高三数学点与圆直线
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
高三数学圆的坐标知识点
高三数学圆的坐标知识点圆是在平面上由一点到另一点距离保持不变的所有点组成的图形。
在数学中，圆的坐标表示使用两个坐标数表示圆心的位置，再加上一个表示半径的数值。
本文将介绍高三数学中与圆的坐标相关的知识点，包括圆心与半径的坐标表示、圆的方程及其性质。
一、圆心与半径的坐标表示在直角坐标系中，圆心的坐标表示为 (h, k)，其中 h 表示横坐标，k 表示纵坐标。
而半径的长度则可以通过圆心与圆上一点的坐标之间的距离来确定。
二、圆的方程及其性质1. 标准方程：对于以坐标原点为圆心的圆，其方程为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示半径的长度。
2. 一般方程：对于以圆心为 (h, k) 且半径为 r 的圆，其方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2。
3. 圆的性质：每个点到圆心的距离等于半径的长度。
同时，圆的直径是通过圆心并且垂直于圆的直径两点的线段。
圆的弦是通过圆上两点的线段。
圆的弦经过圆心时，被称为直径。
三、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系可以通过求解直线方程与圆方程的交点来确定。
当直线与圆相交时，可能有两个交点、一个交点或者没有交点三种情况。
2. 判别条件：直线与圆的位置关系可以通过计算直线方程与圆方程的判别式来判断。
当判别式大于零时，直线与圆相交；当判别式等于零时，直线与圆相切；当判别式小于零时，直线与圆无交点。
四、圆与圆的位置关系1. 外离：两个圆的距离大于两个圆半径之和时，称两个圆外离。
2. 外切：两个圆的距离等于两个圆半径之和时，称两个圆外切。
3. 相交：两个圆的距离小于两个圆半径之和时，称两个圆相交。
4. 内切：两个圆的距离等于两个圆半径之差时，称两个圆内切。
5. 内含：两个圆的距离小于两个圆半径之差时，称一个圆内含于另一个圆。
五、应用题举例1. 求两条直线与圆的位置关系，并求交点坐标。
2. 求两个圆的位置关系，并求交点坐标。
总结：通过以上内容的讲解，我们了解了高三数学中关于圆的坐标知识点。
高三数学高考复习直线与圆的方程考题分析
直线与圆的方程考题分析关于直线或直线与圆相结合的题型是历年高考考查的重点．下面我们撷取几例典型的题目，与同学们共赏．例１ （广东卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图1所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．解：①当k =0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为12y =； ②当k ≠0时，设将矩形折叠后A 落在线段CD 上的点为G （a ，1），所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，故有1OG k k =-，解得a k =-．故G 点坐标为G （－k ，1）．从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为122k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 所以折痕所在的直线方程为122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122k y kx =++． 由①、②得折痕所在的直线方程为k =0时，12y =；k ≠0时，2122k y kx =++． 点评：本题以“折叠”为载体，考查了直线关于直线对称或者是点对称等知识，给直线方程问题又增添了“动”的活力．例２ （江苏卷）直线x +2y =0被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于 ____．解析：本小题主要考查直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长求法等知识．重点考查了数形结合的思想．曲线2262150x y x y +---=，即222(3)(1)5x y -+-=．此曲线是以(31)C ，为圆心，5为半径的圆．由点到直线的距离公式，得圆心Ｃ到直线x +2y =0的距离为d ==又圆的半径r =5，所以截得的弦长l =故应填例3 在坐标平面内，与点(12)A ，距离为l ，且与点(31)B ，距离为2的直线共有（ ）． Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条解析：解决本题可以先设出直线的方程，然后应用点到直线的距离公式求解，满足条件的直线方程为y =3，4x +3y -5=0，但那样做将面临非常复杂的计算．事实上，本题并没有要求求出与点(12)A ，距离为１且与点(31)B ，距离为2的直线方程，只要求判断满足这样条件的直线有几条，所以可以通过画图的办法来解决问题．经过计算可知，Ａ、Ｂ两点间的距离为，所以在Ａ、Ｂ两点间不可能存在满足条件的直线，这样的直线只可能在Ａ、Ｂ两点的同侧，所以满足条件的直线有两条．也可以从平面解析几何的角度来考虑．如图2，到点Ａ距离为1的动点轨迹是一个圆，到点Ｂ距离为2的动点轨迹也是一个圆，因为这两个圆相交，所以它们只有两条外公切线，即为所求的两条直线．所以答案应选（Ｂ）．。
高三数学应知应会讲义十：直线与圆复习教案
直线与圆序号 内容要求 A BC 1 直线的倾斜角与斜率√2 直线方程√3 两条直线的平行关系与垂直关系√ 4 两条相交直线的交点、交角√ 5 点到直线的距离√ 6 简单的线性规划问题 √ 7 曲线与方程的概念√8圆的标准方程、一般方程、参数方程√二、应知应会知识1．（1）一直线过点(0，－3)，(－3，0)，则此直线的倾斜角为（ ） A ．π4 B ．3π4 C ．－π4 D ．－3π4解：B ．（2）直线x cos θ＋y －1＝0(θ∈R )的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0，π)B ．[π4，3π4]C ．[－π4，π4]D ．[0，π4]∪[3π4，π）解：D（3）已知直线l 的倾斜角的变化范围是(π3，3π4]，则该直线的斜率k 的变化范围是_______．解：(3，＋∞)∪(－∞，－1]．考查直线的倾斜角、斜率、斜率公式，理解倾斜角与斜率之间关系．注意正切函数的图象与性质的适当应用． 2．（1）原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程是（ ） A ．x ＋2y ＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y ＋3＝0 解：C ．（2）过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．－32 B ．－23 C ．25D ．2解：A ．（3）过点(5，2)，且在x 轴上截距是在y 轴上截距的2倍的直线方程是（ ） A ．2x ＋y －12＝0 B ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 解：B考查直线方程的几种形式、适用范围，注意截距的概念、运算的准确． 3．（1）已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 解：D.（2）已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0．