高等数学下第八章练习题答案

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高等数学(同济第七版)第八章课后答案

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l)3 A = -(1IH + Ill）一；）＝－卡－ c.
4
一、《高等数学》｛第七版）下00习�全解
言。．
D4r1 =
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a,i 4.已知l网点M 1 (0.l.2）利l M2 (1. -l. 0）.试用卢I生 f,T; .-t< ,1�式表不，：.， :,, .11 ，叫戊
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面
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高数下典型习题及参考答案第8、9、10、11、12章习题及答案

dx
4 f (x, y)dy
x2
0
0
0
C、
4
y
∫0 dy∫0
f
(x,
y )dx
D、
4
∫0 dy∫0
y
f
(x,
y)dx
2、设 Ω 是由 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1所围成的区域，则 ∫∫∫ xyzdxdydz =
Ω
3、旋转抛物面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 2 那部分的曲面面积 S=（） 2
−a
a2 −x2
0
−a
28、设 D 由 x 轴和 y = sin x, x ∈ [0,π ]所围成，则积分 ∫∫ dσ = D
29、设 Ω :
0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤ 1,0
≤
z
≤
K
，且
∫∫∫
xdxdydz =
1 4
，则
K
=
Ω
二、解答题
( ) ( ) 1、计算三重积分 ∫∫∫ x2 + y 2 dv ，其中Ω是由曲面 2 x2 + y 2 = z 与平面 z = 4所围成的区域。
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 正确的（
）A、
2π
dθ
a
1
dr
r 3dz
B、
2π
dθ
a
dr
1
r
r2
+
z2
dz
0
0
0
0
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) C、
2π

高等数学课后习题答案第八章1

高等数学课后习题答案第八章1第八章习题解答节8.1部分习题解答 5、求极限（1）、101011l i m 2201=+-=+-→→yx xy y x （2）、xy y x y x 1sin)(lim 0+→→。

由y x xyy x +≤+≤1sin )(0，而0)(lim 00=+→→y x y x 所以01sin)(lim 00=+→→xyy x y x （3）、2ln 214)02ln()sin ln(lim2202=++=++→→y x y x y x （4）、=+-→→xy xy y x 42lim 041421)42(lim 00-=+-=++-→→xy xy xy y x （5）、110c o s 1c o s l i m000==++→→e y x y e x y x （6）、=++-→→xy y x ey x y x )()cos(1lim22220=++→→xy y x ey x y x )()(21sin 2lim 222220 )(21)(21sin lim 222200y x y x y x ++→→0101)(21sin lim 2200=?=+?→→xy y x e y x 6、证明下列极限不存在（1）、yx yx y x -+→→00l i m 证明：取路径0=x 有=-+→→y x y x y x 00lim1lim0-=-→=yyy x 取路径0=y 有=-+→→y x y x y x 00lim1lim 00=→=xx x y ，所以y x yx y x -+→→00lim 不存在（2）、xy x x y x -+→→2220l i m证明：取路径x y =有xy x x y x -+→→22200lim x x x y x -=→→2202lim 0142lim 00=-=→→x x y x 取路径x y =有x y x x y x -+→→2220 0lim 1lim 220==→→x x y x ，所以xy x x y x -+→→22200lim 不存在。

