从高斯公式到高斯定理
从高斯公式到高斯定理
电磁学知识点总结(一)
电磁学中有三大实验定律：库仑定律，安培定律及法拉第电磁感应定律；并在此基础上，麦克斯韦进行归纳总结，得出了描述宏观电磁学规律的麦克斯韦方程组。
1 电荷守恒与库伦定律1.1 电荷守恒定律摩擦起电和静电感应实验表明，起电过程是电荷从某一物体转移到另一物体的过程。
电荷守恒定律电荷不能被创造，也不能被凭空消失，只能从一个物体转移到另外的物体，或者是从物体的一部分转移到另一部分。
也就是说，在任何物理过程中，电荷代数式守恒的。
在1897年，英国科学家汤姆逊在实验中发现了电子；1907-1913年，美国科学家密立根通过油滴实验，精确测定除了电荷的量值：e =1.602 177 33×10^-19 C。
这表明电子式量子化的。
1.2 库伦定律库伦定律两个静止电荷q1和q2之间的相互作用力大小和与q1与q2的乘积呈正比，和它们之间的距离r的平方呈反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸，即：其中，ε0为真空介电常数。
ε0 ≈8. 854187817×10-12 C2 / (N?m2)。
在MKSA单位制中，1库伦定义为：如果导线中有1A的恒定电流，在1s内通过导线横截面的电量为1C，即：1 C=1 A?s。
1.3 电场强度电场强度E 这是一个矢量，表示置于该点的点位电荷所受到的力，是描述电场分布的物理量，即：场强叠加原理由于电场是矢量，服从矢量叠加原理，因此我们可以得出：电荷组所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场为该点场强的矢量叠加。
电场线形象描述电场分布，我们可以引入电场线的概念，利用电场线可以得出较为直观的图像。
1.4 电荷分布为了对概念有更清晰的认识，我们介绍实际带电系统中电荷分布的4种形式：体分布电荷；面分布电荷；线分布电荷及点电荷。
电荷体密度：电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布，即：电荷面密度：若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
高斯定理和高斯数学的关系
高斯定理和高斯数学的关系
高斯定理和高斯公式都是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的，他们在数学和物理中都有重要的应用。
数学中的高斯公式是曲面积分的一个重要公式，它把闭合曲面的第二类曲面积分和三重积分联系了起来。
物理电磁学中的高斯定理同样是求场强的一个重要定理，它把“面”与“体积”联系了起来，即闭合曲面的电场强度通量与闭合曲面内的电量。
我们可以通过高斯公式来推出高斯定理。
这种综合运用各学科知识的学习方法，能够帮助我们更好地理解所学的知识点。
总的来说，高斯定理和高斯公式都是高斯数学的重要组成部分，它们在解决实际问题时提供了强大的工具。
高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高...
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称 作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 称为电荷在静电场中的电势能 称为电荷在静电场中的电势能。 电势能。 静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值 试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分 别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/n i i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
高斯定理的证明方法和应用
同理可得
dB dS
0 Idl y x dydz dxdz 0 4 S r 2 r2
0 Idl r 2 dS S 4 r
（c）电流元在任意闭曲面内 以此类推，在闭曲面 S 内，以电流元为球心作一辅助球面 S1，因为
dB dS dB dS 0
（2） 当电荷 Q 不包含在闭合曲面 S 内时，则
S V
r E dS dV 0
0
由此，高斯定理得证。 3、 高斯定理的另一种证明
如图所示，设有一电量为 q 孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意 r 为 半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为
E
2 S
S
dS
4 r 2
（1）
