平面向量基本定理与平面向量正交分解及坐标表示

编号：001 §2.3.1平面向量基本定理

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

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【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

【重难点】平面向量基本定理；正交分解下的坐标表示. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：

复习1：向量b 、()

0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e （如下图），请同学们作出向量1232e e +、122e e -.

（二）自主探究：（预习教材P93—P96） 探究：平面向量基本定理

学法指导： 在物理中我们研究了力的合成与分解，力的合成与分解互为逆运算，都符合平行四边形

法则：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F 的大小和方向就可以用F1、F2所夹的角的大小来表示。（注：已知分力要求合力，叫做力的合成。已知合力要求分力叫做力的分解。）

即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循的平行四边形定则。力的分解就是由对角线求两邻边的问题，这是我们在物理中学过的知识。在数学中，物理中的力，本质上就是我们数学中的向量，如果已知平面内的某一向量m （其中m 为非零向量），就可以按照平行四边形法则，将其分解到两个向量1e ，2e （其中1e ，2e 为非零向量）两个方向。分解到1e 方向的向量记为a ，则a 与1e 共线，即11a e λ=，分解到2e 方向的向量记为b ，则b 与2e 共线，即22b e λ=，那么1122m a b e e λλ=+=+.

问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？

1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a

是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1λ，2λ，使 。其中，不共线的这两个向量,1e 2e

叫做表示这一平面内所有向量的基底。

问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？

2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a b ，作=OA a ，=OB b

，则 叫

做向量a 与b

的夹角。如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。当 时，

表示a 与b 同向；当 时，表示a 与b 反向；当 时，表示a 与b

垂直。

记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为

_____________，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于

直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得____________，这样，平面内的任一向量a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示：i =__________，j =__________，0=__________ 二、合作探究

学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。 【例1】（见课本P94例1）

【例2】已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2AB CD =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =，

AB b =。试用,a b 为基底表示DC 、BC .

【例3】（见课本P96例2）

【例4】已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，43OA =60xOA ∠=，求向量OA 的坐标.

(注：xOA ∠即为向量OA 与x 轴的正方向的夹角.)

【规律性方法总结】

三、课堂反馈

1、在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若15BC e =，23DC e =，则OC 等于多少？

2、已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），O 为原点，则OA =________，OB =_______.

3、已知向量a 的方向与x 轴的正方向的夹角是30°，且a =4，则a

的坐标为__________. 4、已知两向量1e 、2e 不共线，122a e e =+，1232b e e λ=-，若a 与b 共线，则实数λ= .

四、达标检测（A 组必做，B 组选做）

A 组

1. 设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底的是（ ）

①AD 与AB ②DA 与BC ③CA 与DC ④OD 与OB A.①② B.③④ C.①③ D.①④

2. 已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足()()1212342363x y e x y e e e -+-=+，则x y -的值等于（ ）

A.3

B.3-

C.0

D.2 3. 若O 、A 、B 为平面上三点，C 为线段AB 的中点，则（ ） A.OC OA OB =+ B.()12OC OA OB =

+ C.2AB OC = D.()

1

2

OC OA OB =- 4.已知,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，且AB ＝２1e +k 2e ，CB ＝1e +３2e ，CD ＝２1e

－

2e

，如果A 、B 、D 三点共线，则k 的值为

B 组

1、已知AM 是ABC ∆的BC 边上的中线，若AB ＝a

，AC ＝b ，则AM ＝（ ）

Ａ．21（a －b ） Ｂ．－21（a －b ） Ｃ．－21（a ＋b ） Ｄ．2

1（a ＋b ）

2、已知点A （2，2），B （-2，2），C （4，6），D （-5，6），E （-2，-2），F （-5，-6），在平面直角坐标系中，分别作出向量AC 、BD 、EF ，并求出向量AC 、BD 、EF 的坐标。