复数与复数运算

(7)复数的n次根式：
n
z ( e ) e (cos
n n n
1 i n
i


i sin ) n n

n
e n n e
i ?
i

i
2 k
n
n e ne
i

i
2 k n
, k 0,1,....n 1共n个根
i [e
1 i ( 2 k ) 2 2
i
] , k 0,1
2 2 k 0, e cos i sin i 4 4 2 2 5 i 5 5 2 2 4 k 1, e cos i sin i 4 4 2 2
4



（8）区别：|z|2与z 2 |z|2 2 z z* , z 2 z z
数学物理方法
绪论
教学目的
• 数学物理方法是高等师范院校本科教育
的一门重要基础课，它使学生获得复变 函数，傅里叶变换，三种偏微分方程的 建立与求解及球函数、柱函数等方面的 基础知识。是学习物理专业四门基础理 论课的基础与数学工具。课程目的重点 在于培养学生运用数学方法分析、解决 物理问题的能力。
课程内容
复数球A’
测地投影
A’
S
A
无限远点
N极
模为无限大，幅角无定义，看作一点
3.复数的运算
(1)复数相等：z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , z1 z2 x1 x2 , 且 y1 ＝ y2
(2)复数的和：z1＋z2 （x1 x2）＋ （ i y1＋y2） (3)复数的差：z1－z2 （x1－x2）＋ （ i y1－y2）
谢 谢 观 看！
(5)复数的商： z1 x1＋iy1 ( x1＋iy1 )( x2 -iy2 ) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 = = 2 +i 2 2 2 z2 x2＋iy2 ( x2＋iy2 )( x2 -iy2 ) x2 y2 x2 y2 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2
cos5 10 cos3 sin 2 5cos sin 4 i (5cos 4 sin 10 cos 2 sin 3 sin 5 ) 比较可得： cos 5＝cos5 10 cos3 sin 2 5cos sin 4 sin 5＝5cos 4 sin 10 cos 2 sin 3 sin 5
1 又( cos i sin )5 C50 cos5 C5 cos 4 i sin C52 cos3 (i sin ) 2 3 5 C5 cos 2 (i sin )3 C54 cos (i sin ) 4 C5 (i sin )5
• 第一篇
复变函数论 （包括一、二、三、 四、五、六章）
• 内容简要：主要讲授复变函数的基本概念和理论及
其一些应用，重点研究解析函数的独特性质、留数 定理及其应用；介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换的 概念及性质及拉普拉斯变换的应用。 • 教学要求：在掌握复变函数、解析函数、罗朗级数、 留数定理等概念的基础上，能运用相关概念和定理 进行有关求解解析函数的运算，能在指定区域将某 个复变函数展为泰勒级数或罗朗级数，能运用留数 定理求解某些类型的积分，能运用拉普拉斯变换求 解积分、微分方程。
极坐标表示：z= cos i sin ei (欧拉公式)
x2 y 2 y arctan x
z* 共轭复数
z* x iy cos i sin [cos( ) i sin( )] ei
小结：|对复数的研究可归结为对一对实数(x,y)的研究 复变数z x iy 复常数z0 x0 iy0 可归结为：x x0 , y y0 则，关于实变数的极限的定理、判据完全适用于复变数。
计算下列复数: ii ,cos 5
解： ( cos i sin )5 cos 5 i sin 5
• 实数
-4 -3 -2 -1 0 1 2
一对有序的实数（x，y）定义为复数
2.5
3
4 x
z=2＋2i
虚单位
• 复数：z = x + i y
实部:x=Re z
i
1
y 虚轴
3i 2i i
i 2 1
虚部:y=Im z
(2,2)
x 是实数，y 也是实数 iy 是纯虚数
-3
-2
-1
0
1 -i
-2i
i (2) 1

ei
(3)
1 i
z*
i 代数式
i
指数式 e 2，三角式 cos

2
i sin

2
2.复数零（z=0）与无限远点
复数零：模为0，幅角无意义
x y0
y 虚轴
y

x
Z (x , y )
0 复平面上的点，模都是有限的，模为无限大的复数对应于 那一点呢？
x 实轴
N
复平面A
课程内容
• 第二篇
章）
• 内容简要：本篇是全书的中心内容，主要研究三类数学物
理方程的推导和定解问题的写法，重点介绍求解数学物理 问题最基本的方法---分离变数法，重点研究分离变数法求 解各类齐次及非齐次方程，介绍二阶常微分方程的级数解 法，介绍勒让德多项式和贝塞尔函数这两类特殊函数的导 出、性质和应用。 • 教学要求：熟练掌握几类物理问题的数学方程的推导，掌 握分离变数法求解以上几类数学物理方程，能利用两类特 殊函数求解某些物理问题。
1 i ( e 2
1
2)
(6)复数的n次幂： zn (x＋iy )n = n (cos i sin )n zn ( ei )n n ein n (cos n i sin n ) (cos i sin ) n (cos n i sin n )棣莫弗公式
数学物理方程（七、八、九、十、十一
• 考试方式：闭卷 • 考核方式：平时10％，期末90％ • 即平时成绩满分10分，每缺席1次扣2分，6
次以上取消本门课程考试资格。
1.1 复数与复数运算
• 重点：复数与复平面上的点的对应关系，复数
的直角坐标表示，极坐标表示 • 难点：复数的指数式与代数式之间的转换，无 限远点的概念 • 掌握：复数的三种表示方式，复数的运算法则 • 1. 复数的概念
2
3
x 实轴
复数可用复平面上的一个 点来表示，z（x,y）
-3i
复数z——有向线段，矢量 y 虚轴 Z (x , y ) y

复数的模，|z| －复数的幅角，Argz Argz＝arg z＋2k 约定： 0 arg z<2 ，主幅角
三角式 指数式
0
x
x 实轴
ei cos i sin
z2
z1
z1＋z2
z2
z1
-z2
z1 -z2
(4)复数的积： z1z2 (x1＋iy1 )(x2＋iy2 )=(x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) z1z2 1 (cos 1 i sin 1 ) 2 (cos 2 i sin 2 ) 1 2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 1 2 ei (1 2 )
ຫໍສະໝຸດ Baidu x cos y sin
复数的数学表达式： （1）代数式：z=x+iy (2) 三角式： z= cos i sin （3） 指数式：z= ei
y 虚轴
y

0
Z (x , y )
请写出下面复数的另外 两种表示方式
(1) (4)
(1)
x
x 实轴