0
（b）点电荷在任意闭曲面外 闭曲面 S 的电通量为
S
E dS q q
1 4 0
S
q r dS r3
（2）
1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 1 1 1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 r3 r3
（c）点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面 S 内以点电荷 q 为球心作一辅助球面 S1，其法向朝内，根据（1）式可知点 电荷 q 在闭曲面 S+S1 的电通量为零，即：
E dS E dS 0
S S1
E dS E dS E dS
S S1 S2
r dS S r 2 dl
dB dS 0
S
（b）电流元 Idl 在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为
高斯定理
1、电力线 若已知电荷分布，则空间各点的场强原则上都可求出。为了形象化地把客观存在的电场
表示出来，常引入电场线这一辅助工具。 （1）电力线的定义 ·电力线上每一点的切线的方向与相应点场强的方向一致。 ·电力线的数密度与该点的场强的大小成正比。
ΔN = EΔS ⊥
则这样定义的电力线既可以表示场强的方向，又可以表示场强的大小。 所谓电场线的数密度，就是通过垂直于场强方向的单位面积的电场线的条数。这样，凡 是电场线密集的地方，场强就大，电场线稀疏的地方，场强就小。 （2）电力线的性质
斯定理导出库仑定律。库仑定律不但说明电荷间的相互作用力服从平方反比律，而且说明电
荷间的作用力是有心力。因此，在静电范围内，库仑定律比高斯定理包含更多的信息。 四、高斯定理举例
高斯定理也是静电场的基本定理之一，它给出了场与源的联系，但并没有给出场分布与 产生电场的源电荷之间的直接联系。因此在一般情况下，已知电荷分布，并不能直接从高斯 定理求得场强分布。这也是高斯定理没有包括库仑定律全部信息的反映。
（2）高斯面上的电荷问题 高斯面把电荷区分为内外两种，是否存在一种点电荷正好在高斯面上？这是不存在
的，因为只有点电荷和线度要远小于 q 与高斯面间的距离，才能视为点电荷。 （3）高斯定理中的 E 问题 高斯定理中的 E 是全部电荷所产生的 E，而不管这电荷是在曲面内部或在曲面外
部。同一高斯面的 E 可能相同，也可能不同，因为高斯面是任意选取的。 （4）高斯定理表明的只是电通量和电荷的关系 如果在高斯面内部或外部电荷分布发生改变，则空间电场分布将发生变化，高斯面
部，把 qi +1，…， q N 包围在外部，则由叠加原理，总电场 E 对封增长曲面的电通量为
高斯定理[4]
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高斯公式又叫高斯定理(或散度定理）矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式。
是研究场的重要公式之一。
公式为：∮F·dS=∫▽·Fdv ▽是哈密顿算符 F、S为矢量高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛。
如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场，求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M).解：div(qR/(4πr^3)=0 R/r--为r的单位矢量，本例说明静电场E是无源场。
应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便。
特别是求静电场中的场强，在普通物理学中常用，这里就再举二例。
现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理，设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为E·dS=Ecosθds=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的介电常数显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积，在球体内，面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds/r^2故E·ds= Q/(4πε0)dΩ因此，E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0场强学过普通物理的多数人都知道下面用高斯公式来推导电荷守恒定律，设空间区域V,边界为封闭面S，通过界面流出的电流应等于体积V内电量的减小率，即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量， dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d来代替偏导的符号）ρ-电荷密度注：J=Ρv’ V’---为速度矢量用高斯公式进行积分变换,∮J·dS=∫▽·JdV可得到电荷守恒定律的微分形式：▽·J+ dρ/dt=0，此式称电流的连续性方程。
