自主招生 数列
用递推数列备考自主招生的计数、二项式、概率统计题
＋￣ ／ ｓ 一１ 的形 式 ， 其中Ｓ ∈Ｎ＋ ．
￣（ １ ｑ － ， ／ ２） 配对 （ １ 一
析
整 理 得 ａ ｎ 一 一 号 × 筹＋ 警 ．
比较得 一２ ０ ， 解得 Ａ一１ ５ ， 代人 得
ａ ｎ
一
， 构造 数列 ｛ ｎ ｝ 使
通项 ａ 通项 ｎ ： ！ ！ ± ．
于是， ｛ 一１ ５ ｝ 是公比ｇ 一 １ ５ ＝ ａ ４ — １ ５ ） × （ 一 寺） 一 ， 则
塞撬玺
ａ 一５ ×３ 一 一（ 一１ ） ×１ ５ —１ ５ ×［ ３ 一。 一（ 一１ ） ］ ． 故所求 的染 色方 法共有 １ ５ ×［ ３ 一 一（ 一１ ） ” ］ 种．
Ｎ＋ ） ， 则
二
（ 其中 ∈
１ ５ 一 一 号 × （ ￣ ｎ ＝ － ｉ １ — １ ５ ） ≠ ｏ （ ≥ ５ ） ．
２ ａ ＋ ２ 一（ １ ＋√ ２ ） ＋（ １ 一√ ２ ） 卅 ＝ ：
［ （ １ ＋ ） ＋（ １ 一 ） ］・ ［ （ １ ＋ ） ＋
一
运 用递 推 数 列 的方 法 探 究重 点 大 学 自主招 生 中
有关 计数 、 二项 式 、 概 率 的问题 ， 对 于命 题 专 家来 说 是 个 热点 ， 对于 考 生 的解 题 学 习来 说 这 是 个 难 点 ， 但 对 于中学数 学教 师 的教 来说 却 普遍 又 是个 盲 点． 本文 分
在第 ， ｚ 位（ 末尾 ） ， 则前 面 一１个 数有 ａ 种排法； 若
排在第 １ 位， 则后 面 ｎ 一１ 个 数 只能递减 而只 有 １种
例 １ （ ２ ０ ０ １年 全 国联 赛 题 、 ２ ０ ０ ３年 全 国高 考 题、 ２ ０ ０ ７年复旦 大学 自主 招 生题 、 ２ ０ ０ ８年 全 国高 考卷 Ｉ题 、 ２ ０ ０ ８年 南 京 大 学 自主 招 生 题 合 编题 ）如 图 １ ， 一 １ 个 区域环 绕 １个 中 心 区 域 ， 现 为 这 ｎ（ ≥４ ） 个 区域染 色 ， 要 求 相 邻 区域 异 色 ． 现有 ５种颜 色 可供选 择 ， 则共 有 多 少种 不 同的染 色方法 ？ 图１
05自主招生试题分类汇编-数列
M = {3a + (i + j + k )d |1 i j k 13} = {3a + md | 6 m 36, m N *}
3a + xd = 0, 7 ( y − x) d = , 7 2 于是存在正整数 6 x, y, z 36 ,使得 3a + yd = , 从而 2 ( z − x)d = 16 16 3 3a + zd = 3
n 特征方程 x = 4 x − 4 有重根 2，可设 a n = (c1 + c 2 ) 2 ，
2
将 a1 = 1 ， a 2 = 5 代入上式，得 c1 = − 于是 a n = (
1 3 ， c2 = ， 4 4
3n 1 − ) 2 n = (3n − 1) 2 n−2 ，∴ a 2013 = 6038 2 2011 ． 4 4
(
)(
)
1 的等差数列， 4
(
)(
)
1 1 1 1 设等差数列的公差为 d ，则四个根分别为 , + d , + 2d , + 3d 4 4 4 4 1 1 1 1 由韦达定理可知 与 + 3d 为上式方程的两实根，而 + d 与 + 2d 则是 4 4 4 4 1 1 另一个方程的两实数根，故 + 3d = 2 ， d = 2 2
(
)
n
= c + d 2 = c 2 + 2d 2 − 1 = S + S − 1
自主招生 11.数列综合(教师版)
8.
已知数列{an}的递推公式为 an
2
an1 an1
(n
N
且
n
1)
，首项
a1
3
，求
an
。
解：引入常数
x
，有
an
x
(1 x)an1 2 an1
2x
(1
x)
an1
2x x 1
2 an1
，
令 x 2x ，解得 x 0 或 x 1 ， 1 x
n 1
n )(
1 n 1
n 1)(
n
，
n 1)
求 S2003 。
解：因为 an (
n 1
n )(
1 n 1
n 1)(
n
n 1)
n 1 n 1
( n 1 n) ( n n 1)
2( n 1 n )( n n 1) 2( n 1 n )( n n 1)
a d a 2d a nd 507
a 1d
a 1 2d
a 1 nd
507
，
a
2
d
a 2 2d
a 2 nd
507
故绝对值函数 f (x) x d x 2d x nd ，存在三个“等值点”：
当 n 2 时， Sn 4an1 2 ，所以 an1 4an 4an1 ，即 an1 2an 2(an 2an1) ，
由等比数列通项公式，得 an 2an1 2n2 (a2 2a1) 3 2n2 ，
第十一讲 数列的通项与递推数列自主招生
第十一讲 数列的通项与递推数列【考点说明】1.数列是自主招生必考的一个重要内容之一，在自主招生中占有一席之地！2.在自主招生中,数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。
【知识引入】一．等差数列：1.通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；2.前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+. 二．等比数列：1.通项公式：1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈； 2.前n 项和公式：11(1)111n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩,,或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ .三．数列的通项公式与前n 项的和的关系：11,1,2n n n S n a S s n -=⎧=⎨-≥⎩(n S 为数列{}n a 的前n 项的和为).四．常见数列的前n 项和公式：(1)1232n n n +++++=21357(21)n n ++++-=24682(1)n n n ++++=+ 2222(1)(21)1236n n n n ++++++=33332(1)123[]2n n n +++++=【知识拓展】一．对于数列{}n a ，若存在正整数k 及一个将n k a +与前面k 项12,,n k n k n a a a +-+-联系起来的方程1(,,)0,1,2,n k n k n f a a a n ++-==，则称数列{}n a 是k 阶递推数列，此方程为递推方程。
由（*）得出12(,,)n k n k n k n a g a a a ++-+-=，称为数列{}n a 的递推关系。
一般说来，确定一个k 阶递推数列需要知道k 阶初始值：12,k a a a 。
二．求通项问题的主要类型：1．转化法：某些数列虽然不是等差等比数列，但可以通过对递推公式变形，重新构造新的数列，而这些数列为等差数列或等比数列，进一步通过对新数列的通项公式求出原数列的通项。
自主招生专题三数列(无答案)
自主招生专题三——数列1,等比数列的前三项321,,a a a 的和为定值m )0(>m ,公比0<q ,令321a a a t ⋅⋅=,则t 的范围为 ( ) 2,若数列{}n a 满足nn a a 111-=+,且21=a ,则=2008a ( ) 3,等比数列{}n a 中,5121=a ,公比21-=q ,用∏n 表示它的前n 项积:∏⋅⋅⋅⋅=nn a a a 21,则数列{}∏n中的最大项是 ( ) 4,已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)(58S S -)(48S S -0<,则 ( )5,已知数列{}n a 满足)3,(,2,2*2121≥∈=+=--n N n a a a a a n n ,若,2lim =n a 则=1a ( ) 6,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1)1(2007)1(,1)1(2007)1(200432004434-=-+-=-+-a a a a ,则下列结论正确的是 ( ) 7,若一项数为偶数m 2的等比数列的中间正好是方程02=++q px x 的两个根,则此数列各项的积是 ( ) 8,若一个圆盘被n 2)0(>n 条相等间隔的半径与一条割线所分割,则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是9,已知数列{}n a 满足递推关系式1221-+=+nn n a a *)(N n ∈,且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ为等差数列,则λ的值是 . 10,方程014424=++ax x 的四个根成等差数列,则a 的值为 .11,光线从O ∠)8(ο=∠O 一边上的点B 反射到点C ,最后可能出现OA DE ⊥,这样光线就沿路返回,如图所示,称为经过3次反射后出现这一现象,那么从A 点射出的光线最多经过 次反射后出现这一现象. 12,已知等差数列{}n a 中,44191173=+++a a a a ,=++1695a a a . 13,已知)!2()!1(!2+++++=k k k k a k ,则数列{}n a 前100项和为 .14,数列{}n a 的通项公式nn n n a n )1(11+++=,则这个数列的前99项和=99S .15,等差数列{}n a 中,01>a ,且13885a a =,则前n 项和n S 取最大值时,n 的值为 . 16,数列{}n a 中,72,87,42,65,20,43,6,21,0876543210=-==-==-==-==a a a a a a a a a ,此数列的通项公式为=n a .17,两个等差数列K ,206,203,200和K ,58,54,50都有100项,它们共同的项的个数是 . 18,已知,Z n ∈有20041)200411()11(+=++n n ,则=n .19,已知等差数列{}n a 满足121+-=+n n n na a a ,(1)求n a ;(2)若正项数列{}n b 满足n n n a b b b ==+11,1,求证:)11(211121-+>+++n b b b nK . 20,已知等差数列{}n a 的首项为a ,公差为b ;等比数列{}n b 的首项b ,公比为a ,其中+∈N b a ,,且32211a b a b a <<<<. （1）求a 的值；（2）若对任意+∈N n ，总存在+∈N m ，使n m b a =+3，求b 的值;（3）在（2）中记{}n c 是{}n a 中所有满足n m b a =+3的项从小到大依次组成的数列，又记n S 为{}n c 的前n 项和，n T 为{}n a 的前n 项和，求证：n n T S ≥()+∈N n .21,设数列{}n a 满足t a =1nn a n n n a t -+=<+2)1(),1(1),2,1(Λ=n .(1)用数学归纳法证明:()()[]()t n n t n n n a n 121-----=()Λ,2,1=n ;(2)求!lim 121n a a a n n ++∞→Λ. 22,在数列{}n a 中,已知12,211+==+n nn a a a a .(1)证明:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)求证:∑=<-ni ii aa 13)1(.23,已知函数)1ln()(x x x f +-=,数列{}n a 满足)(,1011a f a a n =<<+.数列{}n b 满足*11,)1(21,21N n b n b b n n ∈+≥=+.求证:(1)101<<<+n n a a .(2)221n n a a <+;(3)若221=a ,则当2≥n 时,!n a b n n ⋅>. 24,数列{}n a 的首项11=a ,前n 项和n S 与n a 之间满足1222-=n nn S S a )2(≥n .(1)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的通项公式;(2)设存在正数k ,使()11S +()Λ21S +()121+≥+n k S n 对一切()*N n ∈都成立,求k 的最大值.25,如图,曲线x y =上的点),(2i i i t t P ),2,1(Λ=i 与x 轴正半轴上的1Q 及原点O 构成一系列正i i i Q Q P 1-∆0(Q 与O 重合),记1-=n n n Q Q a .(1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式n a ;(3)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,若对于任意的实数[],1,0∈λ总存在自然数k ,当k n ≥时,()λ+≥+-1233n S n ()13-n a 恒成立,求k 的最小值.26,()()()0,,0,,,2=-+-++≠≠∈b a c x a c b x c b a c b abc R c b a 有两个相等根,求证:cb a 1,1,1成等差数列. 27,已知函数112)(1++=x x x f ,对于Λ,3,2,1=n 定义)),(()(11x f f x f n n =+若)()(535x f x f =,则)(28x f 的解析表达式是什么?28,已知{}n b 为公差为6的等差数列,n n n a a b -=++11).(N n ∈(1)用n b a ,,11表示数列{}n a 的通项公式;(2)若a b a =-=11,[]33,27∈a ,求n a 的最小值及取最小值时的n 的值.29对于数列{}n a :,,5,5,5,5,5,3,3,3,1Λ即正奇数k 有k 个,是否存在整数,,,t s r 使得对于任意正整数n 都有[]t s n r a n ++⋅=恒成立[]x (表示不超过x 的最大整数)?30,数列{}n a 中,23,3,11221n n n a a a a a +===++求n a 和n n a ∞→lim .31,如图所示,设曲线x y 1=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角,,,22111ΛA B A A OB ∆∆直角顶点在曲线xy 1=上,试求n A 的坐标表达式,并说明这些三角形的面积之和是否存在.。
初中数学自招系列(18)：数列拓展
自主招生：数列【知识梳理】1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示. 2. 等差中项：由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项.若m n p q +=+, 则m n p q a a a a +=+.3. 等差数列通项公式：d n a a n )1(1−+=4. 等差数列递推公式：d m n a d a a m n n )(1−+=+=−5. 等差数列前n 项和:一般地，我们称123n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即123n n S a a a a =++++=d n n n a n a a n 2)1(211−+=+. 6. 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q 表示()0q ≠，即：()10nn a q q a −=≠. 7. 等比中项：由三个数a ，A ，b 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列，这时，A 叫做a 与b 的等比中项.若m n p q +=+, 则m n p q a a a a ⋅=⋅.8. 等比数列通项公式：11n n a a q −=⋅9. 等比数列递推公式：1n mn n m a a q a q −−=⋅=⋅10. 等比数列前n 项和：一般地，我们称123n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即123n n S a a a a =++++=111nq a q−⋅−.11. 常见通项公式求法：1，利用前n 项和：⎩⎨⎧≥−==−)2(,)1(,11n S S n S a n nn4，构造法：()()11n n n n a pa q a k p a k ++=+⇔+=+5，取倒法：1111n n n n npa q k a qa k a p p a ++=⇔=+⋅+6，含指数形式：1111nn n n n n n n a a q a pa q p p p p +++⎛⎫=+⇔=+⋅ ⎪⎝⎭12. 常见数列求和法： （1）利用等比等差公式求和： （2）拆项分组求和：若n n n b a h +=，n a 前n 项和为n S ，n b 前n 项和为n T ，则n h 前n 项和为n n T S +。