高等数学第八章课后习题答案

第八章习题解答（2）节8.4部分习题解答1、设22v uv u z ++= y x v y x u -=+=,，求x z ∂∂，yz ∂∂ 解：v u u z +=∂∂2 v u vz 2+=∂∂ 1=∂∂x u ，1=∂∂x v ；1=∂∂y u ，1-=∂∂yv 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xvx v u v u v u 6)(3)2()2(=+=+++y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv y v u v u v u 2)2()2(=-=+-+ 2、设v u z ln 2= y x v yxu 23,-==，求x z ∂∂，y z ∂∂解：v u u zln 2=∂∂ vu v z 2=∂∂ y x u 1=∂∂，3=∂∂x v ；2yx y u -=∂∂，2-=∂∂y v所以 x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂x v )23(3)23l n (23ln 21222y x y x y x y x v u v u y -+-=+y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂y v )23(2)23l n (22ln 2223222y x y x y x y x v u v u y x ----=-- 3、设v e z uln = 22222,2y x v y x u -=-=，求x z ∂∂，yz∂∂ 解：v e u z uln =∂∂ ve v z u =∂∂ x x u 4=∂∂，x x v 2=∂∂；y y u 2-=∂∂，y yv 4-=∂∂ 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xv]21)2ln(2[22ln 42222222yx y x xe v e x v xe y x u u-+-=+-y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv ]22)2ln(2[24ln 2222222yx y x ye v e y v ye y x u u-+--=--- 4、设y x e z 2-= 3,sin t y t x ==，求 dtdz解：y x e x z 2-=∂∂ y x e yz 22--=∂∂，t dt dx cos =，23t dt dy =，所以dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy223c o s t te y x +-)2(2y x e --=)6(c o s 22s i n 3t t e t t -- 5、设)arcsin(y x z -= 34,3t y t x ==，求 dtdz 解：2)(11y x x z --=∂∂ 2)(11y x y z ---=∂∂，t dt dx 3=，212t dt dy =，所以 dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy=---22)(1123y x t 232)43(1123t t t ---6、设)23tan(22y x t z -+= t y tx ==,1，求dtdz 解：2sec 4x x z =∂∂)23(22y x t -+ 2s e c 2y yz -=∂∂)23(22y x t -+， 2sec 3=dt dz )23(22y x t -+；21t dt dx -=，tdt dy 21=， 1=dt dt 所以t dz ∂⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =∂∂+t z dt dy 2s e c )23(22y x t -+]3212)1(14[2+--tt t t 2sec =)22(2t t +)42(3t -⋅ 7、设1)(2+-=a z y e u ax xz x a y cos ,sin ==，求 dx du解：=∂∂x u 1)(2+-a z y ae ax ，=∂∂y u12+a ae ax ，-=∂∂z u 12+a ae ax x dx dy cos =；x dxdzsin -=，所以 dx du ⋅∂∂=x u ⋅∂∂+y u =⋅∂∂+dx dzz u dx dy ]s i n c o s )c o s s i n ([12x x a x x a a a e ax ++-+ x e ax sin =8、设222z y xe u ++= x y z sin 2=，求x u ∂∂，yu∂∂ 解：x x u 2=∂∂222z y x e ++⋅ y yu2=∂∂222z y x e ++⋅，z z u 2=∂∂222z y x e ++⋅ x y x z cos 2=∂∂，x y yz sin 2=∂∂；所以：x u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅+∂∂=xzz u y u x u 0]cos 22[2222x zy x e z y x +++ =+=++]cos sin 22[22sin 2422x xy y x e xy y x]2sin 2[4sin 2422x y x e xy y x+=++y u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂=yz z u y u x u 0]sin 222[222x y z y e z y x ⋅+++ =⋅+=++]sin 2sin 22[2sin 2422x y x y y e xy y x]sin 21[222sin 2422x y ye xy y x+++9、设)cos(22y x y x z +++= v y v u x arcsin ,=+=，求vu zu z ∂∂∂∂∂2, 解：)sin(2y x x x z +-=∂∂，)sin(2y x y yz +-=∂∂ 1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，0=∂∂u y211vv y -=∂∂所以)a r c s i n s i n ()(2)s i n (2v v u v u y x x uz++-+=+-=∂∂)111)(arcsin cos(222vv v u v u z -+++-=∂∂∂ 10、设,arctan y xz =v u y v u x -=+=,验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂ 证明：22yx yx z +=∂∂，22y x x y z +-=∂∂，1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，11=∂∂u y ，1-=∂∂v y所以)(122x y y x u z -+=∂∂22v u v +-=，)(122x y yx v z ++=∂∂22v u u += 故有左边=+-=∂∂+∂∂=22vu vu v z u z 右边 11、设f 具有连续的一阶偏导数，求下列函数的一阶偏导数（1）、)34,23(y x y x f z -+=解：设y x v y x u 34,23-=+=，于是有3=∂∂x u ，2=∂∂y u ，4=∂∂x v ，3-=∂∂yv2143f f x z +=∂∂ =∂∂yz2133f f - （2）、),(22xy e y x f z -= 解：设xy e v y x u =-=,22，于是有x x u 2=∂∂，y y u 2-=∂∂，xy ye x v =∂∂，xu xe yv=∂∂ =∂∂x z 212f ye xf xy + 212f xe yf yzxy +-=∂∂ （3）、)32,ln (y x x y f z +=解：设y x v x y u 32,ln +==，于是有x y x u =∂∂，x y u ln =∂∂，2=∂∂x v ，3=∂∂yv212f f x y x z +=∂∂ 213ln f xf yz+=∂∂ （4）、),(yxx y f z = 解：设y x v x y u ==,，于是有2x y x u -=∂∂，x y u 1=∂∂，y x v 1=∂∂，2yx y v -=∂∂ 2121f y f xy x z +-=∂∂2211f y x f x y z -=∂∂ （5）、),,(y x y x x f z -+=解：设y x v y x u -=+=,，于是有1=∂∂x u ，1=∂∂x v ，1=∂∂y u ，1-=∂∂yv321f f f x z ++=∂∂ 32f f yz -=∂∂ （6）、),,(x y z xy x f u =解：设xyz t xy s ==,，于是有y x s =∂∂，yz x t =∂∂，x y s =∂∂，zx yt=∂∂ 0=∂∂z x ，0=∂∂z s xy zt=∂∂ 321yzf yf f x u ++=∂∂ 32z x f xf yu+=∂∂ 3xyf z u =∂∂ 12、设)(u f 具有连续的导数，)(xyxf xy z += 验证：z xy yz y x z x+=∂∂+∂∂ 验证：)])(()([2xy x y f x x y f y x x z x-'++=∂∂)()(x y f y x y xf xy '-+= ='+=∂∂)])(([xyx y f x x y y z y)(x y f y xy '+左边==+=+=∂∂+∂∂z xy xyxf xy y z y x z x)(2右边 13、设)(22y x f z +=，)(u f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22y z∂∂ 解：设22y x u +=有1f u z=∂∂ 1122f u z =∂∂ x x u 2=∂∂ 222=∂∂x u 0=∂∂∂y x u y y u2=∂∂ 222=∂∂yu 12xf x z =∂∂ x xf f x z 22211122+=∂∂112142f x f += 11112422xyf y xf yx z ==∂∂∂ 12yf y z=∂∂ 11212242f y f yz +=∂∂ 14、设f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22yz∂∂（1）、),(xy y x f z += 解：设xy v y x u =+=,有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z =∂∂ 2222f v z =∂∂ 1=∂∂x u 022=∂∂x u 02=∂∂∂y x u 1=∂∂y u 022=∂∂y u y x v =∂∂ 022=∂∂x v 12=∂∂∂y x v x y v =∂∂ 022=∂∂yv 于是有：22222)(xv v z x u u z z v y u x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f y yf f ++=y x vv z y x u u z z v x u v y u y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂222))((2221211)(f xyf f y x f ++++= 22222)(y vv z y u u z z v x u yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f x xf f ++= （2）、),(yxxy f z =解：设yx v xy u ==, 有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z=∂∂ 2222f v z =∂∂ y x u =∂∂ 022=∂∂x u 12=∂∂∂y x u x y u =∂∂ 022=∂∂yu y x v 1=∂∂ 022=∂∂x v221yy x v -=∂∂∂ 2y x y v -=∂∂ 3222y x y v =∂∂ 于是有：22222)1(x v v z x u u z z v y u y x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2221211212f y f f y ++=yx vv z y x u u z z v y x u x v y u y y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂2222))(1(221223111f y f f y x xyf -+-+=222222)(y v v z y u u z z v y x u x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂232242122211222f y x f y x f y x f x ++-=。

高等数学第八章习题详细答案

习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设11D I σ=其中1{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥；又22D I σ=其中222{(,)1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面z =1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面z =2Ω的体积．由于当0,1x y ≤≤时，12()()S D S D <且12D D ⊂，位于1D 上方的曲面z 始终不低于曲面z =12I I <．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

高等数学课后习题及参考答案(第八章)