高斯定理由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。
高斯定理的内容及公式
高斯定理的内容及公式高斯定理高斯定理（也称为散度定理）是微积分中重要的定理之一，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。
高斯定理在物理学、工程学和数学中具有广泛的应用。
定理表述高斯定理可以用数学公式来表示如下：∮F S ⋅n dA=∭∇V⋅F dV其中， - ∮S表示对封闭曲面S进行的积分； - F表示矢量场；- n表示曲面元素dA的外向单位法向量； - dA表示曲面S上的面积元素； - ∭V表示对体积V进行的积分； - ∇⋅F表示矢量场F的散度； - dV表示空间中的体积元素。
该定理表述了一个关键的观察结果：向外流过曲面S的总流量等于该矢量场在曲面内部的散度的体积积分。
例子解释下面通过一个例子来解释高斯定理的应用。
假设有一个电场E，我们想计算通过一个封闭曲面S的电场流量。
根据高斯定理，电场流量可以通过计算电场的散度来得到。
假设电场在空间中的散度为∇⋅E=ρ，其中ρ是电荷密度。
根据高斯定理，我们可以得到以下等式：∮E S ⋅n dA=∭∇V⋅E dV左边表示通过封闭曲面S的电场流量，右边表示电场散度的体积积分。
假设曲面S是一个球面，且电场在球内是均匀的。
此时，由于电场的散度是常数，我们可以简化上述公式为：E⋅4πr2=ρ⋅43πr3其中E表示电场强度，r表示球面的半径。
通过这个例子，我们可以看到高斯定理的应用。
它提供了一种计算封闭曲面内部矢量场的性质（如流量、散度等）的方法，从而使我们能够更好地理解和分析物理现象和数学问题。
总结高斯定理是微积分中的重要定理，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。
通过高斯定理，我们能够更好地理解和计算各种物理场的性质。
其应用范围广泛，包括物理学、工程学和数学等领域。
公式的推导高斯定理的推导过程如下：首先，我们考虑一个封闭曲面S，并给曲面上每一个点选取一个面积元素dA，它的法向量记为n。
我们将n⋅dA称为面积元素dA的矢量，它是法向量乘以面积元素的结果。
5-3 高斯定理
q
高斯面
r
4 3 pR 3
可见，球体内场强随 线性增加 线性增加。 可见，球体内场强随r线性增加。 均匀带电球体电场强度曲线如 上图。 上图。
+ q + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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例2
均匀带电无限大平面的电场. 均匀带电无限大平面的电场. 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。 底面积为 ，两底面到带电平面距离相同。
r E=
lr v e 2 r 2pe0R
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（2）当r>R 时，
λ E= 2 0r πε
r E=
E λ 2πε0R
∑q = λl
矢量式为： 矢量式为：
r l er 2pe0r
Er 关系曲线
r
均匀带电圆柱面的电场分布
l
−1
∝r
R
0
r
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均匀带电球体空腔部分的电场， 例4 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为r（ 在球内挖去一个半径为 （r<R）的球体。 ）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 证明： 用补缺法证明。 证明： 用补缺法证明。 在空腔内任取一点p, 在空腔内任取一点 , 设该点场强为 E E r1 设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相 设想用一个半径为 且体电荷密度与大球相 c 同的小球将空腔补上后， 同的小球将空腔补上后，p点场强变为 E 1 u r v o pE r uu
