圆的切线方程求法.
求点在圆外到圆的切线方程的快速方法
求点在圆外到圆的切线方程的快速方法要求点在圆外到圆的切线方程，可以采用以下步骤：
1．确定圆的方程：首先需要知道圆的方程，通常表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
2．确定点在圆外的条件：如果点(x_0, y_0)在圆外，那么(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 > r^2。
3．设定切线方程：设切线方程为y-y_0 = k(x-x_0)，其中k是切线的斜率。
4．利用圆心到切线的距离等于半径：由于切线与圆相切，圆心到切线的距离应该等于圆的半径，即|((a-x_0)/sqrt(1+k^2)) - ((b-y_0)/sqrt(1+k^2))| = r。
5．解方程求得切线斜率：将上述方程化简后得到关于k的一元二次方程，解这个方程可以得到k的两个可能值。
6．写出切线方程：对于每个k的值，都可以写出对应的切线方程y-y_0 = k(x-x_0)。
需要注意的是，由于过圆外一点可以作两条切线，因此求得的k可能会有两个值，对应的两条切线中，一条是标准的切线，另一条是垂直于圆心的直线，其方程为x=x_012。
此外，有一种快速求解的方法是基于圆的切线定义，直接写出切线方程的形式，如(x-a)*(x_0-a) + (y-b)*(y_0-b) = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，(x_0, y_0)是给定的点3。
这种方法适用于熟练掌握圆的切线性质并能够迅速应用到具体问题中的情况。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法例：已知圆的方程是 x ²+y ²=r ².求经过圆上一点 M(x ₀，y ₀)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解当点M 在坐标轴上时上面方程同样适用。
解法二：利用向量求解如图2,设直线上不同于M(x ₀,y ₀)的一点P(x,y)∵OM ⊥PM∴|OM °+|PM °=|OP ²∴x 02+y 02+(x −x 0)2+(y −y 0)2=x 2+y 2整理得： x 0x +y 0y =x 02+y 02,因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2,所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r ².当P 和M 重合时上面方程同样通用。
如图，设切线的斜率为，则 k ⋅k OM =−1,∵k Ont =y 0x 0,∴k =−x 0y 0经过点M 的切线方程是：y −y 0=−x 0y 0(x −x 0)整理得 x 0x +y 0y =x 02+y 02.因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为： x ₀x+y ₀y=r².因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r³.(这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在)整理得： x 0x +y 0y =x 02+y 02如图2，设切线上的任意一角的坐标(x ，y) ∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 0y 0−y )∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴x ₀x(x ₀-x)+y ₀x(y ₀-y)-0解法三：利用几何特征求解解法四：用待定系数法求解1、利用点到直线的距离求解设所求直线方程的斜率为k ，则直线方程为： y-y ₀=k(x-x ₀),即:kx-y+y ₀-kx ₀=0 (1) 原点O(0.0)到切线的距离等于半径 00√1+k 2=r化简整理得 (r 2−x 02)k 2+2x 0y 0k +r 2−y 02=0(2)因为 x 02+y 02=r 2所以(2)式可化为： y 02k 2+2x 0y 0k +x 02=0 解得： k =−x 0y 0代入(1)式整理得 y =x 02+x 02x +y 0因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r ³.当斜率不存在时上面方程同样适用。
求圆切线方程的公式
求圆切线方程的公式求圆的切线方程是解析几何中的一个基本问题。
在解析几何中，圆是一个重要的几何图形，而圆的切线是与圆相切且只与圆相切的直线。
求解圆的切线方程可以帮助我们研究圆与直线的关系，进一步拓展解析几何的应用。
我们需要了解什么是圆的切线。
对于一个圆，任意一条与圆相切的直线都称为该圆的切线。
圆的切线有以下几个特点：①切线与圆相切于一个点，该点在圆上；②切线垂直于半径。
那么如何求解圆的切线方程呢？我们以一个圆的切线问题为例进行讲解。
假设有一个圆，圆心坐标为（a，b），半径为r。
我们要求圆上一点P（x，y）与圆的切线方程。
