事件间的关系和概率运算
事件间的关系与运算
事件间的关系与运算
事件间的关系与运算是概率论中的重要概念。
在概率论中，我们通常研究多个事件之间的关系，并进行相应的运算，以计算概率或者证明某些性质。
在事件间的关系方面，我们可以将事件分为互斥事件和不互斥事件。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况，例如抛一枚硬币时，正面和反面只能同时出现一个，因此正面和反面就是互斥事件。
而不互斥事件则是指两个事件可以同时发生的情况，例如抛一枚骰子时，出现奇数和出现大于3的数就是不互斥事件。
在事件间的运算方面，我们可以进行并、交、差、补等运算。
并运算指的是将两个事件的结果合并在一起，例如抛一枚硬币时，正面和反面的并集就是整个样本空间。
交运算指的是两个事件同时发生的情况，例如抛两枚硬币时，两个硬币都正面朝上的交集就是事件“两个硬币都正面朝上”。
差运算指的是从一个事件集合中减去另一个事件集合，例如抛一枚骰子时，出现奇数的集合减去出现3的集合就是出现奇数但不是3的差集。
补运算则是指取反操作，例如抛一枚硬币时，反面出现的事件的补集就是正面出现的事件。
了解事件间的关系与运算可以帮助我们更好地理解概率论中的
概念，并进行相应的计算和分析。
- 1 -。
事件的关系与概率运算
（４）对 立 事 件 ：若 事 件 Ａ 与 事 件 Ｂ 的 交 事 件 Ａ ｎ Ｂ 为 不 可 能 事 件 ，并 事 件 Ａ Ｕ Ｂ 为 必 然 事 件 ，则 称 事 件 Ｂ 为 事 件 Ａ 的 对 立 事 件 （也 称 事 件 Ａ 为 事 件 Ｂ 的 对 立 事 件 ），记 为 Ｂ — Ａ ，也 是 我 们 常 说 的 事 件 的 “对 立 面 ”，对 立 事 件 的 概 率 公 式 为 Ｐ （Ａ ）一 １一 Ｐ （Ａ ）。
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高一数学 ２０１８年３月 ｇｌｇ躁 …… 一
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（３）随 机 事 件 ：可 能 发 牛 也 可 能 不 发 生 的
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事件，用字母 Ａ表示，随机事件的概率为 的骰子可得Ｐ Ａ）一Ｐ Ｂ 一言’所以根据概
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１．事 件 的 分 类 与 概 率 （１）必 然 事 件 ：一 定 会 发 生 的 事 件 ，用 ０ 表 示 ，必 然 事 件 发 生 的 概 率 为 Ｐ （ｎ ）＝＝：１。 （２）不 可 能 事 件 ：一 定 不 会 发 生 的 事 件 ， 用 表 示 ，不 可 能 事 件 发 生 的 概 率 为
概率论与统计1-2事件的关系和运算
独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件 下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑 了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全 概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算， 而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事 件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和 为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互 斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事 件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算 出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件 同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某 个事件B已经发生的情况下，另一 个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质， 包括非负性、规范性、可加性等 ，这些性质在概率论和统计中有 着广泛的应用。
概率事件的关系与运算知识点总结
概率事件的关系与运算知识点总结一、事件的关系。
1. 包含关系。
- 定义：如果事件A发生必然导致事件B发生，那么称事件B包含事件A，记作A⊆ B。
例如，在掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为1”，事件B=“掷出的点数为奇数”，那么A发生时B一定发生，所以A⊆ B。
- 特殊情况：如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B，即这两个事件是同一个事件。
2. 互斥关系（互不相容关系）- 定义：如果事件A与事件B不能同时发生，即A∩ B=varnothing （varnothing为空集），那么称A与B是互斥事件。
例如，掷一枚硬币，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，A和B不可能同时发生，所以A与B互斥。