若l 1∥l 2，则a ＝___________．解：2.（3）若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，4)共线，则a 的值等于_____． 解：4（4）与直线3x －4y ＋5＝0共线的单位向量是（ ）A ．(3，4)B ．(4，－3)C ．(35 ，45 )D ．(45 ，35 )解：D ．（5）a ＝3是直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 解：C ．（6）直线x ＋a 2y ＋1＝0与直线(a 2＋1)x －by ＋3＝0互相垂直，ab ∈R ，则||ab |的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 解：B ．考查两条直线平行与垂直的条件，注意选择合理的转化方法． 4．（1）直线y ＝2与直线x ＋y —2＝0的夹角是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．3π4解：A ．（2）若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[π6，π3) B ．(π6，π2) C ．(π3，π2) D ．[π6，π2) 解：B ．考查两条直线的交点与夹角的计算，注意运算准确．5．（1）已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于（ ） A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1 D ．2＋1 解：C ．（2）已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为（ ）A ． 5B ．10C ．2 5D ．210 解：A ．（3）直线y ＝2x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y ＝－12x B ．y ＝12x C ．y ＝－2x D ．y ＝2x解：C ．（4）若点P （3，4）、Q （a ，b ）关于直线x －y －1＝0对称，则（ ）A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝4，b ＝3D ．a ＝5，b ＝2 解：D ．考查点到直线的距离公式，注意综合应用平行、垂直、夹角、交点、距离等工具转化对称问题．6．（1）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋5≥0，0≤x ≤3，表示的平面区域的面积是（ ）A ．48B ．36C ．24D ．12 解：C（2）图中阴影部分用二元一次不等式组表示为__________________．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≥0．（3）设 z ＝2y －x ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥－1，3x ＋2y ≤23，y ≥1．则z 的最大值为_________．解：11．（4）已知平面区域D 由以A (1，3)，B (5，2)，C (3，1)为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y )可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝（ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 解：C ．（5）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11．则z ＝10x ＋10y 的最大值是（ ）A ．80B ． 85C ． 90D ．95 解：C ．考查线性规划问题，注意平面区域与不等式组的对应，体会数形结合的重要思想． 7．（1）以点(1，2)为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切的圆的方程是___________．解：(x －1)2＋(y －2)2＝25.（2）圆心在直线y =x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．解：(x －1)2＋(y －1)2＝1．（3）过点A (1,－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ． (x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 解：C ．考查圆的方程，注意直接找圆心、半径与待定系数法之间的关系．8．（1）圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为（ ）A ．2B ．22C ．1D ． 2解：D ．（2）“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 解：C ．考查圆的一般方程与标准方程的互化，了解圆的一般方程与二元二次方程之间的关系．9．（1）点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ）A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 解：A ． （2）曲线⎩⎨⎧x =cos θ，y =sin θ．(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A ．12B ．22C ．1D ． 2解：D ．考查圆的参数方程，注意参数方程在研究最值中的应用．10．（1）若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ． x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ． x ＋y －1＝0 D ． 2x －y －5＝0 解：A ．（2）若直线(1＋a )x ＋y ＋1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ）A ．1，－1B ．2，－2C ．1D ．－1 解：D ．（3）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠π2＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定的 解：C ．（4）已知圆(x ＋1)2＋y 2＝1和圆外一点P (0,2)．过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是__________． 解：43．（5）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为_________. 解：2．（6）若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．0＜k ＜ 5B ．－5＜k ＜0C ．0＜k ＜13D ．0＜k ＜5 解：A ．．考查直线与圆的位置关系，注意平面几何的一些方法在求弦长、切线、交点、最值等问题的合理应用，简化运算的过程． xyO 2－1－1。
高三数学二轮专题复习第1讲 直线与圆
∴切线方程为
y＝±
3x－2，和直线 y＝2
的交点坐标分别为－4
3
3，2，4
3
3，2.
