八年级数学矩形和菱形练习题拔高

合集下载

苏科版八年级数学下册矩形、菱形、正方形提高练习

A B D C O E 特殊平行四边形提高训练 1、如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足E ，DE ：AD=53，则下列结论正确的个数有 ①cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积215cm ④cm BD 102=（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个2、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P ．若1AE AP ==， 5PB =．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ED ⊥；④16APD APB S S ∆∆+=+；⑤46ABCD S =+正方形．其中正确结论的序号是（）A ．①③④ B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤3、如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．14、边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）。

A ．2－33 B ．332 C ．2－43 D ．2 5、矩形ABCD 中，E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点，且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF ⊥FM,则EM 的长为（）A ．5B ．25C ．6D ．266、如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠AEB 的度数为( )A ．10°B ．12.5°C ．15°D ．20°7、正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为（）：（A ）10 （B ）12 （C ）14 （D ）168、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE=22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（） A ．1 B ． C ．4﹣2 D ．3﹣49、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT ＝( )A ． B ． C 2 D 110、已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝120°，AC ＝4，则该菱形的面积是（）A. 163B.16C. 83D.811、如图，已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上，且BO BE =，则EOA ∠= 度．（第6题图）（第7题图）（第8题图）（第9题图）（第11题图）（第1题图） A P E DCB （第2题图）（第3题图）（第4题图）（第5题图）C D A B E （第12题）（第13题）（第14题）（第15题）（第16题）E B C N M 12.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1, 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.13.如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是．14. 矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B’处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________．15、如图，正方形ABCD 的边长是2，以正方形ABCD 的边AB 为边，在正方形内作等边三角形ABE ，P 为对角线AC 上的一点，则PD ＋PE 的最小值为_________16、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°.顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 .17、某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .（1）求证：AM ＝AN ；（2）当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由.18、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ； ⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.19、（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是M N P D C E B A 图1 M N P C B A 图21121∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN =90°，求证：AM =MN ．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB 上截取AE =MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B =∠BCD =90°，AB =BC ．∴∠NMC =180°—∠AMN -—∠AMB =180°—∠B —∠AMB =∠MAB =∠MAE ．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2），N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN =60°时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD ……X ”，请你作出猜想：当∠AMN =°时，结论AM =MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）20、阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝6cm ．现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点P 碰到BC 边，沿着与BC 边夹角为45°的方向作直线运动，当点P 碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示．问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形A 1B 1CD ．由轴对称的知识，发现P 2P 3＝P 2E ，P 1A ＝P 1E ．请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前与边相碰______次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是________cm ；（2）进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD ＞AB ．动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上．若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则AB ∶AD 的值为________．。

初中八年级矩形拔高题综合题压轴题(含答案)

初中八年级矩形拔高题综合题压轴题
(含答案)
题目一
题目描述
给定一个矩形的长和宽，求其面积和周长。

解答
假设矩形的长为$L$，宽为$W$，则矩形的面积$A$和周长$P$可以分别计算如下：
面积：$A=L\times W$
周长：$P=2\times(L+W)$
所以，矩形的面积为$A$，周长为$P$。

题目二
题目描述
给定一个矩形的面积和周长，求其长和宽。

解答
假设矩形的面积为$A$，周长为$P$，长为$L$，宽为$W$，那么可以列出如下方程：
面积：$A=L\times W$
周长：$P=2\times(L+W)$
根据上述方程，可以解得矩形的长和宽。

题目三
题目描述
给定一个矩形的长和宽，判断其是否为正方形。

解答
如果一个矩形的长和宽相等，则它是一个正方形。

题目四
题目描述
给定一个矩形的长和宽，求其对角线长度。

解答
假设矩形的长为$L$，宽为$W$，则矩形的对角线长度$D$可以计算如下：
对角线长度：$D=\sqrt{L^2+W^2}$
所以，矩形的对角线长度为$D$。