第13讲自主招生数学试题中的数列与极限
第十三讲:数列与极限 1第十三讲:自主招生数学试题中的数列与极限杨教师专论（电话号码：2078159；电话号码：）数列是中学数学的骨干内容,在高考、自主招生和数学竞赛中均占有重要位置.数列是决胜高考的至高点,是自主招生和数学竞赛的必争之地.高考、自主招生和数学联赛一试中的数列问题的难度、所涉及的知识和方式,大体相当.Ⅰ.知识拓展1.数列概念:⑴阶差数列:关于一个给定的数列{a n },咱们把数列{x n }:x n =a n+1-a n 叫做数列{a n }的一阶差数列,数列{y n }:y n =x n+1-x n 叫做数列{a n }的二阶差数列,依次类推可得数列{a n }的k 阶差数列.若是数列{a n }的k 阶差数列是一非零常数,那么称数列{a n }为k 阶等差数列;k 阶等差数列具有如下性质: ①数列{a n }是k 阶等差数列的充要条件是数列{a n }的通项a n 是n 的k 次多项式;②数列{a n }是k 阶等差数列的充要条件是数列{a n }的前项和S n 是n 的k+1次多项式(常数项为零);⑵周期数列:关于数列{a n },若是存在一个常数T(T ∈N +),使得对任意的正整数n,恒有a n+T =a n ,那么称数列{a n }为以T 为周期的周期数列;一个周期数列中所有正周期的最小值称为最小正周期.周期数列具有如下性质: ①周期数列必有最小正周期(周期函数不必然有最小正周期);②若是数列{a n }的最小正周期为T,且n=kT+r,那么数列{a n }的前n 项和S n =kS T +S r .2.数列极限:⑴大体极限:①∞→n limαn1=0(α>0,α为常数);②∞→n lim q n=0(0<|q|<1,q 为常数);③若数列{a n }是以q 为公比的等比数列,且0<|q|<1,那么∞→n lim S n =q a -11;④∞→n lim (1+n1)n =e.⑵极限运算:若∞→n lim a n =A,∞→n lim b n =B,那么:①∞→n lim (ka n )=k ∞→n lim a n =kA;②∞→n lim (a n ±b n )=∞→n lim a n ±∞→n lim b n =A ±B;③∞→n lim (a n b n )=∞→n lim a n ∞→n lim b n =AB;④∞→n limnn b a =n n n n b a∞→∞→lim lim =B A . 3.递推数列:⑴线性递推:数列{a n }:a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b k ,a n+k =λ1a n +λ2a n+1+…+λk a n+k-1,其特点方程:x k=λ1+λ2x+…+λk x k-1;①假设特点方程有k 个不同根x 1,x 2,…,x k ,那么其通项a n =c 1x 1n +c 2x 2n +…+c k x k n,其中c 1,c 2,…,c k 由初始条件a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b k 确信;②假设特点方程有k 1个重根x 1,k 2个重根x 2,…,k s 个重根x s ,那么其通项a n =(c 11+c 12n+c 13n 2+…+11k c 11-k n )x 1n+(c 21+c 22n+c 23n 2+…+22k c 12-k n )x 2n+…+(c s1+c s2n+c s3n 2+…+s sk c 1-s k n )x s n,其中c ij 由初始条件a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b k 确信.⑵分式递推:①数列{a n }:a 1=a,a n+1=D Ca B Aa n n ++,其特点方程:x=DCx BAx ++;(i)假设特点方程有二个不同根x 1,x 2,那么{21x a x a n n --}是等比数列;(ii)假设特点方程有等根x 0,那么{01x a n -}是等差数列;②数列{a n }:a 1=a,a n+1=D Ca B Aa n n ++2,可利用其特点方程:x=D Cx BAx ++2求通项,如当C=2A 时,假设特点方程有二个不同根x 1,x 2,那么2111x a x a n n --++=(21x a x a n n --)2.Ⅱ.归类分析2 第十三讲:数列与极限 1.等差数列:[例1]:(2004年上海交通大学保送生考试试题)已知数列{b n }是公差为6的等差数列,b n+1=a n+1-a n (n ∈N +).(Ⅰ)用a 1、b 1、n 表示数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)假设a 1=-b 1=a,a ∈[27,33],求a n 的最小值及取最小值时n 的值.[解析]:(Ⅰ)因b n =b 1+6(n-1)⇒a n+1-a n =b n+1=6n+b 1⇒a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=a 1+3(n-1)n+b 1(n-1);(Ⅱ)由a 1=-b 1=a ⇒a n =3n 2-(3+a)n+2a,其对称轴n=63a+∈[5,6];①当a ∈[27,30]时,a n 的最小值=a 5=60-3a;②当a ∈(30, 33]时,a n 的最小值=a 6=90-4a.[练习1]:1.①(2005年上海交通大学保送生考试试题)已知等差数列{a n }中,a 3+a 7+a 11+a 19=44,a 5+a 9+a 16= . ②(2007年武汉大学保送生考试试题)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,假设a 2020=S 2020=2020,那么首项a 1=( ) (A)2020 (B)-2020 (C)2006 (D)-2006 ③(2021年全国高中数学联赛天津初赛试题)数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n,则a 3+a 17等于( ) (A)36 (B)35 (C)34 (D)33 ④(2021年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知等差数列{a n }前15项的和S 15=30,则a 1+a 8+a 15= . ⑤(2021年全国高中数学联赛山东初赛试题)等差数列{a n }中,a 20=a 1,a 201=b 1,a 2021=c1,那么1992ac-1811bc-181ab 的值为 .⑥(2021年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)数列{a n }知足:a 1=1,a 2=21,而且a n (a n-1+a n+1)=2a n+1a n-1(n ≥2),那么数列{a n }的第2021项为( ) (A)20101 (B)20111(C)20121 (D)20131 ⑦(2021年全国高中数学联赛山西初赛试题)a 1,a 2,a 3,…是一个等差数列,其中a 1>0,S n 表示其前n 项和.若是S 3=S 11,假设在S 1,S 2,S 3,…中,最大数为S k ,那么k= .⑧(2005年上海交通大学保送生考试试题)等差数列{a n }中,3a 8=5a 13,那么前n 项和S n 取最大值时,n 的值为 . ⑨(2021年全国高中数学联赛吉林初赛试题)等差数列{a n }中,a 1>0,且5a 8=8a 13,那么前n 项和S n 取最大值时,n 的值为 .⑩(2020年“北约”自主招生试题){a n }是等差数列,a 3=-13,a 7=3,S n 表示{a n }的前n 项和,求S n 的最小值. 2.①(2021年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在等差数列{a n }中,假设S 4≤4,S 5≥15,那么a 4的最小值是 . ②(2020年“北约”自主招生试题)已知数列{a n },且S n =na+n(n-1). (Ⅰ)求证:{a n }是等差数列; (Ⅱ)求(a n ,nS n)所在的直线方程. ③(2021年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知函数f(x)=xx 232+,数列{a n }知足:a 1=1,a n+1=f(n a 1),n ∈N +.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)令T n =a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-a 4a 5+…-a 2n a 2n+1,求T n .④(2020年“北约”自主招生试题)已知一无穷等差数列中有3项:13,25,41.求证:2020为数列中的一项. ⑤(2021年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设{a n }是正项递增的等差数列.求证: (Ⅰ)对任意的k 、m ∈N +,当m>k ≥2时,11++k m a a <k m a a <11--k m a a ; (Ⅱ)对任意的k ∈N +,当k ≥2时,kk k a a 112013++<12++k k a a ⋅1222++k k a a ⋅1323++k k a a ⋅…⋅1201222012++k k a a <k k a a 222012+. 第十三讲:数列与极限 3 2.等比数列:[例2]:(2007年上海交通大学保送生考试试题)已知等差数列{a n }的首项为a,公差为b,等比数列{b n }的首项为b,公比为a,其中a 、b 为正整数,且a 1<b 1<a 2<b 2<a 3. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)假设关于{a n }、{b n },存在关系式a m +1=b n ,求b; (Ⅲ)关于知足(Ⅱ)中关系式的a m ,求a 1+a 2+…+a m .[解析]:(Ⅰ)由a 1<b 1<a 2<b 2<a 3⇒a<b<a+b<ab<a+2b ⇒a<b,a>1(b<ab)⇒a ≥2,b ≥3;ab<a+2b ⇒a 2+b1>1;假设a ≥3,那么b ≥4⇒a 2+b 1≤32+41<1,矛盾,因此a=2; (Ⅱ)由a m +1=b n ⇒2+(m-1)b+1=b ×2n-1⇒b(2n-1-m+1)=3(b ≥3)⇒b=3,2n-1-m+1=1⇒b=3;(Ⅲ)由(Ⅱ)知b=3,m=2n-1⇒a k =3k-1⇒a 1+a 2+…+a m =32)1(+⋅m m -m=3×22n-3+2n-2. [练习2]:1.①(2006年武汉大学保送生考试试题)已知等比数列{a n }的首项a 1=1,前3项和S 3=3,那么a 3=( ) (A)1 (B)-4或-1 (C)4 (D)1或4②(2000年上海交通大学保送生考试试题)假设一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px+q 的两根,那么此数列各项的积是( )(A)p m(B)p 2m(C)q m(D)q 2m③(2021年全国高中数学联赛河南初赛试题)各项均为正数的等比数列{a n }中,2a 4+a 3-2a 2-a 1=8,则2a 8+a 7的最小值为 .④(2021年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知正项等比数列{a n }知足:a 7=a 6+2a 5,假设存在两项a m 、a n 使得n m a a =4a 1.则m 1+n4的最小值为 . ⑤(2020年上海交通大学保送生考试试题)a 1=1025,q=-21,{a n }为等比数列,求a 1a 2…a n 的最大值. ⑥(2021年全国高中数学联赛江西初赛试题)三个互异正整数a 、b 、c 组成等比数列,其和为111,则{a,b,c}= . ⑦(2006年复旦大学自主招生数学试题)求和: (Ⅰ)7+77+777+…+777…7(n 个7); (Ⅱ)2005++2005+…+2005…(n 个2005).⑧(2021年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题)设等差数列{a n }与等比数列{b n }知足:0<a 1=b 1<a 5=b 5,那么下述四个结论:①a 3<b 3;②a 3>b 3;③a 6>b 6;④a 6<b 6中,正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 ⑨(2021年全国高中数学联赛广东初赛试题)将25个数排成五行五 列:已知第一行a 11,a 12,a 13,a 14,a 15成等差数列,而每一列a 1j ,a 2j ,a 3j ,a 4j , a 5j (1≤j ≤5)都成等比数列,且五个公比全相等.假设a 24=4,a 41=-2,a 43=10, 则a 11a 55的值为______.⑩(2020年复旦大学自主招生数学试题)设有4个数的数 列为:a 1,a 2,a 3,a 4,前3个数组成一个等比数列,其和为k,后3个数组成一个等差数列,其和为9,且公差非零,关于任意固定的k,假设知足条件的数列的个数大于 1.那么k 应知足( )(A)12k>27 (B)12k<27 (C)12k=27 (D)其他条件4 第十三讲:数列与极限2.①(2021年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知数列{a n }为等差数列,且a 2=5,a 8=23;数列{b n }是各项均为正数的等比数列,b 1=2,且对任意正整数s 、t 都有b s+t =b s b t 成立. (Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项公式;(Ⅱ)求证:数列{b n }中有无数多项在数列{a n }中.②(2006年武汉大学保送生考试试题)已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,已知a 3=11,S 9=153. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设a n =log 2b n ,证明:数列{b n }是等比数列,并求其前n 项和T n .③(2001年复旦大学自主招生数学试题)设数列{b n }知足:b 1=1,b n >0(n=2,3,…),其前n 项乘积T n =(a n-1b n )n,其中a 是大于 的1常数(n=1,2,3,…). (Ⅰ)求证:数列{b n }是等比数列; (Ⅱ)求{b n }中所有不同两项的乘积之和.