高等数学课后习题及参考答案（第八章）习题8-11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为 {(x , y )|x =0或y =0}. (2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为 {(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}, 边界为 {(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}. (3){(x , y )|y >x 2}; 解开集, 区域, 无界集, 导集为 {(x , y )| y ≥x 2}, 边界为 {(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y -1)2≥1}⋂{(x , y )|x 2+(y -2)2≤4}. 解闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 {(x , y )|x 2+(y -1)2=1}⋃{(x , y )|x 2+(y -2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22-+=, 试求f (tx , ty ).解 )(tan )()()()(),(22ty tx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅-+=),()tan (2222y x f t y x xy y x t =-+=.3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v =F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ). 4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x -y , xy ). 解 f (x +y , x -y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x -y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y 2-2x +1); 解要使函数有意义, 必须 y 2-2x +1>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2-2x +1>0}. (2)y x y x z -++=11;解要使函数有意义, 必须 x +y >0, x -y >0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x -y >0}.(3)y x z -=;解要使函数有意义, 必须 y ≥0,0≥-y x 即y x ≥, 于是有 x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }. (4)221)ln(yx x x y z --+-=; 解要使函数有意义, 必须 y -x >0, x ≥0, 1-x 2-y 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )| y -x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221r z y x z y x R u -+++---=(R >r >0); 解要使函数有意义, 必须R 2-x 2-y 2-z 2≥0且x 2+y 2+z 2-r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}. (6)22arccos y x z u +=.解要使函数有意义, 必须 x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限: (1)22)1,0(),(1lim y x xyy x +-→;解110011lim22)1,0(),(=+-=+-→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y yx . (3)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→; 解xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++-=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim )0,0(),(-=++-=→xy y x .(4)11lim )0,0(),(-+→xy xyy x ;解11lim)0,0(),(-+→xy xyy x )11)(11()11(lim)0,0(),(-+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xyxy xy y x y x . (5)yxy y x )sin(lim)0,2(),(→;解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xy xyy x .(6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 解 2222)()(21lim )()cos(1lim 22222)0,0(),(2222)0,0(),(yx y x y x y x e y x y x e y x y x ++=++-→→ 0lim 212222)0,0(),(=+=→y x y x e y x (用等价无穷小代换). 7. 证明下列极限不存在: (1)yx yx y x -+→)0,0(),(lim;证明如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(==-+→=→x x y x yx x y y x ;如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(-=-=-+→=→y yy x y x y x y x .因此, 极限yx yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.(2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→. 证明如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0), 则1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==-+→=→x x y x y x y x x xy y x ;如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0), 则044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=-+→=→x x x y x y x y x x xy y x .因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在.8. 函数xy xy z 2222-+=在何处间断？解因为当y 2-2x =0时, 函数无意义, 所以在y 2 -2x =0处, 函数xy x y z 2222-+=间断.9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xyy x . 证明因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+,所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x y x xyy x y x .因此 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x . 方法二:证明因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x y x y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤-+22|0|2222y x y x xy,所以 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x .10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|f (x )-f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x -x 0|<δ, 从而|F (x , y )-F (x 0, y 0)|=|f (x )-f (x 0)|<ε, 所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8-21. 求下列函数的偏导数: (1) z =x 3y -y 3x ; 解 323y y x xz -=∂∂,233xy x y z -=∂∂.(2)uvvu s 22+=;解 21)(uv v u v v u u u s -=+∂∂=∂∂,21)(vu u u v v u v v s -=+∂∂=∂∂.(3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理 )ln(21xy y y z =∂∂.(4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅-⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y -=根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz -=∂∂.(5)yx z tan ln =;解 yx y y y x yx x z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂,yx y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222-=-⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(--+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz ,]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xyxy xy y ++++=.(7)zy x u =;解 )1(-=∂∂z y x zy x u ,x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂,x x zy z y x x z u z yz y ln )(ln 22⋅-=-=∂∂.(8) u =arctan(x -y )z ;解 zz y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-, zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-, zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂. 2. 设g l T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l .解因为lg l T ⋅⋅=∂∂1π,gg g l g T 1)21(223⋅-=⋅-⋅=∂∂-ππ, 所以 0=⋅-⋅=∂∂+∂∂g l g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(yx ez +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.解因为2)11(1x ex z yx ⋅=∂∂+-, 2)11(1y e yz y x ⋅=∂∂+-, 所以 z eeyz y x z x yx yx 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-4. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=, 求)1 ,(x f x .解因为x x x x f =-+=1arcsin )11()1 ,(,所以 1)1 ,()1 ,(==x f dx d x f x .5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？解因为242x x x z ==∂∂,αtan 1)5,4,2(==∂∂xz ,故 4πα=.6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2;解 2384xy x xz -=∂∂, 2222812y x x z -=∂∂; y x y yz 2384-=∂∂, 2222812x y y z -=∂∂;xy y x y yy x z 16)84(232-=-∂∂=∂∂∂. (2)xyz arctan =;解 22222)(11y x y x y xy x z +-=-⋅+=∂∂,22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy yz +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +-=∂∂;22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +-=+-+-=+-∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y xz xln =∂∂, y y x z x 222ln =∂∂; 1-=∂∂x xy yz , 222)1(--=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂--y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, -1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x , f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0, 所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2, f yz (0, -1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyyx xy x z ,x xy y x z 122==∂∂, 023=∂∂∂y x z ,y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z -=∂∂∂. 9. 验证:(1)nx e y tkn sin 2-=满足22xy k t y ∂∂=∂∂;证明因为nx e kn kn nx e t y t kn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx ne x y tkn cos 2-=∂∂, nx e n x y t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 2222--=∂∂,所以 22xyk t y ∂∂=∂∂.(2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂. 证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r xr -=∂∂-=∂∂, 由对称性知32222ry r y r -=∂∂, 32222r z r z r -=∂∂,因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r -+-+-=∂∂+∂∂+∂∂ rr r r r z y x r 23)(332232222=-=++-=. 习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22yx y z +=;解因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分. 解因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12,所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233y x y y x x y x +∆+∆++=, 所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x y x ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yxy xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dt dyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=x xxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明)()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y y e f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂.(2)) ,(zyy x f u =;解1211)()(f yz y x f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂, )()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f zy'⋅-=.(3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f x u ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22yz ∂∂. 解令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422, f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数):(1) z =f (xy , y );解令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)(1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=v fx u v f v u f x u f x 2222222vf v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和v f ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(1)1()(vfy y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂=y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=222112232221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2',z y=f1'⋅2xy+f2'⋅x2=2xyf1'+x2f2';z xx=y2[f11''⋅y2+f12''⋅2xy]+2yf2''+2xy[f21''⋅y2+f22''⋅2xy]=y4f11''+2xy3f12''+2yf2''+2xy3f21''+4x2y2 f22''=y4f11''+4xy3f12''+2yf2''+4x2y2 f22'',z xy=2y f1'+y2[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+2xf2'+2xy[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2y f1'+2xy3f11''+x2y2f12''+2xf2'+4x2y2f21''+2x3yf22''=2y f1'+2xy3f11''+5x2y2f12''+2xf2'+2x3yf22'',z yy=2xf1'+2xy[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+x2[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2xf1'+4x2y2f11''+2x3y f12''+2x3yf21''+x4f22''=2xf1'+4x2y2f11''+4x3y f12''+x4f22''.(4) z=f(sin x, cos y,e x+y).解z x=f1'⋅cos x+ f3'⋅e x+y=cos x f1'+e x+y f3',z y=f2'⋅(-sin y)+ f3'⋅e x+y=-sin y f2'+e x+y f3',z xx=-sin x f1'+cos x⋅(f11''⋅cos x+ f13''⋅e x+y)+e x+y f3'+e x+y(f31''⋅cos x+ f33''⋅e x+y)=-sin x f1'+cos2x f11''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e x+y cos x f31''+e2(x+y) f33''=-sin x f1'+cos2x f11''+2e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e2(x+y) f33'', z xy=cos x[f12''⋅(-sin y)+ f13''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y [f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13'+e x+y f3'-e x+y sin y f32'+e2(x+y)f33'=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'-e x+y sin y f32''+e2(x+y)f33'',z yy=-cos y f2'-sin y[f22''⋅(-sin y)+ f23''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y[f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23ts y +=, 证明2222)()()()(tu s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(yu x u ∂∂+∂∂=.又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222yu x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=22222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(22yu x u t t u t t u ∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂. 习题8-51. 设sin y +e x-xy 2=0, 求dxdy.解令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设xy y x arctan ln 22=+, 求dx dy.解令xy y x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=, 22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, y x y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x ,F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F y z , 于是 13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F FF F y z x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明因为vu u v u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu v v u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22x z ∂∂. 解设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z-xy , xye yz F F x z zz x -=-=∂∂, 222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xy z yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xz xy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ; 解视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂.(3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g x u g xv x vf x u x u f x u 21212)1()( , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx u u sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得dy v v e v dx v v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u u u u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而 1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u , ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u . 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tFy F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=. 证明由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dx dt t f x f dx dy , 移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F t F y F t fD 的条件下 yF t f t F x F t f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1.习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12(-π处, 切线方程为 22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程.解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为 ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++,法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得y y 2='.。

高等数学典型习题及参考答案

⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。

高等数学课后答案第八章习题详细解答

习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

高等数学练习册第八章习题参考答案(1)

解令x a cos t, y a sin t,
I
2 0
1 a2
[a 2
(cos
t
sin
t
)(
sin
t
)
(cos
t
sin
t
)
cos
t
]dt
2
0 dt 2 .
p55. 2.计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,其中 L
L为抛物线y x2上从点(1,1)到点(1,1)的一段弧.
C
(2)曲线弧C的重心坐标为
xG
1 x( x, y)ds
MC
,yG
1 y( x, y)ds .
MC
p51.2.设光滑曲线L关于x轴对称, L1是L在x轴上方的部分, (1)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为奇函数,则Biblioteka f ( x, y)ds 0 ; L
(2)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为偶函数,
(1)当p点从点A(a , 0)经位于第一象限的弧段到 B(0,b)时, F所作的功;
(2)当p点经过全椭圆时,F所作的功.
p56. 解 F | F | F 0 x2 y2 ( x , y ) x2 y2 x2 y2
( x, y),
(1) W F d s ( x)dx ( y)dy
0
22
a2
2
| cos
t
| dt
2a 2
2 cos udu 2a2 .
20
2
0
p52. 3.计算 | xy | ds,其中L :圆周x2 y2 a2. L
解法1
I 4
2
a3
sin t

