初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册的一节重要内容。
本节内容主要介绍了垂径定理及其应用。
教材通过实例引导学生探究圆中垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些实际问题。
本节内容既是前面所学知识的延续，也为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。
但是，他们对圆的性质和应用的理解还不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，逐步引导学生理解和掌握垂径定理，并能够运用这一定理解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决一些实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中发现垂径定理的规律，并能够一般性地表述这一规律。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、总结等方式发现和理解垂径定理。
2.运用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例分析，帮助学生直观地理解垂径定理。
3.采用分组合作学习的方式，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学多媒体课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用垂径定理解决实际问题。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考圆中垂直于弦的直径的性质。
例如，在一个圆形水池中，有一根绳子绕着水面漂浮，绳子的两端分别固定在圆形水池的两侧，求绳子的中点与水池中心的距离。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示垂径定理的证明过程，让学生直观地理解垂径定理。
同时，引导学生观察和思考垂径定理的适用范围和条件。
初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)
C BD O A 垂径定理导学案(一)【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。
【导学过程】一．创设情景 引入新课如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题）二、新知导学'（一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）探究二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么（2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证 相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。
垂径定理：|文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
（题设，结论）符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E∴____=_____，_____=______，_____=______。
(三) 探究三：用垂径定理解决问题已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为 。
|(四) 探究四：垂径定理的推论文字语言：平分弦（ ）的直径_______，并且______ ______。
符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______∴____=_____，_____=______，_____=______。
(五)利用新知 问题回解赵州桥AB=8，CD=2，求半径。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对垂径定理的理解普遍较好，他们能够通过观察和实验操作，发现直径与弦的关系。但在定理的证明部分，有些学生显得有些吃力，需要我通过图示和步骤分解来逐步引导。这让我意识到，在今后的教学中，我应该更加注重培养学生的逻辑推理能力和几何直观。
在讲授垂径定理的应用时，我尽量用生活中的实例来说明，让学生感受到数学知识在实际生活中的重要性。这一点从学生的反馈来看，效果还是不错的，他们能够主动思考定理在生活中的应用。但我也注意到，部分学生在解决综合性较强的题目时，还是显得有些力不从心。这说明在今后的教学中，我需要进一步加强学生对知识综合运用能力的培养。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画圆或者观察圆的时候，有没有注意过直径与弦的关系？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定的证明，我会通过图示和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际画圆和测量，学生可以直观地看到直径和弦的关系。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
人教版数学九年级上册同步导学案-24.1.2垂直于弦的直径导学案
《24.1.2垂直于弦的直径》导学案课题垂直于弦的直径数学年级九年级上册知识目标1.掌握垂径定理及其推导过程。
2. 利用垂径定理解决圆的一般问题。
重点难点重点：垂径定理及其运用难点：垂径定理及其运用教学过程知识链接什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？圆也是轴对称图形吗？怎样验证一个图形是轴对称图形，是否圆也具有轴对称的性质呢？今天这节课我们一起来探索相关知识，板书课题。
合作探究活动一、拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形。
有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．活动二、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？结论：AE=BE,即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB、弧ADB,即=,=.试一试证明你的发现！已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．∴AE＝BE，你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？（1）垂径定理：（2）符号语言：∵AB是⊙O的又∵CDAB⊥∴DECE= = ； =_________我们把这个定理分成几个结论分别有：①CD是直径、AB是弦，②CD⊥AB③AE＝BE④=⑤我们知道①②可以推出结论③④⑤，那么如果交换符号结论是否有更多的结论成立？试一试：例如：①直径过圆心③平分弦推出②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧证明这个结论。
（这个证明方法类似上面的证法，教师点评）形成推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．类比推论1你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!小组之间讨论，最后教师归纳总结：垂径定理及推论小结：垂径定理的几个基本图形，教师展示ppt，垂径定理中出现的常见三角形，用于计算：在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．例、我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。
