直觉思维的基本形式

数学学科与数学科学的区别
第二，作为科学的数学，对所有的定理、 公式、法则等都要进行严格的论证和推导， 以保证其逻辑性和严谨性。而作为学科的数 学，从学生的接受能力出发，往往不做严格 的论证，只是通过列举的方式，用归纳的方 法得出结论。让学生具体地认识有关的原理。
数学学科与数学科学的区别
第三，作为科学的数学，可以完全按照 数学自身的理论体系和逻辑顺序安排，尽量使 内容完整、系统和科学化。而作为学科的数学， 在不影响内容的科学性的前提下，应当考虑儿 童的认知规律，一些内容的呈现顺序和编排方 式可作适当的调整。
思维的概括性举例
1.求下图中两个正方形盖住的面积。
3
1 2
2.某班有15个学生有哥哥，9个学生有姐姐， 有哥哥又有姐姐的学生有3个，问全班有 哥哥或有姐姐的学生共有多少个？
(二)数学思维的分类1


数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻 辑思维、形象思维和直觉思维三类。 逻辑思维的基本形式——概念、判断、推理。 形象思维的基本形式——表象、直感、想象。 直觉思维的基本形式——直觉、灵感(顿悟)。
近代数学时期
这一时期数学的对象、内容在深度上和广度 上都有了很大发展，分析学、代数学、几何学的 思想、理论和方法都发生了革命性的变化，数学 越发抽象、不断分化、不断综合的发展规律开始 显露；数学基础研究的开始，标志着一座宏伟稳 固的数学大厦已在人们脑海里出现；数学应用范 围继力学、光学之后，又在热力学、电磁学、技 术科学中获得扩展。
二、培养数学思维


思维是人脑对客观事物的本质属性 和事物内在联系的概括和间接的反 映。思维是智力的核心。 思维有两个最显著的特征，一是概 括性，二是间接性。


数学思维，就是以数和形及其结构 关系为思维对象，以数学语言和符 号为载体，并以认识和发现数学规 律为目的的一种思维。 数学思维主要具有概括性、整体性、 相似性和问题性等特点。



1.1.3 数学的发展过程
数学萌芽时期(远古——公元前6世纪) 常量数学时期(公元前6世纪——17世纪)
变量数学时期(17世纪——18世纪)
近代数学时期(19世纪)
现代数学时期(20世纪以后)
数学萌芽时期
这个时期的特点是人类在长期 的生产实践中，从现实世界里，逐 渐形成了数学中最古老、最原始的 概念——“数”(自然数)和 “形”(简单几何图形)。
常量数学时期
这个时期的特点是数学已成为一门 独立科学，建立了真正科学意义的数理 论，数学的三个重要分支——算术、代 数、几何，已经按演绎体系建立起来， 初等数学的主体部分已经全部形成。数 学已明显由经验形态上升到理论形态。
变量数学时期
这个时期的特点，是数学的研究对 象已由常量进入变量，由有限进入无限， 由确定性进入非确定性；数学研究的基 本方法也由传统的几何演绎方法转变为 算术、代数的分析方法；数学开始进入 其他科学。
数学学科与数学科学的联系
作为学科的小学数学是数学科学的一部分，包 括算术、几何初步、代数初步和统计初步知识，以 及与这些知识有关的技能和方法等，这些内容与数 学科学有密切的关系。它们源于数学科学，遵循数 学自身的科学性，同科学数学相似有之处，如数学 本身的抽象性、形式化、符号化等特征，在学科数 学中都有不同程度的反映。正是这些才保持了数学 学科的基本性质。
现代数学时期
在这一时期，计算机进入数学领域，使 整个数学的面貌大为改观；数学几乎渗透到 所有科学领域，形成了数学科学的一系列分 支理论和应用数学理论；纯粹数学不断向纵 深发展，集合论观点的普遍运用，公理化方 法的完善，数理逻辑的发展，数学基础的奠 定，模糊数学的创建，以及泛函分析、抽象 代数和拓扑学三大现代理论的建立，已经使 数学在整个科学体系中的特殊地位和作用突 出地显现出来。
数学学科与数学科学的区别
第一，科学的数学是对数学的理论与方法的系统 阐述，一般从基本的概念和原理出发，全面完整地、 系统地表述某一个数学领域的内容和方法。而作为 学科的数学考虑学生的心理特点和认识规律，从学 生的学习需要和可能出发，安排和呈现有关的内容 和方法。

