初中常见轨迹问题解题策略

初中常见路径（轨迹）问题

之解决策略

一、 动点到定点的距离等于定长

这一类动点问题的特点是：所求的动点到某一个定点的距离是不变的。根据圆的定义，这时容易发现该动点的轨迹是一个圆周或者一段弧。而且该圆或者弧的圆心就是定点，半径就是定长。知道圆心和半径之后就容易求解了。

1. 如图，矩形ABCD 中，AB=2，

E 是AD 边上一动点，将△ABE 沿BE

折叠至△PBE ，在点E 从A 到D 的过程中，求P 点轨迹长。

2. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2。将△ABC 绕顶点C 顺时针旋

转，得到△A′B′C ，AC 中点为D ，A′B′中点为E ，连接DE ，当旋转角为_______°时，DE 长度最大，最大值为__________．

3. 如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上两个动点，点C 是线段PQ

的中点，且PQ=4．则动点C 运动形成的路径长是______

二、定角对定长

这一类动点问题的特点是：以该动点为顶点的某个角度大小是固定不变的，而且该固定角度所对的某一条边是固定的。由圆周角的特点可知，这个动点的轨迹就是一个圆周或者一段弧。而且这个固定角度就是圆周角，这个固定边就是弦。如果需要求轨迹长的话，再把圆心角和半径算出来就行了。不过有一点需要注意，这时需要把起始点和终点找到才能准确求出圆心角。

对于这种题型，找圆心可以用三角形外心的结论：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。所以，当这个固定角度是锐角时，圆心和动点位于固定边的同侧；当这个固定角度是直角时，圆心就在固定边的中点；当这个固定角度是钝角时，圆心和动点位于固定边的两侧。

4.如图，点E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF。连接CF交BD

于点G，连接BE交AG于点H。若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是___．

5.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于

点P.若BF=CE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.

6.如图，正方形ODEF的边长为2，以O为圆心，AB为直径的半圆经过点D，连接

AF，BD相交于点P，将正方形ODEF从OD与OA重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，求交点P运动的路径长.

7.如图，圆O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2。P为半圆AB上一动点，连接

PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点Q，求AQ的最大值。

8.如图，等边△ABC和等边△DEF边长都为2，EF和BC互相平分交于点O，直线FC

交直线AD于点P，当△DEF绕点O旋转时，求BP的最大值和最小值。

9.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P

向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A

运动到点B时，内心I所经过的路径长为______．

【例4】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点A、B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上。当AB边在坐标轴上滑动时，求C点的轨迹长。

三、旋转型轨迹问题

这一类动点问题的特点是：所求的点是从动点，是先有其他点在动，然后所求动点才动，而且主动点和从动点会有一个定点作为“旋转中心”，旋转的情形满足下列两种之一：第一种是主动点、从动点和旋转中心三点共线；第二种是主动点与旋转中心的连线和从动点与旋转中心的连线夹角固定，而且两条线段之间的比例不变。这时，要求从动点的轨迹，只需要求出主动点的轨迹就行。因为根据几何画板，他们的轨迹形状相同，长度成比例。

10.如图，正方形ABCD的边长为2，CD边上一动点P，连接BP，过点P作PQ⊥BP，

截取PQ=BP，当点P从点C运动到点D时，求Q的轨迹长

11.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为

PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________

12.如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙

O上运动一周，点D运动的路径长为_______

13.如图，正方形ABCD的边长是2，E是AD的中点，点F从点A出发，沿AB运动到

点B停止．连接FE，过E作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG，P是EG的中点，请直接写出点P运动路线的长．

14. 如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，AB=2，AF=1，E 是AB 上的一个动点，连

接FE ，过点F 作FE 的垂线交BC 于点G ，连接EG ，设EG 的中点为P ，当点E 从点B 运动到点A 时，点P 移动的路径的长是__________．

15. 如图，已知线段AB ＝6，C 、D 是AB 上两点，且AC ＝DB ＝1，P 是线段CD 上一动

点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为_______．

16. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点

C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．

17. 如图，直角坐标系中，已知点A （2，4），B （5，0），动点P 从B 点出发沿BO 向终

点O 运动，动点Q 从A 点出发沿AB 向终点B 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，记PQ 的中点为G ．请直接写出点G 随点P ，Q 运动所经过的路线的长度．

A

C