以上是初中八年级矩形拔高题综合题压轴题的内容。

希望对你有所帮助！。

浙教版杭州八年级下册期中期末复习拓展拔高题-菱形正方形-教用

菱形复习课前测：1．如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF交边CD于点M，且直线EF恰好经过点A；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（）A．∠ABC＝60°B．BC＝2CMC．S△ABM＝2S△ADM D．如果AB＝2，那么BM＝4【分析】如图，连接AC，证明△ABC，△ACD都是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接AC．由作图可知，EF存在平分线段CD，∴AC＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝AC，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠ABC＝60°，故A正确，∵BC＝CD＝2CM，故B正确，∵AB＝CD＝2DM，AB∥CD，∴AB＝2DM，∴S△ABM＝2S△ADM，故C正确，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2020春•内江期末）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．邻角相等D．邻边相等【分析】根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可．【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等，故选：D．3．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为．【分析】连接BE，BD，证明△BCD是等边三角形，证得∠ABE＝∠CEB＝90°，由折叠可得AF＝EF，由EF2＝BE2+BF2可求出答案．【解答】解：如图，连接BE，BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴AB＝3＝BC＝CD，∠A＝60°＝∠C，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD中点，∴DE＝＝CE，BE⊥CD，∠EBC＝30°，∴BE＝CE＝，∵CD∥AB，∴∠ABE＝∠CEB＝90°，由折叠可得AF＝EF，∵EF2＝BE2+BF2，∴EF2＝+（3﹣EF）2，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．【菱形性质和判定】例1：．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连接EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．2B．2C．3D．【分析】连接FG，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF＝1，进而利用直角三角形的判定和边长关系解答即可．【解】解：连接FG，∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∠ABC＝120°，∵点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，∴AE＝AF，BF＝BG，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∵BF＝BG，∴△BFG是等腰三角形，∴∠GFB＝，∴∠EFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF＝4﹣1＝3，∴FG＝2×，∴EG＝，故选：B．【点评】此题考查菱形的性质，关键是利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF解答．2.．如图，菱形纸片ABCD的边长为2，∠BAC＝60°，翻折∠B，∠D，使点B、D两点重合在对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2）．（1）证明：AG＝BE；（2）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG的面积可能等于吗？如果能，求此时x的值；如果不能，请说明理由．【分析】（1）由折叠的性质得到BE＝EP，BF＝PF，得到BE＝BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BE＝BF，AE＝FC，推出△ABC是等边三角形，求得∠B＝∠D ＝60°，得到∠B＝∠D＝60°，于是得到结论；（3）记AC与BD交于点O，得到∠ABD＝30°，解直角三角形得到AO＝1，BO＝，求得S四边形ABCD＝2，当六边形AEFCHG的面积等于时，得到S△BEF+S△DGH＝2﹣＝，设GH与BD交于点M，求得GM＝x，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵翻折∠B，∠D，使点BD两点重合在对角线BD上一点P，∴BE＝EP，BF＝PF，∵BD平分∠ABC，∴BE＝BF，∴四边形BFPE是菱形，同理，四边形DGPH是菱形，∴AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，∴四边形AEPG为平行四边形，∴AG＝EP＝BE；（2）不变，∵AG＝BE，四边形BEPF是菱形，∴BE＝BF，AE＝FC，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠D＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠D＝60°，∴EF＝BE，GH＝DG，∴六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+GH+AG＝3AB＝6，故六边形AEFCHG周长的值不变；（3）能，理由：记AC与BD交于点O，∵AB＝2，∠BAC＝60°，∴∠ABD＝30°，∴AO＝1，BO＝，∴S△ABC＝2×＝，∴S四边形ABCD＝2，当六边形AEFCHG的面积等于时，S△BEF+S△DGH＝2﹣＝，∵BE＝AG，∴AE＝DG，∵DG＝x，∴BE＝2﹣x，设GH与BD交于点M，∴GM＝x，∴S△DGH＝x2，同理S△EFB＝（2﹣x）2＝x+x2，即x2+x2﹣x+＝，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，即当x＝1﹣或x＝1+时，六边形AEFCHG的面积可能等于．【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x表示出相关的线段，是一道基础题目．练习：1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（）A．4B．10C．12D．16【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH＝8，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC，∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，∵S菱形ABCD＝AD×8＝AB×CH，∴CH＝8，∴AH＝＝＝16，∵BC2＝CH2+BH2，∴BC2＝（16﹣BC）2+64，∴BC＝10，故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．2．如图，菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，BC边上的动点（不与点A，B，C重合），且BE＝BF，若EG∥BC，FG∥AB，EG与FG相交于点G，当△ADG为等腰三角形时，BE的长为4﹣或．【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG＝30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD＝4，AC＝4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：如图，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∵EG∥BC，FG∥AB，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵BE＝BF，∴四边形BEGF是菱形，∴∠ABG＝30°，∴点B，点G，点D三点共线，∵AC⊥BD，∠ABD＝30°，∴AO＝AB＝2，BO＝AO＝2，∴BD＝4，AC＝4，同理可求BG＝BE，若AD＝DG'＝4时，∴BG'＝BD﹣DG'＝4﹣4，∴BE'＝4﹣，若AG''＝G''D时，过点G''作G''H⊥AD于H，∴AH＝HD＝2，∵∠ADB＝30°，G''H⊥AD，∴HG''＝，DG''＝2HG''＝，∴BG''＝BD﹣DG''＝，∴BE''＝，综上所述：BE为4﹣或．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知，如图1，四边形ABCD是一张菱形纸片，其中∠A＝45°，把点A与点C分别折向点D，折痕分别为EG和FH，两条折痕的延长线交于点O．（1）请在图2中将图形补充完整．（2）求∠EOF的度数．（3）判断四边形DGOH也是菱形吗？请说明理由．【分析】（1）依照题意画出图形；（2）由菱形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠C＝45°，∠ADC＝135°，由折叠的性质可得AE＝DE＝AD，GE⊥AD，∠A＝∠GDA＝45°，DF＝FC＝CD，HF⊥CD，∠C ＝∠CDH＝45°，由四边形的内角和定理可求解；（3）由题意可证GE∥DH，GD∥HF，可证四边形DGOH是平行四边形，由“ASA”可证△DEG≌△DFH，可得DG＝DH，即可证四边形DGOH是菱形．【解答】解：（1）如图所示：（2）延长EG，FH交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝45°，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝45°，∠ADC＝135°，∵把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D 重合，折痕为FH，∴AE＝DE＝AD，GE⊥AD，∠A＝∠GDA＝45°，DF＝FC＝CD，HF⊥CD，∠C＝∠CDH＝45°，∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC＝360°，∴∠EOF＝360°﹣90°﹣90°﹣135°＝45°；（3）∵∠ADC＝135°，∠ADG＝∠CDH＝45°，∴∠GDC＝∠ADH＝90°，且GE⊥AD，HF⊥CD，∴GE∥DH，GD∥HF，∴四边形DGOH是平行四边形，∵AE＝DE＝AD，DF＝FC＝CD，AD＝CD，∴DE＝DF，且∠ADG＝∠CDH＝45°，∠DEG＝∠DFH＝90°，∴△DEG≌△DFH（ASA）∴DG＝DH，∴四边形DGOH是菱形．【点评】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，全等三角形的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长中线AD到点E，作∠AEF＝45°，点P从点E开始沿射线EF方向以cm/秒的速度运动，设运动时间为t秒（0＜t＜6）．过点P作PQ⊥AE，垂足是点Q，连接BQ，CQ．若BC＝4cm，DE＝6cm，且当t＝2时，四边形ABQC 是菱形．（1）求AB的长．（2）若四边形ABQC的一条对角线等于其中一边，求t的值．【分析】（1）根据题意，可以求得DQ和CD的长，从而可以得到CQ的长，再根据四边形ABQC是菱形，从而可以得到AB的长；（2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得t的值，注意t的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，EQ＝×2×sin45°＝2，∵DE＝6，∴DQ＝4，∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD垂直平分BC，∴∠CDQ＝90°，∵BC＝4，∴CD＝2，∴CQ＝2，∵当t＝2时，四边形ABQC是菱形，∴AB＝CQ＝2，即AB的长是2cm；（2）当BC＝CQ时，∵BC＝4，∴CQ＝4，∵CD＝2，∠CDQ＝90°，∴DQ＝＝2，∴EQ＝DE﹣DQ＝6﹣2，∵EQ＝t×sin45°，解得，t＝（6﹣2）；当AB＝AQ时，则AQ＝2，∵AB＝2，BD＝2，∠ADB＝90°，∴AD＝4，∴DQ＝AQ﹣AD＝2﹣4，∴EQ＝DE﹣DQ═6﹣（2﹣4）＝10﹣2，∵EQ＝t×sin45°，解得，t＝10﹣2；当AB＝BC时，不成立；当CQ＝AQ时，∵CQ＝＝，AQ＝AD+DQ＝4+（6﹣t）＝10﹣t，∴＝10﹣t，解得，t＝7.5（舍去），综上所述，t的值是6﹣2或10﹣2．【点评】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连接CE．（1）求证：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，由“SAS”可证△ABE≌△CBE，可得结论；（2）连接AC交BD于H，由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，利用直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵AE⊥BA，∴∠BAE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BAE＝∠BCE＝90°；（2）如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH＝，∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH＝AH，∴AH＝，AB＝2AH＝，∴菱形的边长为．方法二，同理可求∠ABE＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴AB＝＝．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【正方形性质和判定】课前练习1．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．【解析】对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误，故选：A．2．（2020春•阿城区期末）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．【解析】正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．故选：B．例1：．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（）A．B．+1C．+D．【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△ADF，可得∠BAE＝∠DAF＝15°，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，由直角三角形的性质可得HE＝2BE＝AH，BH＝BE，由勾股定理可求解．【解答】解：∵△AEF是边长为2的等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE+∠DAF＝30°，∵AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF＝15°，如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，∴∠BHE＝30°，AH＝HE，∴HE＝2BE＝AH，BH＝BE，∴AB＝（2+）BE，∵AE2＝BE2+AB2，∴4＝BE2+（2+）2×BE2，∴BE＝（﹣1）＝，∴AB＝（2+）BE＝，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，练习：1．如图，正方形ABCD的边长为6，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，EF＝GF，且∠EFG＝90°，则GB+GC的最小值为3．【分析】如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．利用勾股定理求出BK的值即可解决问题．【解答】解：如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB 上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵AM＝MD．AE＝EB，∴AM＝AE，∵AF＝AN，∴FM＝NE，∵∠A＝∠GFE＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE+∠GFM＝90°，∴∠GFM＝∠FEN，∵FG＝FE，∴△FGM≌△EFN（SAS），∴∠GMF＝∠ENF，∵∠ANF＝∠AFN＝45°，∴∠GMF＝∠FNE＝135°，∴∠DMG＝45°，设MJ交CD于R，∵∠D＝∠JCR＝90°，∴∠DMR＝∠DRM＝∠CRJ＝∠CJR＝45°，∴DM＝DR＝CR＝CJ＝3，∵C，K关于MJ对称，∴KJ＝CJ＝2，∠MJK＝∠MJC＝45°，GC＝GK，∴∠KJB＝90°，∴BK＝＝＝3，∵GC+GB＝GK+GB≥BK，∴GC+GB≥3，∴GC+GB的最小值为3．故答案为3．【点评】本题考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为17；（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为6．【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，根据S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF 根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE＝＝＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．故答案为17．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．故答案为6．【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．3．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD 于点G，GF⊥AE交BC于点F．（1）求证：AG＝FG．（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．【分析】（1）由“SAS”可证△ABG≌△CBG，可得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，由四边形内角和定理可证∠BCG＝∠GFC，可得GC＝GF＝AG；（2）过点G作GH⊥BC于H，利用勾股定理可求GH的长，即可求解；（3）在AB上截取BF＝BN，连接NF，由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△ADE，可得∠BAF ＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，可得FC＝BF，即可求解．【解答】证明：（1）连接GC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，∴∠BAG+∠BFG＝180°，∴∠BCG+∠BFG＝180°，∵∠BFG+∠GFC＝180°，∴∠BCG＝∠GFC，∴GC＝GF，∴AG＝FG；（2）如图2，过点G作GH⊥BC于H，∵AB＝10，BF＝4，∴AF2＝AB2+BF2＝AG2+GF2，∴GF2＝58，∵∠DBC＝45°，GH⊥BC，∴BH＝GH，BG＝GH，∵GF2＝GH2+FH2，∴58＝GH2+（GH﹣4）2，∴GH＝7，（负值舍去），∴BG＝7；（3）如图，在AB上截取BF＝BN，连接NF，∵AG＝GF，AG⊥GF，∴∠EAF＝45°，∵AE＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，∴CF＝CE，∵BF＝BN，∠ABC＝90°，∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°，∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，∴AN＝NF＝BF，∵AB＝BC，∴BN+AN＝BF+FC，∴FC＝BF，∴BC＝（+1）BF，∴正方形ABCD与△CEF的面积之比＝BC2：FC2＝3+2：1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．4．如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．（1）求证：AE＝BF．（2）若AF＝10，求AE的长．【分析】（1）由正方形的性质可得∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，由余角的性质可得∠BAE＝∠CBF，可证△ABE≌△BCF，可得AE＝BF；（2）由勾股定理可求DF＝6，可得FC＝2，由勾股定理可求AE＝BF＝2．【解答】证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，∴∠ABF+∠CBF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）∵AF＝10，AD＝8，∴DF＝＝＝6，∴CF＝8﹣6＝2，∴BF＝＝＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△ABE ≌△BCF是本题的关键．【课堂练习】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，S△ABC＝8，点M，P，N分别是边AB，BC，AC上任意一点，则（1）AB的长为4．（2）PM+PN的最小值为2．【分析】（1）过点A作AG⊥BC，垂足为G，依据等腰三角形的性质可得到∠BAC＝30°，设AB＝x，则AG＝，BC＝x，然后依据三角形的面积公式列方程求解即可；（2）作点A关于BC的对称点A′，取CN＝CN′，则PN＝PN′，过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，当N′、P、M在一条直线上且MN′⊥AB时，PN+PM有最小值，其最小值＝MN′＝DA′．【解答】解：（1）如图所示：过点A作AG⊥BC，垂足为G．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°．设AB＝x，则AG＝，BG＝x，则BC＝x．∴BC•AG＝•x•x＝8，解得：x＝4．∴AB的长为4．故答案为：4．（2）如图所示：作点A关于BC的对称点A′，取CN＝CN′，则PN＝PN′，过点A′作A′D⊥AB，垂足为D．当N′、P、M在一条直线上且MN′⊥AB时，PN+PM有最小值．最小值＝MN′＝DA′＝AB＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、轴对称﹣最短路径、垂线段的性质，将PM+PN 的长度转化为A′D的长度是解题的关键．2．如图在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝6，M为AC边上一动点（不与A，C重合），以MA、MB为一组邻边作平行四边形MADB，则平行四边形MADB的对角线MD的最小值是3．【分析】如图，作BH⊥AC于H．因为四边形ADBM是平行四边形，所以BD∥AC，所以当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝BH．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝6，∠BHA＝90°，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝3，∵四边形ADBM是平行四边形，∴BD∥AC，∴当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝BH＝3，故答案为3．【点评】本题考查直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC 于点F，且AE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，则AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形．（2）由矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA，求出∠BAE＝36°，则∠OBA＝∠OAB＝54°，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AEO＝∠DFO＝90°，在△AEO和△DFO中，，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠BAE：∠EAD＝2：3，∴∠BAE＝36°，∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．4．如图，正方形ABCD的边长为2，Q为CD边上（异于C，D）的一个动点，AQ交BD 于点M．过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下面结论：①AM ＝MN；②MP＝；③△CNQ的周长为3；④BD+2BP＝2BM，其中一定成立的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①④【分析】①正确．只要证明△AME≌△NMF即可；②正确．只要证明△AOM≌△MPN即可；③错误．只要证明∠ADQ≌△ABH，由此推出△ANQ≌△ANH即可；④正确．只要证明△AME≌△NMF，四边形EMFB是正方形即可解决问题；【解答】解：连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH＝DQ．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝AD＝2，OA＝OC＝，∠DBA＝∠DBC＝45°，∴ME＝MF，∵∠MEB＝∠MFB＝∠EBF＝90°，∴四边形EMFB是矩形，∵ME＝MF，∴四边形EMFB是正方形，∴∠EMF＝∠AMN＝90°，∴∠AME＝∠NMF，∵∠AEM＝∠MFN＝90°，∴△AME≌△NMF（ASA），∴AM＝MN，故①正确，∵∠OAM+∠AMO＝90°，∠AMO+∠NMP＝90°，∴∠AMO＝∠MNP，∵∠AOM＝∠NPM＝90°，∴△AOM≌△MPN（AAS），∴PM＝OA＝，故②正确，∵DQ＝BH，AD＝AB，∠ADQ＝∠ABH＝90°，∴∠ADQ≌△ABH（SAS），∴AQ＝AH，∠QAD＝∠BAH，∴∠BAH+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝90°，∵AM＝MN，∠AMN＝90°，∴∠MAN＝45°，∴∠NAQ＝∠NAH＝45°，∴△ANQ≌△ANH（SAS），∴NQ＝NH＝BN+BH＝BN+DQ，∴△CNQ的周长＝CN+CQ+BN+DQ＝4，故③错误，∵BD+2BP＝2BO+2BP＝2AO+2BP＝2PM+2BP，∴BD+2BP＝2BM，故④正确．故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF，使点E 点F分别在边AD，BC上（不与四边形ABCD顶点重合），连接EB，EC．设ED＝kAE，下列结论：①若k＝1，则BE＝CE；②若k＝2，则△EFC与△OBE面积相等；③若△ABE≌△FEC，则EF⊥BD．其中正确的是（）A．①B．②C．③D．②③【分析】①若k＝1，则AE＝DE，进而证明△ODE≌△OBF，得F为BC的中点，再根据EF不一定垂直BC，便可判断正误；②若k＝2，则S△BEF＝2S△EFC，因为OE＝OF，△EFC与△OBE面积相等即可得证；③若△ABE≌△FEC，可证EC是∠BED的角平分线，若EF⊥BD，则EF是∠BED的角平分线，便可判断正误．【解答】解：①若k＝1，则AE＝DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OED＝∠OFB，∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF（AAS），∴DE＝BF，∵DE＝AE＝∴BF＝，∵EF不一定垂直BC，∴BE不一定等于CE，故①错误；②∵△ODE≌△OBF，∴DE＝BF，OE＝OF，∵AD＝BC，∴AE＝CF，∵k＝2，ED＝kAE，∴BF＝2CF，∴△BEF的面积＝2×△EFC的面积，∵OE＝OF，∴△BEF的面积＝2×△OBE的面积，∴△EFC与△OBE面积相等，故②正确；③∵△ABE≌△FEC，∴BE＝EC，∵BE不一定等于ED，∴EF不一定垂直BD，故③错误；综上所述，正确的是②，故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．下列4个结论中说法正确的有（）①ED⊥CA；②EF＝EG；③FH＝FD；④S△EFD＝S△CED．A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝CD，即可得EF＝EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得FH＝FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF ＝S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S▱ABCD+S▱ABCD＝S▱ABCD，证出得S△EFD＝S△CEG．得出S△EFD＝S△CED，即可得出结论．【解答】解：连接FG，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝2AD，∴OD＝AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，∴EF∥AB，EF＝AB，∵∠CED＝90°，CG＝DG＝CD，∴EG＝CD，∴EF＝EG，故②正确；∵EF∥CD，EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴FH＝DH，即FH＝FD，故③正确；∵△OEF∽△OAB，∴S△OEF＝S△AOB，∵S△AOB＝S△AOD＝S▱ABCD，S△ACD＝S▱ABCD，∴S△OEF＝S▱ABCD，∵AE＝OE，∴S△ODE＝S△AOD＝S▱ABCD，∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S▱ABCD+S▱ABCD＝S▱ABCD，∵＝，∴CE＝AC，∴S△CDE＝S△ACD＝S▱ABCD，∵CG＝DG，∴S△CEG＝S△CDE＝S▱ABCD，∴S△EFD＝S△CEG，∴S△EFD＝S△CED，故④正确；故选：D．7．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH．（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠F AB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠F AB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，又∵CH⊥BE，∴AF∥CH；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QP A，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴＝4．8．正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．（1）已知点F在线段BC上①若AB＝BE，求∠DAE度数；②求证：CE＝EF（2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长．【分析】（1）①先求得∠ABE的度数，然后依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BAE的度数，然后可求得∠DAE度数；②先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；（2）当点F在BC上时，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；当点F在CB的延长线上时，先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照上述思路进行解答即可．【解答】解：（1）①∵ABCD为正方形，∴∠ABE＝45°．又∵AB＝BE，∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°．∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．（2）如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．∵CE＝EF，∴N是CF的中点．∵BC＝2BF，∴＝．又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，∴CN＝DM＝ME，∴ED＝DM＝CN＝．如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．∴FN＝CN．又∵BC＝2BF，∴FC＝3，∴CN＝，∴EN＝BN＝，∴DE＝．综上所述，ED的长为或【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键．9．如图，在线段AB的同侧作射线AC和BD，当AC∥BD时，若∠CAB与∠DBA的角平分线分别交射线BD，AC于点E，F，两条角平分线相交于点P，连接EF．（1）试判断四边形ABEF的形状并给予证明；（2）若AB＝BF＝2，在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，问线段AG的长为多少时？以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证明AE⊥BF，AB＝BE，由AC∥BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得结论；（2）由菱形的性质得到AF＝AB，推出△ABF是等边三角形，得到∠BAF＝60°，求得AP＝，根据正方形的性质得到PG＝PH＝1，于是得到结论．【解答】解：（1）四边形ABEF是菱形，理由是：∵AE平分∠F AB，BF平分∠ABE，∴∠F AP＝∠P AB＝∠F AB，∠PBA＝∠ABE，∵AC∥BD，∴∠F AB+∠ABE＝180°，∠F AP＝∠BEP，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∠BAP＝∠PEB，∴∠APB＝90°，AB＝BE，∴AE⊥BF，∵∠F AP＝∠BAP，∠APF＝∠APB＝90°，∴∠AFP＝∠ABP，∴AF＝AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB，∵AB＝BF＝2，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，∴∠F AP＝30°，∴AP＝，∵以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形，∴HG＝BF＝2，∴PG＝PH＝1，∵在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，∴点G在线段AP上或线段PE上，∴AG＝﹣1或+1．∴线段AG的长为﹣1或+1，以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，角平分线的定义，对称的性质，正确的理解题意是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG．（1）求证：△BEC≌△DGC；（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．【分析】（1）由正方形的性质得出BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，由轴对称的性质得出EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，得出∠BCE＝∠DCG，即可得出△BEC≌△DGC；（2）证出EG∥DF∥BC，由平行线的性质得出∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，得出∠DGE＝∠DGC﹣45°，由全等三角形的性质得出∠DGC＝∠BEC，得出∠DGE+∠FEG ＝∠DGC﹣45°＝180°，证出EF∥DG，即可得出结论；（3）过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，证明△BME≌△ENF得出BE＝EF，由正方形的性质得出BE＝DE，得出DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，证出△DEF 是等边三角形，得出∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，由直角三角形的性质得出BM＝x，得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，∵点E与点G关于直线CD对称，∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，∴∠BCE＝∠DCG，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS）；（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，∴EG∥DF∥BC，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，∵BE⊥EF，∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°＝180°，∴EF∥DG，∴四边形FEGD为平行四边形；（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示：则∠EBM+∠BEM＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∴∠EBM＝∠FEN，∵BM＝AN，AN＝EN，∴BM＝EN，在△BME和△ENF中，，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴BE＝DE，∴DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，∵∠EBM＝30°，∴BM＝x，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，解得：x＝2（﹣1），∴CE＝x＝2﹣2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．。