故要使视线不被⊙O
挡住，则实数
的取值范围是－∞，－4
3
3∪4
3
3，＋∞.
答案 (1)－53 (2)B
考法2 圆的弦长相关计算 【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B
归纳总结 思维升华
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数 的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑 直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件. (2)设 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1. ∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥2 a2b.则 1≥2 a2b， ∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即 a＝2，b＝4 时，取“＝”). ∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小. 此时 l 的方程为2x＋4y＝1，即 2x＋y－4＝0. 答案 (1)B (2)A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当
高三直线和圆知识点
高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。
本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。
一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。
直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。
直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。
2. 直线上的任意一点，都在直线上。
二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。
这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。
圆心是与所有这些点距离相等的点。
直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。
圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。
三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。
它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。
b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。
b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。
3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。
b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。
高三圆知识点
高三圆知识点圆是高中数学中一个重要的几何概念，也是学习高三数学不可忽视的知识点之一。
本文将对高三圆的基本概念、圆的性质、圆内接四边形以及圆与直线的关系进行详细阐述，帮助学生全面理解和掌握相关知识。
一、圆的基本概念圆是平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。
给定点称为圆心，距离称为半径。
圆的表示方法有多种，可以用O表示圆心，r表示半径，记作⊙O，r。
圆心到圆上任意一点的距离都等于半径。
二、圆的性质1. 圆的直径、弧、圆心角、弦和切线之间的关系：- 直径是圆上任意两点之间经过圆心的线段，它的长度等于半径的两倍。
- 弦是圆上的任意两点之间的线段。
- 圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧的度数。
- 切线是与圆只有一个公共点并且垂直于半径的直线。
2. 切线与半径的关系：- 切线与半径的夹角为90°。
- 从切点到圆心的半径与切线的切点处的切线段垂直。
3. 弧长和扇形面积的计算：- 弧长可以通过圆的周长公式来计算：L = 2πr，其中L表示弧长，r表示半径。
- 扇形面积可以通过圆的面积公式来计算：A = 1/2r²θ，其中A 表示扇形面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
三、圆内接四边形圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都位于同一圆上的情况。
圆内接四边形有以下性质：1. 对角线相交于一点并且交点到圆心的距离相等。
2. 对角线互相垂直。
3. 对角线长度之和等于半径的两倍。
四、圆与直线的关系1. 圆内一点到圆上任意一点的切线长度相等。
2. 直径是圆的特殊切线，它的两个端点同时也是圆上的点。
3. 直线与圆相交有三种情况：相离、相切和相交。
相离的直线与圆没有公共点；相切的直线与圆只有一个公共点；相交的直线与圆有两个公共点。
4. 判断直线与圆的位置关系可以利用圆的方程，如直线方程与圆的方程联立求解。
综上所述，通过对高三圆知识点的学习，我们可以了解圆的基本概念、性质，进一步掌握圆内接四边形的特点，以及圆与直线的关系。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高三数学知识点总结圆
高三数学知识点总结圆高三数学知识点总结圆圆是高中数学中的基础知识之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将对高三数学中与圆相关的知识点进行总结，包括圆的定义、圆的性质、圆与直线的关系以及圆的应用。