高斯定理推导
高斯定理推导
高斯定理是电磁学中的重要定理，用于计算电场和磁场的通量。
根据高斯定理，闭合曲面上电场或磁场的总通量等于该闭合曲面包围
的电荷或磁荷的代数和的1/ε0倍，其中ε0是真空中的介电常数。
为了推导高斯定理，首先考虑一个闭合曲面S，该曲面包围着一
个点电荷q。
我们将曲面S分割成许多小面元dS。
在每个小面元dS处，电场的矢量和可以近似为电场强度E与dS面元法向量n的乘积。
因此，每个小面元dS的电场通量可以表示为E·dS。
然后，考虑闭合曲面S的电场通量ΦE，它是所有小面元dS上电场通量的代数和。
我们可以通过对所有小面元的电场通量进行累加来
计算ΦE，即ΦE=∑(E·dS)。
由于曲面上的电场强度在各点可能不同，我们需要将所有小面元的电场通量进行累加。
现在我们研究闭合曲面S包围的电荷q的情况，在每个小面元dS 处，电场通量等于E·dS=q/ε0。
将这个等式代入到ΦE=∑(E·dS)中，我们得到ΦE=q/ε0。
这就是高斯定理的推导过程。
根据高斯定理，闭合曲面上的电场
通量ΦE等于该闭合曲面所包围的电荷q的代数和的1/ε0倍。
高斯定理公式推导过程
高斯定理公式推导过程高斯定理，在物理学中可是个相当重要的家伙！它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多关于电场的秘密之门。
咱先来说说啥是高斯定理。
简单来讲，它说的是通过一个闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面所包围的电荷量除以真空中的介电常数。
听起来有点晕乎？别急，咱们慢慢推导。
想象一下，咱们有一个正点电荷 Q ，周围的电场就像从这个电荷向四面八方发射出去的光线一样。
现在，咱们画一个以这个点电荷为球心的球面。
这个球面就是咱们说的闭合曲面啦。
那电通量是啥呢？电通量就是电场通过这个曲面的“流量”。
咱们来算一算这个球面的电通量。
在球面上取一个面积元 dS ，这个面积元上的电场强度 E 的大小都是一样的，因为是个均匀的球面嘛。
而且电场强度 E 的方向都和面积元 dS 垂直。
根据电场强度的定义，E = kQ / r²，其中 k 是库仑常量， r 是点电荷到面积元的距离。
那通过这个面积元的电通量dΦ 就等于 E 和 dS 的点乘，也就是E · dS 。
因为 E 和 dS 垂直，所以dΦ = E dS = kQ / r² dS 。
那整个球面的电通量Φ 呢？就是把所有面积元的电通量加起来。
因为整个球面的面积是4πr² ，所以Φ = ∫ dΦ = ∫ (kQ / r²) dS = kQ ∫ (1 / r²)dS 。
而∫ (1 / r²) dS ，因为 r 是常量，对整个球面积分的结果就是4π ，所以Φ = kQ × 4π 。
又因为在真空中，介电常数ε₀ = 1 / (4πk) ，所以k = 1 / (4πε₀) ，把这个代入上面的式子，就得到Φ = Q / ε₀。
这就是高斯定理啦！我记得我上高中的时候，刚开始学这个高斯定理，那叫一个头疼。
老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。
特别是那些公式和符号，感觉就像一群调皮的小精灵在我眼前跳来跳去，就是不让我抓住它们的规律。
高斯定理的解释和公式
高斯定理的解释和公式
高斯定理，也称为散度定理，是数学中的一个重要定理。
它描述了一个向量场通过一个封闭曲面的总量。
高斯定理在物理学和工程学的许多领域中都有广泛的应用，如电磁学、流体力学和热传导等。
高斯定理的数学表达形式如下：
对于一个平滑的三维矢量场F=(Fx,Fy,Fz)，定义一个封闭曲面S来围绕一个具有体积V的区域D。
那么，高斯定理可以写作：
∬S F·dS = ∭D ∇·F dV
其中，F·dS表示向量场F在曲面元dS上的点积积分，∇·F表示向量场F的散度，dV表示体积元。
这个定理的物理解释是，对于一个流经封闭曲面的流体量，其发散性（流出和流入区域的总和）等于其在包围该区域的体积中的源和汇的总量。
高斯定理的应用非常广泛。
在电磁学中，它可以用来计算通过一个闭合曲面的电场强度和磁场强度的总量。
在流体力学中，它可以用来计算液体或气体通过一个封闭曲面的流量。
在热传导中，它可以用来计算热量通过一个封闭曲面的扩散量。
总之，高斯定理提供了一个非常强大的工具，用于计算向量场通过封闭曲面的总量。
它在物理和工程学中的应用使得我们能够更好地理解和分析各种自然现象和工程问题。
高斯定理的三个公式
高斯定理的三个公式高斯定理在物理学中可是个相当重要的概念，它有三个关键公式，咱们一起来瞅瞅。
咱先来说说高斯定理的第一个公式。
这就好比你有一个充满电荷的球体，你想知道这个球体产生的电场强度在球体外的分布情况。
这个时候，高斯定理就派上用场啦！它能帮咱们快速算出电场的分布。