24.1.2垂径定理(1)
24.1.2垂直于弦的直径（1） 班级： 姓名：学习目标：1.通过画图和观察，发现垂径定理，了解垂径定理的证明方法，会简单运用垂径定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.学习重点和难点：1. 重点：垂径定理。
2．难点：垂径定理的证明。
一、自主学习1.:垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的几何语言：∵AB 为⊙O 的直径 ，AB ⊥CD∴DP= , =⋂ DB ，=⋂ DA （垂径定理）二、巩固训练1．下列说法正确的是( )A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心 2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是( )A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE3. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则CE= ，⋂AC = .（第3题） （第4题） （第5题）4.如图，OC ⊥AB 于点C ，AC=3，则BC= ，AB= .5.如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是( )A ．10B ．16C ．6D ．86.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( )A ．4.1米B ．4.0米C ．3.9米D ．3.8米7.在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆的半径是10cm ，求圆心O 到AB 的距离。
解：连接AO ，作OE ⊥AB 于E∵OE 经过⊙O 的圆心，OE ⊥AB ∴AE= = cm （ ）在Rt △AOE 中，∵OE 2= （ ）∴OE= = 答：OE 的长为ABCO.8.证明：重直于弦的直径平分弦.已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB. 求证：AE=BE.证明：连结OA ，OB.9. 如图，已知在⊙O 中，（1）弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径（2）弦AB 的长为6厘米，⊙O 的半径为5厘米，求圆心O 到AB 的距离（3）⊙O 的半径为10厘米，圆心O 到AB 的距离为6厘米，求弦AB 的长拓展延伸：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB 宽度16 m 时，拱顶高出水平面4 m ，货船宽12 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径．(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．E ADC BO.。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章圆的一部分，它是圆的性质中的重要定理之一。
本节课的主要内容是引导学生探究并证明圆中垂径定理，即圆中垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
这个定理在解决圆的相关问题时具有重要作用，为学生进一步学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和证明有一定的理解。
他们对圆的概念和性质有一定的了解，但可能对垂径定理的理解还不够深入。
在学习本节课时，学生需要通过观察、思考、探究、证明等过程，理解和掌握垂径定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、思考、探究、证明等过程，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对垂径定理的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养坚持不懈、严谨治学的态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。
2.教学难点：学生能够通过证明过程，理解并掌握垂径定理的证明方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、探究、证明。
2.教学手段：利用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解垂径定理。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考，激发学生的学习兴趣。
2.新课引入：介绍垂径定理的概念，引导学生观察和思考垂径定理的性质。
3.探究与证明：学生分组进行探究，通过观察、实验、推理等方法，引导学生自己发现并证明垂径定理。
4.讲解与解释：教师对学生的探究结果进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。
5.练习与巩固：学生进行一些相关的练习题，巩固对垂径定理的理解和运用。
6.总结与拓展：学生总结垂径定理的内容和证明方法，并进行一些拓展问题的讨论。
九年级数学上册 24.1.2 垂径定理学案（1）
24.1.2 垂径定理（1）教学目标：1、使学生通过观看实验明白得圆的轴对称性；2、把握垂径定理，明白得垂径定理的推证进程；重点：明白得圆的轴对称性难点：垂径定理的推证进程教学进程一、知识频道（交流与发觉）1创设情境观看赵州桥及所给数据，你能求出赵州桥拱的半径吗？这需要用到一个重要的定理：垂径定理2想一想1）若是一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部份能够相互重合，那么那个图形叫做________；这条直线叫做________．2）等腰三角形是轴对称图形吗？答：3 试一试用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几回，你发觉了什么？答：4 悟一悟：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？答：例已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，= ，=C O A B M N 证明：连结OA ，OB ，那么OA=OB ．又CD ⊥AB ，∴直线CD 是等腰△OAB 的对称轴，又是 ⊙O 的对称轴．因此沿着直径CD 折叠时，CD 双侧的两个半圆重合，A 点和B 点重合，AE 和BE 重合，、 别离和 、 重合． 因此， 从而取得圆的一条重要性质．5总一总：垂径定理垂直于弦的直径平分这条 ，而且平分弦所对的两条 。
反过来取得推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 ，而且平分弦所对的 。
二 、 方式频道1、以下命题错误的选项是（ ）A 垂直于弦的直径平分这条弦B 弦的中垂线必通过圆心C 平分弧的直径平分这条弧所对的弦D 平分弦的直径平分这条弦所对的弧二、如图，在⊙O 中（填写你以为正确的结论）①假设MN ⊥AB ，垂足为C ，MN 为直径，那么 , ,②假设AC ＝BC,MN 为直径,A B 不是直经，那么 ， ，．三、利用垂径定明白得决问题 例1：如图7-10，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求⊙O 的半径分析：要求⊙O 的半径，连结OA ，只要求出OA 的长就能够够了，因为已知条件点O 到AB 的距离为3cm ，因此作OE ⊥AB 于E ，由 定理解：连结OA ，作OE ⊥AB ，垂足为E∵OE⊥AB，∴（）．∵AB=8cm，∴AE=又∵OE=3cm，在Rt△AOE中,OA=因此⊙O的半径为．。