高等数学(下) 第3版习题详解第八章多元函数微积分

习题全解-第八章多元函数微积分习题 8-11.在y 轴上求与点)7,3,1(-A 和点)5,7,5(-B 等距离的点。

解设y 轴上有点)0,,0(y P 与A 和B 点等距离。

则PA ==PB ==由PA PB =得2=y即在y 轴上与点)7,3,1(-A 和点)5,7,5(-B 等距离的点为)0,2,0( 2.指出下列平面的特点，并画出草图：（1） 230x y -+=；（2） 350x -=；（3） 0x z -=；（4） 20x y +=；（5）0x y z --=；（6） 0z =. 解（1）方程中，0=C 平面平行于z 轴。

（2方程中，0==C B 平面平行于yoz 平面。

（3）方程中，0==D B 平面过y 轴。

（4）方程中，0==D C 平面过z 轴。

（5）方程中，0=D 平面过坐标原点。

（6）方程中，0===D B A 平面重合于xoy 平面。

3．指出下列方程所表示的曲面，并画出草图：（1） 2221x y z ++=；（2） 2240x y x +-=（3） 22194x y +=；（4） 2z y =；（5） 22244936x y z ++=；（6） 22214z x y +-=；（7） z =；（8） z =. 解（1）表示球心在原点，半径为1的球面（2）表示母线平行于z 轴的圆柱面（3）表示母线平行于z 轴的椭圆柱面（4）表示母线平行于x 轴的抛物柱面（5）表示旋转椭球面（6）表示单叶双曲面（7）表示球心在坐标原点，半径为2的上半个球面（8）表示圆锥面4．写出下列旋转面的方程：（1） zOx 面上的直线2z x =分别绕x 轴、z 轴旋转而成的旋转面；（2） yOz 面上的抛物线23y z =绕z 轴旋转而成的旋转面；（3） yOz 面上的圆224y z +=绕y 轴旋转而成的旋转面；（4） xOy 面上的椭圆2244x y +=绕x 轴旋转而成的旋转面.解（1）绕x 轴旋转：0)(4222=+-z y x ；绕y 轴旋转：0)(4222=+-y x z（2）0322=-+z y x （3）4222=++z y x（4）44222=++）（z y x 5．画出下列曲面所围立体的图形：（1）旋转抛物面228z x y =--与xOy 平面；（2）旋转抛物面22z x y =+与平面4z =；（3）圆柱面2216x y +=与平面4,0y z z +== （4）曲面22y x z +=与222y x z --=解（1）（2）（3）（4）习题8-21.已知函数22),(xy y x y x f -=，试求)sin ,cos (y x y x f 解 22)sin (cos sin )cos ()sin ,cos (y x y x y x y x y x y x f -= y x y x y x y x 2222sin cos sin cos ⋅-⋅= )sin (cos sin cos 3y y y y x -= 2.已知函数vu vwu w v u f ++=),,(，试求),,(xy y x y x f -+解 x yx xy y x xy y x y x f 2)(),,(++=-+-3.求下列函数的定义域：（1）)4ln(12222y x y x z --+-+=解要使函数有意义，须使 ⎪⎩⎪⎨⎧>--≥-+04012222y x y x解得2214x y ≤+<所以函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x（2）x yy x f arcsin),(=解要使函数有意义，须使⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≤-011x x y解得0>x 时，x y x ≤≤-；0<x 时，x y x -≤≤所以函数的定义域为{}x y x x y x ≤≤->,0),(⋃{}x y x x y x -≤≤<,0),(（3）yx z -=解要使函数有意义，须使⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-0y y x 解得yx y x ≥≥≥2,0,0所以函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(（4）2229z y x u ---=解要使函数有意义，须使09222≥---z y x解得9222≤++z y x所以函数的定义域为{}9),(222≤++z y x y x4.下列函数在哪些点间断？（1）2132--+=x y x z解当2=x 时，函数间断所以函数有一条间断线为{}2),(=x y x（2）44y x e z xy+=解当,0==y x 时，函数间断所以函数间断点为)0,0(习题8-31.求下列函数的偏导数和全微分（1）123+-=xy y x z解 223y y x x z -=∂∂ xy x y z23-=∂∂ dy xy x dx y y x dz )2()3(322-+-=（2）)ln(xy x z =解 1)ln()ln(+=+=∂∂xy xyy x xy x z y xxy x x y z ==∂∂ dy y x dx xy dz ++=)1(ln（3）xy yx z +-=1解 22222)1(1)1(1)1()1)(()1()(xy y xy y xy xy xy xy y x xy y x x z ++=++-+=+'+--+'-=∂∂2222)1(1)1()()1()1()1)(()1()(xy x xy x y x xy xy xy y x xy y x y z ++-=+--+-=+'+--+'-=∂∂ dy xy x dx xy y dz 2222)1(1)1(1++-++=（4）22arcsin y x z +=解 2222222212211y x y x x y x x y x x z +--=+⋅--=∂∂ 2222222212211y x y x y y x y y x y z +--=+⋅--=∂∂ dy yx y x y dx y x y x x dz 2222222211+--++--= （5）32sin xz x y u +=解 32cos z x y x u +=∂∂ x y usin =∂∂ 26xz z u =∂∂dz xz xdy dx z x y du 236sin )2cos (+++=（6）zxy u )1(-=解 ðuðx=−yz(1−xy)z−1ðuðy=−xz(1−xy)z−1ðuðz =(1−xy)z ⋅ln(1−xy)()()()dz xy xy dy xy xz dx xy yz du zz z --+----=--1ln 11)1(112.设函数)2(),(sin y x e y x f x +=，求)1,0(x f '和)1,0(y f '解因为xx x e y x x e f sin sin )2(cos ++=' 所以3)1,0(='x f因为)2(sin +='x e f x y 所以2)1,0(='y f3.设222),,(zx yz xy z y x f ++=，求)1,2,0(x f '，)2,0,1(xzf ''，)0,1,0(-''yzf ，)1,0,2(zzxf '''。

高等数学第八章习题解答

习题8.11. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有Oxy 平面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q 。

解：据题意，薄板区域D 是Oxy 平面上的有界闭域，(,)x y μ是定义在D 上的面密度函数，那么用任意曲线把D 分成n 个可求面积的小区域12,,n σσσ ，以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成了D 的一个分割T ，在每个i σ上任取一点(,)i i εη，那么电荷Q 即为D 上的一个积分和1(,)ni i i i Q u εησ==∆∑。

当d 足够小时，1(,)(,)ni i i i DQ u u x y d εησσ==∆=∑⎰⎰2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形：（1）()221Dx y d σ++⎰⎰，其中区域D 是圆域221x y +≤；解：（1）在圆域221x y +≤上以抛物面2221z x y =++为顶的曲顶柱体的体积。

