山东济南外国语中学2020-2021高三上学期数学11月考试题(含答案)
2020-2021济南外国语学校华山校区高三数学上期末试卷及答案
2020-2021济南外国语学校华山校区高三数学上期末试卷及答案一、选择题1．设,x y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是A．3[3,]7-B．[3,1]-C．[4,1]-D．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．数列{}n a满足()11nn na a n++=-⋅，则数列{}n a的前20项的和为( )A．100B．-100C．-110D．1103．已知等比数列{}n a的公比为正数，且239522,1a a a a⋅==，则1a= ( )A．12B．2C．2D．24．已知数列{}n a的前n项和为n S，点(,3)nn S+*()n N∈在函数32xy=⨯的图象上，等比数列{}n b满足1n n nb b a++=*()n N∈，其前n项和为nT，则下列结论正确的是（）A．2n nS T=B．21n nT b=+C．n nT a>D．1n nT b+<5．若直线()10,0x ya ba b+=>>过点(1,1)，则4a b+的最小值为（）A．6B．8C．9D．106．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n填入n n⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为n N(如：在3阶幻方中，315N=)，则10N=（）A．1020B．1010C．510D．5057．数列{}n a中，对于任意,m n N*∈，恒有m n m na a a+=+，若118a=，则7a等于( )A．712B．714C．74D．788．在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为a，b，c．若ABC∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =9．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．3210．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．911．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-12．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二、填空题13．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 14．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.15．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________16．已知数列{}n a 的前n 项和n s =23n -2n+1,则通项公式.n a =_________17．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．18．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______．19．在钝角ABC V 中，已知7,1AB AC ==，若ABC V的面积为6，则BC 的长为______．20．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2nn n a b n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 23．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 24．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.25．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 26．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足(1)1(1)n n n n a b n n ++=+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q 212a a q ===，故选D. 4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.5．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.7．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.8．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.9．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．10．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a=，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A.考点：线性规划12．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x =-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中解析：14【解析】 【分析】根据均值不等式知，4a b +≥=()2416a b ab +≥，再由41684ab a b +≥=⋅即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】4a b +≥=Q （当且仅当4a b =等号成立），()2416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立）， ()2444a b a b ∴++≥⋅8=（当且仅当4a b =等号成立）， ()224281a a a∴+=⇒=. 故答案为14b =. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.14．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.15．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=L ，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++L . 16．【解析】试题分析：n=1时a1=S1=2；当时-2n+1－-2（n-1）+1=6n-5a1=2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n 项和；2数列的通项公式解析：na =2,1{65,2n n n =-≥ 【解析】试题分析：n=1时，a 1=S 1=2；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=23n -2n+1－[23(1)n --2（n-1）+1]=6n-5, a 1=2不满足61n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为na =2,1{65,2n n n =-≥. 考点：1.数列的前n 项和；2.数列的通项公式.17．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：72-【解析】 【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值18．7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大最大因此由于当且仅当时取等号 考点：1线性规划的应用；2利解析：7 【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，由于，当且仅当时取等号，.考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.19．