④(2020年全国高中数学河南初赛联赛试题)设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ,q 为非零常数.已知对任意正整数n,m,当n>m 时,S n -S m =q mS n-m 总成立. (Ⅰ)求证:数列{a n }是等比数列; (Ⅱ)假设正整数m,k,h 成等差数列,求证:m S 1+h S 1≥kS 2. ⑤(2020年华南理工保送生考试数学试题)已知a 2+a-1=0,b 2+b-1=0,a<b,设a 1=1,a 2=b,a n+1+a n -a n-1=0(n ≥2),b n =a n+1-aa n . (Ⅰ)证明:数列{b n }是等比数列; (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅲ)设c 1=c 2=1,c n+2=c n+1+c n ,证明:当n ≥3时,有(-1)n(c n-2a+c n b)=b n-1.3.线性递推:[例3]:(2021年“北约”自主招生试题)数列{a n }知足a 1=1,前n 项和为S n ,S n+1=4a n +2,求a 1013.[解析]:由S n+1=4a n +2⇒S 2=6⇒a 2=5;a n+1=S n+1-S n =(4a n +2)-(4a n-1+2)=4a n -4a n-1,其特点方程:x 2=4x-4有等根x=2⇒a n =(An+B)2n;由a 1=1,a 2=5⇒2(A+B)=1,4(2A+B)=5⇒A=43,B=-41⇒a n =41(3n-1)2n ⇒a 2021=3019×22021. [练习3]:1.①(2007年武汉大学保送生考试试题)若是数列a 1,a 2-a 1,a 3-a 2,…,a n -a n-1,…是首项为1,公差为1的等差数列,那么数列{a n }的通项公式a n = .②(2000年复旦大学自主招生数学试题)数列{a n }适合递推式a n+1=3a n +4,又a 1=1,求数列前n 项和S n .③(2007年复旦大学自主招生数学试题)已知数列{a n }知足3a n+1+a n =4(n ≥1),且a 1=9,其前n 项和为S n ,那么知足不等式|S n -n-6|<1251的最小整数是( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 ④(2021年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)已知数列{a n }的前n 项和S n 知足:S n -S n-2=3(-21)n-1(n ≥3),且S 1=1,S 2=-23.那么数列{a n }的通项公式是 .⑤(2004年上海交通大学保送生考试试题)己知数列{a n }知足a 1=1,a 2=2,且a n+2=3a n+1-2a n ,那么a 2004= . ⑥(2001年上海交通大学保送生考试试题)数列1,3,2,…中,a n+2=a n+1-a n ,那么∑=1001i i a = .⑦(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)已知数列{a n }(n ≥1)知足a n+2=a n+1-a n ,且a 2=1,假设数列的前2005项之和为2006,那么前2006项的和等于 .⑧(1992年全国高中数学联赛试题)设数列a 1,a 2,,a n ,知足a 1=a 2=1,a 3=2,且对任何自然数n,都有a n a n+1a n+21,又a n a n+1a n+2a n+3=a n +a n+1+a n+2+a n+3,则a 1+a 2++a 100的值是 .第十三讲:数列与极限 5⑨(2020年武汉大学保送生考试试题)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n+1=2S n (n ∈N +).求数列{a n }的通项公式. ⑩(2021年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设数列{a n }知足:a 1=3,a 2=8,a n+2=2a n+1+2a n ,n ∈N +,求数列{a n }的通项公式.2.①(2021年全国高中数学联合竞赛湖北初赛试题)已知正项数列{a n }知足:21+++n n n n a a a a =4211+++n n n a a a +31+n n a a ,且a 1=1,a 2=8.求数列{a n }的通项公式.②(2021年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知数列{a n }知足:a 1=41,a 2=43,a n+1=2a n -a n-1(n ≥2);数列{b n }知足:b 1≠41, 3b n -b n-1=n(n ≥2),数列{b n }的前n 项和为S n . (Ⅰ)证明:数列{b n -a n }为等比数列; (Ⅱ)假设b 1=1211,求数列{b n }的前n 项和S n . ③(2003年上海交通大学保送生考试试题)数列{a n }中,a 1=1,a 2=3,3a n+2=2a n+1+a n ,求a n 和∞→n lim a n .④(2004年复旦大学自主招生数学试题)已知数列{a n }、{b n }知足:a n+1=-a n -2b n ,且b n+1=6a n +6b n ,又a 1=2,b 1=4.求: (Ⅰ)a n ,b n ; (Ⅱ)∞→n limnnb a . ⑤(2021年全国高中数学联赛河北初赛试题)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且知足:S 2=3,2S n =n+na n (n ∈N +).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列c n =⎩⎨⎧+⋅-+)(123)(11n 偶n 奇a n a n 的前2n 项和T 2n .⑥(2021年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知数列{a n }知足:1111+--+++n n n n a a a a =n(n ∈N +),且a 2=6.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =c n a n+(n ∈N +),c 为非零常数,假设数列{b n }是等差数列,记c n =nn b 2,S n =c 1+c 2+…+c n ,求S n . 4.分式递推:[例4]:(2020年武汉大学保送生考试试题)设{A n (a n ,b n )}为平面上的点列,其中数列{a n }、{b n }知足:a n+1=2+223nn nb a a +,b n+1=-223nnnb a b +,已知A 1的坐标为(1,2).(Ⅰ)确信点A 1、A 2、A 3所在圆C 的方程; (Ⅱ)证明:点列{A n }在定圆C 上; (Ⅲ)求数列{a n }的通项公式.[解析]:(Ⅰ)由a 1=1,b 1=2⇒A 2(513,-56),A 3(41121,4118)⇒A 1A 2和A 1A 3的中垂线方程别离为x-2y-1=0、5x-4y-5=0⇒圆C的方程:(x-1)2+y 2=4;(Ⅱ)用数学归纳法证明:假设点A k 在圆C 上,即(a k -1)2+b k 2=4⇒a k 2+b k 2=2a k +3;那么(a k+1-1)2+b k+12=(1+223kkkb a a +)2+(-223kkkb a b +)2=(1+323+k k a a )2+(-323+k k a b )2=222)32(993025++++k k k k a b a a =22)32(9)32(93016+++++k k k k a a a a =4⇒点A k+1在圆C 上,依照数学归纳法原理:点列{A n }在定圆C 上;6 第十三讲:数列与极限(Ⅲ)由a n 2+b n 2=2a n +3⇒a n+1=2+223nn n b a a +=2+323+n n a a =3267++n n a a ,其特点方程:x=3267++x x 有根x=-1,3;因此,1311+-++n n a a =1326733267+++-++n n n n a a a a =91⋅13+-n n a a ⇒13+-n n a a =-(91)n-1⇒a n =1919311+-⋅--n n . [练习4]:1.①(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知函数f(x)=22+x x,当x 1=1,x n =f(x n-1)(n ≥2,n ∈N)时,x 1999= . ②(2020年第22届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知数列{a n }知足a 1=2,a n+1=-11+n a ,则a 2020的值为______. ③(2005年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=nna a -+11,则a 2005的值为____________.④(2020年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设数列{a n }知足:a 1=21,a n+1=n n a a -+11(n ≥1),那么a 2020= .⑤(2004年第15届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{a n }中,a 1=1,a n+1=313+-n n a a (其中n ∈N*),a 2004= .⑥(2020年全国高中数学联赛四川初赛试题)设数列{a n }知足:a 1=2,a n+1=1-na 1.记数列{a n }的前n 项之积为P n ,那么P 2020的值为 .⑦(2020年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设复数列{x n }知足x n ≠a-1,0,且x n+1=1+n nx ax .假设对任意n ∈N +都有x n+3=x n ,则a 的值是 .⑧(2020年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)若数列{a n }知足:a 1>0,a n =11111---+n n a a a a (n ≥2),且具有最小正周期2020,则a 1= .⑨(2006年全国高中数学联赛北京初赛试题)递增数列{a n }有a 1=6,当n ∈N +,n ≥2时,a n +a n-1=19--n n a a +8,那么a 70=_____.⑩(2020年全国高中数学联赛山东初赛试题)关于实数x,[x]表示不超过实数x 的最大整数.已知正数数列{a n }知足a 1=1, S n =21(a n +n a 1),其中,S n 为数列{a n }的前n 项和.则[11S +21S +…+1001S ]=( )(A)17 (B)18 (C)19 (D)20 2.①(2020年“华约”自主招生试题)已知函数f(x)=b ax x +2,f(1)=1,f(21)=32,令x 1=21,x n+1=f(x n ). (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式; (Ⅱ)证明:x 1x 2…x n >e21. ②(2021年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列{x n }中,x 1=1,且x n+1=1+11+n x . (Ⅰ)设a n =21+n x ,求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =|x n -2|,数列{b n }的前n 项和为S n ,证明:S n <22. ③(2021年全国高中数学联赛河北初赛试题)给定两个数列{x n },{y n }知足x 0=y 0=1,x n =112--+n n x x (n ≥1),y n =12121--+n n y y (n ≥第十三讲:数列与极限 71).证明:关于任意的自然数n,都存在自然数j n ,使得:y n =n j x . ④(2021年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题)已知函数f(x)=13323++x x x ,数列{x n }知足:x 1=2,x n+1=f(x n )(n ∈N +).记b n =log 3(11+-n n x x )(n ∈N +). (Ⅰ)求证:数列{b n }成等比数列,并求数列{b n }的通项公式;(Ⅱ)记c n =-nb n (n ∈N +),求数列{c n }的前n 项和公式T n .⑤(2020年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=41,且a n+1=n n a n a n --)1((n=2,3,4,…).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)求证:对一切n ∈N *,有∑=nk k a 12<67. 5.递推数列:[例5]:(2002年上海交通大学保送生考试试题)设数列{a n }知足关系a n+1=2a n 2-1(n=1,2,…),假设N 知足a N =1(N=2,3,…).试证明: (Ⅰ)|a 1|≤1; (Ⅱ)a 1=cos22-N k π(k 为整数).[解析]:(Ⅰ)反证:假设|a 1|>1⇒a 12>1⇒a 2=2a 12-1>1⇒a 3=2a 22-1>1⇒…⇒a n >1,与a N =1矛盾;(Ⅱ)令a 1=cos θ,那么a 2=2a 12-1=2cos 2θ-1=cos2θ⇒a 3=2a 22-1=2cos 2θ-1=cos22θ⇒…⇒a N =cos2N-1θ=1=cos2k π⇒2N-1θ=2k π⇒θ=22-N k π⇒a 1=cos22-N k π(k 为整数).[练习5]:1.①(2007年武汉大学保送生考试试题)已知数列{a n }的前n 项和S n 知足S n =2a n -2n,n ∈N +,那么a 3= . ②(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数列{a n }概念为a n+1=12112++---n nn n a a a a ,n=2,3,…,a 1=1,a 9=7,则a 5的值为 .③(2021年全国高中数学联合竞赛湖北省初赛试题)已知数列{a n }知足:a 1为正整数,a n+1=⎪⎩⎪⎨⎧+)(13)(2为奇数时a a 为偶数时a a n n n n .若是a 1+a 2+a 3=29,则a 1= .④(2021年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知数列{a n }知足:a 1=m(m 为正整数),a n+1=⎪⎩⎪⎨⎧+)(13)(2为奇数时a a 为偶数时a a n n n n .若a 4=7,则m 的所有可能取值为 .⑤(2021年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知数列{a n }知足:a 1=m(m 为正整数),a n+1=⎪⎩⎪⎨⎧+)(13)(2为奇数时a a 为偶数时a a n nn n .若a 6=1,求m 的所有可能取值.⑥(2020年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知数列{a n }知足:a 1=0,a n+1=a n +1+2n a +1(n=1,2,…),则a n =___ .