初中数学 教案：24.1.2 垂直于弦的直径
垂直于弦的直径一、课题引入：问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？二、学习内容：1. 不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?2.结合图形，说说你寻找圆形纸片的圆心的依据？3.合作探索活动：（1）如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折．（2）你发现了什么？①如图，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？③从而你能得到哪些结论？4．得出垂径定理5．注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．6．给出几何语言．7. 求出赵洲桥主桥拱的半径． D C OA B8.典型例题：例1． 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？例2．如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3．⑴求的半径；⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围．三、知识梳理1．圆是图形，是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．①垂径定理：②垂径定理的推论： 3. 注意：事实上据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①②③④⑤那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论．4．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结OA BP半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件．四、达标检测如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，求AD的长．。
24.1.2-垂径定理(学案1)
永宁中学九年级数学（上）导学案备课组长：教研组长：教科室：课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：探究垂径定理及推论、学习过程：一、知识点回顾（知识准备）：圆的对称性：二、探究新知：如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
沿CD对折纸片，发现：①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E∴_____________，__________________，________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现：平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言：∵CD为⊙O的直径，且AE = BE∴_____________，__________________，_______________三、教师引导：垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
四、归纳小结：梳理本节所学知识点五、检测与反馈：1、判断下列图形，是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图，AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E。
请用符号语言描述垂径定理及其推论。
A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
4.成长记录：鼓励学生建立数学学习成长记录，记录学习过程中的点滴进步，培养他们的自主学习能力和反思能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示一幅圆形花园的图片，提问：“同学们，你们知道圆形花园中隐藏的数学秘密吗？”激发学生的好奇心。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解垂径定理，我们将从生活实际出发，创设富有启发性的教学情境。通过展示实际生活中含有垂径定理元素的场景，如古建筑中的拱桥、圆形花园的布局等，引导学生感受数学与生活的紧密联系。同时，利用多媒体手段，如动画、图片等，形象地呈现垂径定理的基本原理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
1.教学反思：在教学过程中，教师需密切关注学生的学习状态，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。课后，教师应认真反思教学设计、教学方法和教学效果，不断调整教学策略，以提高教学质量和效果。
2.学生评价：采用多元化的评价方式，包括自评、互评、小组评价和教师评价。评价内容涵盖知识掌握、技能运用、合作态度等方面。通过评价，激发学生的学习积极性，培养他们的自信心和自我认知能力。
3.小组交流：各小组分享自己的探究过程和结果，互相学习、借鉴，提高解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.教师总结：对本节课的重点知识进行梳理，强调垂径定理的原理、证明方法及其应用。
2.学生总结：鼓励学生发表自己对垂径定理的理解和感悟，提高他们的概括和表达能力。
3.知识体系：将垂径定理与圆的其他性质相结合，构建完整的知识体系，为后续学习打下基础。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
垂径定理1导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。
简“半径半弦弦心距”。
（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计
难点：学生在解决具体问题时，能够将垂径定理与所学知识综合运用，形成系统的解题思路。
3.重点：培养学生的几何直观和空间想象能力。
难点：如何设计教学活动，使学生在探索圆的性质过程中，提升几何直观和空间想象能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
在教学开始时，通过展示生活中的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生观察并思考其中所包含的几何性质。在此基础上，提出本节课要探讨的问题：垂直于弦的直径有哪些性质？
3.注重培养学生的几何直观和空间想象能力，帮助他们将几何知识与实际图形相结合，更好地理解和运用垂径定理。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，分享解题思路和经验，提高他们的合作能力和交流能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。
难点：如何引导学生发现并理解垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧这一性质，并能灵活运用该性质解决相关问题。
4.布置课后作业，要求学生运用垂径定理解决实际问题，巩固课堂所学。
5.教师对本节课的教学进行反思，为下一节课做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的垂径定理及其应用，特此布置以下作业：
1.请同学们完成课本第24.1.2节后的习题1、2、3，并尝试用垂径定理解决实际问题。