想象一下，你站在一个大大的操场上，操场上有一个透明的大球，里面装满了电荷。
你从远处观察这个球，虽然看不到里面的电荷具体是怎么分布的，但通过高斯定理，就能算出这个球在周围空间产生的电场强度。
接下来是第二个公式。
这就像是在一个封闭的房间里，电荷在房间里到处跑，但不管它们怎么跑，通过高斯定理咱们都能清楚地知道整体的情况。
比如说，你在一个房间里，灯光有点昏暗，电荷就像那些忽明忽暗的光影，而高斯定理就是能让你看清整体状况的神奇工具。
最后是第三个公式。
这个公式就更有趣啦！它就像一个超级侦探，能帮我们解决很多复杂的电场问题。
比如说，有一个形状不规则的带电体，用常规方法很难计算它产生的电场，但是用高斯定理的第三个公式，就能巧妙地找到答案。
记得我之前给学生们讲高斯定理的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这高斯定理到底有啥用啊？”我笑着回答他：“这就好比你要在一堆乱麻中找到线头，高斯定理就是那根能让你快速理清头绪的神奇线头！”然后我给他举了个例子，假如我们要计算一个无限大带电平面产生的电场，按照常规思路，那得费好大的劲。
但是用高斯定理，咱们只需要做一个合适的高斯面，就能轻松得出结果。
那个小家伙听完，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了其中的奥妙。
其实啊，高斯定理的这三个公式就像是三把神奇的钥匙，能打开很多电学难题的大门。
只要我们认真理解、多多练习，就能熟练运用它们解决各种各样的问题。
不管是在学习中还是在实际的科学研究中，高斯定理都是我们的得力助手。
所以，同学们，可别小看了这三个公式，好好掌握它们，能让我们在电学的世界里畅游无阻！。
高斯定律解析
高斯定律解析高斯定律是电磁学中的重要定律之一，描述了电场和电荷之间的关系。
该定律由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪提出，被广泛应用于电磁场、静电场和电力学的研究中。
一、高斯定律的基本原理高斯定律给出了一个描述闭合曲面上的电场总通量和该闭合曲面中所包含的电荷大小之间的关系。
其数学表达式为：∮ E·dA = 1/ε0 · Q式中，∮E·dA表示电场E对曲面上的面积元素dA进行积分求和，求得电场总通量；ε0为真空介电常数，约等于8.854 × 10^-12C^2/(N·m^2)；Q表示闭合曲面内所包含的电荷总量。
根据高斯定律，如果闭合曲面内没有电荷，则电场总通量为零；如果闭合曲面内有电荷，则电场总通量与该闭合曲面所包含的电荷量成正比。
高斯定律给出了电场与电荷之间的重要关系，能够帮助我们理解电场的分布和性质。
二、高斯定律的应用高斯定律在电磁学的研究中有着广泛的应用。
以下列举了一些高斯定律的具体应用场景。
1. 静电场分析在分析复杂的静电场分布时，高斯定律是一个非常有效的工具。
我们可以选择一个适当的闭合曲面，通过计算曲面上的电场总通量来求解该闭合曲面所包含的电荷量。
这对于研究电荷的分布和性质非常有帮助。
2. 均匀带电球体的电场分析对于一个均匀带电球体，可以利用高斯定律来求解球外的电场分布。
选择一个以球心为中心的闭合球面，计算球面上的电场总通量，由高斯定律可知，球面上的电场总通量与球内的电荷量成正比，进而求解出球体内、球体外的电场分布。
3. 均匀带电球壳的电场分析与均匀带电球体相似，对于一个均匀带电球壳，可以利用高斯定律来求解球外的电场分布。
选择一个以球心为中心的闭合球面，计算球面上的电场总通量，由高斯定律可知，球面上的电场总通量与球内的电荷量成正比，进而求解出球壳内、球壳外的电场分布。
4. 电场的对称性分析高斯定律对于具有一定对称性的电场分布有着特殊的应用价值。
高斯定理的推导过程
高斯定理的推导过程1. 高斯定理的表述- 真空中的高斯定理：varPhi_E = frac{Q_{enc}}{ε_0}，其中varPhi_E=∮_{S}→E· d→S为通过闭合曲面S的电通量，Q_{enc}是闭合曲面S所包围的电荷总量，ε_0是真空介电常数。
2. 以点电荷为例推导高斯定理 - 计算点电荷产生的电场通过包围它的球面的电通量- 设点电荷q位于球心，半径为r的球面S包围该点电荷。
- 根据库仑定律，点电荷q在距离r处产生的电场强度→E=(1)/(4πε_0)(q)/(r^2)r̂，其中r̂是沿径向的单位矢量。
- 对于球面S，d→S = r^2sinθ dθ dφr̂（在球坐标系下）。
- 计算电通量varPhi_E=∮_{S}→E· d→S，将→E和d→S代入可得：- varPhi_E=∮_{S}(1)/(4πε_0)(q)/(r^2)r̂· r^2sinθ dθ dφr̂- 由于r̂·r̂ = 1，则varPhi_E=(q)/(4πε_0)∫_{0}^2πdφ∫_{0}^πsinθ dθ - 先计算∫_{0}^πsinθ dθ=-cosθ_{0}^π=2，再计算∫_{0}^2πdφ = 2π。