（2）Dyd σ⎰⎰，其中区域D 是三角形域0,0,1x y x y ≥≥+≤；解：在三角形域D 上以平面z y =为顶的柱体的体积。

z 轴x 轴y 轴（1）（2） 3. 设12231()D I x y d σ=+⎰⎰, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2 ;又22232()D I x y d σ=+⎰⎰, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系.解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积.I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积.显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)Dd σσ=⎰⎰ (其中σ为D 的面积;证明由二重积分的定义可知,1(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中∆σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以 01lim lim ni i Dd λλσσσσ→→==∆==∑⎰⎰.(2)(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰ (其中k 为常数);证明 011(,)lim (,)lim (,)n ni i i i i i i i Dkf x y d kf k f λλσξησξησ→→===∆=∆∑∑⎰⎰1lim (,)(,)ni i i i Dk f k f x y d λξησσ→==∆=∑⎰⎰.(3)12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中D =D 1⋃D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域.证明将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ∆和2i σ∆,n 1+n 2=n , 作和1211122212111(,)(,)(,)n n ni i i i i i i i i i i i f f f ξησξησξησ===∆=∆+∆∑∑∑.令各1i σ∆和2i σ∆的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1，λ2), 则有1lim (,)n i i i i f λξησ→=∆∑121112221212011lim (,)lim (,)n n i i i i i i i i f f λλξησξησ→→===∆+∆∑∑,即 12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:(1)2()Dx y d σ+⎰⎰与, 3()Dx y d σ+⎰⎰ 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线x +y =1所围成;解区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3≤(x +y )2, 从而3()Dx y d σ+⎰⎰≤2()Dx y d σ+⎰⎰.(2)2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰其中积分区域D 是由圆周(x -2)2+(y -1)2=2所围成;解区域D 如图所示, 由于直线x +y =1与圆(x -2)2+(y -1)2=2相切，故D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2, 因而 23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.(3)ln()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1,0), (1, 1), (2, 0);解区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有 [ln(x +y )]2≤ ln(x +y ),因而 2[ln()]ln()+≤+⎰⎰⎰⎰DDx y d x y d σσ.(4)ln()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.解区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而ln(x +y )≥1,因而 [ln(x +y )]2≥ln(x +y ),故 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:(1)()DI xy x y d σ=+⎰⎰, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以 0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2, 进一步可得0≤xy (x +y )≤2,于是 0()2DDDd xy x y d d σσσ≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,即 0()2Dxy x y d σ≤+≤⎰⎰.(2)22sin sin DI x yd σ=⎰⎰, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};解因为0≤sin 2x ≤1, 0≤sin 2y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2y ≤1. 于是可得 220sin sin 1DDDd x yd d σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,即 2220sin sin Dx yd σπ≤≤⎰⎰.(3)(1)DI x y d σ=++⎰⎰, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};解因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是可得 (1)4DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,即 2(1)8Dx y d σ≤++≤⎰⎰.22(49)DI x y d σ=++⎰⎰, 其中D ={(x , y )| x 2+y 2 ≤4}.解在D 上, 因为0≤x 2+y 2≤4, 所以 9≤x 2+4y 2+9≤4(x 2+y 2)+9≤25.于是 229(49)25DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,222292(49)252Dx y d πσπ≤++≤⋅⋅⎰⎰,即 2236(49)100Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰.习题8.21. 化二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰为二次积分(写出两种积分次序).(1)D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 D 为矩形区域, 所以1111(,)(,)Df x y dxdy dx f x y dy --=⎰⎰⎰⎰,1111(,)(,)Df x y dxdy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰.(2)D 是由y 轴, y =1及y =x 围成的区域; 解若将D 表示为0≤x ≤1, x ≤y ≤1, 则 11(,)(,)xDf x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.若将D 表示为0≤y ≤1, 0≤x ≤y , 则 1(,)(,)yDf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰.(3)D 是由x 轴, y =ln x 及x =e 围成的区域; 解若将D 表示为1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x , 则 ln 10(,)(,)ex Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.若将D 表示为0≤y ≤1, e y ≤x ≤e , 则 1(,)(,)y eeDf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰.(4)D 是由x 轴, 圆x 2+y 2-2x =0在第一象限的部分及直线x +y =2围成的区域; 解若将D 表示为0≤x ≤1,0y ≤≤1≤x ≤2, 0≤y ≤2-x , 则12201(,)(,)(,)xDf x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰.若将D 表示为0≤y ≤1; 12x y ≤≤-, 则 1201(,)(,)yDf x y dxdy dy f x y dx -=⎰⎰⎰⎰(5)D 是由x 轴与抛物线y =4-x 2在第二象限的部分及圆x 2+y 2-4y =0第一象限部分围成的区域. 解若将D 表示为-2≤x ≤0, 0≤y ≤4-x 2及0≤x ≤2,22y ≤≤ 则242222(,)(,)(,x Df x y dxdy dx f x y dy dx f x y --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,若将D 表示为0≤y ≤4, x ≤ 则 40(,)(,)Df x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰.2. 交换二次积分的次序:(提示: 交换二次积分的次序, 要先根据原积分写出积分区域不等式, 再根据不等式画出积分区域, 然后根据图形写出另一种形式的积分区域不等式, 最后由不等写出二次积分)(1)228812(,)(,)x xxdx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰.解积分区域为D ={(x , y )|1≤x ≤2, x ≤y ≤x 2}⋃{(x , y )|2≤x ≤8, x ≤y ≤8}. 积分区域还可以表示为D ={(x , y )|1≤y ≤4,x ≤y }⋃{(x , y )|4≤y ≤8, 2≤x ≤y }, 于是原式=48142(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰.(2)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }⋃{(x , y )|1≤y ≤2, 0≤x ≤2-y }.积分区域还可以表示为xO y281D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤2-x }, 于是原式=120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰. （3） 14(4)(,)y dy f x y dx -⎰⎰；解：积分区域{}2442,20|),(x y x x y x D -≤≤+≤≤=，214(4)040224(,)(,)(,);y x Dx f x y d dy f x y dx dx f x y dy σ---+∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4） 11(,)dx f x y dy ⎰；解：积分区域{}{212(,)|01,0(,)|12,0D x y y x y D x y y x =≤≤≤≤⋃=≤≤≤≤21212001(,)(,)(,)(,)y D D f x y d f x y d dy f x y dx dy f x y dxσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（5）224(,)x x f x y dy -⎰⎰。

高等数学(下)第四版-第八章习题答案.doc

i.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、冇界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：⑴｛g）|20｝；⑵｛（心）| 1<X2+/<4｝；⑷{(x,y) I (x - I)2 + b G} U {(w) I(X + I)2 + 尸5 1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R2,边界：{(x,y)|尸0}.(2)既非开集乂非闭集，有界集，聚点集：{(x』)|l Wx\y2w4},边界：{(x,叨F+b=l} U {(x』)| xV=4}.(3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x』)[yWF}, 边界：{(¥』)|尸<}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其木身，边界:{(X^)|(X-1)24-/=1 } U {(x,y)|(x4-l)2+y=l}.2.己知f (x,y)= x2+y~-xy tan —,试求f(tx,ty).y解:f(tx,ty) = (tx)2 + (ty)2-tx-tytan— = t2f(x,y).3•已知/(u,v,w)= w u + 卜严' ,试求f(x + y,x-y,xy).解：Xx+y, x-y, xy）=（巧严+（砂严’心'=（x+）泸'+（初）4•求下列各函数的定义域：(l)z= ln(y2-2x+l)；(4) w = —j= 4- —j= + —j=；yjx y]y yjzz - \n(y一x) +u = arccos解：(l)n = {(x,y)|/-2x + l>0}.(2)Z) = {(x,jO|x + y〉0,x-y >0}.(3)D = {(x,y)\4x-y2>0,\-x2-y2>0,x2+y2 ^0}.(4) D = {(x』,z) | x > 0,y > 0,z > 0}.(5) D = {(x,y)ix>0,y> 0, x2 > y}.(6)Z) = {(x』)| y-x > 0,x > 0,x2+y2 < 1}.⑺D = {(x,y,z)|/ + 尸工0,兀? + 尹2 _么2 J。