⑦(2020年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知数列{a n }知足:a 1=1,a n+1=a n +1+n a 41+(n ∈N *),那么数列的通项a n = .8 第十三讲:数列与极限⑧(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)假设数列{a n }知足:a 1=32,a n+1-a n =)(321n n a a ++,则a 2007= . ⑨(1994年第5届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{a n }中,a 1=a(0<a<1),a n+1=2112na --(n ∈N*),则{a n }的一个通项公式是a n = .⑩(2004年第15届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=23na +,且b n =|a n+1-a n |(n ∈N*),设S n 是{b n }的前n 项和,那么以下不等式中必然成立的是( )(A)<S n < (B)<S n < (C)<S n < (D)<S n <2.①(2021年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设递增数列{a n }知足:a 1=1,4a n+1=5a n +169+nna (n ≥1,n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明:11a +21a +31a +…+na 1<2. ②(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知数列{a n }(n ≥0)知足a 0=0,关于所有非负整数n,有a n+1=2)1(30+n n a a +11a n +5.求a n 的通项公式.③(《中等数学》.2007年第12期.数学奥林匹克高中训练题(104))已知数列{a n }知足:a 1=1,a n+1=a n +12+na .求证:a 1+a 2+…+a n >2)1(π-n . ④已知正项数列{a n }知足:a 2n-1,a 2n+1,a 2n 成等差数列,且a 2n 与a 2n+1的等比中项为a 2n+2.假设a 1=1,a 2=2,求数列{a n }的通项a n . ⑤(《中等数学》.2007年第12期.数学奥林匹克问题高214)设正数列{a n }知足:a 1=91,a 2=32,且8a n+14+4a n +a n-1=3(n ≥2).求数列{a n }的通项a n .6.数列求和:[例6]:(2005年复旦大学保送生考试试题)概念在R 上的函数f(x)=244+xx ,S n =f(n 1)+f(n 2)+f(n3)+…+f(n n 1-),n=2,3,…. (Ⅰ)求S n ;(Ⅱ)是不是存在常数M>0,∀n ≥2,有21S +31S +…+11+n S ≤M ？[解析]:(Ⅰ)由f(x)=244+xx ⇒f(x)+f(1-x)=244+xx +24411+--xx =244+xx +242+x=1.由S n =f(n 1)+f(n 2)+f(n3)+…+f(n n 1-)⇒S n = f(n n 1-)+f(n n 2-)+f(n n 3-)+…+ f(n1),两式相加得:2S n =n-1⇒S n =21-n ;(Ⅱ)由S n =21-n ⇒11+n S =n 2⇒21S +31S +…+11+n S =2(1+21+31+…+n 1),由ln(1+x)<x ⇒n 1>ln n n 1+⇒1+21+31+…+n1> ln12+ln 23+…+ln n n 1+=ln(n+1)⇒21S +31S +…+11+n S >2ln(n+1),又因2ln(n+1)单调递增,无上界,因此不存在常数M,知足不等式21S +31S +…+11+n S ≤M.[练习6]:第十三讲:数列与极限 91.①(2004年复旦大学自主招生数学试题)已知数列{a n }知足:a 1=2,且{n a n}是公比为2的等比数列.那么∑=n k k a 1=( ) (A)n ⋅2n+1-2 (B)(n-1)2n+1+2 (C)n ⋅2n+2(n-1) (D)(n-1)2n+2n ②(2001年上海交通大学保送生考试试题)已知数列a n =nk n (k 是不等于1的常数).那么a 1+a 2+…+a n = .③(2003年复旦大学自主招生数学试题)数列{a n }的前n 项和为S n ,假设a k =kp k(1-p),p ≠1.那么S k = . ④(2021年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=na n n2)1(+(n ∈N +),那么数列{a n }的前n 项和为 .⑤(2007年上海交通大学保送生考试试题)1⋅1！+2⋅2！+3⋅3！+…+n ⋅n ！= . ⑥(2006年上海交通大学保送生考试试题)已知a k =！k ！k k ！k )2()1(2+++++,那么数列{a n }的前100项和为 .⑦(2020年上海交通大学保送生考试试题)数列{a n }的通项公式为a n =nn n n )1(11+++,则那个数列的前99项和S 99= .⑧(2003年复旦大学自主招生数学试题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a n =)1)(11)(1(1++++-+-n n n n n n .求S 2003.⑨(2021年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设{a n }为等比数列,且每项都大于1,那么lga 1lga 2021∑=+201111lg lg 1i i i a a 的值为 .⑩(2021年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)f(x)是概念在(0,1)上的函数,对任意1<x<y<+∞,有f(x1)-f(y 1)=f(xy yx --1),记a n =f(5512++n n )(n ∈N +),那么a 1+a 2+…+a 8=( ) (A)f(21) (B)f(31) (C)f(41) (D)f(51)2.①(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)求∑=++nk k k 0211arctan 的值.②(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)数列{arccot2n 2}的前n 项的和为S n ,证明:对一切n ∈N,都有S n <4π.③(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{a n }知足递推关系式:a n+1=21a n 2-a n +2,n ≥1,n ∈N.(Ⅰ)若a 1=4,证明:(i)当n ≥2时,有a n+1≥2a n ;(ⅱ)当n ≥1时,有a n+1≥(23)na n ; (Ⅱ)若a 1=1,证明:当n ≥5时,有∑=nk ka 11<n-1. ④(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知f(x)在(-1,1)上成心义,f(21)=-1,且知足x 、y ∈(-1,1)时,有f(x)+ f(y)=f(xyyx ++1). (Ⅰ)数列{x n }知足x 1=21,x n+1=212nn x x +,设a n =f(x n ),求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =n 2+3n+1,求1+f(11b )+f(21b )+…+f(20021b )+f(20041)的值.10 第十三讲:数列与极限⑤(2020年全国高中数学联赛试题B)数列{a n }知足a 1=31,a n+1=122+-n nn a a a (n ∈N *).求证:21-1231-n <a 1+a 2+a 3+…+a n <21-n 231. 7.数列极限:[例7]:(2020年“华约”自主招生试题)设p 、q 是一元二次方程x 2+2ax-1=0(a>0)的两个根,其中p>0.令y 1=p-q,y n+1=y n 2-2,n=1,2,….证明:∞→n lim (11y +211y y +…+n y y y ⋯211)=p.[解析]:由p>0⇒p=12+a -a=aa ++112<1;由pq=-1⇒q=-p 1⇒y 1=p-q=p+p 1⇒y 2=y 12-2=p 2+21p⇒…⇒y n =12-n p + 121-n p ⇒n y 1=nn p p 2211+-⇒11y +211y y +…+n y y y ⋯211=21p p ++)1)(1(423p p p +++)1)(1)(1(8427p p p p ++++…+)1()1)(1(24212n np p p p +⋯++- =p 1[221p p ++)1)(1(424p p p +++)1)(1)(1(8428p p p p ++++…+)1()1)(1(2422n np p p p +⋯++]=p 1[(1-211p +)+211p +(1-411p +)+ )1)(1(142p p ++(1-811p +)+…+)1()1)(1(11242-+⋯++n p p p (1-np 211+)]=p 1[1-)1()1)(1(1242np p p +⋯++]=p 1[1- )1()1)(1)(1(124222np p p p p +⋯++--]=p 1[1-12211+--n pp ],由0<p<1⇒∞→n lim 12+n p =0⇒∞→n lim (11y +211y y +…+n y y y ⋯211)=p 1[1-(1-p 2)] =p.[练习7]:1.①(2007年复旦大学保送生考试试题)设S n =1+2+…+n,n ∈N +,那么∞→n lim1)32(2++n nS n nS =( )(A)2 (B)321 (C)161(D)64②(2001年复旦大学保送生考试试题)∞→n limn (1+n -n )= .③(2005年复旦大学保送生考试试题)∞→n lim (12++n n -12--n n )= .④(2021年全国高中数学联赛天津初赛试题)极限∞→n lim (1-221)(1-231) (1)21n )= .⑤(2021年“华约”自主招生试题)已知a n =lg(1+nn 322+),其前n 项和为S n .求∞→n lim S n .⑥(2006年复旦大学保送生考试试题)设a n 是(2-x )n的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),那么∞→n lim (222a +332a +…+nna 2)= ( )(A)15 (B)6 (C)17 (D)8 ⑦(2003年复旦大学保送生考试试题)设a>0,那么∞→n limnn n a a +2= .⑧(2003年复旦大学保送生考试试题)已知x 2-(tan θ+cot θ)x+1=0(0<θ<π),且知足x+x 3+…+x 2n+1+…=23,那么θ的值是( ) (A)6π,65π (B)6π,3π (C)3π,32π (D)3π,32π,6π,65π第十三讲:数列与极限 11⑨(2021年复旦大学保送生考试试题)设x 0=0,x 1=1,x n+1=21-+n n x x ,那么数列{x n }的极限为( ) (A)32 (B)31 (C)22 (D)21⑩(2000年上海交通大学保送生考试试题)∞→n lim121++⋯++p pp p n n (p>0)= .2.①(2020年武汉大学保送生考试试题)已知数列{log 2(a n -1)}(n ∈N +)为等差数列,且a 1=3,a 2=5.求∞→n lim (121a a -+231a a -+ …+nn a a -+11).②(2020年清华大学自主招生数学试题)1515-+的整数部份为A,小数部份为B.(Ⅰ)求A 、B; (Ⅱ)求A 2+B 2+2AB; (Ⅲ)求∞→n lim (B+B 2+…+B n).③(2000年复旦大学自主招生数学试题)设(1+2)n=x n +y n 2,其中x n 、y n 为整数,求n →∞时,nny x 的极限. ④(2020年北京大学自主招生数学试题)数列{a n }概念如下:a 1=1,a 2=a 3=2,a 4=a 5=a 6=3,…. (Ⅰ)给定自然数n,求使a k =n 的k 的范围;(Ⅱ)令b m =∑=221m i i a ,求∞→m lim3m b m .⑤(2000年上海交通大学保送生考试试题)在{a n }中,a 1=4,a n =61+-n a . (Ⅰ)求证:|a n -3|<31|a n-1-3|; (Ⅱ)求∞→m lim a n .8.数列性质:[例8]:(2020年武汉大学保送生考试试题)已知数列{a n }知足递推关系:a n+1=32+n a (n ∈N +),且a 1=2.(Ⅰ)求证:3-a n+1<32(3-a n )(n ∈N +); (Ⅱ)求证:a n <a n+1(n ∈N +).[解析]:第一证明:a n <3,由a 1=2,a n+1=32+n a ,用数学归纳法易证.(Ⅰ)3-a n+1=3-32+n a =323)3(2++-n n a a 1<32(3-a n ); (Ⅱ)a n <a n+1⇔a n <32+n a ⇔(a n -3)(a n +1)<0(a n >0)⇔a n <3.[练习8]:1.①(2020年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,S 50=0.设b n =a n a n+1a n+2(n ∈N +),那么当12 第十三讲:数列与极限数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时,n 的值是 .②(1992年第3届希望杯全国数学邀请赛高二试题)等比数列{a n }的首项a 1=log a x,公比q=arctan 51+arctan 32,那么那个数列是( )(A)递增数列 (B)递减数列 (C)递增数列或递减数列 (D)以上都不对 ③(2007年第18届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{a n }的通项是a n =(–1)n(λ+n21)+3,假设此数列的各项都是正数,则λ的取值范围是 .④(2020年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=⎩⎨⎧>≤---7,7,3)3(6x a x x a x ,数列{a n }知足a n =f(n)(n ∈N+),且{a n }是递增数列.那么实数a 的取值范围是 .⑤(2020年第22届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-+--)4(2)4(6)5(3x a x a x a x 数列{a n }知足a n =f(n)(n ∈N+),且数列{a n }是单调递增数列,那么实数a 的取值范围是 .⑥(2020年全国高中数学联赛吉林初赛试题)数列{a n }知足a 1=1,412+na =11+n a ,记S n =∑=ni i a 12,若S 2n+1-S n ≤30t对任意的n ∈N *恒成立,那么正整数t 的最小值为 .⑦(2020年复旦大学自主招生数学试题)设x 1>0,x n+1=nn x x ++3)1(3,n=1,2,3,…,那么( )(A)数列{x n }是单调增的 (B)数列{x n }是单调减的(C)数列{x n }或是单调增的,或是单调减的 (D)数列{x n }既非单调增的,也非单调减的 ⑧(2020年全国高中数学联赛山东初赛试题)数列{a n }知足a n+1=na -21.假设对任意的正整数n,均有a n+1>a n ,则a 1的取值范围是 .⑨(2021年全国高中数学联赛吉林初赛试题)关于数列{a n },若是存在一个数列{b n },使得关于任意的n ∈N +,都有a n ≥b n ,那么把{b n }叫做{a n }的“弱数列”.