- 所以varPhi_E=(q)/(ε_0)，这表明点电荷q产生的电场通过包围它的球面的电通量等于(q)/(ε_0)。
3. 以点电荷为例推导高斯定理 - 计算点电荷产生的电场通过任意闭合曲面的电通量- 根据电场线的性质，电场线是连续的，从正电荷出发到负电荷终止或者延伸到无穷远。
- 对于包围点电荷q的任意闭合曲面S'，以点电荷为中心作一个半径为r的球面S。
- 由于电场线的连续性，通过闭合曲面S'和球面S的电场线数目相同，即它们的电通量相等。
所以通过任意包围点电荷q的闭合曲面的电通量varPhi_E=(q)/(ε_0)。
4. 多个点电荷情况推导高斯定理- 设空间中有n个点电荷q_1,q_2,·s,q_n，其中闭合曲面S包围了m个点电荷q_1,q_2,·s,q_m。
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理是18世纪德国数学家卡尔高斯提出的一个重要定理，它对于计算物体表面积和空间容积具有极大的意义。
高斯定理的表达式为：
S = 2λπr^2 V =/2πr^2
其中，S表示物体的表面积，V表示物体的容积，λ表示表面张力，r表示物体的半径。
高斯定理的定理推导是以表面张力和表面张力作为基础，表明物体表面积与物体容积之间存在联系。
因为表面张力是以米为单位的，所以用高斯定理可以用来测量物体的表面面积和容积。
物体的表面积指的是物体的外表面的投影面积大小。
物体的表面系数是指物体的表面积与物体体积的比值，用高斯定理可以很容易求出表面系数的大小。
由高斯定理可以推出：
S = 2λπr^2
∴A = S/V = 2λπr^2/ (λ/2πr^2) = 4πr
从上面的结果可以看出，表面系数A与物体的半径r有关。
物体的容积指的是物体内积的大小，用高斯定理可以求出物体的容积：
V =/2πr^2
从上面的结果可以看出，物体的容积与物体的表面张力以及半径有关。
高斯定理的物理意义在于它可以将物体的表面积和容积联系起
来，用高斯定理可以很容易求出物体的表面系数，从而得出物体的表面积和容积。
因此，高斯定理在测量物体表面积和容积以及应用面及润滑学、汽车工程等领域都有重要的意义。
总之，高斯定理表达式是描述物体表面积和容积之间关系的一个重要定理，对于测量物体表面积和容积以及应用于润滑学和汽车工程等领域都有重要的意义。
高斯定理1+2+....100
高斯定理1 2 (100)高斯定理公式是即1+2+3+...+n=(首项+末项)。
高斯定理Gauss' law也称为高斯通量理论Gauss' fluxtheorem，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理。
数学的起源数学，起源于人类早期生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。
数学的演进可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。
第一个被抽象化的概念是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。
除了如何去数实际物质的数量，人类亦了解了如何去数抽象物质的数量。
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
扩展资料：高斯定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
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（1）
其中 S 取外侧，cosα，cosβ，cosγ是Σ上点（x，y，z）处 ［1］ 的法向量的方向余弦。 （1）式称为高斯公式。 高斯公式表明： 高斯面上的第二型曲面积分可以转化为所围立体内的三重积分。 ［2］ 而高斯定理是静电学中的一个重要定理。 在静电场中， 高斯定理的数学表达式为：
Φ =
若包含点电荷的闭合曲面为任意的，由于电场线不会在无 电荷的地方中断，因此，通过任意闭合曲面的电通量与上式相 等，若高斯面内包含多个电荷，根据矢量叠加原理，就可以得
4 × πR 3 = 4πR 3 。 3
S V V
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) dS
S
r v 1 q q × 4πR3 = 。 于是通过高斯面的电通量： Φ = ∫∫ E ⋅ dS = 3 πε ε 4 R 0 0 S
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