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题 10【解析】 【分析】利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可. 【详解】 由题意得,61671sin sin 227A A =⨯⇒=又钝角ABC V ,当A 为锐角时,261cos 177A ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭则21712777BC =+-=,即7BC =.故A 为钝角.此时261cos 177A ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭故21717107BC =++=. 即10BC =10【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.20．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题三、解答题21． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）2552n nn T +=- 【解析】试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q -试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：212n nn b +=23435792122222n n n T +=++++⋯+ ① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：23411311112122222222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=-故2552n nn T +=-点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．(1)1a =；(2)22. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）根据单调性求出()f x 的最小值，即可求出a 的值； （2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析：(1)f(x)＝当x ∈(－∞，0)时，f(x)单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增； ∴当x ＝0时，f(x)的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，由于m>0，n>0，则＋≥2≥2，当且仅当m ＝n ＝时取等号.∴＋的最小值为2.23．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）13(21)34n n n T ++-⋅=【解析】 【分析】（1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则211143a q a a q ⋅=+⋅,可解得q ,即可求得通项公式；（2）由（1）可得3n nnn a =⋅,再利用错位相减法求解即可. 【详解】解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,所以21343a a a =+,即211143a q a a q ⋅=+⋅,解得13q =, 因为113a =,所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3n nn n a =⋅, 所以1231323333nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ,则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ,作差可得,1231233333n n n T n +-=++++-⋅L则()+13312331n n nT n --=-⋅-，即1132322n n T n +⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭,所以()132134n n n T ++-⋅=【点睛】本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和. 24．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 25．（1）7（2【解析】 【分析】（1）ACD ∆中，设(0)AD x x =>，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理得到答案. （2）利用面积关系得到sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠化简得到cos 2.AB CAD AD ⋅∠=根据（1）中sin 7CAD ∠=解得答案. 【详解】（1）在ACD ∆中，设(0)AD x x =>， 由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=， 所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠，化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=. 代入计算2721AB ⨯=⨯ 因此7.AB = 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.26．(1)12n n a -=.(2)121nn S n =-+. 【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式； （2）化简，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为，是与的等差中项，即有，即为，解得，即有；（2）），数列的前项和.考点：（1）数列的求和；（2）等比数列的通项公式.【方法点晴】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.由等差中项的意义可得可求出公比，可求出数列通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消发类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.。
【高三】济南外国语届高三上期中考试试题(数学 理)
【高三】济南外国语届高三上期中考试试题（数学理）试卷说明：济南外国语高三上期中高三数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．1. 若向量,且,则实数=（）A．－4 B． 4 C．－6 D．62. 设，则使函数的值域为且为奇函数的所值为（）A．，B．，C．，D．，，3. 下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题C．命题“，”的否定是：“，”D．已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】C.4. 设全集是实数集，，N＝{x}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A．{x－2≤x＜1B．{x－2≤x≤2} C．{x1＜x≤2 D．{xx＜2}5. 在中，已知，那么一定是A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形【答案】B.【解析】试题分析：由题意可得sin(A+B)=2sinAconB,所以sinAcosB+cosAsinB=2sinAconB.所以可得sin(A-B)=0.又因为在三角形ABC中，所以A=B.即一定是等腰三角形.关注sin(B+C)=sinA.的变化.考点：1.三角形的内角间的正余弦的变化.2.角的和差公式.3.解三角方程的能力.6. 已知,,那么的值为（）A. B. C. D. 7. 给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】试题分析：因为A选项符合.因为f(x+y)=x+y=f(x)+f(y).所以A选项正确.选项B符合.因为.