第五章 三角形单元的有限元法

2、位移函数设定 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍 以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位 移函数的有关问题。 v
y
图 1-2 是一个三节点三角形 单元，其节点i、j、m按逆时针 方向排列。每个节点位移在单 元平面内有两个分量：
{ i } [ui
m m
um
vj
j
vi
i
ui
uj x
5、单元内任意点的应力列阵
{ } [ x y xy ]T
y
i m
（1-5）
·
j
6、几何方程
x
u v u v x , y , xy x y y x
将上式代入式(1-4），
u { } x y u y x
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
3、形函数
（1）形函数确定 形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的 u a a x a y a a x a y (1 12) 插值函数。
1 2 3 4 5 6
现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定 常数a1、a2、…、a6 。设节点i、j、m的坐标分别为 （xi、yi）、（ xj、yj ）、（ xm、ym ），节点位移分别 为（ui、vi）、 （uj、vj） 、 （um、vm）。将它们 代入式（1-12），有
从式(1-13）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为
1 a1 uj 2A um ui xi xj xm yi yj ym
1 a2 1 uj 2A 1 um
1 ui
yi yj ym
(1-14）
1 a3 1 xj 2A 1 xm
1
xi
ui uj um
式中，
A为三角形单元的面积，有
[ N ] [[Ni ] [ N j ] [ Nm ]]
(1-21）
其中子矩阵
Ni 0 [ Ni ] Ni [ I ] 0 Ni [I]是2×2的单位矩阵。
(i, j, m) (1-22）
（2）形函数性质 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
用形函数把式(1-16）写成矩阵，有
u N i v 0
缩写为
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui v i 0 u j Nm v j um vm
{ f } [ N ]{ }
(1-20）
[N]为形函数矩阵，写成分块形式：
式中
ai x j ym xm y j
bi y j ym
j
ci x j xm
m (i, j, m) (1-17）
i
式(1-17）中（i、j、m）意指：按i、j、m依次轮换下 标，可得到aj、bj、cj～am、bm、cm。后面出现类似情 况时，照此推理。式(1-17）表明： aj、bj、cj～am、 bm、cm是单元三个节点坐标的函数。
第五章 三角形单元的有限元法
5.1 基本思想
把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变 形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离 散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计 算精度和计算机能力来确定。
P
2
○
4
6
8
10
4
4
6 6
6
8
② ①
○
④ ③
3 5
⑥ ⑤
7
⑧ ⑦
9
④
⑥ ⑤
① ②
（1-7）
x
E ( x y ) 2 1
式中 E、——弹性模量、泊松比。
上式可简写为
{ } [ D]{ }
其中
（1-8）
1 E [ D] 2 1 0
对 1 称 1 0 2
(1-9）
矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9） 中的E换为
u j a1 a2 x j a3 y j
um a1 a2 xm a3 ym
ui a1 a2 xi a3 yi
i a4 a5 xi a6 yi j a4 a5 x j a6 y j m a4 a5 xm a6 ym
(1-13）
图1-2
i ]T
(i, j, m)
（1-10）
一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序）， 共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移 列阵为：
i T { } j [ui i u j j um m ] m (1-11）
（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。 （5）位移函数中必须包含单元的常应变。 （6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。 条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收 敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必 要与充分条件。
y
m（7） j （1） i （2）
1 A 1 xj 2 1 xm
1
xi
yi yj ym
(1-15）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号 的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节 点作为起始节点i，则没有关系。
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A 同理 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
y vi
iHale Waihona Puke Baidu
vm
m
um
v u j
vj uj x
·
ui
本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 位移的关系）为简单多项式：
u a1 a2 x a3 y
a4 a5 x a6 y (1-12）
式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、 a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是 连续函数。 u v
例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。
4 5 6
①
②
1 2
③ ④
3
对任一单元，如③单元，取位移函数：
u a1 a2 x a3 y
a4 a5 x a6 y
位移函数中包含了单元的刚体位移。 (a1, a4 ) 位移函数中包含了单元的常应变。
u v u v (a2, a6, a3+a5 ) x , y , xy x y y x
T
{ } [ x y xy ]T （1-4）
（1-6）
7、物理方程矩阵式 对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形 式可表示为：
x E y 2 1 xy 1 0 对 x 1 称 y 1 xy 0 2
qVx T {qV } [qVx qVy ] qVy
（1-2）
3、单元内任意点的位移列阵f
{ f } [u
y
i m
]T
y
m
（1-3） ·
i
·u
v
j
j
x
x
图1-1
4、单元内任意点的应变列阵
{ } [ x y xy ]T
（1-4）
令
1 Ni (ai bi x ci y ) 2A
(i, j, m)
(1-18）
位移模式(1-16）可以简写为
u Ni ui N j u j Nmum Ni i N j j Nm m
(1-19）
式(1-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了 单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学 上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又 称插值函数。
3
③
5 5 5
⑦ ⑧
7 7
1
单元、节点需编号 弹性悬臂板剖分与集合
5.2 基本力学量矩阵表示
1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs
qsx {qs } [qsx qsy ]T qsy q
y
j
（1-1）
y
j
·
s
qV
i m m
·
x
i
x
2、单元内任意点的体积力列阵qV
x
x a2 , y y a5 , xy a3 a5 a2 a6
选取位移函数应考虑的问题
（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中 有u和v，与此相应，有2个位移函数；
（2）位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：x、y；
（3）位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以 便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本 单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个 待定常数。
（7）位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（4）—（6）的要 求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地 选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由 度数。
1 x y
2 3 2
x xy y
2 2 3
x x y xy y
x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4
①、②、③、④单元的位移函数都是
u a1 a2 x a3 y
a4 a5 x a6 y
可以看出： 位移函数在单元内是连续的； 位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。 以③、④的边界26为例
5 6 5 6
③ ④
2y x 3 2
u6 u
6
③
u2 u2
u6
u
④
2 3
两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。
1 E ， 换为 2
1
。
{ } [ D]{ }
(1-8）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 量)有区别， 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。
5.3 位移函数和形函数
• 1、位移函数概念 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而 必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移 模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐 标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响 计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得 足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获 得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优 势之一。
将式(1-14）代入式(1-12）的第一式，整理后得
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (1-16） 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (1-16） 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (1-16） 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A