人教版八年级数学下《菱形》拔高练习

《菱形》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有个（）A．0B．1C．2D．32．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（4，5）B．（5，4）C．（4，4）D．（5，3）3．（5分）如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE ∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（）A．CP平分∠ACB B．CP⊥ABC．CP是AB边上的中线D．CP＝AP4．（5分）若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是5cm、12cm，则菱形ABCD 的面积是（）A．30 cm2B．36 cm2C．48 cm2D．60cm25．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为（）A．2B．4C．2D．2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）菱形的两邻角之比为1：2，一条较短的对角线长为6cm，则另一条对角线长为，这个菱形的面积为．7．（5分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是．8．（5分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件时（填一个条件），能够判定四边形ACED为菱形．9．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足时，四边形EHFG是菱形．10．（5分）如图所示，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC 上任一点（点P不与点A．C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD 于F，则阴影部分的面积是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE ∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．12．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．13．（10分）如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；②当t为s时，四边形ACFE是菱形．14．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接BE，有BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若△ABC中BC＝5，AC＝12，求菱形BCFE的面积．15．（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．《菱形》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有个（）A．0B．1C．2D．3【分析】由在▱ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵O为AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；①∵OE＝OA，∴AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形；故错误；②∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；故正确；③∵AC⊥AB，AB∥CD，∴AC⊥CD，∵E为AD中点，∴AE＝CE＝AD，∴四边形AFCE是菱形；故正确．故选：C．【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．首先证得四边形AFCE是平行四边形是解决问题的关键．2．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（4，5）B．（5，4）C．（4，4）D．（5，3）【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴点C的坐标是：（5，4）．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．3．（5分）如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE ∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（）A．CP平分∠ACB B．CP⊥ABC．CP是AB边上的中线D．CP＝AP【分析】根据菱形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形CDPE是菱形，∴∠DCP＝∠ECP，∴CP平分∠ACB，故选：A．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质解答．4．（5分）若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是5cm、12cm，则菱形ABCD 的面积是（）A．30 cm2B．36 cm2C．48 cm2D．60cm2【分析】根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形的对角线长AC、BD的长度分别为5cm、12cm．∴菱形ABCD的面积S＝BD×AC＝×5×12＝30cm2．故选：A．【点评】本题考查了菱形对角线互相平分的性质，本题中菱形ABCD的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．5．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为（）A．2B．4C．2D．2【分析】如图连接BD．首先证明△ADB是等边三角形，可得BD＝4，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】解：如图连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝4，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BA＝AD＝4，∵PE＝ED，PF＝FB，∴EF＝BD＝2．故选：A．【点评】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明△ADB是等边三角形．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）菱形的两邻角之比为1：2，一条较短的对角线长为6cm，则另一条对角线长为6cm，这个菱形的面积为18cm2．【分析】作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°，从而判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OB，然后根据菱形对角线互相平分可得BD＝2OB，菱形的面积＝×两对角线的乘积．【解答】解：如图，∵菱形的两邻角之比为1：2，∴较小的内角∠ABC＝180°×＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴OB＝×6＝3cm，∴较长的对角线BD＝2OB＝2×3＝6cm．∴菱形的面积＝AC•BD＝×6×6＝18（cm2）．故答案是：6cm；18cm2．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．7．（5分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是130°．【分析】首先求出∠CFB＝130°，再根据对称性可知∠CFD＝∠CFB即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝25°，∵EF垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝25°，∴∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根据对称性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故答案为：130°．【点评】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（5分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件AC＝BC时（填一个条件），能够判定四边形ACED为菱形．【分析】由题意可证四边形ACED是平行四边形，根据菱形的判定，可得满足条件．【解答】解：△ABC满足条件为AC＝BC∵将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE∴AD＝CE，AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形∵AC＝BC∴平行四边形ACED是菱形．故答案为AC＝BC【点评】本题考查了菱形的判定，平移的性质，熟练运用平移的性质是本题的关键．9．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足AB ⊥BC时，四边形EHFG是菱形．【分析】由题意可证四边形EHFG是平行四边形，△EBC≌△FCB，可得EC＝BF，BH＝CH，即可得EH＝FH，则可证四边形EHFG是菱形．【解答】解：当▱ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，AB∥CD∵E是AB中点，F是CD中点，∴BE＝CF＝AE＝DF∵BE＝DF，AB∥CD∴ED∥BF同理可得：EC∥AF∴四边形EHFG是平行四边形．在△EBC与△FCB中，∵，∴△EBC≌△FCB（SAS）∴CE＝BF，∴∠ECB＝∠FBC，∴BH＝CH，∴EH＝FH，∴平行四边形EHFG是菱形，故答案为：AB⊥BC．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，利用这些性质和判定进行正确推理是本题的关键．10．（5分）如图所示，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC 上任一点（点P不与点A．C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD 于F，则阴影部分的面积是．【分析】由题意可得：S△ABC ＝，四边形AEPF是平行四边形，可得S△AEP＝S▱ABCD＝S△EFP ，即可得S阴影＝S△ABC．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，∴S菱形ABCD＝×3×6＝9∴S△ABC＝∵PE∥BC∥AD，PF∥CD∥AB∴S△AEP ＝S▱ABCD，S△EFP＝S▱ABCD∴S△EFP ＝S△AEP∵S阴影＝S四边形BCPE+S△EFP＝S四边形BCPE+S△AEP＝S△ABC∴S阴影＝故答案为：【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE ∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCF，∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA，∴∠FCB＝∠EDA，在△ADE与△BCF中，∴△ADE≌△BCF（SAS）；（2）∵DE∥AC，且DE＝AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DC＝EF，且DC∥EF，又∵AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC，∵∠BAF+∠AED＝180°，∴∠BAF+∠BFC＝180°，又∠BF A+∠BFC＝180°，∴∠BAF＝∠BF A，∴BA＝BF，∴四边形ABFE为菱形．【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定和全等三角形的判定解答．12．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE＝＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．13．（10分）如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为或8s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；②当t为8s时，四边形ACFE是菱形．【分析】（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）①分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝6，由E的速度求出E运动的时间即可．【解答】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∵在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣2t，解得：t＝；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t＝或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8，则此时的时间t＝8÷1＝8（s）；故答案是：或8；8．【点评】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．14．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接BE，有BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若△ABC中BC＝5，AC＝12，求菱形BCFE的面积．【分析】（1）由题意可得：DE∥CB，BC＝2DE＝BE＝EF，即可证四边形BCFE 是菱形；（2）连接BF交AC于点G，由题意可得EG＝CG＝3，根据勾股定理可求BG ＝4，即BF＝8，根据菱形面积＝×EC×BF，可求菱形BCFE的面积．【解答】证明：（1）点D、E分别是AB、AC的中点，∴BC∥DE，BC＝2DE，∵BE＝2DE，BE＝EF∴EF＝2DE∴BC＝EF，且DE∥BC∴四边形BEFC是平行四边形又∵BE＝EF∴四边形BCFE是菱形；（2）如图：连接BF交AC于点G∵点E是AC中点，AC＝12，∴EC＝6∵四边形BCFE是菱形∴EG＝GC＝3，BG＝GF，EC⊥BF在Rt△BGC中，BG＝＝＝4∴BF＝8∴S菱形BCFE＝×EC×BF＝×8×6＝24【点评】本题考查了菱形的性质和判定，三角形中位线定理，熟练运用菱形的判定是本题的关键．15．（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得BD＝CD＝6，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，可求DH＝3，即可求DF＝BF的长，即可得菱形BEDF 的面积．【解答】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）如图：过点D作DH⊥BC于点H∵∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°∴∠DBC＝30°＝∠C∴DB＝DC＝6∵DH⊥BC，∠C＝30°∴DC＝2DH＝6∴DH＝3∵DF∥AB，∴∠A＝∠FDC＝90°，且∠C＝30°，DC＝6∴DC＝DF∴DF＝2∵四边形BEDF为菱形∴BF＝DF＝2＝BF×DH＝2×3＝6∴S四边形BEDF【点评】本题考查了菱形的性质与判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用菱形的性质与判定是本题的关键．。