因此，学科的数学一般要从学生的生活实际出发，让学生充 分感知所学的内容和方法。如对于数学概念的认识，不是从 数学概念体系论述，而是从学生熟悉的实际，通过具体的实 物，让学生通过操作、演示等方式直观具体地学习。
例：对代数式3a作出解释。
说明：如葡萄的价格是3元/千克， 买a千克的葡萄需3a元；或正三角形的 边长为a，这个三角形的周长是3a。
(二)数学思维的分类3



数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思 维和创造性思维两类。 再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现 成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式 来解决问题的思维方式。 创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问 题的思维，是在已有的知识和经验的基础上， 对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法 的思维。
纯粹数学
几何类 ——微分几何、拓扑学等 代数类 ——数论、抽象代数等 分析类 ——微分方程、函数论等
运筹学
数 学 知 识
应用数学
概率论、数理统计 计算数学 · · · · · · · · · · · · · · ·
着眼于数学对现实世界中各种现象的处理
数 学 知 识
确定性数学 随机数学
模糊数学
§1.2 小学数学学科的性质与任务
1.1.4 数学的主要内容
数学问题 —— 数学的“心脏”
数 学 内 容
数学知识 —— 数学的“躯体”
数学思想 —— 数学的“灵魂” 数学方法 —— 数学的“行为规则”
着眼于数学的发展过程
数学基础
数 学 知 识
初等数学 高等数学
现代数学
从数学的研究对象"数"与"形"来看
初等数学阶段，"数"是常量， "形"是孤立、简单的几何形体。 初等数学分别研究常量间的代数 运算和几何形体内部以及相互间 的对应关系。
1.请同学们做好前面三道题； 2.从这三道题中你发现了什么 规律？ 3.不用计算，你能写出后面三 道题的结果吗？ 4.你还能写出这样的算式吗？
(四)数学思维的一般方法
观察与实验 比较与分类 分析与综合 抽象与概括 归纳与猜想 类比与联想

观察与实验


观察是人们对周围事物和现象，在其自 然条件下，按照事物或现象的本身面目， 研究和确定它们的性质和关系的一种方 法。 实验则是人们根据一定的研究目的，人 为地创设条件，控制和模拟客观对象， 在有利的条件下获取资料的研究方法。
例：长40cm，宽20cm的长方形铁皮做成深 5cm的无盖长方体铁盒(焊接处不计)，求长 方体铁盒的容积。
方法一：（40-5×2）×（20-5×2）×5 =30×10×5 =1500（立方厘米）
例：长40cm，宽20cm的长方形铁皮做成深5cm 的无盖长方体铁盒(焊接处不计)，求长方体 铁盒的容积。 方法二：（40-5）×（20-5×2）×5 =35×10×5 =1750（立方厘米）
例：鸡兔同笼，共有头14只，足 34条，鸡兔各几只？
例：鸡兔同笼，共有头14只，足34条，鸡兔各 几只？ 方法一、（逻辑思维） （14×4-34）÷（4-2）=11（只） 鸡 14-11=3(只) 兔
方法二、（形象思维）
鸡有11只，兔有3只。
方法三、（直觉思维） 34÷2-14=3 (只) 14-3=11(只)
1.2.2 对小学数学学科性质的认识
小学数学应具有如下几个性质特征： 1.基础性。 2.普及性。 3.发展性。
1.2.3 小学数学学科的任务
一、发展数学素养
数学素养的基本内涵：
１.懂得数学的价值； ２.对自己的数学能力有信心； ３.有解决现实数学问题的能力； ４.学会数学交流； ５.学会数学的思想方法。
(二)数学思维的分类2



数学思维方式按照思维指向可以分成集中 思维和发散思维两类。 集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛 思维。定向思维(正向思维)和纵向思维是集 中思维的两种重要形式。 发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射 思维。逆向思维和多向思维是发散思维的 两种重要形式。
例：小华家离学校有800 米远，小明家离学校有500 米远。问小华和小明的家相 隔多远？