2.设计一道关于垂径定理的应用题，要求包含弦长、圆心角等元素，并尝试自己解答。
3.结合生活中的圆形物体，观察并思考其中可能涉及的垂径定理问题，将观察到的现象和问题记录下来，下节课与同学们分享。
4.针对本节课的学习内容，撰写一篇学习心得，内容包括：你对垂径定理的理解、学习过程中的困难与收获、对今后学习的期望等。
5.预习下一节课的内容，提前了解圆中其他相关性质，为课堂学习做好准备。
24.1.2 垂径定理导学案
班级： 姓名:编号： 课题24.1.2垂直于弦的直径 课型新授 主备 审核 目标导航 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理； 2.学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算问题；3.了解弓形高、弦心距等概念.【温故知新】1.轴对称图形,轴对称图形的性质。
2.勾股定理求线段长；3.弦、直径、等弧的概念。
【自主学习】活动1:剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你得出什么结论？【合作探究】活动2:请继续利用手中的圆形纸片，画一画:(1) 在圆上任意画一条弦AB ；(2) 过圆心O 作弦AB 的垂线，垂足为E.交⊙O 于C ，D 两点。
观察思考：图中有哪些相等关系？如何证明你的猜想？相等的线段： ；相等的弧： .【初步应用】例1：如图(1)，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.则⊙O 的半径为 cm 。
变式1：如图，已知⊙O 的半径是5cm,弦AB=8 cm ， 则圆心O 到AB 的距离是 cm 。
变式2： 已知⊙O 的半径是5cm ，圆心到弦的距离是3 cm ，则弦AB 的长为 cm 。
变式3：如图(2)，OD ⊥AB 于点E,与⊙O 交于点D,已知AB=8,DE=2，圆是 图形， 是圆的对称轴. 垂径定理：图1 图2则⊙O的半径是。
【方法归纳】例2：如图3，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.【能力提升】1、如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是_____．2、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=_____ 。
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理教学设计
3.分层教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的练习题，使每位学生都能在原有基础上得到提高。对基础薄弱的学生，进行个别辅导，帮助他们克服学习难点；对优秀生，提供拓展题，培养他们的创新思维。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课的教学内容，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.学生独立完成：要求学生在规定时间内独立完成练习题，检验自己的学习效果。
3.解答与评价：教师对学生的练习情况进行解答和评价，指出学生的优点和不足，激发学生的学习积极性。
（五）总结归纳
1.学生自评：让学生回顾本节课的学习过程，总结自己在理解垂径定理、解决问题的方法等方面的收获和不足。
3.方法总结：总结证明垂径定理的方法，强调观察、分析、推理等几何证明的基本技能。
（三）学生小组讨论
1.划分学习小组：将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在能力、性格等方面的互补性。
2.布置讨论任务：给出几个与垂径定理相关的实际问题，让学生分组讨论如何运用垂径定理解决问题。
3.指导与反馈：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导学生深入思考。
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解垂径定理的概念，知道圆的直径垂直于弦，并且平分弦。
2.学会通过画图、观察、推理等方法，证明垂径定理。
3.能够运用垂径定理解决与圆相关的几何问题，如求弦长、半径等。
4.掌握垂径定理在实际问题中的应用，如园林设计、建筑设计等。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学素ห้องสมุดไป่ตู้，为学生的终身发展奠定基础。
24.1.2垂径定理导学案
24.1.2垂直于弦的直径学习目标：理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及其推论；学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算。
自主学习： 1.回顾：（1）圆的集合定义；（2）连结圆上任意两点的线段叫圆的______，圆上两点间的部分叫做_______，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。
2．阅读教材82页有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？ 3. 阅读教材81页“探究”内容，自己动手操作： 按下面的步骤做一做：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，作⊙O 的一条弦AB ；第二步，作直径CD,使CD ⊥AB ，垂足为E ； 第三步，将⊙O 沿着直径折叠. 你发现了什么？ 归纳：（1）图1是对称图形，对称轴是.（2）相等的线段有，相等的弧有. 合作探究：探究一：用纸剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是____________，任何一条是圆的对称轴。
探究二：已知：如图1，在⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，且CD ⊥AB 垂足为E ，求证：AE=BE ，=，=结论（垂径定理）。
符号语言： ∵，， ∴，，探究三：如图2，⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，AB ，CD 交于点E ，且AE=BE. （1）CD ⊥AB 吗？为什么？（2）还有其他结论成立吗？（3）如图3，若弦AB 过圆心O ，上述结论还成立吗？推论：平分弦（）的直径垂直于弦， 并且 符号语言∵，∴，，综合：对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。
AC BCAD BD图1C DD 图2 图3例1 辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？例2 （1）已知：如图4，在⊙O 中，弦AB=8，O 到AB 的距离等于3，则⊙O 的半径为； （2）已知：如图4，若半径OA=10，弦心距OE=6，则弦AB 的长为；（3）已知：如图5，若弦AB=8cm ，直径CD ⊥AB 于E ，DE=2cm ，则⊙O 的半径为例3（1）已知，如图6，若以O 为圆心作一个⊙O 的同心圆，交大圆的弦AB 于C ，D 两点，求证：AC=BD（2）已知，如图7，⊙O 的两条弦AB ∥CD，求证:=例4 教材例题怎样求赵州桥主桥拱半径？(1) （2） （3） （4） （5）AC BD 图4图5 图7（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
24.1.2圆垂径定理导学案
九年级（上）数学导学案24.1.2 垂直与弦的直径导学目标：知识技能：探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质。
数学思考:体会在圆的问题中半径是第一重要元素。
解决问题:能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