设a n =n 3-n 2-2tn+t 2,b n =n 3-2n 2-n+45(n ∈N +),且{b n }是{a n }的“弱数列”,那么实数t 的取值范围是 .⑩(2020年全国高中数学联赛江西初赛试题)设a n =(2+7)2n+1,b n 是a n 的小数部份,那么当n ∈N *时,a n b n 的值( )(A)必为无理数 (B)必为偶数 (C)必为奇数 (D)可为无理数或有理数 2.①(2005年福建高考试题)己知数列{a n }知足:a 1=a,a n+1=1+na 1.咱们明白当a 取不同的值时,取得不同的数列.如当a=1时,取得无穷数列:1,2,23,35,…;当a=21-时,取得有穷数列:21-,-1,0. (Ⅰ)求当a 为何值时,a 4=0; (Ⅱ)设数列{b n }知足:b 1=-1,b n+1=11-n b (n∈N*),求证:a 取数列{b n }中的任一个数,都能够取得一个有穷数列{a n }; (Ⅲ)若23<a n <2(n≥4),求a 的取值范围. ②(2020年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列{a n }中,a 1>0,且a n+1=23na +. (Ⅰ)试求a 1的取值范围,使得a n+1>a n 对任何正整数n 都成立;第十三讲:数列与极限 13(Ⅱ)若a 1=4,设b n =|a n+1-a n |(n=1,2,3,…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,证明:S n <25. ③(2020年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{a n }知足a 1=31,a n+1=a n +22na n(n ∈N *).证明:对一切n ∈N *,有(Ⅰ)a n <a n+1<1; (Ⅱ)a n >21-n41. ④(2020年全国I 高考试题)已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=c-na 1.(Ⅰ)设c=25,b n =21-n a ,求数列{b n }的通项公式;(Ⅱ)求使不等式a n <a n+1<3成立的c 的取值范围.⑤(2021年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知数列{a n }知足a 1=21,a n =2a n a n+1+3a n+1(n ∈N *). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)假设数列{b n }知足b n =1+n a 1(n ∈N *),且对任意正整数n(n ≥2),不等式∑=+nk k b n 13log 1>24m 恒成立,求整数m 的最大值. 9.通项不等式:[例9]:(2021年“华约”自主招生试题)数列{a n }各项均为正数,且对任意n ∈N +,知足a n+1=a n +ca n 2(c>0为常数).(Ⅰ)求证:对任意正数M,存在N ∈N +,当n>N 时,有a n >M; (Ⅱ)设b n =n ca +11,S n 是{b n }前n 项和,求证:对任意d>0,存在N ∈N +,当n>N 时,有0<|S n -11ca |<d.[解析]:(Ⅰ)设a 1=a>0,由a n+1=a n +ca n 2>a n ⇒a n ≥a ⇒a n+1=(1+ca n )a n ≥(1+ac)a n ⇒a n ≥(1+ac)n-1a;因此,a n >M ⇐(1+ac)n-1a>M⇔(1+ac)n-1>a M ⇔(n-1)lg(1+ac)>lg aM ⇔n>1+)1lg(lgac a M +,取N=1+[)1lg(lgac a M+]即可;(Ⅱ)由a n+1=a n +ca n 2⇒a n+1=(1+ca n )a n ⇒n ca +11=1+n n a a =12+n n n a ca ca =11++-n n n n a ca a a =n ca 1-11+n ca ⇒b n =n ca 1-11+n ca ⇒S n =11ca -11+n ca⇒|S n -11ca |=11+n ca >0,且|S n -11ca |=11+n ca ≤n ac ac )1(1+,因此,|S n -11ca |<d ⇐n ac ac )1(1+<d ⇔(1+ac)n>acd 1⇔n>- )1lg()lg(ac acd +,取N=1+[-)1lg()lg(ac acd +]即可.[练习9]:1.①(1994年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知数列{a n }(n=1,2,…)中,a 1=1,a 2=3,a 3=6,且当n>3时,a n =3a n-1-a n-2-2a n-3.试证:对n>3的一切自然数有:a n >3×2n-2.②(2006年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知数列{a n }知足:a n+1a n +3a n+1+a n +4=0.若a 2006是数列{a n }的最小项,求首项a 1的取值范围.③(2021年全国高中数学联赛四川初赛试题)设函数f n (x)=x n(1-x)2在[21,1]上的最大值为a n (n=1,2,3,…). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)求证:对任何正整数n(n ≥2),都有a n ≤2)2(1+n 成立;(Ⅲ)设数列{a n }的前n 项和为S n ,求证:对任意正整数n,都有S n <167成立. 14 第十三讲:数列与极限④(2020年广东高考试题)设b>0,数列{a n }知足a 1=b,a n =2211-+--n a nba n n (n ≥2).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明:关于一切正整数n,a n ≤112++n n b +1.⑤(2021年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设无穷数列{a n }知足a 1=1,a n =a n-1+11-n a (n ≥2).证明:(Ⅰ)当n ≥2时,a n ≥n 2;(Ⅱ)不存在实数C 使得a n <C n +2对所有n 都成立.2.①(2020年中国科技大学自主招生试题)正数数列{x n }、{y n }知足:x n+2=2x n+1+x n ,y n+2=y n+1+2y n (n ∈N *).证明:存在正整数n 0,关于任意正整数n>n 0.有x n >y n 恒成立.②(2020年浙江大学保送生考试数学试题)已知a 1=1,a n =1+11-n a (n ≥2).(Ⅰ)求证:1≤a n ≤2; (Ⅱ)求证:31≤|11-+--n n n n a a a a |≤21.③(2020年“华约”自主招生试题)设函数f(x)=1++x m x ,且存在函数s=φ(t)=at+b(t>21,a ≠0),知足:f(t t 12-)=s s 12+. (Ⅰ)证明:存在函数t=ψ(s)=cs+d(s>0),知足:f(s s 12+)=tt 12-; (Ⅱ)设x 1=3,x n+1=f(x n ),n=1,2,…,证明:|x n -2|≤131-n .④(2020年同济大学保送生考试数学试题)设数列{a n }中,a 1=1,a n+3≤a n +3,a n+2≥a n +2,求a 2020. ⑤(2006年武汉大学保送生考试数学试题)若是正数列{a n }知足:a n-1+a n+1≥2a n (n ≥2,n ∈N). (Ⅰ)求证:a p -a q ≥(p-q)(a q+1-a q ),p,q ∈N *; (Ⅱ)假设数列{a n }的前n 项和为S n ,求证:a n -a n+1≤)1(2+n n S n.10.求和不等式:[例10]:(2021年“卓越联盟”自主招生数学试题)已知数列{a n }知足:a n+1=a n 2-na n +α,首项a 1=3.(Ⅰ)若是a n ≥2n 恒成立,求α的取值范围; (Ⅱ)假设α=-2.求证:211-a +212-a +…+21-n a <2. [解析]:(Ⅰ)因a 2=6+α≥2×2⇒α≥-2;用数学归纳法证明:当α≥-2时,a n ≥2n:假设a k ≥2k,那么a k+1=a k 2-ka k +α≥a k 2-ka k-2≥(2k)2-k(2k)-2=2k 2-2=2(k+1)+2[k(k-1)-2]≥2(k+1),故α的取值范围是[-2,+∞); (Ⅱ)当α=-2时,211-a =1,212-a =21,且当n ≥2时,a n+1-2=a n 2-na n -4=(a n -n)a n -4≥na n -4≥2(a n -2)>0⇒211-+n a ≤21⋅21-n a ⇒21-n a ≤(21)n-1⇒211-a +212-a +…+21-n a ≤1+21+(21)2+…+(21)n-1=2[1-(21)n ]<2.[练习10]:1.①(2021年全国高中数学联赛山东初赛试题)给定正整数n,关于知足a 12+a n+12≤52的等差数列{a n }.试证明:∑++=121n n i i a ≤n+1. ②(2021年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且知足:a n 2+a n -2S n =0,c n =a n b n . (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;第十三讲:数列与极限 15(Ⅱ)若b 1=1,2b n -b n-1=0(n ≥2,n ∈N +),求数列{c n }的前n 项和T n ;(Ⅲ)是不是存在整数m 、M,使得m<T n <M 对任意正整数n 恒成立,且M-m=4？说明理由.③(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)数列{arccot2n 2}的前n 项的和为S n ,证明:对一切n ∈N,都有S n <4π.④(2020年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知m 为实数,数列{a n }的前n 项和为S n ,知足: S n =89a n -34×3n+m,且a n ≥364对任何的正整数n 恒成立.求证:当m 取到最大值时,对任何正整数n 都有∑=n k kkS 13<163.⑤(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{a n }知足递推关系式:a n+1=21a n 2-a n +2,n ≥1,n ∈N. (Ⅰ)若a 1=4,证明:(i)当n ≥2时,有a n+1≥2a n ;(ⅱ)当n ≥1时,有a n+1≥(23)na n ; (Ⅱ)若a 1=1,证明:当n ≥5时,有∑=nk ka 11<n-1. 2.①(2020年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知f(x)=e x-x-1(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求证:f(x)≥0恒成立; (Ⅱ)求证:(n 21)n +(n 23)n +(n25)n +…+(n n 212-)n<1-e e .②(2021年全国高中数学联赛陕西初赛试题)关于任意的正整数n,证明:231-+22231++33231-+…+n n )2(31-+<67. ③(2007年武汉大学保送生考试数学试题)设二次函数y=f(x)过点(0,0),且知足:-3x 2-1≤f(x)≤6x+2.数列{a n }知足: a 1=31,a n+1=f(a n ). (Ⅰ)确信f(x)的表达式; (Ⅱ)证明:a n+1>a n ; (Ⅲ)证明:1211a -+2211a -+…+n a -211≥3n+1-3.④(2020年全国高中数学联赛试题B)数列{a n }知足a 1=31,a n+1=122+-n n n a a a (n ∈N *).求证:21-1231-n <a 1+a 2+a 3+…+a n <21-n 231.⑤(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知数列{a n }知足a 1=1,a n+1=a n +2n(n=1,2,3,…),{b n }知足b 1=1,b n+1=b n +n b n 2(n=1,2,3,…),证明:21≤∑=++--+n k k k k k kb ka b a 1111<1. 11.成立递推:[例11]:(2020年中科大保送生考试数学试题)数列{a n }知足:∑=ni i a 11=∏=n i i a 11. (Ⅰ)求a n 和a n+1的关系; (Ⅱ)假设0<a 1<1,证明:0<a n <1;(Ⅲ)假设a 1∉[0,1],证明:a n <a n+1(n ≥2).16 第十三讲:数列与极限 [解析]:(Ⅰ)由∑=ni i a 11=∏=n i i a 11⇒∑+=111n i i a =∏+=111n i i a ⇒11+n a =∑+=111n i i a -∑=n i i a 11=∏+=111n i i a -∏=n i i a 11=(11+n a -1)∏=n i i a 11⇒1-a n+1=a 1a 2…a n ⇒1-a n =a 1a 2…a n-1⇒1-a n+1=(1-a n )a n ⇒a n+1=a n 2-a n +1;(Ⅱ)令f(x)=x 2-x+1,那么当x ∈(0,1)时,f(x)∈(0,1);由a 1∈(0,1)⇒a 2=f(a 1)∈(0,1)⇒…⇒a n =f(a n-1)∈(0,1); (Ⅲ)当a 1≠0,1时,a n ≠1;a n+1-a n =a n 2-2a n +1=(a n -1)2>0⇒a n <a n+1.[练习11]:1.①(2021年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题)设正三角形△1的面积为S 1,作△1的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为△2,面积为S 2,如此下去作一系列的正三角形△3,△4,…,其面积相应为S 3,S 4,…,设S 1=1,T n =S 1+S 2+…+S n ,则∞→n lim T n =( )(A)56 (B)34 (C)23(D)2 ②(2020年清华大学保送生考试试题)设正三角形T 1边长为a,T n+1是的中点三角形,A n 为T n 除去T n+1后剩下三个三角形内切圆面积之和.求∞→n lim ∑=nk k A 1.③(2003年复旦大学保送生考试数学试题)一圆锥的底面半径为12,高为16,球O 1内切于圆锥,球O 2内切于圆锥侧面,与球O 1外切,…,依次类推.(Ⅰ)求所有这些球的半径r n 的通项公式;(Ⅱ)所有这些球的体积别离为V 1,V 2,…,V n ,…,求∞→n lim (V 1+V 2+…+V n ).④(2020年浙江大学保送生考试数学试题)如图y=x 下有一系列正三角形,求第n 个正三角形的边长a n ⑤(2000年上海交通大学保送生考试试题)如下图:。
北大、清华等高校自主招生数列试题
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第十讲 等差数列等比数列与数列求和自主招生
第十讲 等差数列等比数列与数列求和【考点说明】1.数列是自主招生必考的一个重要内容之一，在自主招生中占有一席之地！2.在自主招生中,数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应 用等。