3. 对立关系。
- 定义：如果A∩ B=varnothing且A∪ B=varOmega（varOmega为样本空间），那么称A与B是对立事件，B叫做A的对立事件，记作B=¯A。
例如，在掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为偶数”，事件B=“掷出的点数为奇数”，A∩ B=varnothing且A∪ B={1,2,3,4,5,6}（整个样本空间），所以A与B是对立事件。
- 关系：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
4. 独立关系（如果涉及到选修内容）- 定义：设A,B是两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
例如，连续掷两次硬币，事件A=“第一次正面朝上”，事件B=“第二次正面朝上”，P(A)=(1)/(2)，P(B)=(1)/(2)，P(AB)=(1)/(4)，满足P(AB) = P(A)P(B)，所以A与B相互独立。
二、事件的运算。
1. 事件的并（和）运算。
- 定义：事件A与事件B的并（和）事件A∪ B是由所有A发生或B发生的基本事件组成的集合。
例如，掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为1或2”，事件B=“掷出的点数为3或4”，那么A∪ B=“掷出的点数为1、2、3或4”。
事件间的关系及运算
事件间的关系及运算事件间的关系可以通过运算来描述和计算。
常见的事件运算包括并、交、差和补等。
1. 并运算（Union）：表示将两个或多个事件合并在一起。
记作A∪B，表示事件A和事件B至少发生一个。
并运算的计算规则如下：- 若A和B是两个不相交的事件（即A∩B=∅），则A∪B 的概率等于A和B的概率之和：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
- 若A和B是两个有交集的事件（即A∩B≠∅），则A∪B 的概率等于A和B的概率之和减去A和B的交集的概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 交运算（Intersection）：表示两个事件同时发生的情况。
记作A∩B，表示事件A和事件B同时发生。
交运算的计算规则如下：- 若A和B是两个不相交的事件（即A∩B=∅），则A∩B的概率为0：P(A∩B) = 0。
- 若A和B是两个有交集的事件（即A∩B≠∅），则A∩B的概率等于A和B的概率之和减去A和B的并集的概率：P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)。
3. 差运算（Difference）：表示事件A发生而事件B不发生的情况。
记作A-B，表示事件A发生而事件B不发生。
差运算的计算规则如下：- A-B等于事件A和事件B的交集的补集：A-B = A∩B'。
- 若A和B是两个不相交的事件（即A∩B=∅），则A-B的概率等于A的概率减去B的概率：P(A-B) = P(A) - P(B)。
4. 补运算（Complement）：表示事件A不发生的情况。
记作A'或A^C，表示事件A不发生。
补运算的计算规则如下：- 若样本空间为S，则事件A的补集为S-A，即事件A不发生的情况。
- 若事件A是必然发生的事件（即A=S），则A的补集为空集：A' = ∅。
- 若事件A是不可能发生的事件（即A=∅），则A的补集为整个样本空间：A' = S。
概率论与数理统计考点
《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。
结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。
概率论复习知识点总结
C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立 的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
第4章要点
三、重要分布的期望和方差 分布 0-1分布 二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0
(a b) 2
(b a )2 12
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]
xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk
g( x ) f ( x )dx
第4章要点
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω
1随机事件与事件间的关系与运算介绍
1随机事件与事件间的关系与运算介绍事件是指在一个试验或观察中，可能发生的一系列结果的集合。
随机事件是指在试验过程中，其结果是由一定的概率决定的事件。
事件间的关系与运算是指通过不同的操作来描述和处理事件之间的关系。
事件间的关系包括并、交、差、互斥、包含和互余等。
1.并：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∪B表示。
A∪B 的结果是包含了A和B两个事件的所有可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∪B表示硬币正面朝上或者骰子掷出的结果是偶数。