我们需要确定切点的坐标。
由于切线与圆相切于一个点，所以切点P必定在圆上，即满足圆的方程。
圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，代入切点的坐标，得到(x-a)²+(y-b)²=r²。
然后，我们需要确定切线的斜率。
切线与圆相切于一个点，并且垂直于半径，所以切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1。
半径的斜率可以通过圆心和切点的坐标计算得到，即斜率k=(y-b)/(x-a)。
切线的斜率为-1/k。
接下来，我们可以通过点斜式或一般式来确定切线方程。
若选择点斜式，切线方程为(y-y₁)=k(x-x₁)，其中(x₁,y₁)为切点坐标，k为切线的斜率。
代入切点的坐标和切线的斜率，得到切线方程为(y-y₁)=(-1/k)(x-x₁)。
若选择一般式，切线方程为Ax+By+C=0。
由于切线通过切点坐标，所以将切点坐标代入一般式方程，得到A(x₁)+B(y₁)+C=0。
我们可以求得圆的切线方程为(y-y₁)=(-1/k)(x-x₁)或Ax+By+C=0。
在实际问题中，我们可以根据已知条件确定圆的切线方程。
例如，已知圆心坐标和半径，我们可以通过上述方法求得切线方程，进而研究圆与直线的相关性质。
总结一下，求解圆的切线方程是解析几何中的一个基本问题。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法圆的切线是通过圆上特定点并且与该点垂直于圆心的直径所确定的线段。
求圆的切线方程有多种方法，下面将介绍其中的几种常见方法。
【方法一：向径垂直于切线】设圆心为O，半径为r，圆上一点为P，切点为A，连接O和P。
由于切线与向径垂直，所以OP与PA垂直。
根据垂直关系，我们可以得到以下的条件：1.斜率关系：由于向径OP与切线的斜率相乘等于-1，即斜率m1*m2=-1、假设斜率为m，则有m*∞=-1（∞代表垂直线的斜率）即m=0。
所以切线的斜率为0。
2.切点坐标关系：假设切线方程为y = kx + b，由于切点A的坐标为(x1, y1)，代入切线方程中即可求得切线的方程。
【方法二：利用切线的性质求斜率和截距】在方法一中，我们先求出了切线的斜率为0。
然后，我们可以利用切点的特性求出切线的截距。
1.斜率求解：由于切线的斜率为0，所以利用两点的斜率公式，我们可以得到以下的关系式：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y1-y1)/(x1-x1)=0即y1-y1=0，即y1=y12.求截距：假设切点坐标为(x1,y1)，则切线方程为y=b。
因为切点A在切线上，所以代入切线方程中即可求出截距。
【方法三：利用切线与半径的垂直性质】由于切线与半径垂直，所以可以利用向径的特性求出切线的斜率和截距。
1.斜率求解：假设斜率m，则向径OP的斜率为m1=(y-y1)/(x-x1)。
根据垂直性质，切线的斜率m与向径的斜率m1满足m*m1=-12.求截距：设切线方程为y = kx + b。
代入切点(x1, y1)得到：y1 = k * x1 + b。
再根据切线与半径垂直的性质，可以利用点斜式的截距形式求解截距。
【方法四：坐标代入法】设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，切点坐标为(x1,y1)。
则可以把切线方程代入圆方程，将圆方程中的x和y替换成x1和y1，即可得到切线方程。
【方法五：利用直角三角形的性质】在方法一中，我们已经得到了切线与向径OP垂直，假设角POA为θ，则tanθ = m = (y1 - y) / (x1 - x)。
圆切线方程公式
圆切线方程公式圆切线方程是几何学中的重要概念，用来描述一个直线与给定圆相切的情况。
圆切线方程公式可以通过圆的半径和切点的坐标来确定。
我们来介绍一下圆的基本概念。
圆是由一组距离中心相等的点构成的，中心点到圆上任意一点的距离称为半径。
给定一个圆，我们可以通过圆心坐标和半径来确定一个圆的方程。
在平面几何中，我们常常遇到直线与圆相交或者相切的情况。
当直线与圆相切时，我们可以通过圆的半径和切点的坐标来确定切线方程。
设圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
设切点的坐标为(x0, y0)。
根据切线的定义，切线与圆相切于切点，切线与半径垂直。
所以，切线的斜率为圆心到切点的连线的斜率的负倒数。
圆心到切点的连线的斜率可以通过圆心坐标和切点坐标来计算：斜率 k = (y0-b)/(x0-a)切线的斜率为 -1/k，切线过切点 (x0, y0)，所以切线方程为：y - y0 = -1/k (x - x0)将斜率 k 代入，可以得到切线方程的一般形式：y - y0 = - (x - x0) (x0 - a)/(y0 - b)化简后得到：y = (x0 - a)/(y0 - b) (x - x0) + y0这就是圆切线方程的一般形式。
通过圆切线方程公式，我们可以求解给定圆与直线相切的情况。
首先，确定圆的方程和切点的坐标，然后代入公式即可得到切线方程。
需要注意的是，当切线与x轴平行时，其斜率不存在。