(完整版)《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题1.________________ )sin(==dz xy z 则，设 2.设),cos(2y x z =，则=∂∂)2,1(πxz3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为4.设xy e z =，则=dz5.设y zln z x =，则=∂zxz 二、选择题)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+=2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x''、存在是),(y x f 在该点连续的( ).(a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。

3、设)2ln(),(xy x y x f +=，则＝（）)1,1(-'x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65-三、计算题方程。

处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1(2 132⎩⎨⎧==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,yz x z ∂∂∂∂ 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。

4、设,222z y xe u ++=而y x z sin 2=,求xu ∂∂. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。

6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

7、设2cos 2=z (y x 21-),求xz∂∂和y z ∂∂. 8、yf x f e y x f xy ∂∂∂∂=) ,( 3，，求设 9、的极大值或极小值求函数 3) ,( 22x y xy x y x f ++-=10、dz y x z xy v y x u v u x f z 的全微分对求复合函数设, ,,2),,,(=+== 11、yz x z xy x y z ∂∂∂∂=和求设 ),cos( 12、处的切平面和法线方程上点求曲面)1,2,1(823222--=+z xz y yz xyz f y z xy f y xz y x z z ∂∂++==求有连续的一阶偏导，所确定，其中由方程函数、 ),(sin ),( 13四、综合应用题1.在平面xoy 上求一点），（y x M ，使它到三条直线，，00==y x 01=++y x 的距离平方和为最小，并求其最小值。

同济高等数学下册课后题答案详解

第8章第1节向量及其线性运算习题8—111,12,15,17,18第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—23,4,6,7,9,10第8章第3节曲面及其方程习题8—32,5,7,9,10(1)(2)(3)(4)第8章第4节空间曲线及其方程习题8—43,4,7,8第8章第5节平面及其方程习题8—51,2,3,5,9第8章第6节空间直线及其方程习题8—61,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12,13,15第8章总复习题总复习题八1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2),15,17,19,20第9章第1节多元函数基本概念习题9—12,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8第9章第2节偏导数习题9—21(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2),9(1)第9章第3节全微分习题9—31(1)(2)(4),2,3,5第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—42,4,6,7,8(1)(2),10,11,12(1)(4)第9章第5节隐函数的求导公式习题9—51,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—63,4,6,7,9,10,12第9章第7节方向导数与梯度习题9—72,3,5,7,8,10第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—81,2,5,6,7,9,11第9章第9节二元函数泰勒公式习题9—91,3第9章总复习题总复习题九1,2,3,5,6,8,9,12,15,16,17,20第10章第1节二重积分的概念与性质习题10—12,4,5第10章第2节二重积分的计算法习题10—21(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分习题10—31(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1)第10章第4节重积分的应用习题10—41,2,5,6,8,10,14第10章总复习题总复习题十1,2(1) (3),3(1)(2)6,8(1)(2),10,11,12第11章第1节对弧长的曲线积分习题11—11,3(3)(4)(5)(7),4第11章第2节对坐标的曲线积分习题11—23(1) (2)(3) (5) (6)(7),4(1)(2)(3),7(1)(2),8第11章第3节格林公式及其应用习题11—31,2(1)(2),3,4(1)(2),5(1)(2)(4),6(1)(3)(4),8(1) (3)(5) (6)(7)第11章第4节对面积的曲面积分习题11—41,4(1)(2),5(1),6(1)(2)(3),7,8第11章第5节对坐标的曲面积分习题11—53(1)(2)(4),4(1)(2)第11章第6节高斯公式通量与散度习题11—61(1) (2)(3) (4) , 3(1)(2)第11章第7节斯托克斯公式环流量与旋度习题11—72(1) (2)(3),3(1)(2)第11章总复习题总复习题十一1,2,3,4,5,7,11第12章第1节常数项级数的概念和性质习题12—11(1)(4),2(3)(4),3,4第12章第2节常数项级数的审敛法习题12—21(1)(4) (5),2(1)(4) ,3(1)(3),4(1)(3)(5),5(1)(2)(3) (5)第12章第3节幂级数习题12—31,2第12章第4节函数展开成幂级数习题12—42,3,4,5,6第12章第7节傅里叶级数习题12—71(1)(2),2(1),3,4,5,6第12章第8节一般周期函数的傅里叶级数习题12—81(1)(2),2第12章总复习题总复习题十二1,2(1)(2)(3)(5),4,5(1)(2)(4),6(1),7(1)(2)(4),8(1)(2)(3),9(1),10(1),11。

