机械振动5多自由度系统10-11有阻尼解析
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2020年11月1日 8
《振动力学》
5.11 有阻尼系统对任意激励的响应 ·振型叠加法
假设粘性阻尼系统的微分方程中的阻尼矩阵C可以对角化，
CP
c
p1
并令：cPi 2 ii
cpn
则n 自由度系统运动方程变为：
ηi 2 iiηi i2ηi Ni (t), i 1 ~ n
其中， i
u(i)T Cu(i)
阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵
2020年11月1日 3
《振动力学》
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Mq Cq Kq F (t)
q Rn
假定无阻尼系统下的正则模态矩阵u及其模态刚度矩阵 Λ
作坐标变换： q uη 有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t)
频率比
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
ηi
(t
)
Im
N0i
i2
Hi () ei(ti )
i2
N0i
(1 i2 )2 (2 ii )2
sin(t
i )
原广义坐标的稳态响应：
n
n
q(t) i1 u(i)i (t) i1 i2
u(i)u(i)T F0
(1 i2 )2 (2 ii )2
sin(t i )
即：
η C pη Λη N (t)
其中：
Cp uTCu 模态阻尼矩阵
虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态阻尼矩 阵一般非对角阵，因而正则坐标η 下的强迫振动方程仍然存 在2耦020合年1。1月1日
4 《振动力学》
例如：三自由度系统
2k
x1
k
x2
k
m
m
c
x3
2k
m
m 0 0
M
0
m
0
0 0 m
3k k 0
K k
2k
k
0 k 3k
1 1 1 u 2 0 1
1 1 1
6m 0 0
uT Mu
0
2m
0
0 0 3m
c c c
CP uTCu c c c
2020年11月1日
c c c
《振动力学》
c 0 0 C 0 0 0
0 0 0
6k 0 0
令： cpi 2 ii
得：
i
c pi
2i
a bi2 2i
称ζi 为振型比例阻尼。
若a=0, 有：
i
b 2
i
意味着各个振型振动中，阻尼正比于该振型对应的固有频率。
若b=0, 有：
i
a
2i
意味着各个振型振动中，阻尼反比于该振型对应的固有频率。
2020年11月1日 7
《振动力学》
(2) 当阻尼比较小的时候，忽略 CP 矩阵中的全部非对角元素
uT
Ku
0
6k
0
0 0 12k
非对角矩阵
5
若 CP非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或 正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。
为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列 近似处理方法 。
（1） 将矩阵 C 假设为比例阻尼 假定 C 有下列形式： C aM bK
ai 0 2
(aij
j 1
cos
jt
bij
sin
jt),
(i 1 ~ n)
式中，ai0, aij ,bij可由第3.7节公式计算。
把激励各简谐分量所引起的系统稳态响应分别求出，再叠加：
ηi (t)
1
i2
ai0 2
j 1
Hij (
j ) [aij
cos(jt
ij ) bij
sin( jt
式中，N0i u(i)T F0 (i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t) 式中，Hi ()
N0i
i2
Hi () ei(t
1
(1 i2 )2 (2 ii
i
)2
),
,
i
(i
1 ~ n) arctan 2
1
i i i2
,
i
i
,
2020正年1则1月坐1日标的放大因子
《振动力学》
相位角
ij )]
式中，Hij ( j)
(1
1
j
2 2 i
)2
(2
i
ji
)2
,
ij
arctan
2
1
i
j
ji 2 2
i
, i
i
,
2020年11月1日 12
《振动力学》
2020年11月1日 2
《振动力学》
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Mq Cq Kq F (t)
q Rn
阻尼矩阵
元素 cij 阻尼影响系数
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力
阻尼力为广义速度的线性函数
表示为：
n
Qdi cij q j j 1
CP
c ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p1
cpn
并令：cPi 2 ii
则n 自由度系统运动方程变为：
ηi 2 iiηi i2ηi Ni (t), i 1 ~ n
这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 ζ i 不
大于0.2的弱阻尼系统。
若系统阻尼较大，不能用振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵
不能对角化，有其它方法解决，但超出本课程范围。
5.10 多自由度系统的阻尼
2020年11月1日 1
《振动力学》
任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等
由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略 阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂 的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。 一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
a, b：为常数
代入 Cp uTCu 中
Cp uT (aM bK)u aI bΛ
运动方程变为： η C pη Λη N (t)
对角阵
或 η cPiη i2η Ni (t), i 1 ~ n cPi a bi2
2020年11月1日 6
《振动力学》
η cPiη i2η Ni (t), i 1 ~ n cPi a bi2
2i
(i 1,2,, n)
Ni (t) u(i)T F (t) (i 1,2,, n)
下202面0年对11月几1日种激励分别讨论 9 《振动力学》
1. 有阻尼系统对简谐激励的响应
假设激励为 F (t) F0 sin t 将运动方程写成复数形式：
ηi
2 iiηi
i2ηi
N
eit
0i
,
(i 1 ~ n)
可以看出,当激励频率接近i时, i 1, i的振幅会很大。
共振现象与单自由度阻尼系统类似。但有n个共振频率，
2020年1共1月1有日 n个共振现象。
11
《振动力学》
2. 有阻尼系统对周期激励的响应