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From Gauss Formula to Gauss Theorem
Chen Xiufang Abstract：Gauss theorem is an important theorem of electrostatic. In this thesis, Gauss formula in the advanced mathematics is adopted to derive Gauss theorem of electrostatic. In this way Gauss theorem is introduced naturally and is understood easily by students. Key words：Gauss formula; Gauss theorem; superposition principle
科学之友
Friend of Science Amateurs
2010 年 10 月
从高斯公式到高斯定理＊
陈修芳
（武汉工业学院，湖北 武汉 430023） 摘 要：高斯定理是静电学的一个重要定理。文章利用高等数学中高斯公式来推导高斯 定理，比较自然地引入静电场高斯定理，从而使学生对高斯定理有更深的理解。 关键词：高斯公式；高斯定理；叠加原理 中图分类号：O441.1 文献标识码：B 文章编号：1000－8136（2010）30－0012－02 俗话说， “数理不分家” ，主要是说数学中的理论来源于物 理实践，反过来又可以应用于物理。理论上，大学物理教师的 主要任务是提出物理概念，建立物理模型，至于模型计算如求 导积分等只要交给学生利用数学工具去解决就可以了。 数学中的高斯公式是曲面积分的一个重要公式。设空间区 域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成。若函数 P，Q，R 在 V 上连续，且有一阶连续偏导数，则：
图1
高斯面上电场强度示意图
高斯公式和高斯定理虽然表面形式不同， 但从高斯公式推 导出高斯定理，不仅使我们在电磁学中较容易地引进高斯定 理，而且使学生对高斯定理有比较准确地、深刻地理解，更重 要的是对学生综合运用所学知识的能力的一个训练， 收到较好 的效果。 参考文献 1 同济大学应用数学系.高等数学（第五版） ［M］.北京：高等 教育出版社，2005 2 施传柱.关于高斯定律应用的探讨［J］.曲靖师专学报，1996 （6） ：20～21 3 马文蔚.物理学中册 （第四版） ［M］ .北京： 高等教育出版社， 2008
2
环己二羧酸配合物
环己二羧酸是脂肪族羧酸的一种，两个羧基可处于 1,2－、 1,3－及 1,4－位置， 这些二元羧酸都具有柔性和自由多变的构型， 具有如下特点：①二齿或单齿的连接方式；②存在 e,e－，a,a－ 或 e,a－三种构造（1,2－、1,3－及 1,4－衍生物中 e,e－trans－是 最稳定的，见图 1） ，羧基可以从不同的方向连接金属离子，是 构筑手性配位聚合物的首选配体；③金属－氧构成的层状或网 状结构作为柱状支撑；④利用羧基与金属离子的键合，将金属 离子聚集成 M－O－C 原子簇形式的 SBU。 这类 SBU 顶点因为 羧基将金属离子固定在一定位置上显示出足够的稳定性，成为 更大的刚性网络顶点，因此具有很高的结构稳定性。 近几年来，随着芳香多羧酸功能性配合物的不断合成，由
⎛ ∂ P ∂ Q ∂R ⎞ ⎜ ∫∫∫ ⎟ dxdydz = ⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟ ⎠ V ⎝
r v 1 q Φ = ∫∫ E ⋅ dS = xdydz + ydzdx + zdxdy 4πε 0 R 3 ∫∫ S S
根据高斯公式，有：
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫∫ (1 + 1 + 1)dxdydz = 3∫∫∫ dV = 3
r v 出高斯定理 Φ = ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
i =1
niε0。 Nhomakorabea∫∫
S
r v E ⋅ dS =
∑q
i =1
n
i
ε0
n i =1 i
（2）
（2）式中 ∫∫ 表示沿任一闭合曲面Σ的积分， ∑ q 为闭合曲
S