2.交：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∩B表示。
A∩B 的结果是A和B共同的可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∩B表示硬币正面朝上并且骰子掷出的结果是偶数。
3.差：指事件A发生而事件B不发生的情况，用符号A-B表示。
A-B 的结果是事件A中除了事件B包含的结果之外剩余的可能结果。
比如，A 表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A-B表示硬币正面朝上但骰子掷出的结果不是偶数。
4.互斥：指两个事件A和B不可能同时发生的情况，用符号A∩B=∅表示。
如果A和B互斥，则它们的交集为空集。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一枚硬币反面朝上，两个事件是互斥的，即硬币不可能同时正面和反面朝上。
事件间的运算包括概率加法和概率乘法。
1.概率加法：对于两个互斥事件A和B，其并的概率等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
这个运算用于计算两个互斥事件中至少发生一个的概率。
2.概率乘法：对于两个独立事件A和B，其交的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
这个运算用于计算两个独立事件同时发生的概率。
需要注意的是，概率加法和概率乘法只适用于互斥事件和独立事件。
此外，事件间的包含和互余关系也常用于描述事件的关系。
1.包含：若事件A包含事件B，表示事件B发生必然导致事件A发生，用符号A包含B表示。
高二数学概率知识点汇总
高二数学概率知识点汇总数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。
以下是小编为您整理的关于高二数学概率知识点汇总的相关资料，供您阅读。
高二数学概率知识点汇总(一)教学内容：1、事件间的关系及运算2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系;2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算;3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。
教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。
教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。
教学的具体过程：引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。
今天我们要来研究概率的基本性质。
在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。
事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果)学生可能回答：﹛出现的点数=1﹜记为C1，﹛出现的点数=2﹜记为C2，﹛出现的点数=3﹜记为C3，﹛出现的点数=4﹜记为C4，﹛出现的点数=5﹜记为C5，﹛出现的点数=6﹜记为C6.老师：是不是只有这6个事件呢?请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜(记为D1)是不是该试验的事件?(学生回答：是)类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。
那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢?学生思考若事件C1发生(即出现点数为1)，那么事件H是否一定也发生?学生回答：是，因为1是奇数我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。
具体说：一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作(或)特殊地，不可能事件记为，任何事件都包含。
概率事件的关系与运算知识点
概率事件的关系与运算知识点一、知识概述《概率事件的关系与运算知识点》①基本定义：概率事件就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事情。
事件之间有各种关系和运算呢。
比如说，包含关系，就像大盒子装小盒子一样，如果事件A发生时事件B一定发生，那就说A包含于B。
还有相等关系，简单讲就是两个事件其实是一回事，发生的情况完全相同。
互斥事件啊，就是两个事件不能同时发生，就像白天和黑夜不能同时出现一样。
对立事件是特殊的互斥事件，除了不能同时发生，而且这两个事件的概率之和为1，就好比成功和失败加起来就是所有可能的按我的经验这是概率里很基础的东西，能帮我们更清楚地分析事情发生的可能性。
②重要程度：在概率学科里，这可是基础中的基础。
如果不懂事件的关系与运算，后面好多更复杂的概率计算和分析都没法弄，就像是盖房子，这是地基。
③前置知识：得先知道什么是概率，比如某个事情发生可能性的大小量化表示，像抛硬币正面朝上的概率是这种。
还得有点简单集合的概念，因为事件关系有点像集合间的关系。
④应用价值：在实际中超级有用。
比如彩票中奖的概率计算，不同奖项之间的关系就涉及到事件关系与运算。
