不真的是在讲假话吗？

纽康姆悖论

试想想，在你面前有两个盒子，一个是透明的，有一万元在里头，另一个是不透光的，可能有一百万元在里头，也可能没有任何金钱。你有两