面 S 所包围的所有电荷的电量的代数和。高斯定理表明：通过 r 任一闭合曲面的电场强度 E 通量等于该曲面所包围的所有电荷 电量的代数和除以 ε 0 ，与闭合面外的电荷无关。 教科书上一般都是利用点电荷的电场线的特点和位于球面 球心的点电荷在球面上产生的电通量这个特例及电场线的特点 ［3］ 和电场强度的叠加原理来证明高斯定理， 这种证明虽然较为 简单，但学生较难理解。下面利用高斯公式推导高斯定理： 见图 1 ，闭合曲面为球面 S（方程 x 2 ＋ y 2＋ z 2 ＝ R 2 ） ，其 所围的立体为 V ，单位正电荷 q 放在球心。点电荷在球面上 1 q 的电场强度为 E = e ，其中 e 是由点电荷 q 指向球面 4πε 0 R 2 的单位矢量。由于球面指向外侧的法向量为 n ＝（2x，2y，2z） x y z 1 ＝2（x，y，z） ，于是单位矢量 e = ( , , ) = ( x, y, z ) ，从而 R R R R 1 q x y z 1 q E= ( , , )= ( x, y , z ) 。 又 dS＝ （dydz， dzdx， 4πε 0 R 2 R R R 4πε 0 R 3
dxdy） ，故通过高斯面的电通量可写成：
＊ 基金项目：武汉工业学院校基金资助（编号：2009Y24）
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科学之友
Friend of Science Amateurs
2010 年 10 月
环己二羧酸类配合物研究进展
肖艺唯，杨 笑
（东北师范大学附属中学，吉林 长春 130021） 摘 要：环己二羧酸配合物因其独特的性质、结构的多样化等特点，在非线形光学材料、 吸附、发光及催化等诸多领域都显示出广阔的应用前景。文章对羧酸配合物结构特点进 行了概述，并综述了近年环己二羧酸配合物研究进展。 关键词：环己二羧酸配合物；过渡金属；SBU；异构体分离 中图分类号：O641.4 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2010）30－0013－02 羧酸配合物因其独特的性质、结构的多样化及不同寻常的 光电效应等特点，在非线形光学材料、磁性材料、超导材料及 催化等诸多领域都显示出广阔的应用前景。到目前为止，已有 成千上万种羧酸配合物被合成和研究， 该类配位化合物的研究， 不仅有助于了解生物体内的桥连多核配合物所引起的各种生 物功能，而且为寻找新的抗癌药物提供有用的信息，同时对设 计理想的分子铁磁性材料和新型电致发光材料具有非常重要 的价值。 环己二羧酸构筑的配合物逐渐引起人们的关注。2002 年日本学 者 Mikako Inoue 用过渡金属铜和反式环己二羧酸合成的多孔性 化合物 Cu（trans－1；4－OOCC6H10COO） ，内含由正方形的格 子堆积的孔道，直径约为 4.2Å。该化合物能吸附大量的甲苯， 并且具有吸附/解附可逆性。
图 1 1,4－环己二羧酸三种构造 2003 年由胡长文课题组合成的［M2（phen）2（chdc）2（H2O）2］ ［1］ （M = Co（II） 、Ni（II）和 Zn（II） ）中， 1,4－环己二羧酸中 两个对位羧基分别采取单齿配位和双齿配位，分子中的左右手 螺旋链通过氢键作用形成二维的平面结构。2005 年该课题组又 通过溶剂热反应， 用咪唑代替 phen 合成三个新颖的配位聚合物 ［ M （ chdc ） （ imi ） ］ n （ chdc=1,4 － cyclo － hexanedicarboxylic dianion，imi=imidazole） ，这三个配合物是同构的，而且都是通 过金属二聚物以环己二羧酸配体为双桥构筑成一维链状的结 构。值得注意的是，在以上 6 个配位化合物中，配体 1,4－环己 二羧酸只拥有一种 e,a－cis 结构，而在反应物中用的却是顺式 和反式的混合物。这种选者性配位将有利于进一步研究分子识 别和选择配体的拆分。 羧酸被大量地用于金属－有机配位化合物的合成，除了其 配位模式多样性外，另一个原因就是羧酸对 pH 值特别敏感， 在不同的 pH 值下，羧基的去质子程度不同，往往得到不同的 配位模式。Y. Kim 课题组 2002 年在水热条件下用 1,4－环己二 羧酸作为配体， 控制溶液的 pH 值得到三个不同结构的 1D、 2D、 ［2］ 3D 化合物。 这项工作的意义在于：通过改变反应条件（酸度 和温度） ， 使得在配合物的结构体系中控制柔性块状配体的构造 成为了可能。
1
羧酸的配位结构及特点
羧酸类配合物种类繁多， 归因于羧基具有丰富的配位形式， 通常将其配位方式大致归为 3 类：单齿配位、螯合配位和桥联 配位。相对于其他类配体（如吡啶、席夫碱） ，羧酸配体具有如 下优点：①羧酸具有很强的桥联能力。在已报道的化合物中， 除了少数有第二配体（或水配体）参与下羧酸采取了单齿配位 的模式外，羧基无一例外地采取了多个原子的配位模式；②依 据去质子程度的不同，能够提供氢键的给体和受体，进行以超 分子弱作用或以配位键驱动的自组装；③羧基能以多种配位方 式与金属离子键合，组成多核金属离子的次级结构单元 SUB （secondary building unit） ，进而构造出各种各样的配位聚合物 网络结构。