还有保险理赔的概率评估，不同风险事件之间怎么相互影响。
二、知识体系①知识图谱：在概率学科的体系里，这是刚开始学概率就得掌握的内容，是后续学习概率分布、数字特征等知识的基石。
②关联知识：和概率计算、条件概率、贝叶斯公式等知识点都有联系。
因为要计算概率很多时候得先理清楚事件之间的关系。
③重难点分析：- 掌握难度：对于初学者来说，感觉有点抽象，特别是那种包含关系、互斥和对立关系的区分。
我当时刚学的时候就有点迷糊。
- 关键点：理解事件关系的定义，多从实际例子去感受。
④考点分析：- 在考试中的重要性：非常重要，不管是小测验还是大考试，都会考。
- 考查方式：选择题考概念辨析，大题可能让你计算考虑事件关系后的概率。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，就说A包含于B。
2 事件之间的关系与运算
(3)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出的牌点数为 5 的倍 数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得 点数为 10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
事件的运算
盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A＝{3 个球中有 1 个红球 2 个白球}，事件 B＝{3 个球中有 2 个红球 1 个白球}，事件 C＝{3 个球中至少有 1 个红球}，事件 D＝{3 个球 中既有红球又有白球}． 求：(1)事件 D 与 A、B 是什么样的运算关系？ (2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？
互斥事件与对立事件的判断 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加 演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判 断它们是不是对立事件． (1)恰有 1 名男生与恰有 2 名男生； (2)至少有 1 名男生与全是男生； (3)至少有 1 名男生与全是女生； (4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生．
1．事件的关系及运算
定义
表示法
包含 关系
一般地，对于事件 A 与事件
B，如果事件 A 发生，则事件 __B_⊇_A____
B_一__定_发__生____，称事件 B 包含
(或
事件 A(或事件 A 包含于事件 _A_⊆__B___)
B)
图示
定义
表示法
给定事件 A，B，由所
并事件
有 A 中的样本点与 B ___A_＋__B____ (或
(3)因为“至少有 1 名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以 它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件． (4)由于选出的是 1 名男生 1 名女生时“至少有 1 名男生”与“至少 有 1 名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
课件3：5.3.2 事件之间的关系与运算
[思路探究] 小明的成绩在 80 分以上可以看作是互斥事件“80 分～89 分”“90 分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60 分～69 分”“70 分～79 分”“80 分～89 分”“90 分以上”这几个彼此互斥 事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．
[解] 分别记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80 分～89 分” “在 70 分～79 分”在“60 分～69 分”为事件 B，C，D，E， 这四个事件彼此互斥． (1)小明的成绩在 80 分以上的概率是 P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
[解] (1)因为事件 C1，C2，C3，C4 发生，则事件 D3 必发生，所 以 C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件 E 包含事件 C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件 D2 包含事件 C4，C5，C6；事件 F 包含事件 C2，C4，C6；事件 G 包 含事件 C1，C3，C5. 且易知事件 C1 与事件 D1 相等，即 C1＝D1.
(或 A∩B＝ ∅ )
给定样本空间 Ω 与事件 A，则由 Ω
事件 中_所__有__不__属__于__A 的样本点组成的
对立
－A
事件称为 A 的对立事件.
(2)事件的和与积
定义
表示法
图示
给定事件 A，B，由所有 A中的 样本点与
__A_＋__B___
事件的
B中的 样本点组成的事件称为 A 与 B 的和
[解] (1)对于事件 D，可能的结果为 1 个红球、2 个白球，或 2 个 红球、1 个白球，故 D＝A∪B. (2)对于事件 C，可能的结果为 1 个红球、2 个白球，或 2 个红球、 1 个白球，或 3 个红球，故 C∩A＝A.