【知识引入】一．等差数列：1.通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；2.前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+. 二．等比数列：1.通项公式：1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈； 2.前n 项和公式：11(1)111n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩,,或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ .三．数列的通项公式与前n 项的和的关系：11,1,2n n n S n a S s n -=⎧=⎨-≥⎩(n S 为数列{}n a 的前n 项的和为).四．常见数列的前n 项和公式：(1)1232n n n +++++=21357(21)n n ++++-=24682(1)n n n ++++=+ 2222(1)(21)1236n n n n ++++++=33332(1)123[]2n n n +++++=【知识拓展】一．等差数列的主要判定方法：①1n n a a d +-=（d 为常数）； ②122n n n a a a ++=+（*n N ∈）； ③n a kn b =+（,k b 为常数）； ④2n S An Bn =+（,A B 为常数）。
二．等差数列的主要性质： ①()n m a a n m d =+-或n ma a d n m-=-（d 是公差）；②若,,,*m n k l N ∈，且m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+。
注意，反之不一定成立； ③数列{}n a b λ+（,b λ是常数）是公差为d λ的等差数列； ④下标成等差数列，且公差为m 的项2,,,k k m k m a a a ++组成的数列仍然为等差数列，且公差为md 。
近年自主招生试题中的数列有界问题
近年自主招生试题中的数列有界问题・３２・中学数学研究２０１４年第６期近年自主招生试题中的数列有界问题山东省东营市胜利第一中学近几年各名校自招试题中屡屡出现从数列的有界性考查递推数列，解决的方法是不等式放缩或数列极限的定义，知识和能力上要高于高考要求，与高等数学接轨，相当于竞赛的一试或预赛程度，要求学生思维灵活，应具有较强的恒等变形能力和技巧，适当拓展部分课外知识．下面结合具体实例分析，供读者参考．’预备知识：１．数列极限的占一Ⅳ定义：设｛口。
｝为数列，８为定数，若对任给的正数ｇ，总存在正整数Ⅳ，使得当７／，＞Ⅳ时有Ｉ口。
一口Ｉ＜占，则称数列｛口。
｝收敛于ｎ，定数。
称为数列｛口。
｝的极限，并记作ｌｉｍａ。
＝口．２．单调递增有上界（或单调递减有下界）数列存在极限．３．不等式的传递性：若口＜ｂ，ｂ＜ｃ，则口＜ｃ．例１（２０１４年“华约”自招试题）已知数列｛口。
｝满足：口１＝０，口。
＋１＝ｎｉｐ“＋ｑ口。
．（１）若ｑ＝１，求口。
；（２）若ＩｐＩ＜１，ＩｑＩ＜１，求证：数列｛口。
｝有界．解：（１）因为口＝１，所以Ｄ。
＋ｌ＝ｎｐ“＋口。
，所以口ｎ＋１一ａｎ＝ｎｐ“．（ｉ）若Ｐ＝０，贝０口。
＋１＝ｎ。
，所以ａ。
＝口１＝０．（ｉｉ）若ｐ＝１，贝０ａ。
＋ｌ一口。
＝，Ｉ，于是当，ｌ≥２鱼Ｌ』Ⅱ！≠卫生二蛆：掣；又口。
：０也适时，有ｎ。
＝∑（ｎ。
一ａ－ｉ＿１）＋口。
＝∑（ｉ—１）＝合，所她＝血产（ｉｉｉ）当ｐ≠０且Ｐ≠１时，由口。
＋，一口。
＝ｎｐ“，得口。
＝∑（８ｉ一８¨）＋口。
＝∑（ｉ—１）ｐ卜１，即口。
＝（，ｌ一１）Ｐ８—１＋（凡一２）ｐ“一２＋…＋２ｘｐ２＋１×Ｐ，则ｐａ。
＝（１１，一１）ｐ“＋（ｎ一２）ｐ４－１＋…＋２Ｘｐ３＋１＋ｐ３＋ｐ２＋ｐ）＝（ｎ一１），ｐ“一訾＝（ｎ—ｘｐ２，两式相减得（ｐ一１）口。
＝（ｎ一１）Ｐ“一（Ｐ”１＋…万方数据（２５７０２７）李加军吴盛盛ｌ矽一智＝止垮竿血，所雌＝鱼Ｌ』卷铲．经验证，ｐ＝。
例谈自主招生考试中的数列问题
＝— — － － Ｉ — — ＝１ ． ４ ＋２ ４ ＋２ ×４
（ ３ ） 证 明： 若ｏ ． ［ ０ ， １ ］ ， 则对 所有 的
， 并 相
在 上式 中 ， 令 ： ， …， ： 加 即知
５ ＝ ．
ｎ ＞２， ／ 都有 ｎ ＜ｒ 上 ＋ １ ． （ ２ ０ ０ ８ ， 中 国 科 学 技 术 大 学 自主 招 生 考
＝
（ 一 ）
一
＝ ｌ一 ０ｎ ＋ １＝ Ⅱｌ ０２ … ０ｎ
＝ １一 ｎｎ＝ｎｌ 口２ …０
Ｉ
ｌ 一口 ＋ ｌ ＝０ （ １一 口 ） ｊ 口 ＋ ｌ ＝１ ＋ｎ （ ｎ 一１ ） ．
由 ＋ ：
０１ ｏ２ ０ｌ ０２
证明和式 ｌ ＋ １＋ 了 １＋ …＋ 发散
３ 递 推数 列 问题
．
由式①得 口 ＋ ＝ １ 一 （ １ 一 ｏ ） ｏ ∈（ ０ ， １ ） ．
注 意到 ，
等＝
１
：
有错位相减 、 裂项相消、 倒序相加等．
例 ２ 定义在 Ｒ上 的函数 ） ・
｛ ｂ ｎ ｝ 是公 比为 的等 比数列．
Ⅱ
（ ２ ） 解
数列 ｛ ６ ｝ 中所 有 不 同两 项 的乘
￣ Ｅ Ｓ ｏ ＝
（ １ ）求 Ｓ ；
） ＋ ． ． ・
数 列作 为 高 中数学 的重 要 内容 之 一 ， 是
积 之和为 ∑ ６ ６ ， ．
初等数学与高等数学的重要衔接点 ， 是考查 学生逻辑思维能力和推理能力的好素材． 因 而， 数列一直是高中数学竞赛和大学 自主招
生考试命题 的热 门内容． ＿ ｌ 本文以 自主招生
考试中有关的数列 问题 为主， 例析解题思路
奥林匹克与自主招生(贾广素)-数列
24 7 d 0, 24 从而 d 3. 所以公差 d 的取 再由 a3 12 ，得 a1 12 2d ，代入上式，得 3 0. d 7 24 值范围是 ( , 3). 7
（II）解法一：由 d 0 ，可知 a1 a2 a13 ，因此，若在 1 n 12 中存在自然数 n ，使得
n 1 (n 1, 2,) ， n(n 1)
n n 1 an 1 an ， (n 1)(n 2) n(n 1)
n22 1 1Biblioteka an (n 1)(n 2) n 1 n(n 1)
2 1 ， an (n 1)(n 2) n(n 1)
n(a1 an ) n(n 1) d d na1 d n 2 (a1 )n ； 2 2 2 2
（3）an－am=(n－m)d，其中 n, m 为正整数； （ （4）若 n+m=p+q，则 an+am=ap+aq； （5）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p－q)(a2－a1)； （6）若 A，B 至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn. 例 5.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0. （I）求公差 d 的取值范围；
12(a1 a12 ) 6(a6 a7 ) 0, S12 2 0 ，则 S n 就是 S1 , S2 , , S12 中的最大值.由于 所以， S 13(a1 a13 ) 13a 0. 13 7 2
an 0, an 1
a6 0, a7 0. 故在 S1 , S2 , , S12 中 S6 的值最大.
中考自主招生数学规律题
中考自主招生数学规律题是一种特殊的数学题目，通常需要考生通过观察、分析、归纳和推理等方法来找出题目中的规律，从而得出正确的答案。
一般来说，中考自主招生数学规律题的类型可以分为以下几种：
1. 数字规律题：这类题目通常要求考生通过观察数字的变化规律，来推断出下一个数字是多少。
例如，给出数列1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 要求考生推断出下一个数字是多少。
2. 图形规律题：这类题目通常要求考生通过观察图形的形状、大小、位置等变化规律，来推断出下一个图形应该是什么样子。
例如，给出一个由三个小正方形组成的图形，要求考生推断出下一个图形应该是由多少个小正方形组成的，以及它们的排列方式是什么。
3. 字母规律题：这类题目通常要求考生通过观察字母的变化规律，来推断出下一个字母应该是哪一个。
例如，给出字母序列A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, 要求考生推断出下一个字母是什么。
解决中考自主招生数学规律题的关键在于找到题目中的规律。
这需要考生具备较强的观察、分析、归纳和推理能力。
同时，考生还需要掌握一些常见的数学知识和技巧，例如因数分解、质数分解、数列求和、图形变换等，以便能够快速准确地解决题目。
在中考自主招生考试中，数学规律题是一种比较常见的题型，它能够考察考生的数学思维能力和逻辑思维能力，因此考生需要认真对待，通过不断的练习和总结，掌握解题技巧，提高解题能力。
6.自主招生专题之数列(答案)
6.自主招生专题之数列一、基础知识1线性递归数列定义：若数列{a n }从第k 项以后任一项都是其前k 项的线性组合，即 a n +k =λ1a n +k －1+λ2a n +k －2+…+λk a n ， ① 其中n ∈N *，λ1，λ2，…，λk 是常数，λk ≠0，则称{a n }为k 阶线性递归数列． ①称为{a n }的递归方程．令a n =x n (x ≠0)代入①得x k =λ1x k －1+λ2x k －2+…+λk (λk ≠0)， ② 称为k 阶线性递归数列{a n }的特征方程． 2线性递归数列的通用解法——特征方程法定理1：若②有k 个相异的根x 1、x 2、…、x k ，则对应递归方程①所确定的递归数列的通项公式为a n =c 11n x + c 22n x +…+c k n k x ，其中c 1、c 2、…、c k 是下面线性方程组的唯一解：11221222112221122k k k k k k kk k kc x c x c x a c x c x c x ac x c x c x a ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪++⋅⋅⋅+=⎩． 定理2：若特征方程②有k 重根λ，则对应递归方程①所确定的数列的通项公式为a n =(c 1+c 2n +…+c k n k －1)λn，其中c 1、c 2、…、c k 是如下线性方程组的唯一解：12112122112()(22)()k k k k kk kc c c a c c c a c kc k c a λλλ--++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪++⋅⋅⋅+=⎩． 定理3：若特征方程②有k 1重根λ1，k 2重根λ2，…，k s 重根λs (k 1+k 2+…+k s =k )，则对应递归方程①所确定的数列的通项公式为a n =1121()l l sk n l l lk l l c c n c n x -=++⋅⋅⋅∑+，其中12ll l lk c c c ⋅⋅⋅、、、(l =1，2，…，s )是在上面通项公式中令n =1，2，…，k 所得线性方程组的唯一解．3.数列极限的定义一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限.记作lim n n a a →∞=.4.数列的有界性：数列{}n x 对任意*n N ∈，存在0M >，都有||n x M <，则称数列{}n x 是有界的。
高考自主招生讲义：第7讲 数列递推
第七讲递推数列一、知识方法拓展由递推公式求数列通项的常用方法 类型1：1()n n a a f n +=+ 方法：累加法(叠加法)，111()n n k a a f k -==+∑类型2：1()n n a a f n += 方法：累乘法(迭代法)，111()n n k a a f k -==∏类型3：1(,n n a pa q p q +=+为常数且()-10pq p ≠ 方法：待定系数法(构造法)，令+1+=(+)n n a t p a t ，=-1qt p ，从而构造一个公比为p 的等比数列{}+n a t类型4：1(,nn n a pa q p q +=+为常数且()()-1-10)pq p q ≠方法：一般地，将原式转化为+1+11=+n n n na a p q q q q ⋅，令=n n n ab q ，则+11=+n n p b b q q，转化为类型3解决注：当p q ≠时，我们还能用如下方法更简便地解题 令+1+1+=(+)n n n n a t qp a t q ⋅⋅，1=-1t p ，从而构造一个等比数列{+}nn a t q ⋅ 类型5：1()(n n a pa f n p +=+为常数且()-10)p p ≠ 方法：一般地，将原式转化为+1+1()=+n n n n n a a f n p p p ，令=n n n a b p ，则+1()=+n nnf n b b p ，转化为类型1解决注1：当()f n n 为的一次函数时，如1+n n a pa tn s +=+我们还能用如下方法更简便地解题 令+1+(+1)+=(+)n n a A n B p a An B +，(-1)(-1)-p A tp B A s=⎧⎨=⎩，从而构造一个等比数列{++}n a An B注2：当()f n n 为的二次函数时，则可构造等比数列2{+++}n a An Bn C ，依次类推类型6：2+1(,)n n n a pa qa p q +=+为常数 方法：特征根法其特征方程为022=--+=q px x q px x 即，1、 若方程有两相异根A 、B ，则nn n B c A c a 21+=2、若方程有两等根,B A =则nn A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。
从一道自主招生题看数列通项的求法
３
３ ３
３ “ 一 ３ 一
３
①设 ｂ ｎ ＝ ａ ． ａ ｎ ， 证明 ： 若ａ ≠６ ， 则｛ ｂ ｎ １ 是 等 比数
列；
（ １ — ３ ）
因此 ， ＋ ｌ ＿ ＿３
３
１ 一
－
②若ｌ ｉ ａ（ ｒ ａ ｌ ＋ 啦＋ ． ． 斗％） ＝ ４ ， 求ａ ， ｂ 的值 。 第一 问可根据 ２ （ ： 一 ） ＝ 一 （ ＋ 厂 ％） ， 得 出ｂ
一 一
＋１ ＝ ＋ 一 ２ ｘ ３ ３ ２
， 贝 ０
Ｘｎ ｘ３ ×３ 一 。 ３ ２ ２
类 似 求解
［ ２ （ ｎ 一 １ ＋ １ ） ５ ｎ － １ ］ Ｘ ［ ２ （ ｎ 一 ２ ＋ １ ） ５ － － ２ ］ ｘ …× ［ ２ （ ２ ＋ １ ） Ｘ ５ ］ × ［ ２ （ １ ＋ １ ） ｘ ５ １ ］ ｘ ３ ２ ［ × （ ｎ 一 １ ） × …ｘ ３ ｘ ２ Ｊ ｘ ５ １ 】 ‘ － ２ ｈ ’ 。 ＋ ２ ＋ １ × ３
１ ｂ 从 而证 出（ ６ ｎ ｝ 是 等 比数列 。第二 问在求 时 ，
，
因为％＋ 广 ％＝ （ 一 ） （ ６ 一 。 ） 需 要用 到累加 法求 出通
２ பைடு நூலகம்
六 、 已 知ａ １ 且。 ＝ ｐ ａ ｑ （ ｐ＞ ０， ＞ ０） ， 求通 项 时 两 边 取 对 数 。即先 变 形 为ｌ ｇ ＋ ＝ ｑ ｌ ｇ ａ ￣ ＋ ｌ ｇ ｐ ， 令６ ＝ ｌ ｇ ａ ￣ 。 得６ ＋ 。 ＝ ｑ ｂ ￣ ＋ ｌ ｇ ｐ则 求 数 列６ 再 求 ％
【ｃ 一 Ｊ
与自主招生考试有关的数列问题
与自主招生考试有关的数列问题与自主招生考试相关的数列问题：1. 一元二次多项式数列：该类数列由一元二次多项式函数构成，它们的递推公式为：an = an-1 + c，其中，c 是一个常量，an 是数列中第 n 项元素。
2. 调和数列：调和数列是指递推公式为 an = an-1 + 1/an-1 的数列，其中，an 是数列中第 n 项元素。
3. 递增等差数列：递增等差数列的递推公式为 an = an-1 + d，其中，d 是一个常量，an 是数列中第 n 项元素。
4. 等比数列：等比数列由递推公式 an = q · an-1 组成，其中，q 是一个常量，an 是数列中第 n 项元素。