高等数学课后习题答案第八章3

第八章习题解答（3）节8.5部分习题解答1、下列方程确定了)(x f y =，求dxdy，（1）、0sin 2=−+xy e y x 解：设=),(y x F 0sin 2=−+xy e y x ，2y e x F x −=∂∂；xy y yF2cos −=∂∂（2）、xyy x arctanln 22=+解：设=),(y x F xy y x arctanln 22−+，=−+−+=∂∂)()(112222x y x y y x x x F 22y x yx ++；=∂∂y F =+−+)1((11222x xy y x y 22y x xy +−；yx y x F F dx dy y x −+=−=（3）、xy y x =解：设x y y x y x F −=),(，)ln (1ln 1y x y x x y y yx x F y x y −=−=∂∂−)ln (1ln 1x x y x yxy x x y F y x y −=−=∂∂−；y x F F dx dy −=)ln ()ln (x x y x y y x y −−=（4）、1=+y e xy 解：设1),(−+=y e xy y x F ，y x F =∂∂y e x yF+=∂∂；y x F F dx dy −=ye x y +−=2、下列方程确定了),(y x f z =，求x z ∂∂yz ∂∂（1）、0=−xyz e z 解：设=),,(z y x F xyz e z −，yz F x −=zx F y −=xy e F z z −=；x z ∂∂z x F F −=xye yzz −=y z ∂∂z y F F −=xye zxz −=（2）、333a xyz z =−解：设=),,(z y x F 333a xyz z −−，yz F x 3−=zx F y 3−=xy z F z 332−=；x z ∂∂z x F F −=xyz yz−=2y z ∂∂z y F F −=xye zx−=2（3）、122=+−z e yz y x 解：设=),,(z y x F 122−+−z e yz y x ，xy F x 2=z x F y 22−=z z e y F +−=2；x z ∂∂z x F F −=ze y xy−=22y z∂∂z y F F −=ze y z x −−=222（4）、xyzz =sin 解：设=),,(z y x F xyz z −sin ，yz F x 2−=xz F y −=xy z F z −=cos ；x z ∂∂z x F F −=xyz yz −=cos 2y z ∂∂z y F F −=xyz xz−=cos 3、设z y x z y x 32)32sin(2−+=−+确定了),(y x f z =，验证：+∂∂x z 1=∂∂yz证明：设=),,(z y x F )32()32sin(2z y x z y x −+−−+，1)32cos(2−−+=z y x F x 2)32cos(4−−+=z y x F y 3)32cos(6+−+−=z y x F z ；x z ∂∂z x F F −=32=y z∂∂z y F F −=31=所以+∂∂x z 13132=+=∂∂y z 4、设),(),,(),,(y x z z x z y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 确定的函数，证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x 证明：1)1((3−=−=−−−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x zz y y x 5、函数),(v u ϕ具有连续的偏导数，验证方程0),(=−−bz cy az cx ϕ所确定的函数),(y x z z =满足+∂∂x z ac yzb =∂∂证明：设bz cy v az cx u −=−=,，则有c x u =∂∂，0=∂∂y u ，a z u −=∂∂，0=∂∂x v ，c yv =∂∂，b z v−=∂∂1ϕϕc x =2ϕϕc y =21ϕϕϕb a z −−=211ϕϕϕϕϕb a ca a x za z x +=−=∂∂212ϕϕϕϕϕb a cb b y zb z y +=−=∂∂于是+∂∂x z a=∂∂y zb ++211ϕϕϕb a ca =+212ϕϕϕb a cbc b a b a c =++2121)(ϕϕϕϕ6、设f 具有连续偏导数，方程),(y z xz f z −=确定了),(y x f z =，求,x z ∂∂yz∂∂解：设=),,(z y x F ),(y z xz f z −−，又设y z v xz u −==,，则有z x u =∂∂，0=∂∂y u ，x z u =∂∂，0=∂∂x v ，1−=∂∂yv ，1=∂∂z v1zf F x −=2f F y =211f xf F z −−=x z∂∂z x F F −=2111f xf zf −−=y z∂∂2121f xf f −−−=7、设f 具有连续偏导数，方程0),,(=+++z y x y x x f 确定了),(y x f z =，求,x z ∂∂yz∂∂解：设=),,(z y x F ),,(z y x y x x f +++，321f f f F x ++=32f f F y +=3f F z =x z∂∂z x F F −=3321f f f f ++−=y z∂∂321f f f +−=8、求由方程组所确定的函数的导数或偏导数（1）、⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z 求,x y ∂∂,xz∂∂解：对等式两边同时求关于x 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂064222x zz x y y x x y y x x z就是⎪⎩⎪⎨⎧−=∂∂+∂∂=∂∂−∂∂xx y y x z z x x y y x z2322解得13)13(222321222+=+=−−−=∂∂z xz y xy y z y y x y x x z )13(2)16(2321321++−=−−=∂∂z y z x y z y x z x x y （2）、⎪⎩⎪⎨⎧=++=+221222z y x z y x 求,dz dx ,dz dy解：对等式两边同时求关于z 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧−=+=+122dzdy dz dx z dz dy y dz dxx解得)(221122112y x y z y x y z dz dx −+=−=)(221122112y x x z y x zx dz dy −+−=−=（3）、⎩⎨⎧=−+=−+0033x yu v y xv u 求,x u ∂∂,x v ∂∂解：对等式两边同时求关于x 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧=−∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂0130322xu y x v v v x vx x u u 就是⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂13322x v v x u y v x v x x uu 解得xy v u x v v yxu v xv x u−+−=−=∂∂223222933331xy v u yv u v yx u yv u x v −+=−=∂∂222222933313（4）、⎩⎨⎧=+=+u y v x v u y x sin sin 求,y u ∂∂,yv∂∂解：对等式两边同时求关于y 的偏导数得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=y u uy u y v v x yv y u cos sin cos 1即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=∂∂−∂∂=∂∂+∂∂u y v v x y u u y y vy u sin cos cos 1解得：u y v x u v x v x u y v x u y u cos cos sin cos cos cos 11cos sin 11+−=−−−=∂∂u y v x u y u vx u y u u y y v cos cos cos sin cos cos 11sin cos 11++=−−=∂∂习题8.6解答1、求下列曲线在指定点的切线和法平面（1）、曲线t t z t y t x +===1,,2在点21,1,1(解：2)1(1)(,2)(,1)(t t z t t y t x +=′=′=′，从而得在点21,1,1(的切线的方向向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→41,2,1s ，于是得切线方程为：1218141−=−=−z y x ；法平面方程为021()1(8)1(4=−+−+−z y x ，即0252168=−++z y x （2）、曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =−=−=在2π=t 的对应点解：2cos 2)(,sin )(,cos 1)(tt z t t y t t x =′=′−=′，2π=t 的对应点是点)22,1,12(−π，该的切线的方向向量为{2,1,1=→s ，于是得切线方程为：22211121−=−=−+z y x π；法平面方程为0)22(2)1()2(=−+−+−+z y x π，即02422=−−++πz y x （3）、曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin 3,sin 2===在4π=t 的对应点解：t t z t t y t t t t x 2sin )(,2cos 3)(,2sin 2cos sin 4)(−=′=′==′，4π=t 的对应点是点)21,23,1(，该的切线的方向向量为{}1,0,2−=→s ，于是得切线方程为：12102321−−=−=−z y x ；法平面方程为021()1(2=−−−z x ，即0232=−−z x （4）、曲线t z tty t t t x =−=+=,1,12在)01,1(解：tt z t t y t t t t t x 21)(,1)(,)1(2)1(2)1(2)(222=′−=′+=+−+=′，1=t 对应着)01,1(，该的切线的方向向量为{}1,2,22121,1,1−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=→s ，于是得切线方程为：11221−=−=−z y x ；法平面方程为0)1(2)1(2=−+−−z y x ，即0322=−+−z y x （5）、曲线⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 在点)1,1,1(解：设x z y x z y x F 3),,(222−++=，4532),,(−+−=z y x z y x G 32−=x F x ，y F y 2=z F z 2=于是{}2211−=→n 2=x G ，3−=y G 5=z G 于是{}5322−=→n 所以切线的方向向量{}191653222121−=−−=×=→→→→→→kj i n n s 于是得切线方程为：1191161−−=−=−z y x ；法平面方程为0)1()1(9)1(16=−−−+−z y x ，即024916=−−+z y x （6）、曲线⎩⎨⎧=+=+222222z x y x 在点)1,1,1(解：设2),,(22−+=y x z y x F ，2),,(22−+=z x z y x G x F x 2=，y F y 2=0=z F 于是{}01121=→n x G x 2=，0=y G z G z 2=于是{}10122=→n 所以切线的方向向量{}11110101121−−==×=→→→→→→k j i n n s 0是得切线方程为：111111−−=−−=−z y x ；法平面方程为0)1()1()1(=−−−−−z y x ，即01=+−−z y x 2、在曲线32,,t z y t x ===上求一点，使在该点的切线与平面102=++z y x 平行解：已知平面的法向为{}121=→n ，曲线的切线的方向{}2321t ts =→，由题设可知•→n 0=→s 即03412=++t t 解得31,121−=−=t t ，所求的点是)1,1,1(−−或者)271,91,31(−−3、求下列曲面在指定点的切平面和法线（1）、zxy z ln+=在点)1,1,1(解：zzxy z y x F −+=ln ),,(,1x F x =,1=y F ,11−−=zF z 切平面的法向为{}211−=→n ，切平面为0)1(2)1()1(=−−−+−z y x 即02=−+z y x 法线为211111−−=−=−z y x （2）、22y x z +=在点)5,1,2(解：zy x z y x F −+=22),,(,2x F x =,2y F y =,1−=z F 切平面的法向为{}124−=→n ，切平面为0)5()1(2)2(4=−−−+−z y x 即0524=−+y x 法线为152142−−=−=−z y x （3）、3=+−xy z e z 在点)0,1,2(解：=),.(z y x F 3−+−xy z e z ,y F x =,x F y =,1−=zz e F 切平面的法向为{}021=→n ，切平面为0)1(2)2(=−+−y x 即042=−+y x 法线为2112zy x =−=−5、在曲面xy z =上求一点，使在该点的法线垂直于平面093=+++z y x 平行解：所求法线的方向为{}131=→n 设=),.(z y x F zxy −,y F x =,x F y =,1−=z F 切平面的法向为{}1−=→x yn ，于是有向量{}131=→n {}1−=x y λ所以1131−==x y 得3,1,3=−=−=z y x ，所求的点是()313−−。