此时，切线方程可以简化为：y = y0当切线与y轴平行时，其斜率为无穷大。
此时，切线方程可以简化为：x = x0圆切线方程公式在几何学中有广泛的应用。
它不仅可以用来求解圆与直线相切的问题，还可以应用于求解圆与其他曲线相切的情况。
总结一下，圆切线方程公式是用来描述一个直线与给定圆相切的情况。
通过圆的半径和切点的坐标，我们可以确定切线方程。
圆切线方程公式在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们求解各种与圆相切的问题。
圆的切线方程问题专题(重要知识)
重点辅导
2
方法二：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联 立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.
②若通过上述方法只求出一个斜率k，则另一条切线斜率 一定不存在，此时另一切线方程为x＝x0.
注：过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条．
重点辅导
3
(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法． 利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率，进而求出切 线的斜率，利用点斜式求出切线方程． (3)斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的 求法． 方法一：先设切线方程为y＝kx＋b，然后变成一般式kx－ y＋b＝0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求b；
x0＝43， y0＝2 3 5
x0＝43，
，或
y0＝－2
3
5 .
重点辅导
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跟踪训练
∴所求切线方程为 43x＋235y＝4或43x－23 5y＝4， 即2x＋ 5y－6＝0或2x－ 5y－6＝0.
重点辅导
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课堂总结
(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0
．
①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
重点辅导
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跟踪训练
(3)解法1：∵32＋02>4，∴点Q在圆外． 设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ∴ |－1＋3kk|2＝2，∴k＝±25 5， ∴所求切线方程为2x± 5y－6＝0.
重点辅导
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跟踪训练
解法2：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为 x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝43① 又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4② 由①②构成的方程组可解得
圆的切线方程公式证明
已知:圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r², 圆上一点P(x0, y0)解:圆心C(a, b)直线CP的斜率:k1 = (y0 - b) / (x0 - a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0)整理得:(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (注意:这式也是很好用的切线方程公式) 展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0²- y0²= 0 ~ (1)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程:(x0 - a)²+ (y0 - b)²= r²化简: x0²- 2ax0 + a²+ y1²- 2by0 + b²= r²移项: - x0²- y0²= -2ax0 - 2by0 + a²+ b²- r²~ (2)由(2)代入(1), 得: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a²+ b²- r²) = 0化简, (x0x - ax - ax0 + a²) + (y0y - yb - by0 + b²) = r²整理, (x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r²类似地, 对於圆的一般方程:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程.2. 