八年级数学上册 3.5矩形、菱形、正方形课时训练试题

八年级数学上册 3.5矩形、菱形、正方形课时训练苏科版[双基锤炼] 一、选择题1、以下表达错误的选项是〔〕A 、平行四边形的对角线互相平分B 、矩形的对角线相等C 、对角线互相平分的四边形是平行四边形D 、对角线相等的四边形是矩形 2、矩形ABCD 的长为5，宽为3，点E 、F 将AC 三等分，那么⊿BEF 的面积为〔〕A 、23 B 、35 C 、25D 、5 3、如图3.5-1，矩形ABCD 中，E 是BC 的中点， ∠BAE=30°，AE=2，AC 等于〔〕A. 3B.4、菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是〔〕5、菱形的周长为32cm ，一个角的度数是60°，那么两条对角线的长分别是〔〕 A ．cm cm 348和 B ．cm cm 384和 C ．cm cm 388和D ．cm cm 344和6、如图3.5-2，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，∠ABC ≠90°，那么图中的全等三角形一共有〔〕A.42对B.6对C.8对D.12对7、四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判别此四边形是正方形的是〔〕E图ABCDO 图〔1〕AC=BD ，AB ∥CD ，AB=CD 〔2〕AD ∥BC ，∠A=∠C 〔3〕AO=CO ，BO=DO ，AB=BC 〔4〕AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个8、正方形ABCD 的边长为1，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 和CM 相交于点O ，那么四边形AOCD 的面积是〔〕A.16B.34C.23D. 3 4 二、填空题9、如图 3.5-3，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，对角线AC 、BD 相交于点O ，那么AC=______,OD=________.10、如图3.5-4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，E 为垂足，∠DCE ：∠ECB=3：1，那么∠ACE=__度.11、矩形的周长为8cm ，对角线长为10cm ，那么这个矩形的面积是_______. 12、菱形中较大角是较小角的3倍，高为5cm ，那么这个菱形的边长是。

八年级数学提高练习矩形菱形

CB A DOHEFDCA BDA BC m lα65°八年级数学周末提高练习（矩形、菱形）1．下列命题中正确的是（） A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．内角都相等的四边形是矩形2．四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是（） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90° B.∠BAD=∠ABC =90°∠BAD+∠ADC=180° C ∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD3．10．若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（） A ．一般平行四边形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．矩形4．平行四边形的四个内角角平分线相交所构成的四边形一定是（）A ．一般平行四边形B ．一般四边形C ．对角线垂直的四边形D ．矩形5．矩形的三个顶点坐标分别是（-2，-3），（1，3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是（）A ．（1，-4）B ．（-8，-4）C ．（1，-3）D ．（3，-4） 6．在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③ CH CA =；④ED BE 3=，正确的（） A ．②③B ．③④C ．①②④D ．②③④7．如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度． 8. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它成为矩形的条件可以是 9. 若矩形短边长4cm ，两对角线的夹角为60度，则对角线长是 cm ．10.如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上一点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂足分别为点D 、E ，则DE = ． 11.如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知 ∠BAD=30°则重叠部分的面积是 cm 2．12．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB=4cm.(1)平行四边形ABCD 是矩形吗？说明理由。

八年级数学矩形与菱形性质及判定、练习题

∵ABCD相交于O点，∴AO=CO=BO=DO
∵AE平分∠BAD交BC于E点∴∠BAE=∠EAD=45°
∵∠EAC=15°∴∠BA0=60°
∵AO=BO
∴∠ABO=60°
∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°∴∠AOB=60°
∴△AOB为等边三角形
即AB=OA=BO
又∵∠ABC=90°∠EAB=45°
（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想．
（2）求折痕EF的长．
26、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？
27、（2010肇庆）如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．
16．如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=1.5，则斜坡的坡长．
17．如图，在扇形中，∠AOB=90度，OA=5，C是弧AB上一点，且CD⊥OB，CE⊥OA，垂
足分别为点D、E，则DE=．
18．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点B的坐
标为．
19．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离
1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是…………（）
A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm2
2．矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是…………………………………（）
A．对角线相等B．对边相等C．对角相等D．对角线互相平分
3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是……………………………………（）
则度．
（第18题图）（第19题图）（第20题图）

人教版八年级数学下《矩形》拔高练习

《矩形》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一个矩形的长是宽的2倍，对角线的长是，那么这个矩形的长等于（）A．2B．C．1D．22．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G．当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（）A．B．C．D．4．（5分）如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＝b＝c D．a＞c＞b 5．（5分）下列说法正确的有（）个①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；④两条对角线相等的四边形是矩形．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）直角三角形斜边上的高与中线分别为8cm和10cm，则它的面积是cm2．7．（5分）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABC的周长为．8．（5分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径作圆，交AB于点E，F为BC的中点，过点F作AB的平行线，交于点G，则∠AGF的度数为．10．（5分）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON 上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝4，BC＝2，运动过程中点D到点O的最大距离是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图是某居民小区的一块长为2a米，宽为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？12．（10分）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝3，∠DCF＝30°，求EF的长．13．（10分）把一张形状是矩形的纸片剪去其中某个角，剩下的部分是一个多边形，则这个多边形的内角和是多少？14．（10分）如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x 轴上，已知点C的坐标是（8，4）．（1）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；（2）在x轴上是否存在一个点P，使△P AM为等腰三角形？如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标．15．（10分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F．若AD＝10，求OF的长．《矩形》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一个矩形的长是宽的2倍，对角线的长是，那么这个矩形的长等于（）A．2B．C．1D．2【分析】设矩形的宽是a，则长是2a，再根据勾股定理求出a的值即可．【解答】解：设矩形的宽是a，则长是2a，∵对角线的长是5cm，∴a2+（2a）2＝（）2，解得a＝1，∴这个矩形的长＝2a＝2．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】取BC的中点E，连接AE，根据直角三角形的性质得到AE＝BC＝BE，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质计算．【解答】解：取BC的中点E，连接AE，∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝BC＝BE，∴∠B＝∠EAB，∵AD＝BC，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠D＝40°，∴∠B＝20°，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G．当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的性质得到BF＝DF，根据矩形的性质得到∠A＝90°，根据勾股定理得到AF＝4，连接OE，OD，则OE＝OD，过O作OH⊥AD于H，则HE＝HD＝4，根据相似三角形的性质得到OH＝，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵△ABF与△DFG全等，∴BF＝DF，∵AD＝9，∴BF＝9﹣AF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴AB2+AF2＝BF2，即32+AF2＝（9﹣AF）2，解得：AF＝4，∵AE＝1，∴EF＝3，DE＝8，连接OE，OD，则OE＝OD，过O作OH⊥AD于H，则HE＝HD＝4，∴FH＝1，∵∠A＝∠OHF＝90°，∠AFB＝∠OFH，∴△ABF∽△HOF，∴，即，∴OH＝，在Rt△ODH中，OD＝＝，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．4．（5分）如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＝b＝c D．a＞c＞b【分析】由题意可得MO＝NH，DO＝EF，AO＝BC，且MO＝DO＝AO，即可求a＝b＝c．【解答】解：如图：连接OM，OD，OA∵四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形∴MO＝NH，DO＝EF，AO＝BC∵MO＝DO＝AO∴a＝b＝c故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，熟练运用矩形的性质解决问题是本题的关键．5．（5分）下列说法正确的有（）个①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；④两条对角线相等的四边形是矩形．A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理即可一一判断；【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；正确，可以证明两组对角分别相等．②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；错误；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；正确；④两条对角线相等的四边形是矩形．错误，应该是两条对角线相等的平行四边形是矩形；故选：B．【点评】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）直角三角形斜边上的高与中线分别为8cm和10cm，则它的面积是80 cm2．【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．【解答】解：∵直角三角形的斜边上的中线为10，∴斜边为2×10＝20，∵直角三角形斜边上的高为8，∴此直角三角形的面积为＝80cm2，故答案为：80．【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．7．（5分）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABC的周长为12+4．【分析】根据矩形性质求出AO＝BO＝4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝8，∴AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∠ABC＝90°，∴AO＝BO＝OC＝4，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝4，∴BC＝＝4，∴△ABC的周长是4+4+4+4＝12+4，故答案为：12+4．【点评】本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．8．（5分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D（5，0），∴OD＝5，∵点P是边AB或边BC上的一点，∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴P A＝＝4，∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径作圆，交AB于点E，F为BC的中点，过点F作AB的平行线，交于点G，则∠AGF的度数为150°．【分析】由题意可证四边形GHBF是矩形，即可得GM＝BC＝AD＝AG，利用三角函数求出∠GAB的值，继而求出∠AGF的值．【解答】解：连接AG，作GM⊥AB于点M．∴GM∥BF，GM⊥GF．由题意知GF∥AB，AB⊥BC，∴四边形GHBF是矩形．∴∠FGH＝90°，GH＝BC．∵AG＝AD，AD＝BC，∴GM＝AG∵sin∠GAB＝＝∴∠GAB＝30°．∵GF∥AB，∴∠AGF＝150°．故答案为150°【点评】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．10．（5分）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝4，BC＝2，运动过程中点D到点O的最大距离是2+2．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD∵AB＝4，点E是AB的中点，∠AOB＝90°∴AE＝BE＝2＝OE∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°∴DE＝＝2∵OD≤OE+DE∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝2+2故答案为：2+2【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图是某居民小区的一块长为2a米，宽为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？【分析】根据所需资金＝花台需要的资金+草地需要的资金，可求解．【解答】解：由题意可得：花台的面积为πa2平方米，草地的面积为（2ab﹣πa2）平方米∴美化这块空地共需资金＝100×πa2+50×（2ab﹣πa2）＝（50πa2+100ab）元【点评】本题考查了矩形的性质，用正确的代数式表达草地面积是本题的关键．12．（10分）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝3，∠DCF＝30°，求EF的长．【分析】（1）根据菱形的判定与性质即可求出答案．（2）根据含30度的直角三角形的性质以及等边三角形的性质与判定即可求出答案．【解答】解：（1）由矩形ABCD可知：∠F AO＝∠ECO，AO＝CO，在△AOF与△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）∵∠DCF＝30°，AB＝CD＝3，∴∠FCE＝60°，CE＝2∵CF＝CE，∴△EFC是等边三角形，∴EF＝2；【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及含30度的直角三角形的性质，本题属于基础题型．13．（10分）把一张形状是矩形的纸片剪去其中某个角，剩下的部分是一个多边形，则这个多边形的内角和是多少？【分析】把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理判断即可．【解答】解：把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，故这个多边形的内角和可能是180°或360°或540°．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，判断剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形是解题的关键．14．（10分）如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x 轴上，已知点C的坐标是（8，4）．（1）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；（2）在x轴上是否存在一个点P，使△P AM为等腰三角形？如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标．【分析】（1）设AM＝x，则BM＝x，OM＝8﹣x，根据勾股定理列方程得：AO2+OM2＝AM2，则42+（8﹣x）2＝x2，解出即可；（2）△P AM为等腰三角形时，分情况进行讨论：①以A为圆心，以AM为半径画圆；②以M为圆心，以MA为半径，画圆；③作AM的垂直平分线；确定点P的位置，分别计算可得结论．【解答】解：（1）由题意得：OA＝4，OB＝8，∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，设AM＝x，则BM＝x，OM＝8﹣x，Rt△AOM中，由勾股定理得：AO2+OM2＝AM2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴AM＝5；（2）如图，①当AP1＝AM＝5时，OM＝OP1＝3，此时P1（﹣3，0）；②当AM＝P2M＝P3M＝5时，此时P2（﹣2，0），P3（8，0）；③如图，作AM的垂直平分线，交AM于E，交x轴于P4，∴EM＝，sin∠EP4M＝＝sin∠OAM＝，∴P4M＝，∴OP4＝﹣3＝，此时P4（﹣，0），综上，△P AM为等腰三角形，点P的坐标是（﹣3，0）或（﹣2，0）或（8，0或（﹣，0）．【点评】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，同时与方程相结合解决问题，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15．（10分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F．若AD＝10，求OF的长．【分析】首先根据矩形的性质证得△ADF≌△ECF，然后判定OF为△ACE的中位线，从而求得OF的值．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，∠ADF＝∠BCF＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ECF＝90°，∵CE＝BC，AD＝10，∴EC＝BC＝AD＝10，在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF＝EF，即F为AE的中点，、∴OF为△ACE的中位线，∴OF＝CE＝5．【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是根据矩形的性质判定三角形全等并证得OF为△ACE的中位线，难度不大．。

2024学年八年级数学经典好题专项(矩形、菱形、正方形)练习(附答案)

