2016上海春季高考数学真题及解析

2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷

2016.1

一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4.

函数()f x =

的定义域为 ；

5. 三阶行列式1

354

001

2

1

--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1

()f x a x

=

+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒

=

，BC =

AC = ；

8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）

9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为1

3

，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程2

50x ax ++=的一个虚根，

则a = ；

11. 函数2

21y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；

12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆2

2

650x y x +-+=上的两个动点，且满足

||AB =||OA OB +的最小值为 ；

二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A. π B.

4

3

π C. 2π D. 4π 15. 在6

(1)x +的二项展开式中，2

x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20

16. 幂函数2

y x -=的大致图像是（ ）

A. B. C. D.

17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直

19. 用数学归纳法证明等式2

123...22n n n ++++=+*

()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =

时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 2

2

123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2

123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++

C. 2

2

123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2

123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++

20. 关于双曲线

221164x y -=与22

1164

y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同

21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 2

2

2a b ab +≥ B. 2

2

2a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2

a b ab +≥-

23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两 个结论，正确的判断是（ ）

A. ①成立，②不成立

B. ①不成立，②成立

C. ①成立，②成立

D. ①不成立，②不成立

24. 对于椭圆22

(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b

+<，则称该

点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆

(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）

A. 三角形及其内部

B. 矩形及其内部

C. 圆及其内部

D. 椭圆及其内部

三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）

25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与

AC 所成的角的大小；

26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；