高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编

第八章多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x yx xy y x f 在整个xoy 面上连续。

证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=xyxe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yz yx z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件（B ）充分条件而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在（B ）偏导数连续，则全微分必存在（C ）全微分存在，则偏导数必连续（D ）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）x ye z = )1(2dy x dx xy e dz x y +-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz yz yln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=，求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222y x y x yx y x y x f 在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

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r r r 取 s = n1 × n2 = 1 0 2 = ( −2, 3, 1), 0 1 −3 由点向式得所求直线方程为 x y−2 z−4 . = = 3 1 −2
r i
r j
r k
2 y + 3z − 5 = 0 l: 六、直线 x − 2y − z + 7 = 0在平面 π
: x − y + 3z + 8 = 0 上
关系. r r r r l : s = ( −1, 2, − 1), n1 = ( 2, 1, 1), n2 = (1, 1, 1), n3 = (1, 1, 1), r r Q s ⋅ n3 = 0, ∴ l与π 3平行；平行；
且l与π 2有公共点O(0，，)，故l在π 2上； 0 0
l与π 1既不平行也不垂直，相交，其交点为(−2, 4, − 2), 1 l与π 1的夹角为ϕ = arcsin . 6
平行，过点M ( −1,2,4)作平面 π 1与平面 π平行，则
π 1 : 3( x + 1) − 4( y − 2) + ( z − 4) = 0,即3 x − 4 y + z + 7 = 0, 求l1与π 1的交点
x+3 y−3 z = = =t ⇒ t = 2, 得交点 M 0 ( 3, 5, 4) 1 2 3 3 x − 4 y + z + 7 = 0 r 取所求直线的方向向量为s = MM 0 = (4, 3, 0) 所求直线方程为 x+1 y−2 = 3 . 4 z − 4 = 0
r r r r r s1 × s2 = 1 2 λ = ( 2 − λ , λ − 1, − 1) = ( 2 − λ )i + (λ − 1) j − k 1 1 1
M 1 M 2 = ( −2, 2, − 1),
r i
r r j k
注：由以上运算可见
rr r r [ s1 s2 M 1 M 2 ] = s1 × s2） M 1 M 2 （ ⋅
z
x
o z
y
(2) − x + y = 2a z (a > 0)
2 2
双曲抛物面. 双曲抛物面
o
x
y
x2 双曲面,由曲线单叶旋转双曲面由曲线
z
y2 − z2 = 1 4 x = 0
轴旋转而产生的. 绕 z 轴旋转而产生的
o x
1 2 λ −2 2 1 = 1 2 λ = 1 1 1 1 1 1 −2 2 1
x+3 y−3 z ( − 1 , 2 ,4 ) 又和直线 l 1 : 3 = 1 = 2 相交且与八、线过点平面 π : 3 x − 4 y + z − 10 = 0 平行，求此直线方程 .
2 z = x 2 + y 2 及 x 2 + y 2 + z 2 = 3 所围成的立体在 xO y 求由曲面
z
2 z = x 2 + y 2 ⇒ z 2 + 2z = 3 2 x + y2 + z2 = 3 舍去） ⇒ z = 1, − 3(舍去） ∴ 投影柱面为 x 2 + y 2 = 2, x 2 + y 2 ≤ 2.
x o
y
立体在 xoy面的投影为
二、已知平面 Ax + By + Cz + D = 0 ，指出下列各平面的特殊位置.
1. A = 0 ; 平行于 x 轴； 2. D = 0 ; 过原点；过原点； 3. A = D = 0 ; 过 x 轴； 4. A = B = 0 ; 平行于 xoy 面； 5. A = B = D = 0 . xoy 面.
七、确定 λ ，使直线
l2 :
l1 :
x+1 y−1 z = = 1 1 1 相交.
x−1 y+1 z−1 = = 1 2 λ 和直线
l2 l1
M1
r r 设s1 = (1, 2, λ ), s2 = (1, 1, 1), Q l1与l 2相交，即共面，相交，即共面，
则
M2
在l1上取点M 1 (1, − 1, 1), 在l 2上取点M 2 ( −1, 1, 0), M 1 M 2 = ( −2, 2, − 1),
高等数学第八章自测题解答
一、试解下列各题
r r 1. 已知向量 a = ( 1 ,1 , − 4 ), b = ( 2 , − 2 ,1 ) ，求（ 1 ）
r r r rb （ 2 ） P r ja ； 3 ） a × b . （ r r r a⋅b −4 −4 r r rb = ; = r = 2 2 a ⋅ b = −4; Pr ja 2 a 18 1 + 1 + ( −4)
r r a ⋅b ；
r r i j r r a×b = 1 1 2 −2
r k − 4 = ( −7,−9,−4). 1
2 .(1 ) x 2 + y 2 = 2 a z ( a > 0 )
旋转抛物面，旋转抛物面，由曲线
y 2 = 2az x = 0
轴旋转而产生的. 绕 z 轴旋转而产生的
x + z = 0 P ( − 1 ,1 , 2 ) 且与直线 l 1 : x − z = 0 及直线四、过点
y−4 z+5 = = 5 平行的平面方程. −2 r r j k r 0 1 = ( 0, 2, 0), s2 = ( 3, − 2, 5), 0 −1 r r r i j k r 取 n = ( 0, 1, 0) × ( 3, − 2, 5) = 0 1 0 = (5, 0, − 3), 3 −2 5 2
x y z l: = = 三、直线 − 1 2 − 1 ，平面 π1 :2x + y + z + 2 = 0 ， π 2 : x + y + z = 0 ， π 3 : x + y + z + 1 = 0 .试判断 l 与 π 1 , π 2 , π 3 的试
r r Q s ⋅ n2 = 0, ∴ l与π 2平行，
九、画出下列各立体的图形
x2 + y2 + z2 ≤ 4 与 x2 + 2 y2 − z2 ≥ 0 的公共部分； 1．
2．曲面 z =
z
2 − x2 − y2 与 z = x2 + y2 所围成的立体 .
z
o
y
x
x
o
y
的投影直线方程.
由于平面 x − 2 y − z + 7 = 0，与 x − y + 3 z + 8 = 0垂直，垂直，故所求投影直线方程为 x − 2y − z + 7 = 0 . x − y + 3z + 8 = 0
注：投影平面不在平面方程束 2 y + 3z − 5 + λ ( x − 2 y − z + 7) = 0 中.
由点法式得所求平面方程为 5( x + 1) − 3( z − 2) = 0, 即5 x − 3 z + 11 = 0.
x− l2 : 3 r i r s1 = 1 1
五、过点 A ( 0 , 2 ,4 ) 且与 π 1 : x + 2 z − 1 = 0 ， π 2 : y − 3 z = 2 平行的直线方程.
r r （s1 × s2） M 1 M 2＝0(即三向量共面 ⇔ 混合积为零 ) ⋅
r r r i j k r r s1 × s2 = 1 2 λ = ( 2 − λ , λ − 1, − 1) 1 1 1 r r 5 （s1 × s2） M 1 M 2 = −2( 2 − λ ) + 2( λ − 1) + 1 = 0 ⇒ λ = . ⋅ 4
y
3. 求与 x 轴的距离为 3 ，与 y 轴距离为 2 的一切点所确定的曲线的方程，并确定它是一条什么样的曲线且画出图形.
y 2 + z 2 = 32 2 x + z 2 = 22
两个圆柱面的交线. 两个圆柱面的交线
y
o
2
x
3
z
4. 面的投影区域.