已知:圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0)解:圆心C( -D/2, -E/2 )直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0²- y0²= 0 ~ (3)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程:x0²+ y0²+ Dx0 + Ey0 + F = 0移项: - x0²- y0²= Dx0 + Ey0 + F ~ (4)由(4)代入(3), 得: x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 03a. 已知:圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r², 圆外一点P(x0, y0)解: 圆心C(a, b), 设切点为M则切线长PM = √(CP²- MC²) (根据勾股定理)= √[(x0 - a)²+ (y0 - b)²- r²] (CP:两点间距离公式求得, MC:半径长)类似地, 对於圆的一般方程:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 过圆外的点的切线长....3b. 已知:圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x0, y0)解: 圆心C( -D/2, -E/2 ), 设切点为M则切线长PM = √(CP²- MC²) (根据勾股定理)= √[ (x0 + D/2)²+ (y0 + E/2)²- ((√(D²+E²-4F))/2)²](半径:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)= √(x0²+ y0²+ Dx0 + Ey0 + F)。
过已知点求圆的切线方程
过已知点求圆的切线方程已知问题：如何求解过已知点的圆的切线方程？解决方案：1. 理论介绍在几何学中，圆是由一组等距离的点构成的图形，其中任意两点与圆心的距离相等。
圆的切线是与圆相切且仅与圆相交于切点的直线。
对于求解过已知点的圆的切线方程，我们可以利用圆的性质和几何分析来解决。
2. 基本概念在进一步讨论之前，需要了解一些基本的几何概念：2.1. 圆心：圆心是圆的中心点，由于圆的对称性质，任意一条过圆心的直径都是圆的一个对称轴。
2.2. 半径：半径是从圆心到圆上的任意点的距离，半径长短决定了圆的大小。
2.3. 弦：弦是连接圆上两个点的线段，当弦的两个端点重合时，称之为直径。
2.4. 切线：切线是与圆相切且仅与圆相交于切点的直线。
3. 求解过已知点的圆的切线方程的方法在已知圆的前提下，我们需要找到过给定点的切线。
下面介绍两种求解过已知点的圆的切线方程的方法。
3.1. 切线的性质对于切线的性质，我们可以得出以下结论：- 切线与半径垂直于切点。
- 圆的切点与圆心、切线上的点构成的直角三角形的两个锐角和为90°。
- 切线对应的切点在圆上。
3.2. 法一：几何分析通过几何分析，我们可以按照以下步骤求解过已知点的圆的切线方程：步骤1：已知圆的方程和已知点的坐标。
设已知圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，已知点的坐标为(x₀,y₀)。
步骤2：计算圆心到已知点的距离。
d = √[(x₀-a)²+(y₀-b)²]步骤3：计算切点坐标。
切点P(x₁,y₁)的坐标可通过以下公式计算：x₁ = a + r * (x₀-a) / dy₁ = b + r * (y₀-b) / d步骤4：利用切点和圆心的坐标，计算切线的斜率。
切线的斜率k = (y₁-b) / (x₁-a)步骤5：利用斜率k和切点的坐标，利用直线的点斜式求解切线方程。
切线方程的一般形式为y = kx + c，其中直线上的点为切点P(x₁,y₁)。
圆的切线与切圆角度计算
圆的切线与切圆角度计算圆的切线是指与圆相切，且与圆的切点共线的直线。
在几何学中，计算圆的切线和切圆角度是一个常见的问题。
本文将针对给定圆的半径和切点坐标，通过数学原理和公式，详细解析如何计算圆的切线和切圆角度。
1. 圆的切线计算假设有一个圆C，圆心坐标为O(x0, y0)，半径为r，切点坐标为P(x1, y1)。
为了计算切线方程，我们可以按照以下步骤进行计算：步骤1：计算切线斜率k。
由于切线与半径垂直，切线与半径的切点P与圆心O形成的直角三角形OPQ中，切线的斜率等于半径OP的斜率的负倒数。
而半径OP 的斜率可表示为:k = -(y1-y0) / (x1-x0)步骤2：计算切线方程。
切点P与切线上的任意一点Q(x, y)形成的直线方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)若切点P坐标(x1, y1)已知，通过此方程即可确定切线方程。
2. 切圆角度计算除了计算切线方程，我们还可以计算切线与圆的切点形成的切圆角度。
