大学物理课后答案第十一章

第十一章 机械振动

一、基本要求

1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。

2. 掌握描述简谐运动的运动方程)cos(

0ϕω+=t A x ，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。

3. 掌握旋转矢量法。

4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。

二、基本内容

1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足)()(T t x t x +=，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。

一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。

2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。

（1）简谐振动表达式)cos(0ϕω+=t A x 反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须

涉及到的物理量A 、ω、0ϕ（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t 对应地得到。

)2

cos()sin(00π

ϕωωϕωω+

+=+-=t A t A v

)c o s ()c o s

(0202πϕωωϕωω±+=+-=t A t A a （2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即kx F -=，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F 系指合力，它可以是弹性力或准弹性力。

（3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐

运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即x dt

x d 222ω-=，

它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LC

电路中的电量q 就满足q LC dt

q d 1

22-=，故电量q 的变化过程就是一个简谐振荡的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。

3. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位

（1）振幅A 是指最大位移的绝对值。A 是由初始条件来决定的，即

2

20

2

ω

v +

=

x A 。

（2）周期T 是指完成一次完整的振动所用时间。ω

π

2=T ，式中ω是简谐振

动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即m

k

=ω,ω也称为固有圆频率。对应的T 称为固有周期。v

T 1

=

，式中v 称为频率（即固有频率），它与圆频率的关系2v ωπ=，是由系统本身决定的。

（3）相位)(0ϕω+t 和初相位0ϕ是决定简谐振动的物体t 时刻和0=t 时刻运动状态的物理量。即在A 、ω确定后，任一时刻的x 、v 、a 都是由)(0ϕω+t 来确定的。一个周期内，每一时刻的相位)(0ϕω+t 不同，则对应的运动状态也不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动，相位还用来区分它们之间“步调”的一致与否。

初相位0ϕ决定于初始条件：即由⎩⎨⎧-==00

0sin cos ϕωϕA A x v 共同决定。或由

)arctan(0

0x ωϕv -

=计算，但由此式算得的0ϕ在[]π2,0或[]ππ,-范围内有两个可能的取值，必须根据0=t 时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法，则会使0ϕ的确定更加简捷、方便。

4. 旋转矢量法 简谐运动的表达式)cos(

0ϕω+=t A x 中有三个特征量A 、ω、0ϕ，旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图

示中。作匀速转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且0=t 时，它与X 轴正向的夹角为谐振动的初位相0ϕ，t t =时

刻它与X 轴正向的夹角为谐振动的位相（0ϕω+t ）。旋转矢量A

的末端在X 轴

上的投影点的运动代表质点的谐振动。

5. 简谐振动的能量

动能 )(s i n 2102

22ϕωω+=

t A m E k 势能 )(c o s 2

1

022ϕω+=t kA E p

机械能 22

1

kA E E E p k =+=

6. 同方向同频率简谐振动的合成

()1011cos ϕω+=t A x 和()2022cos ϕω+=t A x 合成后仍为简谐振动

()021c o s ϕω+=+=t A x x x 其中)cos(21020212

221ϕϕ-++=

A A A A A (合振幅)