概率与互斥事件了解概率和互斥事件的关系和计算方法
概率与互斥事件了解概率和互斥事件的关系和计算方法概率和互斥事件是概率论中重要的概念，在统计学和随机事件分析中有广泛的应用。
这篇文章将介绍概率和互斥事件的基本概念、概率计算方法以及它们之间的关系。
一、概率的基本概念概率是指某个事件在重复试验中发生的可能性的大小。
概率的取值通常介于0和1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然发生事件。
例如，一个公平的硬币投掷，正反两面的概率都是0.5。
概率可以用数值表示，也可以用分数、百分比等形式表示。
我们通常使用的计算概率的公式是：“事件发生的次数/总的试验次数”。
例如，投掷骰子，得到一个1的概率是：“得到1的次数/总的投掷次数”。
二、互斥事件的概念互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
如果事件A和事件B是互斥事件，那么事件A的发生将排除事件B的发生，反之亦然。
例如，抛掷一个标准的骰子，事件A是得到一个奇数，事件B是得到一个偶数，这两个事件是互斥事件。
三、概率的计算方法1. 加法法则加法法则用于计算两个事件的联合概率。
对于两个互斥事件A和B，它们的联合概率可以通过将它们的概率相加得到。
即：P(A或B) = P(A) + P(B)。
举个例子，假设有一个扑克牌的纸牌游戏，概率抽到一张红桃牌是1/4，概率抽到一张黑桃牌是1/4，那么抽到一个红桃牌或者一个黑桃牌的概率是多少？根据加法法则，可以计算得到：P(红桃或黑桃) = P(红桃) + P(黑桃) = 1/4 + 1/4 = 1/2。
2. 乘法法则乘法法则用于计算两个独立事件的联合概率。
对于两个独立事件A和B，它们的联合概率可以通过将它们的概率相乘得到。
即：P(A和B) = P(A) × P(B)。
举个例子，一个班级有30个男生和20个女生，如果随机选择一个学生，概率选择一个男生是多少？根据乘法法则，可以计算得到：P(男生) = 30/50 = 3/5。
3. 条件概率条件概率是指在给定一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
概率论与统计1-2 事件的关系和运算
AB = ∅
A发生则 发生则 B必发生 必发生
集合论
A是B的 是 的 子集 A与B相等 与 相等
Venn图 Venn图
A⊂ B 且B ⊂ A
事件A与 不 与 不 事件 与B不 A与B不 能同时发生 相交 A的余集 A的对立事件 ① A U A = Ω ② AA = ∅
A
A
包含关系 出现, 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 则称 事件 B 包含事件 A, 记作 B ⊃ A 或 A ⊂ B . 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 长度不合格” 格”“产品不合格” “长度不合格”. 所以“ 包含“ 所以 产品不合格” 包含 长度不合格” 图示 B 包含 A. A B
抛掷一枚骰子, 实例 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 . “骰子出现 点” 互斥 骰子出现1点 骰子出现 “骰子出现2点” 骰子出现 点
图示 A与B互斥 与 互斥 A B
Ω
可将A∪ 记为 直和” 记为“ 说明 当A∩B= ∅时,可将 ∪B记为“直和”形式 ∩ 可将 A+B. 任意事件A与不可能事件 为互斥. 与不可能事件∅ 任意事件 与不可能事件∅为互斥
“二事件 A, B至少发生一个”也是一 个事件, 至少发生一个” 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A U B，显然 A U B = {e | e ∈ A或e ∈ B }.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 产品不合格” 直径是否合格所决定 因此 “产品不合格”是“长度 不合格” 不合格”与“直径不合格”的并. 直径不合格”的并 的并. 图示事件 A 与 B 的并 B AU BA
( 3 ) A， B， C中恰有两个发生 .
人教高中数学B版必修二事件之间的关系与运算 (2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析 当堂检测
解:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击
中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的
思维脉络
一
二
课前篇自主预习
一、事件的关系
1.填空.
定义
表示法
包含 关系
相等 关系
一般地,如果事件 A 发生,则 事件 B 一定发生,则称“A 包 B⊇A(或 A⊆B) 含于 B”(或“B 包含 A”)
A⊆B 且 B⊆A
A=B
图示
一
二
课前篇自主预习
2.做一做:掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面 向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判 断A,B,C之间的包含关系.
课前篇自主预习
一
二
2.如何理解互斥事件与对立事件?
提示:(1)事件A与事件B互斥表示事件A与事件B不可能同时发生,
即A与B两个事件同时发生的概率是0.
(2)互斥事件是指事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发
生,具体包括三种不同情形:①事件A发生且事件B不发生;②事件A
不发生且事件B发生;③事件A与事件B均不发生.