情感态度:发现生活中圆的美，激发学生学习的兴趣，让学生体验到圆来源于生活并为生活服务．导学重难点：1. 重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。
2. 难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
导学过程：一、创设情境，引入新知你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度为37.4m，拱高7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、自主学习，探究新知阅读课本Ｐ80---P81思考下列问题：1.通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2.教材80页思考？从图中找到哪些相等的线段和弧？为什么？3.由垂径垂直弦可以得到什么结论？（垂径定理）4.由直径平分弦又得到了什么推论？三、合作交流，感悟新知四、反思建构,融汇新知垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且平分垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径于弦，并且五、当堂检测，巩固新知一、教材P82练习二、选择1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC = BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）三、填空1．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．2.如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=3，BC=1，则圆环的面积最接近的整数是.。
数学人教版九年级上册24.1.2垂径定理 导学案
新人教版义务教育教科书九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》导学案一、学习目标:1、理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论。
2、学会运用垂径定理及其推论解决计算，证明和作图问题。
二、预习内容（自学课本81页至83页）复习：1、什么叫做轴对称图形？把一个平面图形沿一条直线______，直线两旁的部分能够互相_________，这个图形就叫做轴对称图形。
圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？2、什么叫等弧？在同圆或等圆中，能够互相______的弧叫做等弧。
三、探究学习活动一：自主探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是___________图形，_________________________是它的对称轴．活动二：小组合作交流（要求：小组每个成员积极发言，记录员填写，每组派一名同学汇报）1、做一做：在⊙O上作的一条弦AB，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？答：_______________________________________________________（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？答：相等的线段：______=_____相等的弧：______=______________=________证明：（方法1）如图，连接OA、OB ，则OA=OB在Rt△OAE和Rt△OBE中，（方法2）：连接OA、OB ，则OA=___∴△OAB是______三角形∴Rt△OAE≌Rt△OBE（）又AB CD∴AE= ∴AE =____(等腰三角形“三线合一”) ∴点和点关于CD对称∵⊙O关于CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合,弧AC与BC重合，AD与CD重合．∴，，2、进一步，我们还可以得到垂径定理推论：四、巩固测评1、2、3题（看课件直接说出答案）4、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．5、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1，AB=10，求半径的长6、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？五、学习心得 _ _____________________________________________________________________________． · OAB EC DO。
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D O A 垂径定理导学案(一)
【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.
2.利用垂径定理解决一些实际问题．
【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。
【导学过程】
一．创设情景 引入新课
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥
拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题）
二、新知导学
（一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）探究二：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．
（1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么
（2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证 相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。
垂径定理：
文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
（题设，结论） 符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E
∴____=_____，_____=______，_____=______。
(三) 探究三：用垂径定理解决问题
已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，
求⊙O 的半径。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、
半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为 。
(四) 探究四：垂径定理的推论
文字语言：平分弦（ ）的直径_______，并且______ ______。
符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______
∴____=_____，_____=______，_____=______。
(五)利用新知 问题回解
赵州桥AB=8，CD=2，求半径。
书本82页例题
三、巩固练习，拓展提高
1.如图，两圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD
2.已知：⊙O 中弦AB ∥CD 。
求证：AC ＝BD
3.圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离
四、我的收获 C E D O。