5. 序列分析式：序列分析式是指递推公式为 an = f(an-1,an-2,…,a1,a0) 的数列，其中，an 是数列中的第 n 项元素，f 表示一个由定义求值的函数。
6. 扩大型数列：扩大型数列采用的是 an = n·an-1 作为递推公式，它的规律是每一项都是前一项的 n 倍，其中，n 是一个正质数，an 是数列中第 n 项元素。
7. 几何数列：几何数列是指数列中任意一项和它的前一项之间存在着恒定的乘积关系，它的递推公式为 an = q · an-1，其中，q 是一个恒定的正数，an 是数列中第 n 项元素。
8. 等积数列：等积数列是指一系列按等差增加的数字之积等于一定常数，其中，an 是数列中第 n 项元素，它的递推公式为 an =a1 · a2 · a3 · … · an-1，其中，an-1 为数列的第 n - 1 项元素。
9. 恒定数列：恒定数列恒等于某一常数，其递推公式为 an = c，其中，an 是数列中第 n 项元素，c 代表一个恒定的常数。
10. 伽马数列：伽马数列的递推公式为 an = an-1/2 + a，其中，a 是一个常量，an 是数列中第 n 项元素。
自主招生递推数列求通项专题
自主招生递推数列求通项专题1、递推方法：用枚举法求初始值，建立递推关系，利用递推关系求解。
例1、将圆分成(2)n n ≥个扇形12,,,n S S S ，现用(2)m m ≥种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻的扇形的颜色互不相同，问有多少种不同的染色方法？解析：利用递推关系f(m,n+1)=(m-2)f(m,n)+(m-1)f （m,n-1),结合初值f(m,1)=m,f(m,2)=m(m-1),利用特征根法，即可算出f(m,n)=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1)例2、用1,2,3组成n 位数，如果要求没有2个1相邻，问：这样的n 位数共有多少个？11121212122,3,8.13,2/3, 1.(2/31)/2(13)(12/3)/2(13)n n n n nn a a a a a c c c c a λ+-+=+==?=±-=+==+?++-?-2、几类常见递推问题①多项式（或含指数式）线性一阶递推数列基本形式：1(),(2,()n n a pa f n n p f n k -=+≥为常数，是次多项式或含杂指数式）基本方法：1()((1))n n a g n p a g n -+=+-，其中：(1)()()pg n g n f n --=练习1、221121,15,(2),.3,2,593n n n n a a a n n a an bn c q b c -==+-≥=++?=-==求解析：令g练习2、112,42,(2)nn n a a a n -==+≥，求n a 111124(2)33n n n n a a --+=+ 解析：总结一下：我们现在都会解决什么问题：（1）、线性问题基本能处理；（2）、非线性问题怎么处理？②非线性转线性求解练习3、在数列}{n a 中，n nn n a a a a ，则，21211==-= 。
练习4、在数列}{n a 中，3,2,1,65,111=-==+n a a a a n nn ，则=n a 。
自主招生考试中的递推数列问题
自主招生考试中的递推数列问题—— 上海市徐汇区冯志刚名师工作室学员 吴坚数列是中学数学的重要内容，是初等数学与高等数学的衔接部分，且与其他数学知识有着广泛的联系. 在与数列有关的问题中，从数列的递推关系式出发寻找通项公式，往往是解决问题的突破口与关键点，递推数列是高考与自主招生考试关注的焦点.在近几年的“华约”、“北约”、“卓越联盟”以及复旦大学的千分考中，从递推公式推导通项公式，用递推公式研究数列性质等问题的考查频率相当高，往往可以占到数列考查内容的40%~50%. 与高考不同的是，自主招生考试对递推数列的考查方式更加灵活，难度也更加高，有些问题往往需要用到不动点方程与特征方程的相关知识.知识储备与拓展】数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，表示递推关系的式子叫做递推公式，由递推关系和初始条件给出的数列叫做递推数列.(一) 递推数列的常见类型及其通项公式的求法 1. 形如1()n n a a f n +=+的递推关系式，其通项求法为1111111()()n n n k k k k a a aa a f k --+===+-=+∑∑，我们称这种方法为“累加法”.2. 形如1()n n a f n a +=的递推关系式，其通项求法为3211121(1)(2)(3)(1)(2)n n n a a a a a a f f f f n n a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-≥， 我们称这种方法为“迭乘法”.3. 形如1(1)n n a pa q p +=+≠的递推关系式，其通项求法为方法一：由1n n a pa q +=+及1n n a pa q -=+，两式相减得11()n n n n a a p a a +--=-，可知1{}n n a a +-是首项为21a a -，且公比为p 的等比数列，先求出1n n a a +-，再求出n a ．方法二：两边同时加上1-p q ，变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-++111p q a p p qa n n ，显然1nqa p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11-+p q a 为首项，p 为公比的等比数列.无论是方法一还是方法二，都是将1(1)n n a pa q p +=+≠转化为常见的等比数列来处理. 4. 形如()n f pa a n n +=+1的递推关系式，其中()f n 不是常数，其通项求法为若1p =，显然111(),2n n i a a f i n -==+≥∑；若1p ≠，两边同时除以1n p +，变形为()111++++=n nn n n pn f pa pa .令n n na b p=，得11()n n n f n b b p++=+，利用“累加法”可以求得()∑-=++=1111n i i nn pi f pa pa ，从而()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=-1111n i i n n p i f a pa . 5. 形如1qn n a pa +=(0,0n p a >>)的递推关系式，其通项求法为两边取对数有1lg lg lg n n a q a p +=+，令lg n n b a =，则1lg n n b qb p +=+，仿类型3可以求得n b ，从而得到n a 的通项公式.(二) 递推数列通项公式的两种特殊求法 1. 特征方程法【定理1】若数列{}n a 满足：112221,,(n n n a m a m a pa qa p q ++===+、是常数，*n ∈N )，则称数列{}n a 为二阶线性.对于递推数列21n n n a pa qa ++=+，定义方程2x px q =+为数列{}n a 的特征方程，该方程的根称为特征根.（1）若方程2x px q =+有两相异根αβ、，则数列通项可以设成12n n n a c c αβ=+，（其中12c c 、是待定常数）；（2）若方程2x px q =+有两相同根α，则数列通项可以写成12()n n a c nc α=+，（其中12c c 、是待再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ． 2. 不动点法不动点的概念是由荷兰数学家布劳威尔提出的，我们把满足方程()f x x =的x 叫做函数()f x 的不动点.【定理2】若()(0,1)f x ax b a a =+≠≠，p 是()f x 的不动点. 若{}n a 满足递推关系1()(2)n n a f a n -=≥，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.【定理3】若)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx b ax x f ，{}n a 满足递推关系1()(2)n n a f a n -=≥，且初始值11()a f a ≠.(1)若)(x f 有两个相异的不动点p q 、，则qa p a k qa p a n n n n --⋅=----11(这里qca pc a k --=)；(2)若)(x f 只有唯一不动点p ，则k pa pa n n +-=--111(这里da c k +=2).【例1】(2007年复旦大学)已知数列{}n a 满足134(1)n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n S n --<的最小整数n 为 ( ).A. 6B. 7C. 8D. 9 解析 由于134n n a a ++=，则11433n n a a +=-+，于是111(1)3n n a a +-=--，所以{}1n a -是首项为8，公比为13-的等比数列.从而1211|6||(1)(1)(1)-6|=|6()|<3125n n n S n a a a --=-+-++-⨯-…，即3750n≥，故7n ≥，选B.评注 1 这里由11433n n a a +=-+得到111(1)3n n a a +-=--，主要有两种办法：方法一：利用待定系数法引入参数，构造等比数列. 设11()3n n a a λλ+-=--，则11433n n a a λ+=-+，方法二：利用不动点法，构造函数14()33f x x =-+，可以求得不动点为1，所以根据定理2可以得到，{}1n a -是公比为13-的等比数列.评注2 本题的另一个亮点是对6n S n --的处理，回避了先求n a ，再求n S 的繁琐方式，利用整体思想，得到12|6||(1)(1)(1)-6|n n S n a a a --=-+-++-…，比较简洁.下面再介绍两个利用不动点法求数列通项公式的例子.【例2】(2006年华东政法大学改编)已知数列{}n a 满足11231,n n na a a a ++==，求数列{}n a 的通项公式.解析 作函数23()x f x x+=，解方程()f x x =，即23x x x+=，不动点为121,3x x =-=.由于1233(1)11n n n nna a a a a ++++=+=， ①123(3)33n n n nna a a a a ++---=-=， ②由于3n a ≠(否则由②可以得到13a =，矛盾)，所以①、②两式相除，得-111+111=3(3)333n n n n n n n a a a a a a ++++-⋅⇒=-----，从而111()331()13n n n a ----=--+. 【例3】(2010年五校联考改编)数列{}n x 满足*1143,()1n n n x x x n N x ++==∈+，求证：11|2|3n n x --≤.解析 作函数4()1x f x x +=+，解方程()f x x =，即41x x x +=+，不动点为122,2x x ==-.由于143(2)1221n n n n n x x x x x ++++++=+=， ①14(2)2112n n n n n x x x x x ++---=-++=， ②由于2n x ≠(否则由②可以得到12x =，矛盾)，所以①、②两式相除，得-111+222=35(3)222n n n n n n n x x x x x x ++++-⋅⇒=⨯----，于是-14|2|5(3)1n n x -=⨯--，则1|2|13n n x --≤⇔1143|5(3)1|n n --⨯≤⨯--.若2n k =，则12121|5(3)1|53143n k k ---⨯--=⨯+≥⨯，上式成立； 若21n k =-，则12222|5(3)1|53143n k k ---⨯--=⨯-≥⨯，上式成立. 综上所述，11|2|3n n x --≤成立.评注 1143|5(3)1|n n --⨯≤⨯--的证明是一个难点，需要对n 的奇偶性进行讨论. 以上两个例子都是定理3中第一种类型，不妨再来看一个第二种类型应用的例子： 若数列{}n a 满足1145,(1)3n n n a a a n a +-==≥-，求通项公式n a .分析与解 作函数4()3x f x x -=-，解方程()f x x =，即43x x x -=-，不动点为122x x ==.由于1422233n n n n n a a a a a +--+-=-=--， ③由于2n a ≠(否则由③可以得到12a =，矛盾)，所以③式两边取倒数，得1131143122223n n n n n a n a a a a +--==-+⇒=--+--，从而61134n n a n -=-.【例4】(2004年上海交通大学) 已知数列{}n a 满足121,2a a ==，且2132n n n a a a ++=-，则2004a =___________.解析 2132n n n a a a ++=-的特征方程为2320x x -+=，可以求得特征根是121,2x x ==.根据定理1可设12n nn a λμ=⋅+⋅，其中λμ、为待定常数.又因为121,2a a ==，即2142λμλμ+=⎧⎨+=⎩，，于是10,2λμ==，所以12n n a -=，从而2004a =20032.评注 这里用到了特征方程求数列{}n a 的通项公式的方法.此外，我们还可以从2132n n n a a a ++=-得到2112()n n n n a a a a +++-=-，由于2110a a -=≠，所以{}1n n a a +-是首项为1，公比为2的等比数列.于是112n n n a a -+-=，从而1112211()()()=2n n n n n n a a a a a a a a ----=-+-++-+….将一个陌生的数列问题转化为熟悉的等差数列或等比数列，是解决数列问题的最基本也是最重要的方法.【例5】(2012年复旦大学)设10110,1,2n n n x x x x x -++===，则数列{}n x 的极限为 ( ).A.23B.13C.2D.12解析 112n n n x x x -++=的特征方程为212x x +=，可求得特征根为112-、.根据定理1可设1()2nn x λμ=-+，其中λμ、为待定常数.由于010,1x x ==，故0112λμλμ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，可得22,33λμ=-=.所以212()323nn x =--+，从而2lim 3n n x →∞=，选A.评注 下面我们用特征方程的办法来研究一个非常有意思的数列-----斐波那契数列的通项公式. 已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …)，求通项公式n a .分析与解 此数列对应的特征方程为12+=x x ，即012=--x x ，解得251±=x .设此数列的通项公式为nnn c c a )251()251(21-++=，由初始条件121==a a 可知，1222121112211()(122c c c c ⎧+-+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，，解之得12c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以522n nn a ⎤⎛⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.比较有趣的是，在上述通项公式中，5、12+、12-都是无理数，但该数列的每一项都是正整数.