课前篇自主预习
一
二
(2)互斥事件与对立事件
互 定义 斥 事 符号
件 图示
给定事件 A,B,若事件 A 与 B 不能同时发生,则称 A 与 B 互斥 AB=⌀(或 A∩B=⌀)
定义
对 符号 立 事 图示 件
注意 事项
给定样本空间 Ω 与事件 A,则由 Ω 中所有不属于 A 的 样本点组成的事件称为 A 的对立事件 A∩B=⌀,且 A∪B=Ω
概率的运算和事件的运算
概率的运算和事件的运算概率是数学中的一个分支，它研究随机事件发生的可能性。
在概率论中，事件是指一个或多个结果的集合，它们可能会发生或不发生。
事件的运算是对事件的组合进行操作，从而得到新的事件。
本文将着重介绍概率的运算和事件的运算。
一、概率的运算1. 加法原理加法原理是指，如果事件A和事件B是不相交的，那么它们的联合事件（即事件A或事件B发生）的概率等于事件A的概率与事件B 的概率之和。
例如，如果A表示抛掷一枚骰子时得到1或2的事件，B表示抛掷一枚骰子时得到3或4的事件，那么P(A或B)=P(A)+P(B)=2/6+2/6=4/6。
2. 乘法原理乘法原理是指，如果事件A和事件B是独立的，那么它们的交集事件（即事件A和事件B都发生）的概率等于事件A的概率与事件B 的概率之积。
例如，如果A表示从一副扑克牌中抽取一张红色牌的事件，B表示从一副扑克牌中抽取一张大牌（即A、K、Q、J、10中的一张）的事件，那么P(A且B)=P(A)×P(B)=26/52×20/52=5/26。
3. 条件概率条件概率是指，在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A且B)/P(B)，其中P(A且B)表示事件A和事件B都发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，如果A表示某人患有某种疾病的事件，B表示某人的年龄在40岁以上的事件，那么P(A|B)表示在已知某人年龄在40岁以上的情况下，他患有某种疾病的概率。
二、事件的运算1. 并集并集是指由两个或多个事件的所有结果组成的集合。
例如，如果A 表示抛掷一枚骰子时得到1或2的事件，B表示抛掷一枚骰子时得到2或3的事件，那么A和B的并集表示抛掷一枚骰子时得到1、2或3的事件。
2. 交集交集是指由两个或多个事件的公共结果组成的集合。
例如，如果A 表示从一副扑克牌中抽取一张红色牌的事件，B表示从一副扑克牌中抽取一张大牌的事件，那么A和B的交集表示从一副扑克牌中抽取一张既是红色牌又是大牌的事件。
概率论与数理统计知识点总结
连
续
型
密度函数
分
布
分布函数
期望
（ EX ） 方差（ DX ）
均 匀 分
f
(x)
b
1
a
,
a xb
0, x a
0, 其他
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
EX a b 2
(b a)2 DX
12
布
1, x b
记作 X ~U[a,b]
n
n
n
P Ai 1 P(Ai ) 1 (1 P(Ai ))
i1
i1
i1
（4）伯努利概型
伯努利定理：在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ，则在 n 重伯努利试验中，事
件 A 恰好发生 k 次的概率为： b(k; n, p) Ckn pkqnk ，其中 q 1 p . 在伯努利试验序列中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，“事件 A 在第 k 次试验中才首
数 n 有关），如果 n 时， npn （ 0 为常数），则对任意给定的 k ，有
lim
n
b(k; n,
pn
)
k k!
e
.
当二项分布 b(n, p) 的参数 n 很大，而 p 很小时，可以将它用参数为 np 的泊松分布来近
似，即有
b(k; n, p) (np)k enp . k!