假设各坐标上作用的激励周期相同，则 Ni (t)的周期也相同。
将Ni (t)进行傅里叶级数展开：
Ni (t)
《振动力学》
5.11 有阻尼系统对任意激励的响应 ·振型叠加法
假设粘性阻尼系统的微分方程中的阻尼矩阵C可以对角化，
CP
c
p1
并令：cPi 2 ii
cpn
则n 自由度系统运动方程变为：
ηi 2 iiηi i2ηi Ni (t), i 1 ~ n
其中， i
u(i)T Cu(i)
阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵
2020年11月1日 3
《振动力学》
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Mq Cq Kq F (t)
q Rn
假定无阻尼系统下的正则模态矩阵u及其模态刚度矩阵 Λ
作坐标变换： q uη 有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t)
频率比
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
ηi
(t
)
Im
N0i
i2
Hi () ei(ti )
i2
N0i
(1 i2 )2 (2 ii )2
sin(t
i )
原广义坐标的稳态响应：
n
n
q(t) i1 u(i)i (t) i1 i2
u(i)u(i)T F0
(1 i2 )2 (2 ii )2
sin(t i )
即：
η C pη Λη N (t)
其中：
Cp uTCu 模态阻尼矩阵
虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态阻尼矩 阵一般非对角阵，因而正则坐标η 下的强迫振动方程仍然存 在2耦020合年1。1月1日
4 《振动力学》
例如：三自由度系统
2k
x1
k
x2
k
m
m
c
x3
2k
m
m 0 0
M
0
m
0
0 0 m
3k k 0
K k
2k
k
0 k 3k
1 1 1 u 2 0 1
1 1 1
6m 0 0
uT Mu
0
2m
0
0 0 3m
c c c
CP uTCu c c c
2020年11月1日
c c c
《振动力学》
c 0 0 C 0 0 0
0 0 0
6k 0 0
令： cpi 2 ii
得：
i
c pi
2i
a bi2 2i
称ζi 为振型比例阻尼。
若a=0, 有：
i
b 2
i
意味着各个振型振动中，阻尼正比于该振型对应的固有频率。
若b=0, 有：
i
a
2i
意味着各个振型振动中，阻尼反比于该振型对应的固有频率。
2020年11月1日 7
《振动力学》
(2) 当阻尼比较小的时候，忽略 CP 矩阵中的全部非对角元素
uT
Ku
0
6k
0
0 0 12k
非对角矩阵
5
若 CP非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或 正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。
为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列 近似处理方法 。
（1） 将矩阵 C 假设为比例阻尼 假定 C 有下列形式： C aM bK
ai 0 2
(aij
j 1
cos
jt
bij
sin
jt),
(i 1 ~ n)
式中，ai0, aij ,bij可由第3.7节公式计算。
把激励各简谐分量所引起的系统稳态响应分别求出，再叠加：
ηi (t)
1
i2
ai0 2
j 1
Hij (
j ) [aij
cos(jt
ij ) bij
sin( jt
式中，N0i u(i)T F0 (i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t) 式中，Hi ()
N0i
i2
Hi () ei(t
1
(1 i2 )2 (2 ii
i
)2
),
,
i
(i
1 ~ n) arctan 2
1
i i i2
,
i
i
,
2020正年1则1月坐1日标的放大因子
《振动力学》
相位角
ij )]
式中，Hij ( j)
(1
1
j
2 2 i
)2
(2
i
ji
)2
,
ij
arctan
2
1
i
j
ji 2 2
i
, i
i
,
2020年11月1日 12
《振动力学》
2020年11月1日 2
《振动力学》
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Mq Cq Kq F (t)
q Rn
阻尼矩阵
元素 cij 阻尼影响系数
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力
阻尼力为广义速度的线性函数
表示为：
n
Qdi cij q j j 1
CP
c ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p1
cpn
并令：cPi 2 ii
则n 自由度系统运动方程变为：
ηi 2 iiηi i2ηi Ni (t), i 1 ~ n
这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 ζ i 不
大于0.2的弱阻尼系统。
若系统阻尼较大，不能用振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵
不能对角化，有其它方法解决，但超出本课程范围。
5.10 多自由度系统的阻尼
2020年11月1日 1
《振动力学》
任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等
由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略 阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂 的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。 一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
a, b：为常数
代入 Cp uTCu 中
Cp uT (aM bK)u aI bΛ
运动方程变为： η C pη Λη N (t)
对角阵
或 η cPiη i2η Ni (t), i 1 ~ n cPi a bi2
2020年11月1日 6
《振动力学》
η cPiη i2η Ni (t), i 1 ~ n cPi a bi2
2i
(i 1,2,, n)
Ni (t) u(i)T F (t) (i 1,2,, n)
下202面0年对11月几1日种激励分别讨论 9 《振动力学》
1. 有阻尼系统对简谐激励的响应
假设激励为 F (t) F0 sin t 将运动方程写成复数形式：
ηi
2 iiηi
i2ηi
N
eit
0i
,
(i 1 ~ n)
可以看出,当激励频率接近i时, i 1, i的振幅会很大。
共振现象与单自由度阻尼系统类似。但有n个共振频率，
2020年1共1月1有日 n个共振现象。
11
《振动力学》
2. 有阻尼系统对周期激励的响应
假设各坐标上作用的激励周期相同，则 Ni (t)的周期也相同。
将Ni (t)进行傅里叶级数展开：
Ni (t)