切圆角度是指切线与半径的夹角，可以使用以下公式进行计算：角度 = arctan(k)其中，k为切线斜率。
3. 示例说明为了更好地理解上述计算过程，我们举一个示例。
假设我们有一个圆C，圆心坐标为O(0, 0)，半径为r=5。
现在我们希望计算圆C上一点P(3, 4)处的切线方程和切圆角度。
步骤1：计算切线斜率k。
首先，我们计算切线斜率k:k = -(4-0)/(3-0) = -4/3步骤2：计算切线方程。
根据切点P坐标(x1, y1)和计算得到的斜率k，我们可以得到切线方程：y - 4 = -(4/3)(x - 3)通过整理方程，我们可以得到切线方程的一般形式。
但为了简化表达，不再展开。
步骤3：切圆角度计算。
利用切线斜率k，我们可以通过arctan函数计算切圆角度:角度 = arctan(-4/3)利用计算器或数学软件，我们可以得到切圆角度的具体数值。
通过以上示例，我们可以看到如何根据给定的圆的半径和切点坐标，计算圆的切线方程和切圆角度。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。
222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。
223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。
224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。
+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法切线是与曲线只有一个公共点且在该点处与曲线相切的直线。
对于圆来说，切线与圆只有一个公共点，并且在该点处切线垂直于半径。
在求圆的切线方程时，我们可以使用以下几种方法：1.隐式求解法：这是一种常见的方法，通过圆的方程和直线的一般方程，构建方程组并解方程组，求得切线方程。
设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
将直线方程中的A、B、C代入圆的方程，得到带有未知数x和y的一元二次方程，解方程即可得到切点的坐标。
将切点的坐标代入直线的一般方程，可得到切线的方程。
2. 参数方程法：对于圆来说，可以使用参数方程表示。
圆的参数方程为x = a + r*cosθ，y = b + r*sinθ，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，θ为参数。
对参数方程求导，可得到切线的斜率。
以切点的坐标作为参数方程中的x和y的值，联立切线的斜率和切点坐标，可以得到切线的方程。
3.向切线方程法：设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心，r为半径。
假设切线经过点P(x1,y1)与圆相切。
首先，计算该切点到圆心的距离，即为半径r。
然后，计算切线与圆心的连线的斜率，即为切线的斜率。
根据切点与切线的斜率和点斜式，可以得到切线的方程。
4.向圆心斜率法：设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
切线的斜率等于切线与圆心连线的斜率的负倒数，即为圆心到切点连线的斜率的负倒数。
根据切点坐标和斜率，可以得到切线的方程。
这些方法是求解圆的切线方程的常用方法，选择何种方法取决于具体问题的要求和已知条件。
在实际应用中，可以根据具体情况选择最适合的方法。
三招求圆的切线方程
三招求圆的切线方程江西省永丰中学 吴全根求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招。
一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：① 过圆x 2+y 2= r 2上点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2。
② 过圆（x —a)2+（y-b ）2= r 2上点P(x 0，y 0）的切线方程为（x 0-a)(x —a)+（y 0-b)(y-b ）= r 2.③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P(x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 20x x ++E 20y y ++F=0 。
点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用。
(3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.例1 求过点A （4,1)且与圆(x —2)2+（y+1)2=8 相切的切线方程。
解一：(公式法） （4-2)2 +（1+1）2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上，∴ 圆的切线方程为（4-2）(x —2）+(1+1) （y+1)=8,即x+y-5=0.解二：（公式推导法） 圆心C （2，—1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= —1.∴ 所求切线方程为y —1= —1（x — 4),即x+y-5=0。