一、圆的定义圆是平面上的一种特殊图形，由到定点距离相等的所有点组成。
其中，距离定点的距离称为半径，定点称为圆心。
圆心到圆上任意一点的距离都相等，这个距离称为半径。
二、圆的性质1. 圆周率：圆的周长与直径的比值称为圆周率，通常用希腊字母π表示，约等于3.14159。
2. 圆的直径和半径关系：直径是通过圆心的一条线段，它的长度等于半径的两倍。
3. 弧长和圆心角关系：弧长是圆周的一部分长度，它与圆心角的大小有关。
当圆心角的度数为360°时，对应的弧长等于圆的周长。
通过比例关系可以计算弧长。
4. 圆的面积：圆的面积是指圆内部的所有点所围成的区域的大小。
圆的面积计算公式为πr²，其中r代表半径。
三、圆与直线的关系1. 圆的切线：切线是与圆相切的直线，切线与半径垂直。
切线与半径的交点称为切点。
2. 弦：弦是圆上连接两个不同点的线段。
3. 弦的性质：圆内任一弦所对的两个圆周角相等，且割线所对外角等于其所对内角的补角。
4. 弦切线定理：当一条直线同时与圆相切和相交时，切点和相交点之间的线段与切点外的弦所对的圆周角相等。
四、圆的应用1. 圆的相关公式：通过圆的面积和周长的计算，可以应用于实际问题的求解，如计算圆形花坛的面积、园艺工的铺设花边的长度等。
2. 圆锥的体积和表面积：圆锥是一个三维图形，利用圆的相关知识可以计算圆锥的体积和表面积。
3. 圆的平移和旋转：圆形可以通过平移和旋转实现图形的变化，这在几何学和计算机图形学中都有重要的应用。
总结：本文对高三数学中与圆相关的知识进行了总结。
包括圆的定义、性质、圆与直线的关系以及圆的应用等。
掌握圆的相关概念和定理，对于解题和理解几何图形有着重要的意义。
在学习和应用中，要注重练习和理解，提高数学问题的解决能力。
高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆 圆与圆的位置关系
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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范 围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程 代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一 直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k
高中直线和圆数学知识点(详细)
高中直线和圆数学知识点(详细)高中直线和圆数学知识点1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况?2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是。
而其到角是带有方向的角，范围是4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.5.圆的方程：最简方程 ;标准方程 ;6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”(1)过圆上一点圆的切线方程如果点在圆外，那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切点弦”方程.如果点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方程， (为圆心到直线的距离).7.曲线与的交点坐标方程组的解;过两圆交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程.高考数学答题有什么策略1.调适心理，增强信心(1)合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考;(2)合理安排饮食，提高睡眠质量;(3)保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示;(4)静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。
高三数学二轮复习直线与圆课件
求直线(圆)的方程、点到直线的距 离、直线与圆的位置关系判断、简 单的弦长与切线问题
难度
容易
考点1：直线的方程
【例1】（1）设a∈R，则“a＝-2”是直线l1：ax＋2y‒1＝0与直线l2：x＋(a＋ 1)y＋4＝0平行的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
A．
5 3
B．
21 3
C．
25 3
D．
4 3
（2）若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切， 则该圆的标准方程是__x_2_＋__(y_‒_1_)_2_＝__2_．
y
F
O
x
圆的方程的2种求法
02 代数法
01 几何法
通过研究圆的性质、直线和 圆、圆与圆的位置关系，进 而求得圆的基本量和方程.
D．既不充分也不必要条件
（2）过点P(2，3)的直线l 与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原 点，则S△OAB的最小值为___1_2____．
y B 3
O 2 AxΒιβλιοθήκη 考点2：圆的方程【例2】（1）已知三点A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC外接圆的圆心 到原点的距离为( B )
y
1
O
34
x
（2）已知直线 l：x‒ 3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分 别作 l 的垂线与 x 轴交于C，D两点，则|CD|＝____4____．
y
B2 3 A
E
CO D
23 x
用待定系数法先设出圆的 方程，再由条件求得各系 数.