自然界的很多现象都与斐波那契数列有关，该数列与黄金分割有着密切的联系，这一点从通项公式的构成不难理解.【例6】(2004年复旦大学)已知数列{}{},n n a b 满足12n n n a a b +=--，且166n n n b a b +=+，又112,4a b ==.求：(1)n a 、n b 的通项公式；(2) limn n n a b →∞.解析 由于166n n n b a b +=+，于是11(6)6n n n a b b +=-，代入12n n n a a b +=--，可以得到21111(6)(6)266n n n n n b b b b b +++-=---，故21560n n n b b b ++-+=.对应的特征方程为2560x x -+=，特征根是122,3x x ==，根据定理1可设23n n n b λμ=⋅+⋅.由112,4a b ==可得236b =，因此12234,4936,b b λμλμ=+=⎧⎨=+=⎩故2812,3λμ=-=. 所以11283242n n n b --=⋅-⋅，可知11162143n n n a --=⋅-⋅，从而1lim2n n na b →∞=-.【例7】(2009年中国科学技术大学)正数数列{}{}n n x y 、满足212n n n x x x ++=+，*212()n n n y y y n ++=+∈N . 证明：存在正整数0n ，对任意正整数0n n >，有n n x y >恒成立.证明 212n n n x x x ++=+对应的特征方程为2210x x --=，特征根是11+-. 根据定理1可设12(1(1nn n x λλ=++-，同理可设122(1)n nn y μμ=+-. 所以1122[(12][(1(1)]nnn nn n x y λμλμ-=+-+---.由于112212(1(1(3(3x x λλλλ⎧=++-⎪⎨=++-⎪⎩，，于是112142()0222x x λ-=+>， 同理，1121()06y y μ=+>.又因为222222(1(1)(||||,||||)n nλμλμλμ---∈--+，121(12n n+>>⇒+>，根据指数函数的性质可知，当n充分大时，11(12nnλμ+-也充分大，即存在正整数0n ，对任意正整数0n n >，都有n n x y >恒成立.【例8】(2002年上海交通大学)设数列{}n a 满足关系式2121(1,2,3,)n n a a n +=-=…，若存在N 满足1(2,3,)N a N ==…，试证明：(1)1||1a ≤； (2)12cos2N k a π-=(k 为整数).证明 (1)考虑用反证法，若1||1a >，则由条件知23111n a a a >⇒>⇒⇒>…，即不存在N ，使得1(2,3,)N a N ==…，矛盾，从而1||1a ≤.(2)由于1||1a ≤，于是令1cos a α=，则222c o s1c o s2a αα=-=，2232cos 21cos 2a αα=-=，…，1cos 21N N a α-==，故122()N k k απ-=∈Z ，即12cos2N k a π-=(k ∈Z ).评注 三角换元也是研究递推数列性质的重要工具与手段，下面再举一例加以说明：已知1n a a ==，求数列{}n a 的通项公式.分析与解 由数学归纳法，不难证明*02()n a n N <<∈，故可设2cos (0)2n n n a πθθ=<<，于是12cos 2cos2n n θθ-==，故112n n θθ-=，由1a =，得14πθ=.因此，1111()22n n n πθθ-+==，所以12cos2n n a π+=.【例9】(2010年浙江大学)如图，曲线y =下有一系列正三角形，求第n 个三角形的边长n L .解析 设曲线上第n 个三角形的顶点的坐标为(,)n n n P x y ，则123-11+(2)2n n n x L L L L L n =++++≥…，2n n y =.由于n y =2123-11+)22n n n L L L L L L ++++=…，2n ≥.又因为2123111+)22n n n L L L L L ++++++=…，1n ≥.两式相减，得221113()()24n n n n L L L L +++=-12,23n n L L n +⇒-=≥. 当1n =时，可以验证2123L L -=仍然成立，又因为123L =，故23n L n =.评注 两式相减是处理递推数列的常用手段. 其实，这个问题我们也可以先计算出123,,L L L ，…，由特殊到一般，猜出23n L n =，再用数学归纳法予以证明.【例10】(2011年“华约”)投掷一枚硬币(正反等可能)，设投掷n 次不连续出现三次正面向上的概率为n P .(1)求123,,P P P 和4P ；(2)写出n P 的递推公式，并指出单调性； (3)lim n n P →∞是否存在？有何统计意义.解析 (1)显然121P P ==，33171()28P =-=.又因为投掷四次硬币连续三次出现正面向上的情形只有三种：正正正正或正正正反或反正正正，所以431311616P =-=.(2)若第n 次出现反面，则只需考虑前1n -次不出现连续三次正面的情形即可，此时不连续出现三次正面的概率是112n P -；若第n 次出现正面，且第1n -次出现反面，则只需考虑前2n -次不连续出现三次正面的情形即可，此时不连续出现三次正面的概率是214n P -；若第n 次出现正面，且第1n -次出现正面，第2n -次出现反面，则只需考虑前3n -次不连续出现三次正面的情形即可，此时不连续出现三次正面的概率是318n P -.于是，123111(4)248n n n n P P P P n ---=++≥， ①又因为1234111(5)248n n n n P P P P n ----=++≥， ②①12-⨯②，得141(5)16n n n P P P n --=-≥，所以当5n ≥时，n P 单调递减，即12345P P P P P =>>>>…(3)由于当2n ≥时，n P 单调递减，且有下界0，所以lim n n P →∞一定存在.于是对141(5)16n n n P P P n --=-≥两边同时取极限，可以得到lim 0n n P →∞=.统计意义：当投掷次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，趋近于零.评注 本题第三小问中用到了高等数学中的一个结论：单调有界数列必有极限.在对学生的考查中注重初等数学与高等数学知识的联系与比较，渗透高等数学的研究思想，这也是自主招生考试命题的一个重要特点.。
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自主招生强化讲义第四章------数列一、进门考试题（2010“华约”）设+(x)=+1x m f x ，且存在函数=(t)s ϕ1=at+b,(t>,a 0)2≠，满足2-12+1()=t s f t s。
1) 证明：存在函数=(s)=cs+d(s>0)t ψ，满足2+12-1()=s t f s t ； 2) 设1x =3，+1=(),n=1,2,......,n n x f x 证明：-11|x -2|3n n ≤二、 数列基础知识补充数列中知识点的考察大部分会落脚于数列通项性质以及数列前n 项和的考察，所以我们先对数列通项以及前n 项和的求法做一些补充。
1. 数列通项的求法总结a. 递推式+1=+(n)n n a a f 或+1=(n)n n a f a对于以上递推关系的通项求法，一般来说相应的(n)f 比较特殊，可以利用累加法和累乘法进行求解 b. 递推式+1=p +(n)n n a a f只需构造数列，来消除(n)f 带来的差异。
例1. 设数列{}n a ，满足1a =4，-1=3+2n-1n n a a ，（2n ≥）求n a解析：这里的(n)f 是多项式，那么我们可以构造=++n n b a An B ，其中A B 、为常数。
记住，这里当(n)f 为一次式，那么构造的也是一次式，如果(n)f 是二次式或更高，就需要构造更高次的式子。
c.递推式+1=p +q n n a a用待定系数法+1+=p(+)n n a a λλ，求得=-1q p λ，所以+-1n q a p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个公比为p 的等比数列例2. （2007年复旦）已知数列{}n a 满足+13+=4n n a a ，(n 1)≥，且1a =9，其前n项和n S ，则满足不等式1|--6|<125n S n 的最小整数是（） A 6 B 7 C 8D 9d. 递推式+2+1=+n n n a pa qa这类递推式在往年自招中出题量是最大的，希望同学们能记住并理解其用法。
这类问题的一般解法是用特征根法，令αβ、为方程2=+x px q （注意此方程与递推式的联系）的两个根，那么当αβ≠时，=+n nn a A B αβ，当=αβ时，=(+)n n a An B α，其中A 、B 为待定系数，由初始条件12a a 、可以确定。
例3. （2012年复旦）设0x =0，1x =1，-1+1+=2n n n x x x ，则数列{}n x 的极限为（） A23B 13C 12D例4. （2011年“卓越”）设数列{}n a 满足，12=,=a a a b ，+2+12=+n n n a a a1) 设+1=-n n n b a a ，证明：若a b ≠，则{}n b 是等比数列 2) 若12lim(++...+)=4,n n a a a →∞求b a 、的值e. 递推式+1+=+n n n a a a αβγ这类问题的解法技巧性比较强，也是许多学校自招所青睐的考察点。
这类问题的解法一般是用不动点法。
我们称=()x f x 的解为不动点，这里+=+x x x αβγ的根称为该数列的不动点，如果该数列有两个相异的不动点u v 、，则--n n a u a v ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，如果=u v ，那么1-n a v ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列。
例5. 讲解进门考试题例6. （2009年中科大）正数列{}{}n n x y 、满足+2+1+2+1=2+=+2n n n n n n x x x y y y 、，(n 1)≥，证明：存在正整数0n ，使得对任意0>n n ，有>n n x y 恒成立。
补充一点，不动点法不只是在处理这类问题中有巨大的作用，在处理其他一些数列问题中也能发挥很大的作用。
不动点法可以将递推式左右两边的形式由不统一转换成统一的，这就是其奥妙之处。
例7. （2008年武大）已知数列{}n a 满足递推关系+1n a ,(n 1)≥且1=2a求证： 1) +123-<(3-)3n n a a2)+1<n n a a练习题：练1（2008年武大）在数列{}n a 中，1+1=2,=4-3+1n n a a a n ，*n ∈1) 求证：数列{}-n a n 是等比数列； 2) 求数列{}n a 的前n 项和。
练2（2004年上海交大）已知数列{}n a 满足12=1,=2a a ，且+2+1=3-2n n n a a a ，求2004a 练3（2011年“华约”）已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b ===+2，，3。
令111()2n n x x f x +==，。
1) 求数列{}n x 的通项公式； 2) 证明12112n x x x e+>。
练4（2000年上海交大）在数列{}n a 中，1=4a ，2)n a n ≥1) 求证：-11|-3|<|-3|3n n a a ； 2) 求lim n n a →∞2. 数列前n 项和的求法总结以下提及的数列求和方法在高考中也经常作为考察点。
a. 倒序相加法此方法适用于倒序相加后对应项相等或者有规律的数列前n 项和。
例8. （2005年复旦）定义在上的函数4(x)=4+2xx f ，12-1=()+()+...+()n n S f f f n n n，2n ≥1) 求n S2) 是否存在常数>0,2M n ∀≥，有23+1111++...+n M S S S ≤？ b. 错位相减法适用于一个等差一个等比相乘的数列求和。
例9. （2010年复旦）已知数列{}n a 满足：1=2,a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则求k=1nka∑的值例10.(2009湖北卷理) 已知数列的前n 项和（n 为正整数）。
1) 令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； 2) 令，试比较与的大小，并予以证明。
c.裂项相消法此方法适用于通项能分解成另外一个数列相邻两项相减的情况。
例11.（2008年上海交大）数列{}n a的通项公式为n a ，求数列的前99项之和99S 。
3. 补充两个关于幂和的公式a.22211+2+...+=(n+1)(2n+1)6n nb. 333211+2+...+=((n+1))2n n练5（2006年上海交大）已知+2=!+(k+1)!+(k+2)!k k a k ，求数列{}n a 的前100项之{}n a 11()22n n n S a -=--+2n n n b a ={}n b {}n a 1n n n c a n+=12........n n T c c c =+++n T 521n n +和。
练5 （2009年山东高考）等比数列{}的前n 项和为， 已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.1) 求r 的值； 2) 当b=2时，记 求数列的前项和 练6 （2011年复旦）设n 为一个正整数，记4=1(n)=nk P k∑，则(n)P 是关于n 的一个多项式，下面结论正确的是（） A (n)P 的最高次系数为1 B (n)P 的常数项系数为-3C (n)P 是n 的4次多项式D (n)P 的四次项系数为12解析：理论上可以从此题的解法得到更高阶次幂的前n 项和，这是一个非常不错的思路。
三、数列的基本考试点比较难的数列题目基本上集中于有关数列前n 项和的不等式。
1. 将数列与等比数列类比例12.（2007年武大）设二次函数=(x)y f 过点(0,0)，且满足2-3x -1(x)6x+2f ≤≤，设数列{}n a 满足1a =13，+1=()n n a f a 1) 确定(x)f 的表达式； 2) 证明+1>n n a a ； 3) 证明：+112111++...+3-3111---222n n a a a ≥例13.设{}n a 满足=4nn a ，求证=115<12nk kka ∑ 解析：这道题将整个数列类比成等比数列还不能解决问题，需要将第一项提出来，剩下的项类比成等比数列，这样才能达到要求。
2. 数学归纳法证明n a n S n N +∈(,)n n S (0xy b r b =+>1,,b b r ≠1()4n nn b n N a ++=∈{}n b n n T数学归纳法通常用来求解证明题，也可以用来求解你已经猜出通项公式的数列的通项。
除了常规的第一数学归纳法，偶尔还会用到第二数学归纳法，第二数学归纳法有两种形式：第一种：先证n=1,2时命题成立，假设=+1n k k 、时命题成立，再证=+2n k 时命题成立；第二种：先证n=1时命题成立，假设当n k ≤时命题都成立，再证=+1n k 时命题成立。
例14.（2010年南开）求证：1)+1!<(),(n 2)2nn n ≥ 2)nn 四、 总结本节课通过例题讲述了求数列通项的求法，主要是那四种方法；数列前n 项和的求法，主要就是那三种方法；以及在数列前n 项和的不等式证明题中用到的技巧。
出门考试题（2009A ，小数部分为B 1) 求A 、B ； 2) 求22++2ABA B ； 3) 求2lim(B+B +...+B )nn →∞。