2024学年八年级数学经典好题专项（矩形、菱形、正方形）练习一、选择题1、菱形不具备的性质是( )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2、如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝( )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°（2题）（3题）（4题）3、如图，在▱ABCD 中，AB ＝BC ，下列结论错误的是( )A ．四边形ABCD 是菱形B ．AB ＝ADC ．AO ＝OC ，BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠ABC4、如图所示，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．35、如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D 两点之间的距离为（）A．15 B．3215 C．7.5 D．315（5题）（7题）（8题）（9题）6、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm 和cm B．4cm 和cm C．8cm 和cm D．4cm 和cm7、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm8、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，连接DF ，则∠CDF 等于( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD ,AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180º10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为( )A ．(2， 3 )B ．( 3 ，2)C ．( 3 ，3)D ．(3， 3 )（10题）（11题）（12题）（13题）二、填空题11、如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形，小聪的说法．(填“正确”或“不正确”)12、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ABC ＝140°，则∠BAD ＝________°，∠ABD ＝________°，∠BCA ＝________°；13、如图，菱形ABCD 的边长为2 cm ，E 是BC 的中点，且AE ⊥BC ，则菱形ABCD 的面积为_____.14、如图，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一点，PE ⊥AD 于点E ，且PE ＝3 cm ，则点P 到AB 的距离为__ __ cm.（14题）（15题）（17题）（20题）15、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AO ＝3，点E 在BC 的延长线上，∠E ＝12∠ABC ，DE ＝16、菱形ABCD 的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．17、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，则该菱形的面积为________cm 2，周长为________cm.18、已知菱形ABCD 的面积为24 cm 2，若对角线AC ＝6 cm ，则这个菱形的边长为____ cm.19、四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE ＝3，则CE 的长为_________20、如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边的中点，则MP ＋PN 的最小值是______.三、解答题21、已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．23、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．24、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.25、如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.26、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.参考答案一、选择题1、菱形不具备的性质是( B )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2、如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝( D )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°3、如图，在▱ABCD 中，AB ＝BC ，下列结论错误的是( D )A ．四边形ABCD 是菱形B ．AB ＝ADC ．AO ＝OC ，BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠ABC4、如图所示，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( B )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．35、如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D 两点之间的距离为（ A ）A．15 B．3215 C．7.5 D．3156、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（C ）A．8cm 和cm B．4cm 和cm C．8cm 和cm D．4cm 和cm7、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为(D )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm8、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( B )A．50° B．60° C．70° D．80°9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD ,AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180º解析：∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）．过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF，连接AC，则AE=AF(两纸条相同，纸条宽度相同)，∴在平行四边形ABCD中．S△ABC=S△ACD，即BC•AE=CD•AF，∴BC=CD，AB=BC．故B中结论成立；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A中结论成立；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C中结论成立：当四边形ABCD是矩形时，有∠DAB+∠BCD=180º．故D中结论不一定成立，故选D．10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( D )A．(2， 3 ) B．( 3 ，2) C．( 3 ，3) D．(3， 3 )二、填空题11、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法正确．(填“正确”或“不正确”)12、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝140°，则∠BAD＝________°，∠ABD＝________°，∠BCA＝________°；答案：40，70，2013、如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为__2 3 cm2 ____.14、如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，且PE＝3 cm，则点P到AB的距离为__3 __ cm.15、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝3，点E在BC的延长线上，∠E＝12∠ABC，DE＝816、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．217、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝8 cm，BD＝6 cm，则该菱形的面积为________cm2，周长为________cm.答案：24，2018、已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为__5 __ cm.19、四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝3，则CE的长为___43或23______20、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是__1 ____.三、解答题21、已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？解：四边形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形．22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12ACꞏBD ＝12×6×8＝24(cm 2)．(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12＝4 cm ，OB ＝OD ＝3 cm ，∴在直角三角形AOB 中，AB ＝OB 2＋OA 2＝32＋42＝5 cm ，∴DH ＝S 菱形ABCD AB ＝4.8 cm.23、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD ＝12 cm ，AC ＝6 cm.求菱形的周长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12 BD.∵AC ＝6 cm ，BD ＝12 cm ， ∴AO ＝3 cm ，BO ＝6 cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝AO 2＋BO 2＝32＋62＝3 5 cm ，∴菱形的周长＝4AB=4×3 5 =12 5 cm.24、已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE ∥AC ，AE ∥BD.（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE 的面积.解答：（1）证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，∵在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴ AOD=90 , ∴平行四边形AODE 是是矩形；（2）∵∠BCD=120°，AB ∥CD ，∴∠ABC=180°‐120°=60°，∵AB=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴OA=21×6=3, OD=OB=6×23=33,∴四边形AODE 的面积=OA ∙OD=9325、如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得∠AED ＝∠ABC ，∠ABF ＝∠BPF .求证：(1)△ABF ≌△DAE ；(2)DE ＝BF ＋EF .证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC . ∴∠BP A ＝∠DAE .∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE .∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BP A ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE .∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2)∵△ABF ≌△DAE ， ∴BF ＝AE ，AF ＝DE .∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF .26、已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1＝∠2.(1)若CE ＝1，求BC 的长；(2)求证：AM ＝DF ＋ME.(1)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ，∵∠1＝∠2，∴∠ACD ＝∠2，∴MC ＝MD ，∵ME ⊥CD ，∴CD ＝2CE ， ∵CE ＝1，∴CD ＝2，∴BC ＝CD ＝2(2)证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF ＝CF ＝12BC ，∴CF ＝CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝∠ACD ，在△CEM 和△CFM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠ACB ＝∠ACD ，CM ＝CM ，∴△CEM ≌△CFM(SAS)，∴ME ＝MF ，延长AB 交DF 的延长线于点G ， ∵AB ∥CD ，∴∠G ＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G ，∴AM ＝MG ，在△CDF 和△BGF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FC FB DFC GFB G 2,∴△CDF ≌△BGF(AAS)，∴GF ＝DF ，由图形可知，GM ＝GF ＋MF ，∴AM ＝DF ＋ME。

2015八年级数学矩形和菱形练习题拔高

矩形和菱形专题拔高训练例1：如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF=EC，且EF⊥EC，DE=2cm，矩形ABCD周长为16cm，求AE及CF的长。

分析与解答：例2：矩形ABCD，E、F分别在BC、AD上，且EF垂直平分AC于O，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD=8，AB=6，求AE的长。

分析与解答：例3：如图：以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？（不要求证明）分析与解答：例4：如图，矩形ABCG 中，点D 是AG 的中点，点E 是AB 上一点，且BE=BC ，DE ⊥DC ，CE 交BD 于F ，（1）求证：BD 平分∠CDE ；（2）求EFEA 的值。

分析与解答：例5：如图；矩形ABCD 中，点H 在对角线BD 上，HC ⊥BD ，HC 的延长线交∠BAD 的平分线于点E ，说明CE 与BD 的数量关系。

分析与解答：例6：如图，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC 于点F 。

（1）点D 是△ABC 的________心；（2）求证：四边形DECF 是菱形。

分析与解答：1.填空题（1）如图，P是矩形ABCD内一点，PA=3，PD=4，PC=5，则PB=______.（2）若矩形的两邻边之比是3:4，周长为42cm，则它的边长分别是_______.（3）矩形的对角线相交成120角，其较短边长4cm，则对角线长______cm.（4）在矩形ABCD中，点E为AB边的中点，且DE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_______, AD=_______.（5）从矩形的一个顶点向对角线引垂线，此垂线分对角线所成的两部分比为1:3，已知两对角线交点到矩形较长边的距离为3.6cm，则矩形的对角线长为____. （6）已知，如图△ABC中，BC=15，E、F分BC为三等分点，AE=13，AF=12，G、H分别为AC、AB的中点，则四边形EFGH的周长为_____, 面积为______. （7）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是______.第6题第7题（8）如图，矩形ABCD面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1，的对角线交于O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，……依此类推，则平行四边形ABC n O n的面积为______.（9）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，则边AD的长为_______.第8题第9题（10）如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC.若将纸片AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长为_______.（11）如图，矩形ABCD，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线交AD，BC于E、F，连接CE，则CE长________.第10题第11题（12）已知菱形ABCD的面积是12cm²，对角线AC=4cm，则菱形的边长是_______cm.2.解答题：（1）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，且AE=AD,连接DE。

初二数学菱形、矩形复习题(含答案)(K12教育文档)

初二数学菱形、矩形复习题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初二数学菱形、矩形复习题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初二数学菱形、矩形复习题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义:有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定:1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为____________2．如图,在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E,PF⊥BD于F，则PE+PF等于________3．如图,在矩形ABCD中，DE⊥AC于E,∠EDC：∠EDA=1：3,且AC=8，则DE的长度是_______________4．如图,E,F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG,△DCH的面积分别为15和20,则图中阴影部分的面积为________________5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_________________7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点,E、F分别是OA、OC的中点．下列结论:①S△=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF ADE是轴对称图形．其中正确的结论有________________8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点,四边形EFGH为矩形,E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．11．如图，在矩形ABCD中,AD=5,AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点,若BE=1,AG=4，则AB的长为．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中，点P到原点的最大距离是;若将△ABP的PA边长改为,另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为．14．如图,在菱形ABCD中,AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点,P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．15．如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= ．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注:把你认为正确的命题序号都填上）17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF,过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足（关系)时,四边形EFGH为矩形．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°,BC=6,AF=BF，则四边形BCDE的面积是．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于．20．如图，矩形ABCD中,AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s)，当t= 时，四边形APQD 也为矩形．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°,AC与BC交于点O,E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．(把所有正确结论的序号都填在横线上)①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF; ④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F,连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1)求证：四边形ABCD为矩形;(2）点E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．24．已知：如图，在△ABC中,D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；(2）请问：AD与CF满足什么条件时,四边形AFDC是矩形，并说明理由．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD,点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形;（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．26．如图，四边形ABCD中,AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线,且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE,F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G,求证:FH+FG=AD．28．如图，在△ABC中,AC=9，AB=12,BC=15,P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2)在点P在运动过程中,GH是否存在最小值？若存在，请求出,若不存在,请说明理由．29．如图,等腰三角形ABC中,AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F,作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1)求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？30．在△ABC中,∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E,交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．（1)如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2)如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．31．阅读下面短文:如图①,△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题:(1)设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞"“="或“＜"）．(2）如图③,△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个,利用图③把它画出来．（3)如图④,△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图④把它画出来．（4)在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？32．如图1,菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证:CE=CF;(2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．33．如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB,E为AD上一点，EC 交AF于点G．（1）求证:四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．36．如图1，平行四边形ABCD,DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．(1)求证:四边形BEDF是矩形；（2)如图2，若M、N分别为AD、BC的中点,连接EM、EN、FM、FN,求证：四边形EMFN是平行四边形．37．如图1，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点，点E在边BC上,AE=BE,点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．(1）如图2,当点G和点M重合时，求证:四边形DMEN是菱形;（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质:判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于O点,过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为__________【解答】解:∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，BC=AD,OA=OC=OB=OD,AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO,．∵矩形ABCD的周长为20cm，∴BC+DC=10cm，∵EF⊥AC,∴CE=CF，在△ODE和△OBF中，,∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴DE=BF，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm．2．如图，在矩形ABCD中,AB=3，AD=4,点P在AB上,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于______【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故=①;同理可得△BFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．方法二：（面积法）如图,作BM⊥AC于M，则BM==，∵S△AOB=S△AOP+S△POB,∴•AO•BM=•AO•PE+•OB•PF，∵OA=OB,∴PE+PF=BM=．3．如图，在矩形ABCD中,DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1:3，且AC=8，则DE的长度是______________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=8,OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC:∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67。