二、待定系数法 可求过圆外一点P （x 0,y 0）的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k （x —x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .例2 求过点M （2，4)向圆（x-1)2+(y+3）2=1所引的切线方程.解：设所求切线方程为y-4=k （x-2）即kx —y-2k+4=0 (倾斜角不为900）， d=114232=++-+k k k ，∴k=724，∴切线方程为24x —7y-20=0。
过圆外一点求圆的切线方程
过圆外一点求圆的切线方程
本文将讨论如何通过给定的圆和一点，求出过该点的圆的切线方程。
假设给定的圆的方程为 $x^2+y^2=r^2$，圆心坐标为 $(0,0)$，过圆外一点 $(a,b)$ 的切线方程为 $y=kx+d$。
首先，我们需要确定切线的斜率 $k$。
由于切线与圆心连线垂直，因此可以通过求出圆心与过点 $(a,b)$ 的连线斜率 $k'$，然后利用$k$ 和 $k'$ 的关系得出 $k$。
圆心与点 $(a,b)$ 的连线斜率为：
$$k'=frac{b-0}{a-0}=frac{b}{a}$$
由于切线与该连线垂直，因此切线的斜率 $k$ 为：
$$k=-frac{1}{k'}=-frac{a}{b}$$
接下来，我们需要确定切线的截距 $d$。
我们可以通过将点$(a,b)$ 代入切线方程 $y=kx+d$ 中，然后解出 $d$。
$$b=-frac{a}{b}a+d$$
$$d=b+frac{a^2}{b}$$
因此，过圆外一点 $(a,b)$ 的切线方程为：
$$y=-frac{a}{b}x+b+frac{a^2}{b}$$
这就是我们需要求解的圆的切线方程。
需要注意的是，如果过圆外一点的直线没有与圆相交，那么该直线不存在切线。
如果直线与圆相切，那么切线方程只有唯一解。
如果直线与圆相交，则存在两条切线，分别与圆的两个交点相对应。
过圆外一点求圆的切线方程公式
过圆外一点求圆的切线方程公式求圆的切线方程是圆的基本知识，也是解析几何中的重要内容。
通过求解切线方程，我们可以得到切线的斜率和截距，从而求得切线的具体方程。
本文将从圆的定义、切线的概念和求解切线方程的方法等几个方面来介绍求圆的切线方程的相关知识。
一、圆的定义圆是平面上一点到定点之间距离等于定长的所有点的集合。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆是由所有距离圆心相等的点组成的图形。
圆被圆心和半径完全确定。
在平面直角坐标系中，圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
二、切线的概念在解析几何中，切线是曲线或曲面上的一条直线，与曲线或曲面在一点处相切。
对于圆来说，切线是与圆相切的直线。
切线与圆相切的点叫做切点。
当我们求圆的切线时，主要是要求得切线的斜率和截距，从而得到切线的具体方程。
接下来我们将介绍如何求解圆的切线方程。
三、求解圆的切线方程的方法1.坐标几何法当已知圆的方程和切点坐标时，可以使用坐标几何法求解圆的切线方程。
主要是通过切线与圆的切点坐标和切线斜率的关系来求解切线方程。
2.解析几何法当已知圆的方程和切点坐标时，可以使用解析几何法求解圆的切线方程。
主要是通过切线与圆的切点坐标和切线斜率的关系来求解切线方程。
接下来我们将对坐标几何法和解析几何法进行具体的介绍。
四、坐标几何法坐标几何法是求解圆的切线方程的一种常用方法。
当已知圆的方程和切点坐标时，可以使用坐标几何法求解圆的切线方程。
下面我们将介绍具体的步骤。
1.确定切点坐标首先，假设圆的方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，切点的坐标为(x₁, y₁)。
我们可以通过联立圆的方程和切点坐标的方程来确定切点的坐标。
2.求解切线斜率切线的斜率可以通过求解圆心和切点的连线的斜率来获得。
根据两点坐标的斜率公式：k = (y₁ - b) / (x₁ - a)其中(k为切线的斜率)3.求解切线方程通过切点坐标和切线斜率，我们可以得到切线的截距b。
如何求圆的切线方程
如何求圆的切线方程圆的切线方程是指切点在圆上，与圆的切线相切的直线方程。
求圆的切线方程可以使用两种方法：一种是几何法，一种是解析几何法。
下面我将详细介绍这两种方法。
一、几何法：1.切点坐标的确定：设圆的方程为x^2+y^2=r^2，其中圆心坐标为（a,b），切点坐标为（x0,y0）。
首先，我们需要找到切线过圆的切点坐标。
切点坐标的确定有多种方法，其中一种常用方法是使用相似三角形：a）过切点（x0,y0）作圆的半径的垂直向量，与x轴的夹角为θ1，与y轴的夹角为θ2b）设此向量的x轴分量为r*cosθ1，y轴分量为r*sinθ2c）由于切线与半径垂直，切线的斜率为-k，其中k为半径的斜率，k=tanθ1=tan(π/2-θ2)=-cotθ2d）则切线的斜截式方程为：y-y0=-k(x-x0)y=y0-k(x-x0)2.斜率的确定：接下来，我们需要确定切线的斜率k。