4.常用的连续型分布
k
N2 N
nk
.这一近似关系的严格
数学表述是：当 N
时， N1
， N2
，且
N1 N
p，
N2 N
1
p ，则对任意给
概率论知识点
概率论主要知识点 ch 11．事件之间的关系与运算，互不相容事件、对立事件； 2．概率的公理化定义和概率的性质；（公式的应用：)AB (P )B (P )A (P )B A (P -+=⋃)C (P )B (P )A (P )C B A (P ++=⋃⋃)ABC (P )BC (P )AC (P )AB (P +---）3．古典概型的定义和概率的计算；基本事件总数中包含的基本事件个数A nr )A (P ==4．条件概率和三大公式应用；（1）乘法公式)|()()(B A P B P AB P =；)|()|()()(111211-=n n n A A A P A A P A P A A P（2）全概率公式 ∑==n1i i i)B |A (P )B(P )A (P （核心是全概率公式）（3）贝叶斯公式∑===n1i i ij j j j )B |A (P )B(P )B |A (P )B (P )A (P )AB (P )A |B (P5．独立性和贝努利试验和二项概率。
kn k k nn )p 1(p C )k (P --= Ch21． 离散型随机变量及其分布律、分布函数； 2． 几种重要的离散型随机变量：（1）二项分布：)p 1q (n ,2,1,0k qp C )k X (P kn kkn -====-（2）泊松分布：)0(,2,1,0k e !k )k X (P k>===-λλλ（3）超几何分布：n ,2,1,0k CC C )k X (P n Nkn MN kM ==--（4）几何分布： ,2,1k p q )k X (P 1k ===-3． 随机变量的分布函数：)x X (P )x (F ≤=及其性质： 4．连续型随机变量的密度函数及其性质：⎰+∞∞-=≥1dx )x (f )2(;0)x (f )1('()()..;()()x F x f x a e F x f x dx -∞==⎰（主要是变上限的分段函数的积分）5． 几种重要的连续型随机变量的密度函数：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它：均匀分布0b x a a b 1)x (f )1( 记为]b ,a [U ~X⎩⎨⎧≤>=-0x 0x e )x (f )2(x λλ指数分布： 记为)(~λπX222)x (e21)x ()3(σμσπϕ--=正态分布： 记为),(~2σμN X6． 关于标准正态分布的结论： ⎰+∞∞-=1dx )x ()1(ϕ21)0()2(=Φ)0x ()x (1)x ()3(>-=-ΦΦ)x ()x X (P )x X (P ),(N ~X )4(2σμΦσμσμσμ-=-≤-=≤7．一维随机变量的函数的分布（1）公式法：X~)x (f X ，设)x (g 处处可导且0)x ('g >或0)x ('g <，则)X (g Y =的分布密度为⎩⎨⎧<<=其它y |)y ('h |)]y (h [f )y (f X Y βα特别地，2X Y =的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+==0y 0y )]y (f )y (f [y21)y ('F )y (f X X Y Y （2）分布函数法：)y )X (g (P )y (F ≤=ch31． 二维离散型随机变量及其分布律、分布函数； 2． 二维均匀分布 3．二维正态分布 ]}V UV 2U [)1(21exp{121)y ,x (f 222221+----=ρρρσπσ(+∞<<∞-+∞<<∞-y ,x ) 其中11x U σμ-=,22y V σμ-=,则称(X,Y)服从二维正态分布.记为 )Y ,X (~);,,(N 22;11ρσμσμ 4．边缘分布关于X 的边缘分布：⋅∞====∑i 1j iji P P}x X {P ；关于Y 的边缘分布为 ∑∞=∙===1}{i j ij j P P y Y P5．对于连续型随机变量： ⎰+∞∞-=dy )y ,x (f )x (f X 为(X,Y)关于X 的边缘密度函数。
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1 假设总区域概率为 1，求出总区域面积 方法：○ 2 求出目标区域面积 ○ 3 用目标区域面积比上总面积，即可得到目标区域的概率。 ○