所以B选项成立.选项C符合.因为.所以C选项正确.又因为sin(x+y) ≠sinx+siny;sin(xy)≠sinx+siny;sin(x+y)≠sinxsiny.所以选D.本题涉及的知识点较多，一次函数，对数函数，指数函数，三角函数等知识.要熟练这四种函数的基本运算.考点：1.隐函数的知识.2.四种初等函数的知识.8. 已知正实数数列中，，则等于（）A．16B．8C．D．49. 设的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【答案】D.【解析】试题分析：A选项中像二次函数图像的当做导函数，则可知导函数的值大于或等于零，所以原函数函数是递增的.即A选项正确.B选项把递增的那支作为导函数可知，导函数小于零，所以原函数的递减.所以B选项正确.选项C类似选项A.对于选项D.若x轴上方的做导函数，则可知导函数大于或等于零，所以原函数递增.即另一只不符合.若x轴下方的为导函数则可知，导函数小于或等于零，所以原函数递减.另一只也不符合.故选D.本题考察的知识点是学会看懂导函数图像.关注导函数的正负与函数的单调性的关系.考点：1.导函数图像的正负的含义.2.函数的单调性的判断方法.3.观察图像能力.10. 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或11. 函数的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B.【解析】试题分析：令f(x)=0得.画出两个函数. 图像即可得交点的个数为两个.所以原函数的零点有两个. 故选B.本题关键是的图像的画法是将函数在负y半轴的图像沿x轴翻折.考点：1.函数的零点问题.2.对数函数图像，指数函数图像的画法.3.函数绝对值的图像的画法.12. 已知函数是定义在R上的函数，其最小正周期为3，且时，，则f()=（）A．4B．2C．－2D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．13. 已知直线与曲线相切于点，则.14. 设定义如下面数表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为___________________。
山东省济南市外国语学校2020-2021学年高一数学文月考试题含解析
山东省济南市外国语学校2020-2021学年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 化简得（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．【解答】解：﹣+﹣=﹣﹣=﹣=故选D2. 长方体ABCD - A1B1C1D1中，已知，，棱AD在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
【详解】长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于，求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
由图形知, ，故选A.【点睛】将问题等价转换为可视的问题。
3. 某校高一年级某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“跑操与健康”的调查，为此将学生编号为1,2…，60，选取的这6名学生的编号可能是（）A. B.C. D.参考答案：B分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．详解：根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列，故选：B．点睛! 本题主要考查系统抽样的应用，求出号码间隔是解决本题的关键．4. 给出下列结论，其中判断正确的是 ( )A．数列前项和，则是等差数列B．数列前项和，则C．数列前项和，则不是等比数列D．数列前项和，则ks5u参考答案：D略5. 化简：=( )A．4 B．2π﹣4 C．2π﹣4或4 D．4﹣2π参考答案：A【考点】方根与根式及根式的化简运算．【专题】计算题．【分析】由π＜4，得，由此能求出原式的值．【解答】解：=4﹣π+π=4．故选：A．【点评】本题考查根式的化简运算，解题时要注意被开方数的符号，合理地选取公式．6. 下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A．y=2|x| B．y=|log2x| C．y=x3 D．y=x﹣2参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的单调性，减函数的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2|x|为偶函数，且x＞0时，y=2|x|=2x为增函数；即该函数在（0，+∞）上递增，∴该选项正确；B．y=|logx|的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，不是偶函数，∴该选项错误；C．y=x3为奇函数，∴该选项错误；D．若x∈（0，+∞），x增大时，x﹣2减小，即y减小；∴y=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误．故选：A．【点评】考查指数函数的单调性，单调性的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义．7. 如果等差数列中，，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35参考答案：C8. 下列函数中，是奇函数且在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．f（x）=lgx B．y=x3 C．y=x﹣1 D．y=e x参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数函数和指数函数图象容易判断f（x）=lgx和y=e x都不是奇函数，而根据反比例函数单调性知y=x﹣1在（﹣∞，0）上为减函数，而容易判断y=x3的奇偶性和单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．f（x）=lgx为非奇非偶函数，∴该选项错误；B．y=x3为奇函数，在R上为增函数，则在（﹣∞，0）上为增函数，∴该选项正确；C．y=x﹣1在（﹣∞，0）上为减函数，∴该选项错误；D．y=e x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选B．【点评】考查，奇函数的定义，增函数的定义，奇函数图象的对称性，反比例函数的单调性，熟悉指数函数和对数函数的图象，并清楚y=x3的图象．9. 若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A． B．a2＞b2 C． D．a|c|＞b|c|参考答案：C略10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，为使此三角形有两个，则a满足的条件是（）A. B. C. D. 或参考答案：C【分析】计算三角形AB 边上的高即可得出结论． 【详解】C 到AB 的距离d=bsinA=3， ∴当3＜a ＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C ．【点睛】本题考查了三角形解的个数的判断，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设数列为公比的等比数列，若是方程的两根，则_________.参考答案： 18 略12. 执行右图所示程序框图所表达的算法，其输出的结果应为 ．参考答案： 4513. 将曲线C 1：y=ln 关于x 轴对称得到的曲线C 2，再将C 2向右平移1个单位得到函数f （x ）的图象，则f （+1）=．参考答案：考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数图象的对称变换和平移变换法则，求出函数f （x ）的解析式，将x=+1代入可得答案．解答： 解：将曲线C 1：y=ln 关于x 轴对称得到的曲线C 2，∴曲线C 2的方程为：y=﹣ln ，再将C 2向右平移1个单位得到函数f （x ）的图象，∴函数f （x ）=﹣ln，∴f（+1）=﹣ln =﹣ln =﹣（﹣）=，故答案为：点评： 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，函数求值，根据函数图象的对称变换和平移变换法则，求出函数f （x ）的解析式，是解答的关键．