自主招生 数列

自主招生强化讲义第四章------数列

一、

进门考试题

（2010“华约”）设+(x)=

+1x m f x ，且存在函数=(t)s ϕ1

=at+b,(t>,a 0)2

≠，满足2-12+1

(

)=

t s f t s

。 1) 证明：存在函数=(s)=cs+d(s>0)t ψ，满足2+12-1

(

)=

s t f s t ； 2) 设1x =3，+1=(),n=1,2,......,n n x f x 证明：-11

|x -2|3

n n ≤

二、 数列基础知识补充

数列中知识点的考察大部分会落脚于数列通项性质以及数列前n 项和的考察，所以

我们先对数列通项以及前n 项和的求法做一些补充。 1. 数列通项的求法总结

a. 递推式+1=+(n)n n a a f 或+1=(n)n n a f a

对于以上递推关系的通项求法，一般来说相应的(n)f 比较特殊，可以利用累加法和累乘法进行求解 b. 递推式+1=p +(n)n n a a f

只需构造数列，来消除(n)f 带来的差异。

例1. 设数列{}n a ，满足1a =4，-1=3+2n-1n n a a ，（2n ≥）求n a

解析：这里的(n)f 是多项式，那么我们可以构造=++n n b a An B ，其中A B 、为常数。

记住，这里当(n)f 为一次式，那么构造的也是一次式，如果(n)f 是二次式或更高，就需要构造更高次的式子。 c.

递推式+1=p +q n n a a

用待定系数法+1+=p(+)n n a a λλ，求得=-1q p λ，所以+-1n q a p ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是一个公比为p 的等比数列

例2. （2007年复旦）已知数列{}n a 满足+13+=4n n a a ，(n 1)≥，且1a =9，其前n

项和n S ，则满足不等式1

|--6|<

125

n S n 的最小整数是（） A 6 B 7 C 8

D 9

d. 递推式+2+1=+n n n a pa qa

这类递推式在往年自招中出题量是最大的，希望同学们能记住并理解其用法。这类问题的一般解法是用特征根法，令αβ、为方程2

=+x px q （注意此方程与递

推式的联系）的两个根，那么当αβ≠时，=+n n

n a A B αβ，当=αβ时，

=(+)n n a An B α，其中A 、B 为待定系数，由初始条件12a a 、可以确定。

例3. （2012年复旦）设0x =0，1x =1，-1

+1+=

2n n n x x x ，则数列{}n x 的极限为（） A

2

3

B 13

C 12

D

例4. （2011年“卓越”）设数列{}n a 满足，12=,=a a a b ，+2+12=+n n n a a a

1) 设+1=-n n n b a a ，证明：若a b ≠，则{}n b 是等比数列 2) 若12lim(++...+)=4,n n a a a →∞

求b a 、的值

e. 递推式+1+=

+n n n a a a αβ

γ

这类问题的解法技巧性比较强，也是许多学校自招所青睐的考察点。这类问题的解法一般是用不动点法。我们称=()x f x 的解为不动点，这里+=

+x x x αβ

γ

的根称为该数列的不动点，如果该数列有两个相异的不动点u v 、，则--n n a u a v ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

为等比数列，如果=u v ，那么1-n a v ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

为等差数列。 例5. 讲解进门考试题

例6. （2009年中科大）正数列{}{}n n x y 、满足+2+1+2+1=2+=+2n n n n n n x x x y y y 、，

(n 1)≥，证明：存在正整数0n ，使得对任意0>n n ，有>n n x y 恒成立。

补充一点，不动点法不只是在处理这类问题中有巨大的作用，在处理其他一些数列问题中也能发挥很大的作用。不动点法可以将递推式左右两边的形式由不统一转换成统一的，这就是其奥妙之处。

例7. （2008年武大）已知数列{}n a 满足递推关系+1n a ,(n 1)≥且1=2a

求证： 1) +12

3-<(3-)3n n a a

2)

+1

练习题：

练1（2008年武大）在数列{}n a 中，1+1=2,=4-3+1n n a a a n ，*

n ∈

1) 求证：数列{}-n a n 是等比数列； 2) 求数列{}n a 的前n 项和。

练2（2004年上海交大）已知数列{}n a 满足12=1,=2a a ，且+2+1=3-2n n n a a a ，求2004a 练3（2011年“华约”）已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b =

==+2

，，3

。令111

()2

n n x x f x +==，。

1) 求数列{}n x 的通项公式； 2) 证明12

112n x x x e

+>

。

练4（2000年上海交大）在数列{}n a 中，1=4a ，2)n a n ≥

1) 求证：-11|-3|<|-3|3

n n a a ； 2) 求lim n n a →∞

2. 数列前n 项和的求法总结

以下提及的数列求和方法在高考中也经常作为考察点。 a. 倒序相加法