例题 1 已知 0 x 1 ， 0 y 1 求 x y 0.5 的概率
1 设 0 x 1 并且 0 y 1 的概率为 1，已知该区域面积为 S 1*1 1 解:○ 2 设 x y 0.5 区域面积为 S ，设 x y 0.5 ○ 1
相互独立
A
B
Байду номын сангаас
例题 1：设 A 与 B 互不相容，且 P ( A) 0 , P ( B ) 0 ，则有(
)
( A) P ( A) 1 P ( B ) (C ) P ( AB ) P ( A) P ( B )
( B ) P ( AB ) 1 ( D ) P ( AUB ) P ( A) P ( B )
P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ， P ( A B ) P ( A)
B． 事件的概率计算 举例 1：抽取事件
m 1 计算从所有对象 n 中抽取 m 个的抽法， C 方法：○ n m 2 计算从特定对象 k 中抽取 m 个的抽法， C ○ k
3 在所有对象 n 中抽取特定对象 k m 个的概率 P ○
或
或
对立
A
B
P ( A) 1 P ( B ) 1 P ( A)
P( A B) 1 P ( A B ) P ( AB ) 0 P ( A B ) P ( A) P ( B )
互不相容
A
B
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B ) P ( AB ) 0 P ( AB ) P ( A) * P ( B )
第一章
事件间的关系和概率运算
A． 事件间的关系 方法：分析事件的关系，做出图示，并根据关系式进行计算
A 、 B 的关系
相容
图示 或
A 、 B 概率的关系
A A B
B
A A
P( A B) P( B) P ( A B ) P ( A) P ( A B ) P ( AB ) A P ( A B ) P ( AB ) B
回，所以每次抽白球的概率都是一样的。所以有 P ( A) P ( B ) P (C )
2 3
3 又因为每次抽白球和下次抽到白球两件事情毫不影响，相互独立的。所以有 ○
2 2 2 P ( ABC ) P ( A) * P ( B ) * P (C ) * * = 8 / 27 3 3 3
误。
3 看 (C ) 选 项 ， P ( AB ) 1 P ( AB ) ， 因 为 A 与 B 互 不 相 容 ， 所 以 P ( AB ) 0 ， ○
P ( AB ) =1， (C ) 选项错误
4 最 后 看 ( D ) 选 项 ， P ( A B ) P ( AB ) ， 由 上 图 可 知 A B ， 所 以 ， ○
1 先看 ( A) 选项，因为 A 与 B 互不相容，所以可得 解：○
A
B
所以 P ( A) 等于
A
A
P ( B ) 等于
B
B
A 与 B 的交集非空，
A B
所以 ( A) 选项错误
A B
2 再看 ( B ) 选项，根据上图 P ( A) 与 P ( B ) ，可以推出, A B ， B A 所以 ( B ) 选项错 ○
x y 0.5
0 y 1
S2 S3
面积为 S 2 ， 0.5 x y 面积为 S3 根据题意作图则有: 所以有
1 *0.5*0.5 0.125 2 S 1 S 2 S3 2 P ( A) 1 ○ 1 0.125 0.125 0.75 1 1 S 2 S3
Ckm m Cn
例题 1：从装有 2 红 4 白 6 个小球的箱子中随机抽取一次，试求抽到白球的概率。
1 1 从 6 个小球中抽 1 个小球的抽法为 C ， ○ 6 1 2 从 4 个白球中抽取一个小球的抽法为 C ， ○ 4
3 假设抽到白球的概率为 ○
1 C4 2 P ( A) ，那么 P ( A) = 1 C6 3
例题 2：从装有 2 红 4 白 6 个小球的箱子中随机抽取 3 次，每次都放回，试求连续三次 抽到白球的概率。
1 设第一次从抽到白球的概率为 P ( A) ，借鉴上一步结果 P ( A) = ○
1 C4 2 1 C6 3
2 设第二次抽到白球的概率为 P ( B ) ，第二次抽到白球的概率为 P (C ) ，因为每次都放 ○
解：因为 A 与 B 互不相容，参照表中第三行关系式，可以直接选择 ( D ) 例题 2：设 A 与 B 互不相容，且 P ( A) 0 , P ( B ) 0 ，则有( )
( A) A 与 B 不相容 (C ) P ( AB ) 0
( B ) A 与 B 相容
( D ) P ( A B ) P ( A)
0 x 1