2024年中考数学二轮复习模块专练—矩形和菱形(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—矩形和菱形（含答案）一、矩形1．矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等，矩形是轴对称图形；2．矩形的判定（1）直接判定：三个角是直角的四边形是矩形；（2）在平行四边形的基础上判定有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；二、菱形1．菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的特殊性质：四条边都相等，对角线垂直，每条对角线平分一组对角，菱形的面积等于对角线乘积的一半，菱形是轴对称图形；2．菱形的判定（1）直接判定：四条边相等的四边形是菱形；（2）在平行四边形的基础上判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：1．理解矩形和菱形的概念；试卷第2页，共12页2．探索并证明矩形和菱形的性质定理和判定定理；3．理解矩形和菱形之间的关系；【例1】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，60ABD ∠=︒，AE BD ⊥，垂足为点E ，F 是OC 的中点，连接EF，若EF =，则矩形ABCD 的周长是（）A．B．4+C．8D．8【变1】（2022·四川巴中·统考中考真题）2．如图，▱ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，延长EC 至点G ，使CG =CE ，连接DG 、DE 、FG．(1)求证：△ABE ≌△FCE ；(2)若AD =2AB ，求证：四边形DEFG是矩形．【例1】（2023·山东聊城·统考中考真题）3．如图，在ABCD Y 中，BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E ，交BC 于点O ，连接BE ，CE ，过点C 作CF BE ∥，交EO 的延长线于点F ，连接BF ．若8AD =，5CE =，则四边形BFCE 的面积为．.【变1】（2023·内蒙古·统考中考真题）4．如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．(1)如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．【例1】（2023·湖北随州·统考中考真题）5．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若32BC DC ==,，求四边形OCED 的面积．试卷第4页，共12页【变1】（2023·黑龙江·统考中考真题）6．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB 的边OC 在x 轴上，60AOC ∠=︒，OC 的长是一元二次方程24120x x --=的根，过点C 作x 轴的垂线，交对角线OB 于点D ，直线AD 分别交x 轴和y 轴于点F 和点E ，动点M 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OD 向终点D 运动，动点N 从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE 向终点E 运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．(1)求直线AD 的解析式．(2)连接MN ，求MDN △的面积S 与运动时间t 的函数关系式．(3)点N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q ．使得以A ，C ，N ，Q 为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．一、选择题（2023·湖北襄阳·统考中考真题）7．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，下列结论一定正确的是（）A ．AC 平分BAD ∠B ．AB BC =C ．AC BD =D ．AC BD ⊥（2023·湖南·统考中考真题）8．如图，菱形ABCD 中，连接AC BD ，，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒（2023·河北·统考中考真题）9．如图，直线12l l ∥，菱形ABCD 和等边EFG 在1l ，2l 之间，点A ，F 分别在1l ，2l 上，点B ，D ，E ，G 在同一直线上：若50α∠=︒，146ADE ∠=︒，则β∠=（）A ．42︒B ．43︒C ．44︒D ．45︒（2023·四川德阳·统考中考真题）10．如图，ABCD Y 的面积为12，6AC BD ==，AC 与BD 交于点O ．分别过点C ，D 作BD ，AC 的平行线相交于点F ，点G 是CD 的中点，点P 是四边形OCFD 边上的动点，则PG 的最小值是（）A ．1B ．32C ．32D ．3（2023·浙江绍兴·统考中考真题）】11．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上，动点F 在线段OD 上，点,E F 同时从点O 出发，分别向终点,B D 运动，且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E ；点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在试卷第6页，共12页整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形12．如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，4AB =，B C =，垂直于BC 的直线MN 从AB 出发，沿BC当直线MN 与CD 重合时停止运动，运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E ，F ，以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH ，设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S ，直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A．B．C．D ．二、填空题（2023·四川内江·统考中考真题）13．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF AC ⊥，EG BD ⊥，垂足分别为点F ，G ，则EF EG +=．（2023·山东滨州·统考中考真题）14．如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点,E F 分别是线段,OB OA 上的点．若,5,1,3AE BF AB AF BE ====，则BF 的长为．（2023·甘肃武威·统考中考真题）15．如图，菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，BE AB ⊥，DF CD ⊥，垂足分别为B ，D ，若6cm AB =，则EF =cm ．（2023·山东济南·统考中考真题）16．如图，将菱形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使点D 落在射线CA 上的点E 处，试卷第8页，共12页折痕CP 交AD 于点P ．若30ABC ∠=︒，2AP =，则PE 的长等于．三、解答题（2023·湖南怀化·统考中考真题）17．如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F．(1)证明：BOF DOE ≌△△；(2)连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．（2023·山东青岛·统考中考真题）18．如图，在ABCD Y 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，DCB ∠的平分线交AD 于点F ，点G ，H 分别是AE 和CF的中点．(1)求证：ABE CDF △≌△；(2)连接EF ．若EF AF =，请判断四边形GEHF 的形状，并证明你的结论．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）19．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为线段CD 的中点，连接AC ，AE ，延长AE ，BC 交于点F ，连接DF ，90ACF ∠=︒．(1)求证：四边形ACFD 是矩形；(2)若13CD =，5CF =，求四边形ABCE 的面积．（2023·贵州·统考中考真题）20．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，延长CB 至D ，使得BD CB =，过点A ，D 分别作AE BD ，DE BA ∥，AE 与DE 相交于点E．下面是两位同学的对话：小星：由题目的已知条件，若连接BE ，则可证明BE CD ⊥．小红：由题目的已知条件，若连接CE ，则可证明CE DE =．(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；(2)连接AD ，若23CB AD AC ==，求AC 的长．（2023·湖南湘西·统考中考真题）21．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BM DN ，且分别交对角线AC 于点M ，N ，连接,MD BN ．试卷第10页，共12页(1)求证：DMN BNM ∠=∠；(2)若BAC DAC ∠=∠．求证：四边形BMDN 是菱形．（2023·四川广安·统考中考真题）22．如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2023·山东烟台·统考中考真题）23．【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD 进行如下操作：①分别以点,B C 为圆心，以大于12BC 的长度为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交BC 于点O ，连接AO ；②将ABO 沿AO 翻折，点B 的对应点落在点P 处，作射线AP 交CD 于点Q ．【问题提出】在矩形ABCD 中，53AD AB ==，，求线段CQ 的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ 的长；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．请你任选其中一种方案求线段CQ 的长．（2023·湖北恩施·统考中考真题）24．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将矩形ABCD 沿BE 所在的直线折叠，C D ，的对应点分别为C '，D ¢，连接AD '交BC '于点F ．(1)若70DED '∠=︒，求DAD '∠的度数；''的形状，并说明理由．(2)连接EF，试判断四边形C D EF试卷第12页，共12页参考答案：1．D【分析】根据矩形的性质得出OA OB =，即可求证ABO 为等边三角形，进而得出点E 为OB中点，根据中位线定理得出2BC EF ==易得30CBD ∠=︒，求出tan 4CD BC BCD =⋅∠=，即可得出矩形的周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OB =，∵60ABD ∠=︒，∴ABO 为等边三角形，∵AE BD ⊥，∴点E 为OB 中点，∵F 是OC 的中点，若EF =，∴2BC EF ==∵60ABD ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∴tan 43CD BC BCA =⋅∠=⨯=，∴矩形ABCD 的周长()()2248BC CD =+==，故选：D ．【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤．2．(1)见解析答案第2页，共42页【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB =∠CFE ，利用AAS 即可判定△ABE ≌△FCE ；（2）先证明四边形DEFG 是平行四边形，【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，再证明DF =EG ，即可证明四边形DEFG 是矩形．∴AB CD ，∴∠EAB =∠CFE ，又∵E 为BC 的中点，∴EC =EB ，∴在△ABE 和△FCE 中，EAB CFE BEA CEF EC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FCE (AAS)；（2）证明：∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，∴DC =CF ，又∵CE =CG ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵E 为BC 的中点，CE =CG ，又∵AD =BC =EG =2AB ，DF =CD +CF =2CD =2AB ，∴DF =EG ，∴平行四边形DEFG 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE ≌△FCE 是解题的关键．3．24【分析】根据平行线的性质可得BEO CFO ∠=∠，根据垂直平分线的性质可得BO CO =，90BOE COF ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定和性质可得BE CF =，OE OF =，根据平行四边形的判定和菱形的判定可推得四边形BFCE 为菱形，根据勾股定理求得3OE =，根据菱形的性质即可求得四边形BFCE 的面积．【详解】∵CF BE ∥，∴BEO CFO ∠=∠，∵BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E ，∴BO CO =，90BOE COF ∠=∠=︒，∴BOE COF ≌，∴BE CF =，OE OF =，∴四边形BFCE 为平行四边形，又∵OE OF =，BO CO =，90BOE COF ∠=∠=︒，∴平行四边形BFCE 为菱形，∵8AD =，∴8BC =，答案第4页，共42页∴142OC BC ==，在Rt EOC △中，3OE ===，故菱形BFCE 的面积为111282324222BC EF BC EO ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：24．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．4．(1)点Q 在线段PC 的垂直平分线上(2)①证明见解析，②=PQ 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；（2）①根据菱形的性质得出AB BC CD DA ===，再由各角之间的关系得出30BAP ABD CBD ∠=∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接QC ．利用等边三角形的判定和性质得出2,3AE a AP a ==，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，点Q 在线段PC 的垂直平分线上．理由如下：连接QC ．∵四边形ABCD 是菱形，对角线,AC BD 相交于点O ，,BD AC OA OC⊥=∴QA QC ∴=．QA QP = ，QC QP ∴=，∴点Q 在线段PC 的垂直平分线上．（2）①证明：如图，∵四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，ABD ADB ∴∠=∠，CBD CDB ∠=∠，BD AC ⊥ ，ADO CDO ∴∠=∠，ABD CBD ADO ∴∠=∠=∠．BAP ADB ∠=∠ ，BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠．AE BE ∴=，90APB ∠=︒ ，90BAP ABP ∴∠+∠=︒，30BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠=︒．在Rt BPE △中，90,30EPB PBE ∠=︒∠=︒ ，12EP BE ∴=．AE BE = ．12EP AE ∴=，2AE EP ∴=；答案第6页，共42页②如图，连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒ ，∴ABC 是等边三角形．∵90APB ∠=︒，∴BP CP EP a ==，，2,3AE a AP a∴==在Rt APB 中，90APB ∠=︒，tan AP ABP BP ∠=，BP ∴=．CP BP ∴==AO CO = ，,AOE COQ OE OQ ∠=∠=，AOE COQ ∴△≌△，2,AE CQ a EAO QCO ∴==∠=∠．AE CQ ∴∥，90APB ∠=︒ ，90QCP ∴∠=︒．在Rt PCQ △中，90QCP ∠=︒，由勾股定理得222PQ PC CQ =+，2222)(2)7PQ a a ∴=+=PQ ∴=．【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．5．(1)见解析(2)3【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC OD =，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；（2）根据矩形的性质求得OCD 的面积，然后结合菱形的性质求解．【详解】（1）解：∵ DE AC CE BD ∥,∥，∴四边形OCED 是平行四边形，又∵矩形ABCD 中，OC OD =，∴平行四边形OCED 是菱形；（2）解：矩形ABCD 的面积为326BC DC ⋅=⨯=，∴OCD 的面积为13642⨯=，∴菱形OCED 的面积为3232⨯=．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判答案第8页，共42页定方法，正确推理论证是解题关键．6．(1)y x =+(2)2290292t t t S t t -+≤≤⎪=⎨⎪-+-≤⎪⎩；(3)存在，点Q的坐标是3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或(．【分析】（1）过点A 作AH OC ⊥于H ，解方程可得6OC =，然后解直角三角形求出CD 、OH 和AH 的长，得到点A 、D 的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；（2）首先证明EOD △是等边三角形，求出DO DF ==，然后分情况讨论：①当点N 在DF 上，即0t ≤≤过点N 作NP OB ⊥于P ，②当点N 在DE 上，即t <≤过点N 作NT OB ⊥于T ，分别解直角三角形求出NP 和NT ，再利用三角形面积公式列式即可；（3）分情况讨论：①当AN 是直角边时，则CN EF ⊥，过点N 作NK CF ⊥于K ，首先求出CN ，然后解直角三角形求出CK 和NK ，再利用平移的性质得出点Q 的坐标；②当AN 是对角线时，则90ACN ∠=︒，过点N 作NL CF ⊥于L ，证明∠=∠NCF NFC ，可得3CL FL ==，然后解直角三角形求出NL ，再利用平移的性质得出点Q 的坐标．【详解】（1）解：解方程24120x x --=得：16x =，22x =-，∴6OC =，∵四边形AOCB 是菱形，60AOC ∠=︒，∴6OA OC ==，1302BOC AOC ∠=∠=︒，∴tan 3063CD OC =⋅︒=⨯∴(6,D ，过点A 作AH OC ⊥于H ，∵60AOH ∠=︒，∴132OH OA ==，sin 606AH OA =⋅︒=⨯，∴(A ，设直线AD 的解析式为()0y kx b k =+≠，代入(A，(6,D得：36k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AD的解析式为y x =+（2）解：由（1）知在Rt COD中，CD =30DOC ∠=︒，∴2OD CD ==90903060EOD DOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵直线3y x =-+y 轴交于点E ，∴OE =，∴OE OD =，∴EOD △是等边三角形，∴60OED EDO BDF ∠=∠=∠=︒，ED OD ==∴30OFE DOF ∠=︒=∠，∴DO DF ==答案第10页，共42页①当点N 在DF上，即0t ≤≤由题意得：DM OD OM t =-=，2DN t =，过点N 作NP OB ⊥于P ，则()sin sin 604262NP DN PDN DN t =⋅∠=⋅︒=⨯=-，∴()()21169222S DM NP t t t =⋅=-=-+；②当点N 在DE上，即t <≤时，由题意得：DM OD OM t =-=，2DN t =-过点N 作NT OB ⊥于T ，则(sin sin 60246NT DN NDT DN t =⋅∠=⋅︒=-⨯，∴()21169222S DM NT t t t =⋅=--=-+-综上，22909t t S t t -+≤≤=⎨⎪+-≤⎪⎩；（3）解：存在，分情况讨论：①如图，当AN 是直角边时，则CN EF ⊥，过点N 作NK CF ⊥于K ，∵30NFC ∠=︒，OE =，∴60NCK ∠=︒，12OF ==，∴1266CF =-=，∴132CN CF ==，∴13cos 60322CK CN =⋅︒=⨯=，sin 60322NK CN =⋅︒=⨯=，∴将点N 向左平移32个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，∴将点A 向左平移32Q ，∵(A ，∴3,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；②如图，当AN 是对角线时，则90ACN ∠=︒，过点N 作NL CF ⊥于L ，∵OA OC =，60AOC ∠=︒，∴AOC 是等边三角形，∴60ACO ∠=︒，∴180609030NCF NFC ∠=︒-︒-︒=︒=∠，∴132CL FL CF ===，∴tan 303NL CL =⋅︒=，∴将点C 向右平移3N ，∴将点A 向右平移3Q ，∵(A，∴(6,Q；∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是32⎛⎝⎭或(．