考点3：直线（圆）与圆的 位置关系问题
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
数学高三会考圆的知识点
数学高三会考圆的知识点高三会考是每个高中学生都要面对的一场考试，而数学作为其中一门学科，无疑是高三会考重要的一部分。
在数学中有许多重要的知识点需要学生掌握，其中圆的知识点是数学高三会考中的重要内容之一。
本文将重点介绍数学高三会考中关于圆的知识点。
圆是几何学中非常基础而重要的概念，它是由平面内距离一个确定的点称为圆心的所有点构成。
首先我们来了解一些关于圆的基本性质。
1. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆的边界上的一段曲线与圆心之间距离的总和。
我们知道圆的周长是由圆的半径决定的。
圆的周长公式是C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
圆的面积是指圆所包围的平面区域的大小。
圆的面积公式是A=πr²，其中A表示圆的面积。
2. 弧长和扇形面积：与圆的周长类似，圆上的弧长也是由半径决定的。
弧长公式是L=2πr/θ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
扇形是由圆心和圆上的两个点所组成的图形，扇形所包围的区域就是扇形的面积。
扇形的面积公式是S=πr²（θ/360°），其中S 表示扇形的面积。
除了基本概念之外，圆还有一些重要的性质和定理。
1. 切线和切点：一条直线与圆相切的点称为切点，这条直线称为切线。
切线与半径之间的关系非常重要，即切线与半径垂直。
2. 相交的圆：当两个圆相交时，它们的交点分为两种情况。
如果两个圆的交点只有一个，那么这个交点就是圆心的连线。
如果两个圆的交点有两个，那么这两个圆的圆心、交点以及圆心之间的连线将构成一个四边形，我们称之为圆的四边形。
3. 切割和相切：当一个圆与另一个圆相切时，两个圆心之间的连线必定与两个切点的连线一样长。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间有许多关联，其中一个重要的定理是圆的外心定理。
该定理指出，一个三角形的三条外接圆的角平分线必会相交于一个点，这个点即为该三角形的外心。
此外，在数学高三会考中还会考察圆与直线、圆与三角形、圆与方程等方面的知识点。
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
高三数学圆与直线知识点
高三数学圆与直线知识点高三数学学习中，圆与直线是重要的知识点之一。
掌握了这些知识，可以帮助我们解决更加复杂的数学问题。
本文将从圆与直线的定义、性质和应用方面进行介绍。
一、圆的定义与性质圆是由平面内到一点的距离都相等的点的集合。
简单来说，圆是一个平面上的闭合曲线，由半径为r的圆心O、平面上所有到圆心距离为r的点构成。
在圆的性质中，我们需要掌握以下几个重要的概念：1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角。
圆心角的度数等于所对弧的度数。
2. 圆周角：圆周角是以圆周上的两条弧为边的角，角的大小等于所对的弧度数的一半。
二、直线与圆的位置关系1. 切线：一个直线与圆相交于圆上的一点，且只有这一个交点时，称这条直线为切线。
切线与半径垂直。
2. 切点：切线与圆的交点称为切点。
3. 弦：一个直线的两个端点在圆上，这条直线称为弦。
三、直线与圆的交点个数1. 两个相交圆的公共切线：两个相交的圆可以有两条公共切线，也可以没有公共切线。
2. 直线与圆的位置关系：一条直线与圆相交，有三种情况，即相离、相切和相交。
四、圆与直线的方程1. 圆的方程：设圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²。
2. 直线的方程：直线的方程可以通过两点式、一般式或截距式等形式表示。
五、圆与直线的应用1. 判断两个圆的位置关系：可以通过观察圆心之间的距离与半径之差来判断两个圆的位置关系，有外离、内含和相交三种情况。
2. 判断直线与圆的位置关系：可以通过圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系。
3. 圆的切线问题：可以通过圆与直线的位置关系来求解切点和切线方程。
4. 弦的性质：弦分割圆的圆周角等于弦所对的圆心角。
总结：通过学习圆与直线的知识点，我们可以更好地理解圆的定义与性质，掌握直线与圆的位置关系以及圆与直线的方程。
这些知识点对于解决数学问题和应用数学在生活中都具有重要意义。
高三数学复习教案：直线与圆及其位置关系直线与圆位置关系总结
直线、圆方程1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。
特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+。
圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点)2,2(ED --，半径2422F E D r -+=，其中0422>-+F E D 。
二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②、没有xy 项，即B =0；③、0422>-+AF E D 。
直线与直线、直线与圆位置关系1．直线l 1与直线l 2的的平行与垂直 （1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2；②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1。
（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。
①l 1//l 2⇔212121C C B B A A ≠=； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠； ④l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==； 2． 距离（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB ||21x x -、y //AB 轴，则=AB ||21y y -。
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