a）过切点（x0,y0）作圆的切线，与$x^2+y^2=r^2$的导数成正交关系。
求导并求导数的负倒数可以得到斜率：k=(dy/dx)=-x0/y0b）根据切点坐标的确定部分，我们可以将切线的斜率表示为：k=-cotθ2=-x0/y03.切线方程的确定：根据斜截式方程以及确定切点坐标的部分，我们可以得到切线方程的最终形式：y=y0-x0/y0(x-x0)二、解析几何法：使用解析几何法，我们可以根据给定的圆的方程以及切点坐标的确定方法来求解切线方程。
1.切点坐标的确定：根据几何法中的部分，我们可以确定切点的坐标。
2.切线斜率的确定：根据几何法中的部分，我们可以确定切线的斜率。
3.切线方程的确定：使用点斜式，我们可以得到切线方程的最终形式。
y-y0=-k(x-x0)y=y0-k(x-x0)需要注意的是，如果圆的方程不是以原点为圆心，可以通过平移变换将其变换到以原点为圆心的方程形式。
然后使用上述方法求解切线方程。
希望上述内容对于你理解如何求圆的切线方程有所帮助。
过圆外一点求圆的切线方程公式
过圆外一点求圆的切线方程公式求解圆的切线方程是解决几何问题中的一个常见问题。
对于给定圆外的一点，我们可以通过图形几何或代数方法来求解这个问题。
图形几何方法：方法一：直接通过观察得到切线方程。
假设圆的半径为r，圆心为O，圆外一点为A。
连接OA，并作经过A点圆的半径的垂直平分线，设垂直平分线与圆交于B和C两点。
根据切线与半径的垂直关系可知AO与OB、OC两条线段垂直。
所以，OA⊥OB，OA⊥OC。
由于AO是直径，所以<AOB是直角，所以<COB也是直角。
又由于<AOB和<COB是同位角，所以<OAB和<OCB也是同位角。
所以三角形OAB与三角形OCB是相似三角形，所以<A和<C是对应角。
将直角三角形OAB和OCB在A和C两点的相似比关系列出：OA/OC=AB/BC由于在圆上相等的弧所对的圆心角是相等的，所以弧AB所对的圆心角<OAB和<OBA，即<A和<B是对应角。
同样，弧BC所对的圆心角<OCB和<OCB，即<B和<C是对应角。
根据圆心角与弧长的关系，我们可以得到：∠AOB=弧AB/2=∠OAB∠COB=弧BC/2=∠OCB将上述等式代入之前的相似比关系式中，得到：OA/OC=∠OAB/∠OCB由此，我们可以得到向量OA与向量OC之间的倍数关系。
向量OA = ，OA，* cos∠OAB * u + ，OA，* sin∠OAB * v向量OC = ，OC，* cos∠OCB * u + ，OC，* sin∠OCB * v根据之前求得的相似比关系式，我们可以得到：OA，* cos∠OAB * u + ，OA，* sin∠OAB * v = k * (，OC， * cos∠OCB * u + ，OC，* sin∠OCB * v)其中，k为OA与OC的倍数关系，即线段OA和线段OC之间的长度比。
化简上述等式，得到：(，OA，* cos∠OAB - k * ，OC，* cos∠OCB) * u + (，OA， * sin∠OAB - k * ，OC，* sin∠OCB) * v = 0可以将上述等式表示为：Ax+By+C=0其中，A = ，OA，* cos∠OAB - k * ，OC，* cos∠OCB，B = ，OA，* sin∠OAB - k * ，OC，* sin∠OCB，C = 0。
点在圆上的切线方程
点在圆上的切线方程
圆是数学中最常见的几何图形，它的几何性质及其相关的数学知识，一直是数学爱好者们探索的热点。
其中，点在圆上的切线方程，是数学研究者们探索的重要内容。
首先，我们来看看点在圆上的切线方程的定义。
点在圆上的切线方程，是指以圆上的某一点为切点，与圆的切线的方程。
它可以用一般式来表示：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中a,b为圆心
坐标，r为圆的半径。
接下来，我们来看看点在圆上的切线方程的求解方法。
首先，我们需要确定圆的圆心坐标和半径，然后根据圆心坐标和半径，求出圆的一般式，即(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，最后，根据圆的
一般式，求出圆上某一点的切线方程。
最后，我们来看看点在圆上的切线方程的应用。
点在圆上的切线方程，可以用来解决一些实际问题，比如，在绘制圆形图案时，可以根据点在圆上的切线方程，求出圆上某一点的切线方程，从而绘制出圆形图案。
此外，点在圆上的切线方程，还可以用来解决一些其他的实际问题，比如，求解圆的面积、周长等。
总之，点在圆上的切线方程，是数学研究者们探索的重要内容，它不仅可以用来解决一些实际问题，而且还可以用来求解圆的面积、周长等。
因此，点在圆上的切线方程，是数学研究者们探索的重要内容，也是数学爱好者们探索的热点。
浅谈圆的切线方程求法
浅谈圆的切线方程求法
庞之泼
【期刊名称】《中学生数理化：高考理化》
【年(卷),期】2018(0)5X
【摘要】在高中数学解析几何部分,对圆的考查是个重点。
主要考查的是圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的切线方程等。
本文就重点来谈谈圆的切线方程的求法。