【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，含30︒直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．7．C【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．【详解】解：由矩形ABCD的对角线相交于点O，根据矩形的对角线相等，可得AC BD=．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．8．C【分析】根据菱形的性质可得,BD AC AB CD⊥∥，则1,290ACD ACD∠=∠∠+∠=︒，进而即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形答案第12页，共42页∴,BD AC AB CD ⊥∥，∴1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒，∵120∠=︒，∴2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．9．C【分析】如图，由平角的定义求得18034ADB ADE Ð=°-Ð=°，由外角定理求得，16AHD ADB αÐ=Ð-Ð=°，根据平行性质，得16GIF AHD Ð=Ð=°，进而求得44EGF GIF βÐ=Ð-Ð=°．【详解】如图，∵146ADE ∠=︒∴18034ADB ADE Ð=°-Ð=°∵ADB AHDαÐ=Ð+Ð∴503416AHD ADB αÐ=Ð-Ð=°-°=°∵12l l ∥∴16GIF AHD Ð=Ð=°∵EGF GIFβÐ=Ð+Ð∴601644EGF GIF βÐ=Ð-Ð=°-°=°故选：C ．答案第14页，共42页【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．10．A【分析】先证明OC OD =，四边形OCFD 是菱形，如图，连接OF ，GP ，而点G 是CD 的中点，可得G 为菱形对角线的交点，OF CD ⊥，当GP CF ⊥时，GP 最小，再利用等面积法求解最小值即可．【详解】解：∵ABCD Y ，6AC BD ==，∴ABCD Y 是矩形，∴OC OD =，∵OC DF ∥，DO CF ∥，∴四边形OCFD 是菱形，如图，连接OF ，GP ，而点G 是CD的中点，∴G 为菱形对角线的交点，OF CD ⊥，∴当GP CF ⊥时，GP 最小，∵ABCD Y 即矩形ABCD 的面积为12，6AC BD ==，∴3OC OD ==，11234OCD S =⨯= ，∴26OCD OCFD S S == 菱形，∴13642CGF S =⨯= ，由菱形的性质可得：3CF =，∴13322GP ⨯⨯=，∴1GP =，即GP 的最小值为1．故选A【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．11．A【分析】根据题意，先证四边形1212E E F F 是平行四边形，再判断特殊位置（,,E F O 三点重合时，,E F 分别为,OD OB 的中点时，当,F E 分别与,D B 重合时）四边形1212E E F F 的形状，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，90BAD ABC ∠=∠=︒，∴60BDC ABD ∠=∠=︒，906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒，∵OE OF =、OB OD =，∴DF EB =，∵对称，∴21DF DF BF BF ==，，21,BE BE DE DE ==，∴1221E F E F =，∵对称，∴260F DC CDF ∠=∠=︒，130EDA E DA ∠=∠=︒，答案第16页，共42页∴160E DB ∠=︒，同理160F BD ∠=︒，∴11DE BF ∥，∴1221E F E F ∥，∴四边形1212E E F F 是平行四边形；如图所示，当,,E F O 三点重合时，DO BO =，∴1212DE DF AE AE ===，即1212E E E F =，∴四边形1212E E F F 是菱形，如图所示，当,E F 分别为,OD OB 的中点时，设4DB =，则21DF DF ==，13DE DE ==，在Rt △ABD中，2,AB AD ==连接AE ，AO ，∵602ABO BO AB ，∠=︒==，∴ABO 是等边三角形，∵E 为OB 中点，∴AE OB ⊥，1BE =，∴AE ==根据对称性可得1AE AE ==∴2221112,9,3AD DE AE ===，∴22211AD AE DE =+，∴1DE A 是直角三角形，且190E ∠=︒，∴四边形1212E E F F 是矩形，当,F E 分别与,D B 重合时，11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形，∴在整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选A ．答案第18页，共42页【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．B【分析】求出MN 在O 点左侧时的两段图象，即可得出结论．【详解】解：当MN 在O 点左侧，即：2t <时：①当正方形EFGH 的边GH 在AOB的外部时，重叠部分为矩形，如图：设,HE FG 分别交AB 于点,I K ，∵垂直于BC 的直线MN 从AB 出发，沿BC∴IE FK ==，∵在矩形ABCD 中，4AB =，B C =∴8AC ==，∴4OA OB AB ===，∴ABO 为等边三角形，∴60OAB OBA ∠=∠=︒，∴tan 60AI BK IE t ==÷︒=，∴42IK t =-，∴()242S IK IE t =⋅=-=-+，图象为开口向下的一段抛物线；②当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的内部时，与AOB 重叠部分即为正方形EFGH ，如图：由①可知：42EF IK t ==-，∴()242S t =-，图象是一段开口向上的抛物线；当MN 过点O 时，即2t =时，,E F 重合，此时，0S =；综上：满足题意的只有B 选项，故选B ．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．13．6013##8413【分析】连接OE ，根据矩形的性质得到12BC AD ==，AO CO BO DO ===，90ABC ∠=︒，根据勾股定理得到13AC ==，求得132OB OC ==，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OE ，四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，12BC AD ==，AO CO BO DO ===，答案第20页，共42页5AB = ，12BC =，13AC ∴==，132OB OC ∴==，111115121522222BOC BOE COE ABC S S S OB EG OC EF S ∴=+=⨯⋅+⋅==⨯⨯⨯= ，∴113113113()15222222EG EF EG EF ⨯+⨯=⨯+=，6013EG EF ∴+=，故答案为：6013．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14【分析】过点,A B 分别作,BD AC 的垂线，垂足分别为,N M ，等面积法证明AM BN =，进而证明Rt Rt AME BNF ≌，Rt Rt AMB BNA ≌，根据全等三角形的性质得出ME FN =，BM AN =，根据已知条件求得1EM =，进而勾股定理求得,AM AE ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点,A B 分别作,BD AC 的垂线，垂足分别为,N M，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵11,22ABC ABD S AB BC S AB AD =⨯=⨯ ，∴=ABC ABD S S ，∴1122AC BN BD AM ⨯=⨯，∴AM BN =，∵BF AE =，∴Rt Rt AME BNF≌∴ME FN=设ME FN =x=在Rt ,Rt AMB BNA 中，AB BA AM BN=⎧⎨=⎩∴Rt Rt AMB BNA≌∴BM AN =，∴BE ME AF FN-=+∴31x x-=+解得：1x =∴2BM AN ==在Rt ABM 中，AM ===在Rt AME △中，AE ===∴BF AE =．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．15．【分析】根据菱形的性质，含30︒直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．【详解】解：在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，答案第22页，共42页160,302DAB DCB BAC DAC DCF DAB ∴∠=∠=︒∠=∠=∠=∠=︒，DF CD ⊥Q ，90DFC ∴∠=︒，9060DFC DCF ∴∠=︒-∠=︒，在Rt CDF △中，12DF CF =，603030,ADF DFC DAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒Q ,FAD ADF ∴∠=∠11,23AF DF CF AC ∴===同理，13CE AC =，13EF AC AF CE AC ∴=--=，12EF AE ∴=，在Rt ABE △中，cos 30AB AE ===︒12EF AE ∴==故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，含30︒直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．16【分析】过点A 作AQ PE ⊥于点Q ，根据菱形性质可得75DAC ∠=︒，根据折叠所得30E D ∠=∠=︒，结合三角形的外角定理得出45QAP ∠=︒，最后根据cos 45PQ AP =⋅︒=tan 30AQ EQ ==︒【详解】解：过点A 作AQ PE ⊥于点Q ，∵四边形ABCD 为菱形，30ABC ∠=︒，∴AB BC CD AC ===，30ABC D ∠=∠=︒，∴()118030752DAC ∠=︒-︒=︒，∵CPE △由CPD △沿CP 折叠所得，∴30E D ∠=∠=︒，∴753045EPA ∠=︒-︒=︒，∵AQ PE ⊥，2AP =，∴cos 45PQ AP =⋅︒=AQ PQ ==，∴tan 30AQ EQ ==︒∴PE EQ PQ =+=．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．17．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34∠=∠∠=∠，根据O 是BD 的中点，可得BO DO =，即可证明()AAS BOF DOE ≌△△；（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF =，进而可得四边形EBFD 是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．答案第24页，共42页【详解】（1）证明：如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12,34∠=∠∠=∠，∵O 是BD 的中点，∴BO DO =，在BOF 与DOE 中1234BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS BOF DOE ≌△△；（2）∵BOF DOE≌△△∴ED BF =，又∵ED BF∥∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF BD⊥∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．18．(1)见解析(2)矩形，证明见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD BC ∥，AB CD =，BAD DCB ∠=∠，B D ∠=∠，证出DAE AEB ∠=∠，DFC BCF ∠=∠，由ASA 证明BAE DCF ≌△△，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出AE CF =，AEB DFC =∠∠，证出AE CF ∥，由已知得出GE FH ∥，GE FH =，即可证出四边形FGEH 是平行四边形．【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD =，BAD DCB ∠=∠，B D ∠=∠，∴DAE AEB ∠=∠，DFC BCF ∠=∠，∵BAD ∠和DCB ∠的平分线AE 、CF 分别交BC 、AD 于点E 、F ，∴12BAE DAE BAD ∠=∠=∠，12BCF DCF DCB ∠=∠=∠，∴BAE DCF ∠=∠，在BAE 和DCF 中，B D AB CD BAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BAE DCF ≌ ．（2）证明：∵BAE DCF ≌△△，∴AE CF =，AEB DFC =∠∠，∴AEB BCF ∠=∠，∴AE CF ∥，∵点G 、H 分别为AE 、CF 的中点，∴GE FH ∥，GE FH =，答案第26页，共42页∴四边形FGEH 是平行四边形∵EF AF =，G 为AE 的中点，∴GF AE ⊥，∴四边形FGEH 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．19．(1)证明，见解析(2)45【分析】（1）根据平行四边形的性质，得AD BC ∥，根据平行线的性质，得DAF AFC ∠=∠，ADC DCF ∠=∠；再根据E 为线段CD 的中点，全等三角形的判定，则ADE FCE ≅△△，根据矩形的判定，即可；（2）过点E 作EG AC ⊥于点G ，根据勾股定理，求出DF 的长，再根据四边形ABCE 的面积等于ABC AEC S S + ，即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAF AFC ∠=∠，ADC DCF ∠=∠，∵E 为线段CD 的中点，∴DE CE =，∴ADE FCE ≅△△，∴AE EF =，∴四边形ACFD 是平行四边形，∵90ACF ∠=︒，∴平行四边形ACFD 是矩形．（2）过点E 作EG AC ⊥于点G ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∵四边形ACFD 是矩形，∴AD CF =，∴5AD BC CF ===，∵13CD =，∴12DF ==，∴四边形ABCE 的面积等于ABC AEC S S + ，∵111253022ABC S AC BC =⨯⨯=⨯⨯= ，12ACE S AC GE =⨯⨯ ，∵点E 是对角线的中心，∴1522GE AD ==，∴1151215222ACE S AC GE =⨯⨯=⨯⨯= ，∴平行四边形ABCD 的面积为：301545+=．【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．答案第28页，共42页20．(1)见解析(2)【分析】（1）选择小星的说法，先证四边形AEDB 是平行四边形，推出AE BD =，再证明四边形AEBC 是矩形，即可得出BE CD ⊥；选择小红的说法，根据四边形AEBC 是矩形，可得CE AB =，根据四边形AEDB 是平行四边形，可得DE AB =，即可证明CE DE =；（2）根据BD CB =，23CB AC =可得43CD AC =，再用勾股定理解Rt ACD △即可．【详解】（1）证明：①选择小星的说法，证明如下：如图，连接BE，AE BD ，DE BA ∥，∴四边形AEDB 是平行四边形，∴AE BD =，BD CB =，∴AE CB =，又 AE BD ，点D 在CB 的延长线上，∴AE CB ∥，∴四边形AEBC 是平行四边形，又 90C ∠=︒，∴四边形AEBC 是矩形，∴BE CD ⊥；②选择小红的说法，证明如下：如图，连接CE ，BE ，由①可知四边形AEBC 是矩形，∴CE AB =，四边形AEDB 是平行四边形，∴DE AB =，∴CE DE =．（2）解：如图，连接AD ，BD CB =，23CB AC =，∴243CD CB AC AC ==，∴43CD AC =，在Rt ACD △中，222AD CD AC =+，∴(22243AC AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得AC =答案第30页，共42页即AC的长为【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD ，交AC 于点O ，证明BOM DON ≌△△，推出四边形BMDN 为平行四边形，得到BN DM ，即可得证；（2）先证明四边形ABCD 是菱形，得到AC BD ⊥，进而得到MN BD ⊥，即可得证．【详解】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∵BM DN ，∴MBO NDO ∠=∠，又BOM DON ∠=∠，∴BOM DON ≌△△，∴BM DN =，∴四边形BMDN 为平行四边形，∴BN DM ，∴DMN BNM ∠=∠；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD ∥，∴BCA DAC ∠=∠，∵BAC DAC ∠=∠，∴BAC BCA ∠=∠，∴AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴MN BD ⊥，∴平行四边形BMDN 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．22．(1)223y x x =+-(2)ABCN S 四边形最大值为758，此时302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)()01Q -，或()01Q -或(01Q --，【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出2b =，再把()10B ,代入二次函数解析式中进行求解即可；（2）先求出()30A -，，()03C -，，则4AB =，3OC =，求出直线AC 的解析式为3y x =--，设()0P m ，，则()3M m m --，，()223N m m m +-，，则23MN m m =--；再由ABC ACN ABCN S S S =+△△四边形得到23375228ABCN S m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭四边形，故当32m =-时，ABCN S 四边形最大，答案第32页，共42页最大值为758，此时点P 的坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，MC 为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数2y x bx c =++的对称轴为直线=1x -，∴12b -=-，∴2b =，∵二次函数经过点()10B ,，∴210b c ++=，即120c ++=，∴3c =-，∴二次函数解析式为223y x x =+-；（2）解：∵二次函数经过点()10B ,，且对称轴为直线=1x -，∴()30A -，，∴4AB =，∵二次函数223y x x =+-与y 轴交于点C ，∴()03C -，，∴3OC =；设直线AC 的解析式为y kx b '=+，∴303k b b ''-+=⎧⎨=-⎩，∴13k b =-⎧⎨=-'⎩，∴直线AC 的解析式为3y x =--，设()0P m ，，则()3M m m --，，()223N m m m +-，，∴()223233MN m m m m m =---+-=--；∵1143622ABC S AB OC =⋅=⨯⨯= ，∴ABC ACNABCN S S S =+△△四边形ABC AMN CMNS S S =++△△△11622AP MN OP MN =⋅+⋅+()213362m m =⨯--+23375228m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∵302-<，∴当32m =-时，ABCN S 四边形最大，最大值为758，∴此时点P 的坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）解：设()0P m ，，则()3M m m --，，()223N m m m +-，，∵PM x ⊥轴，∴PM y ∥轴，即MN CQ ∥，∴MN CQ 、是以M 、N C Q 、、为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当MC 为对角线时，∵3OA OC ==，。

