波函数满足定态薛定谔方程这里

主量子数决定着氢原子的能量，E 与n 的依赖关系与波尔理
2 角量子数l
角动量有确定值，为
L l (l 1), l 0,1,2,, (n 1)
角动量是量子化的，叫轨道角动量。习慣用小写字母表示电子 具有某一轨道角动量的量子态，
l 0,1,2,3,4,5,6, . 记号s, p, d , f , g , h, i,.
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即 能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象，
经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。
电子(m=9.1×10-31千克)： ①若势阱宽a=10Å，则 En=0.75neV, 量子化明显； ②若a=1cm,则En=0.75×10-14eV ,量子化不明显。
安徽理工大学 2005级《大学物理》补充
第十八章 量子物理基础
第三讲量子力学应用初步
物理教研室
本次课内容
§19-8 量子力学简介（2）
三 薛定谔方程解一维势阱问题
四 对应原理 五 一维方势垒 隧道效应
§19-9 氢原子的量子理论
§19-10 多电子原子中的电子分布
课本 pp266—289； 练习册 第二十单元
n ka n , k (n 1,2,3,) a
即: k 2mE / n / a,
2
由此得到粒子的能量En
2 2 2 En 2 2ma n ,
是量子化的。
n 1,2,3,
En 称为本问题中能量E 的本征值。势阱中的粒子,其能量
3 磁量子数ml
则
多次测量能量(可能测到的值) 概率各占1/2 能量的平均值
§19-9 氢原子的量子理论
一 氢原子定态薛定谔方程的求解
氢原子由一个质子和一个电子组成，电子受质子库仑电场作用而绕核运 动（质子静止）。电子的状态由波函数描述，波函数满足定态薛定谔方程：
2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
（5a ）是勒让德方程，其解是勒让德多项式。为了使 和 时， 为有限，必须限定
（4）是径向方程，可写为：
径向方程用级数法求解。
若E>0,能量连续分布，自由电子情形；
但E<0, （束缚态），波函数标准条件要求
量子数的意义： 1 主量子数n
论相同。
氢原子只能处在一些分立的状态，用主量子数， 角量子数，磁量子数来描述, 取值如下
n n ( x) A sin( x) a (0 x a )
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
n 2 a n ( x) dx A sin ( x) dx A 1 a 2 0
a 2 2 2
得到 A 2 / a 最后得到薛定谔方程的解为：
2 n n ( x) sin( x) a a (0 x a )
8
质量为m 的粒子在外场中作一维运 动，势能函数为
0 (0 x a ) V( x) ( x 0 或 x 0)
定态薛定谔方程为：
V (x )
x=0
x=a
2 d 2 E 2 2m dx
(0 x a )
(1)
当 x < 0 和 x > a 时， ( x) 0
8
三 薛定谔方程解一维势阱问题
求解方程（1）
2 d 2 E 2 2m dx
(0 x a )
(1)
(1)式可写成
2
d 2 ( x) 2mE 2 ( x ) 0 (0 x a ) 2 dx
令 k 2mE / 代入上式得：
d 2 ( x) 2 k ( x ) 0 (0 x a ) 2 dx
此方程的通解为： ( x) A sin kx B cos kx
由于阱壁无限高，所以 (0) 0
A sin( 0) B cos(0) 0 A sin( ka) B cos( ka) 0
( a) 0
(1) (2)
由式（1）得 B = 0 ，波函数为： ( x) A sin kx 由式（2）得 A sin ka 0 ，于是
2 能量为En的粒子在 x-x+dx 内被发现的概率:
2 2 n dW n ( x ) dx sin xdx a a
2
波函数
几率密度分布
( x)
h2 E4 4 8ma2
2
( x)2
4
2 4 sin( x) a a
n=4
h2 E3 3 8ma2
2
2 3 3 sin( x) a a
n=3
2 h E2 22 8ma2
2
2 2 sin( x) a a
n=2
n=1
h2 E1 1 8ma2
2
2 1 sin( x) a a
0
x a0
a
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为
多次测量其能量。问 每次可能测到的值和相应概率？ 能量的平均值？ 解：已知无限深势阱中粒子的波函数和能量为
§19-8 量子力学简介（2）
定态薛定谔方程
2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
2
一维定态薛定谔方程
d V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
2 2
求解定态薛定谔方程，就是在已知势函数的条件下，求 出体系可能有的能量值和波函数。
2
z
(1)
这里
，（1）式可写成


x
y
采用球坐标：
z
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,

球坐标下：

x
y
（2）式则为：
分离变量，令
代入方程（3）可得：
分离变量得
和
令
，（5）再分离变量式为：
即
和 的单值性要求
（5b ）的解是
2 2 2 En 2ma2 n
势阱中粒子的能级图
E
当 n = 1,
h2 E1 2 2ma 8ma 2
n4
2 2
E4源自文库
E1即基态能级
n3 n2
E3
En n 2 E1
E2
n 叫作主量子数
n 1
o
a
E1
x
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：