一般情况下,求圆的切线方程常用以下三种方法:(1)直接法:应用常见结论,直接写出切线方程或设出切点并利用常见结论求出切线方程。
【总页数】1页(P20-20)
【关键词】切线方程;几何法
【作者】庞之泼
【作者单位】山东省东明县第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.圆的切线和切点弦方程的公式求法 [J], 张立中
2.浅谈圆的切线方程的几种求法 [J], 丁胜;
3.圆的切线方程求法比较 [J], 王梓华;金彪
4.变幻莫测富韵味演绎直观不了情——一类动圆切线方程求法的探究和启迪 [J],
魏爱卿;涂远文
5.两圆内外公切线方程的求法 [J], 张广平;马列梅
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率为1的切线方程。 4.求与圆C ( x 2)2 ( y 2)2 2 相切 ，且在两坐
标轴上截距相等的直线方程。
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五、作业
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5.已知直线 l1 : 4 x 3 y 2 0 ， l2 : 3x 4 y 4 0。 求以直线 l1, l2 为切线且半径为1的圆的方程。
经过圆外一点可以作两条切线
思路一：求切点坐标 设切点坐标 A( x, y)
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 kCA k AM 1
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
2 已知圆C的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r ，
二、经过圆上一点，求圆的切线方程
例1：已知圆C的方程为 ( x 1)2 ( y 1)2 5 ， 求经过圆上一点 M (2,3) 的切线方程。
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二、经过圆上一点，求圆的切线方程
例2：已知圆C的方程为 x 2 y 2 r 2 ，求经过 圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程。
例2：已知圆C的方程为 ( x 1)2 ( y 3)2 1 ， 求过点 M (2,4) 的切线方程。
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四、总结
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四、练习
1.求圆C x 2 y 2 4 x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程。
2.已知圆C的方程为 x 2 ( y 2) 2 1，求经过原点 的切线方程。
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练习：已知圆C的方程为 x 2 y 2 10 ，
求经过点P（1,3）的圆的切线方程。
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
2 已知圆C的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r ，
求经过圆外一点 M ( x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况 2.一般情况：
一、复习讨论
1、圆的切线有何性质？
圆心与切点间的距离等于半径 圆心与切点的连线与切线垂直
2、怎样判断一条直线和圆是否相切？
d r
0
3、两条直线垂直，它们的斜率有什么关系？
k1 k2 1
4、直线的点斜式方程是怎样的？
y y0 k ( x x0 )
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二、经过圆上一点，求圆的切线方程
2 已知圆C的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r ，
求经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况
2.一般情况： 经过圆上一点可以作一条切线
Hale Waihona Puke 连结CM， CM l kCM kl 1
求出l的点斜式方程化为一般式
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求经过圆外一点 M ( x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况 2.一般情况：
经过圆外一点可以作两条切线
思路二：求切线斜率 设斜率为k，即 y y0 k ( x x0 )
(1)由d r列方程求k
(2)由 0列方程求k
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程