专题19 平行四边形、矩形、菱形--拔高题

专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（） B. 2 C. 3 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由；（2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC .求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□A BCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMB(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题BDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（）A.38abB. 34abC. 23abD. 12ab第8题AB E F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F B C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（）A. 30B. 24C.16第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED的大小是（）A. 60°B. 65° ° °第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（）A. 15B.14C. 13第9题B A1P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBACB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小为什么图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12. 如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF ＝ED －AB＝AF －CD ＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)。

华师大版初二数学下册期中矩形菱形试题(含答案解析)

华师大版初二数学下册期中矩形菱形试题(含答案解析)华师大版2019初二数学下册期中矩形菱形试题(含答案解析)华师大版2019初二数学下册期中矩形菱形试题(含答案解析)一．选择题（共8小题，每题3分）1．对角线相等且互相平分的四边形是（）A．一般四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（）A．四个角都相等的四边形 B．有一个角为90°的平行四边形C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分的四边形3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（）A．任意四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（）A．对角线互相平分 B．AB=BC C．AB= AC D．∠A+∠C=180°5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．2 B． C．1 D．6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA_________ 角的菱形是正方形．14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一动点，DE∥AC，DF∥AB，对△ABC及线段AD添加条件_________ 使得四边形AEFD 是正方形．三．解答题（共11小题）15．（6分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？16．（6分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，?AFED是否总存在？17．（6分）如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．18．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．19．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．20．（8分）如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．21．（8分）如图所示，?ABCD的对角线AC的垂直平分线EF 与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？22．（8分）在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC 延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？23．（8分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O 作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？24．（8分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．25．（8分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由。

八年级上册菱形和矩形专项训练

OPFEDCBA菱形和矩形【矩形的性质和判定】(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【典型例题】1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．2.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。

3.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．4.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分BAD∠，若︒∠=∠15EAO，则BOE∠=________.5.如图,在矩形ABCD中,对角线交于点O,AB=6cm,BC=8cm,P是AD上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值是多少?这个值会随着点P的移动（不与A、D重合）而改变吗?请说明理由.6.如图，在矩形ABCD中，四个内角平分线相交于E，F.若cmAB40=，cmAD100=，求EF的长.7.如图，已知矩形ABCD，延长CB至E，使CE=CA，F为AE中点，求证：BF⊥DF．8.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．9.如图，M，N分别是ABCD的对边AD，BC的中点，且ABAD2=.求证：PMQN为矩形.10.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，3=AD．(1)在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；(2)若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连结EP并延长交AB的延长线于F．①求证：AB＝BF；②△P AE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

矩形和菱形专题拔高训练
例1：如图，矩形ＡBCD中,E是AD上一点，F是AB上一点,EF＝EC，且EF⊥ＥＣ，ＤＥ=２cm，矩形ABＣD周长为1６ｃｍ，求AE及CＦ的长。

分析与解答：
例2：矩形ＡBCD，E、F分别在ＢC、AD上，且ＥF垂直平分AC于Ｏ,
（1）求证：四边形ＡECF为菱形;
（2）若AD=8，AB＝6,求AE的长。

分析与解答:
例３:如图：以△AＢC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△AＢD、△BCＥ、△ＡCＦ.请回答下列问题：（１）四边形ADEF是什么四边形?（２)当△ＡBC满足什么条件时，四边形AＤEＦ是矩形？（3）当△AＢＣ满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？(不要求证明)
分析与解答:
--
--
例4：如图，矩形ABCG 中，点Ｄ是AG 的中点,点Ｅ是A Ｂ上一点，且BE ＝BC ，D Ｅ⊥DC ，CE 交BD 于F,
（1）求证:BD 平分∠CDE ；
（2）
求EF EA 的值。

分析与解答:
例5：如图；矩形ＡＢC Ｄ中，点Ｈ在对角线BD 上，HC ⊥BD,ＨC 的延长线交∠BAD 的平分线于点Ｅ,说明CE 与ＢＤ的数量关系。

分析与解答：
例６:如图,在△A ＢC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D,DE ∥AC 交BC 于点E ，ＤF ∥BC 交ＡＣ于点F 。

（1）点Ｄ是△ABC 的________心;
（2）求证：四边形DEC Ｆ是菱形。

分析与解答：
1.填空题
（1）如图，Ｐ是矩形ＡBCD内一点,PＡ=３,ＰD＝4，PＣ=５，则PB=_＿_＿＿_.
（2）若矩形的两邻边之比是3：4，周长为42cm,则它的边长分别是＿______．
（3）矩形的对角线相交成120角，其较短边长4ｃm,则对角线长__＿___cｍ.
（4）在矩形AＢCＤ中，点E为AB边的中点，且ＤE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_＿_＿___, AD=＿＿___＿_.
（5）从矩形的一个顶点向对角线引垂线，此垂线分对角线所成的两部分比为1:3，已知两对角线交点到矩形较长边的距离为3.６cm，则矩形的对角线长为＿___. （6）已知，如图△ABC中,BC=15，Ｅ、F分ＢＣ为三等分点,AＥ=13，AF＝12,G、Ｈ分别为AＣ、AＢ的中点,则四边形EFGＨ的周长为＿____，面积为______. （7）如图，在矩形AＢCD中,横向阴影部分是矩形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积,其面积是＿＿_＿__．
第6题第７题
（8）如图,矩形ABＣD面积为5,它的两条对角线交于点O1,以AＢ、AO１为两邻边作平行四边形AＢC１O１，平行四边形ABC1O1,的对角线交于O２,同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABＣ２O2，……依此类推，则平行四边形ＡBCｎＯｎ的面积为＿__＿__.
（9）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形ＥＦGH，若EH＝3,ＥF=4，则边AD的长为＿______.
第8题第9题
（10）如图,矩形纸片ABCＤ，AB＝2,点E在BC上，且AＥ=EC.若将纸片AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长为_______．
（11）如图,矩形AＢCD，ＡB=２,ＢＣ=3，对角线AC的垂直平分线交AＤ，BC于E、F,连接CE,则CＥ长＿＿_＿_＿__.
第1０题第11题
--
（12）已知菱形ABCD的面积是1２cm²,对角线AC=4cm，则菱形的边长是_______cm.
2.解答题:
（1）如图，矩形ＡBCD中,E为ＢC上一点，且ＡＥ=AＤ,连接ＤE。

①DＥ平分∠AEC吗？说明理由。

②若DＣ=5cｍ,求Ｄ到ＡE的距离。

（2）如图，BD、CE是高,G、Ｆ分别是ＢＣ、DE的中点,试说明FG⊥DE。

（3)如图，矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,O为对角线交点，且∠ＣAE=15°
①说明△AOB为等边三角形;
②求∠AOE的度数。

（4）如图，△AＢＣ中,AＤ是边BC上的中线，AＥ∥ＢＣ，DE∥AB，ＤE与AC交于点O,连CE。

①求证：ＡD=EC;
②若∠BAＣ=9０°，求证:四边形ＡDCE为菱形。

--
--。