数学的严谨性是指数学中每一个定理、定 律都要经过严格的证明才能得以成立。
数学定义的准确性； 数学推理的逻辑性； 数学结论的精确性。


由于数学的抽象特征，使其应用的范围十 分广泛。特别是现代科学技术飞速发展的 今天，数学的应用越来越广。
几乎每时每刻我们都要在生产和日常生活中用到 数学； 几乎所有的科学——如天文学、物理学、地质学、 化学、生物学、医学、信息学、语言学、历史学 等都广泛地应用数学这一工具。 几乎所有的领域——如军事、艺术、航空、经济、 管理等也都广泛地应用数学这一工具。
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例：计算5+5+5+5+4= (1) 5×4+4 (按乘法意义算，属再现 性思维) (2) 5×5-1 (看到一个不存在的5，已 有一点创造性成份了) (3) 6×4 (把一个“4”分成四个“1”， 分别添加到前面的四个“5”上，变成了四个 “6”，对信息进行了整体改组，属于创造性 思维)
例：长40cm，宽20cm的 长方形铁皮做成深5cm的无盖 长方体铁盒(焊接处不计)，求 长方体铁盒的容积。
从数学的研究对象"数"与"形"来看
高等数学阶段，“数” 是变量，“形”是曲线和曲 面，高等数学研究它们之间 各种函数和变换关系。
从数学的研究对象"数"与"形"来看
现代数学阶段， " 数 " 为 集合，"形"为各种空间和流形， 它们都能用集合和映射的概念 统一起来，数与形的界限已难 以划分了。
着眼于与现实生活的联系
第一章 走进小学 数学课程
§1.1 数学的基本认识
1.1.1 数学的研究对象
“数学是研究现实世界中数量关系和空 间形式的科学。”
“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来 表现现实世界各种数量及其关系。
“空间形式”是几何学研究的内容，研究物体的形状、 大小及其相互关系。
1.1.2 数学的基本特征
数学区分于其它学科的明显特征有三个：
理论的抽象性； 逻辑的严谨性； 应用的广泛性。
除此之外，数学还具有形式化、简单化和符号化等特征。

数学的抽象性是指数学来源于实践，是现实 世界的事物在数量关系和空间形式上的抽象， 在表现形式和处理方法上都具有抽象的特征。
第一，它保留了数量关系或者空间形式。 第二，数学的抽象是经过一系列的阶段形成的，它 达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。 第三，不仅数学的概念是抽象的，而且数学方法本 身也是抽象的。
1.2.1 作为教育的数学
作为教育的数学，它源于数学科学，但与作为科学的数学是 完全不同的。数学科学与数学学科之间既有联系，又有区别。 数学科学--是以研究客观世界的数量关系和空间形式的规律 为目的，具有严谨的科学体系和逻辑的系统方法。 (是一类专门 的人的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，其目的是 为发现与创造数学。) 数学学科 -- 数学学科是以培养学生，使学生了解数学，形成 一定的数学素养为目的，是学生全面发展教育的一个组成部分。 （是学生在老师的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的 活动过程，其目的是为了“接受”已发现与创造的数学。）
兔 鸡
例：父子两人上班，父亲要走40 分，儿子要走30分，父先走5分后， 儿子多少分钟追上父？
例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的两棵大 树间同时相向而行，白兔每秒钟跳6m，黑兔每秒钟 跳4m。一只小花狗与白兔同时前进，每秒钟跑10m。 小花狗为了表示对两只兔子都很亲热，因此当它遇 到黑兔时，马上折回去迎接白兔；遇到白兔时，又 迅速折回去迎接黑兔；这样小花狗在白兔与黑兔之 间来回奔跑，直到白兔与黑兔相遇。问小花狗来回 奔跑了多少路？
例：长40cm，宽20cm的长方形铁皮做成深 5cm的无盖长方体铁盒(焊接处不计)，求 长方体铁盒的容积。 方法三：20×20×5 =2000（立方厘米）
(三)数学思维的一般方法
有趣的练习



7+9×9= 6+9×98= 5+9×987= 4+9×9876= 3+9×98765= 2+9×987654=