14. 已知 则f(3)= ________.参考答案：2 略15. 下列几个命题中真命题的序号是 ．（1）已知函数f （x ）的定义域为[2，5），则f （2x ﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．参考答案：（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）由f（x）的定义域为[2，5），知2x﹣1∈[2，5），解出x的范围即为定义域；（2）求出定义域可得函数为y=0，满足f（x）=f（﹣x），也满足f（x）=﹣f（﹣x），故是偶函数，也是奇函数，（3）由f（x+1）为偶函数，由定义可知f（﹣x+1）=f（x+1）；（4）利用二次函数的对称轴可得﹣a≤﹣5，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为[2，5），∴2x﹣1∈[2，5），∴x∈[，3），故错误；（2）的定义域为{1，﹣1}，此时y=0，故是偶函数，也是奇函数，故正确；（3）f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），故错误；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，∴﹣a≤﹣5，∴a≥5，故正确．故正确选项为（2）（4）．【点评】考查了符合函数的定义域和奇偶性，二次函数的单调性判断．属于基础题型，应熟练掌握．16. （5分）已知圆C：x2+y2+4y﹣21=0，直线l：2x﹣y+3=0，则直线被圆截的弦长为．参考答案：4考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：把圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标与圆的半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理计算直线l：2x﹣y+3=0被圆C所截得的弦长．解答：圆的标准方程为：x2+（y+2）2=25，∴圆的圆心为（0，﹣2），半径为R=5；∴圆心到直线的距离d==，∴直线l：2x﹣y+3=0被圆C所截得的弦长为2=4．故答案为：4．点评：本题考查了直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．17. 设数列为公比的等比数列，若是方程的两根，则_________.参考答案：18略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省济南外国语中学2021届上学期高三年级阶段性检测考试数学试卷
山东省济南外国语中学2021届上学期高三年级阶段性检测考试数学试卷第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设2{|430}A x x x =-+，{|(32)0}B x ln x =-<，则A ．3(1,)2B ．(1，3]C ．3(,)2-∞ D ．3(2，3]2．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则A ．1 B．2 D．3．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4π B ．2πC ．34π D ．π4．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为 A ．2 B ．52 C ．3 D ．725．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为 A ．8 B．．．7．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，12PF PF >1PF 2F 1e 2e 21e 2e 2+63()(21)x f x e x ax a =--+1a <0x 0()0f x <a 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n N ∈p {}n a {}n a {}2na (){}1n-{}n a {}kn a *k N ∈k {}n a P ABCD -O MN PA PBPD OMN PCD OMN PD MN 90ON PB⊥453595%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++25456075()2ln x f x x =()f x x e=12e ()f x ()()()23f ff π<<()21f x k x<-()0,∞+2e k >0,0,25x y x y >>+=(1)(21)x y xy ++xoy ABC ∆(4,0),(4,0)A C -B 221259x y +=sin sin sin A C B +=()3x x 1f x =x 2x+e -e -()()2f a-1+f 2a 0≤、、A B C a b c、、sin sin B C 6cos cos 1,3,B C a =={}n a 123(1)(41)236n n n n a a a na +-+++⋯+=*n N ∈1a 2a {}n a 11n n n b a a +=⋅{}n b n T 12n T <ABCD ,E F ,AD BC DF DFC △C P PF BF ⊥PEF ⊥ABFD DP ABFD YY 22:12x C y +=F F l C ,A BM (2,0)l x AM O OMA OMB ∠=∠()()221ln f x ax a x x=-+-()22ln g x a x x =--a R ∈0a >()f x 21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()f x g x ≥a A B {|13}A x x =3{|0321}{|1}2B x x x x =<-<=<<∴3(1,)2A B ⋂=A (1)2z i i-=22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+||2z ∴=B a π()cos sin 2cos()4=-=+f x x x x π02ππ2π,(k Z)4+≤+≤+∈k x k π3π2π2π,(k Z)44-+≤≤+∈k x k π3ππ3ππ[,][,],,044444-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤a a a a a a a a π4sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>max min =+y A B y A B =-，2π.T ω=ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z PA PB ⋅2||2PC -||PC PA PB ⋅()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-22223||||||222PC CA PC ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭52=()711212a --1111ABCD A B C D-130AC B ∠=2AB =123BC =122CC =1111ABCD A B C D -1BC 130AC B ∠=2AB =123BC =122CC =222282V =⨯⨯=21e 2e 2+12a 22a 1222F F F P c ==1211222,2F P F P a F P F P a +=-=111222,22F P c a F P c a ∴+=-=122a a c-=22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++2222222222a a cc c a c a +≥⋅=2222a c c a =21e 2e 2∴+21e 2e 2+()()21x g x e x =-()1y a x =-0x ()()01g x a x <-()y g x =()01a g ->=-()312g a e-=-≥-a ()()21x g x e x =-()1y a x =-()y g x =y ax a=-()()21xg x e x '=+12x <-()0g x '<12x >-()0g x '>()y g x =12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()01g =-()10g e =>y ax a =-()1,0a ()01a g ->=-()31g a a e -=-≥--312a e≤<n a n=()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++{}2n a ()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦(){}1n-{}na p R ∈221n n aa p +-={}2n a ()221kn k n a a kp +-={}kn a *k N ∈k {}n a d m R ∈n a dn m =+()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++{}n a p 221n n a a p +-=()222d n m d d p ++=n *∈N ()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩0p d =={}n a N ，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C ，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON ∥PD PD OMN M N PA PB N ∥AB,又底面为正方形，所以MN ∥CD ，由线面平行的判定定理可得，CD ∥平面OMN,又选项A 得PD ∥平面OMN ，由面面平行的判定定理可得，平面PCD ∥平面OMN ；选项C,因为MN ∥CD ，所以∠ PDC 为直线PD 与直线MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=60，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60；选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=,又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=,故PB PD ⊥,又PD ∥ON ，所以ON PB ⊥，故ABD 均正确【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点1注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． 2结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． 3会举反例或用反证法推断命题是否正确． 11．BC 【分析】设男生的人数为()5n n N*∈，列出22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合题中条件可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值 【详解】设男生的人数为()5n n N*∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n K n n n n ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K ≤<， 即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n ≤<， n N *∈，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60 故选：BC【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出22⨯列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题12．ACD 【分析】对于选项A 、C ，只需研究()f x 的单调性即可；对于选项B ，令()0f x =解方程即可；对于选项D ，采用分离常数，转化为函数的最值即可【详解】由已知，()3'12ln x fx x-=，令'()0f x >得0x <<，令'()0f x <得x >()f x在上单调递增，在)+∞单调递减，所以()f x 的极大值为12f e=，A 正确；又令()0f x =得ln 0x =，即1x =，当()(),0,x f x f x →+∞→∴只有1个零点，B 不正确；2>>>()2f ff <<，故C 正确；若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()21f x k x +<在()0,∞+上恒成立，设()221ln 1()x g x f x x x +=+=， '32ln 1()x g x x --=，令'()0g x >得120x e -<<，令'()0g x <得12x e ->，故()g x 在12(0,)e-上单调递增，在12(,)e -+∞单调递减，所以12max ()()2eg x g e -==，2e k >，故D 正确 故选：ACD【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题13．26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】(1)(2xxy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．14．1260【分析】按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数 【详解】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：1元素相邻的排列问题——“捆邦法”；2元素相间的排列问题——“插空法”；3元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；4带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法15．54【详解】由题意椭圆221259x y +=中．534a b c ===，，，故()()4,0,4,0A C -是椭圆的两个焦点，2108AB BC a AC ，∴+=== ，由正弦定理得2sin sin sin a b cr A B C===， sin sin ? 105 sin 84A C a c AB BC B b AC +++∴====【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义以及正弦定理的应用．其中合理转化 椭圆定义进而应用正弦定理是解题的关键 16．1[1,]2-【详解】因为31()2e ()exx f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 【点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式组，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．17．12sin sin 3B C =；23+【分析】（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+【详解】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A = 故2sin sin 3B C =（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=- 所以23B C π+=，故3A π=由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c += 故ABC的周长为3【点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可18．111a =；23a =；2 21n a n =-；3见证明； 【分析】（1）令1,2n n ==可求得12,a a ；（2）在已知等式基础上，用1n -代n 得另一等式，然后相减，可求得n a ，并检验一下1a 是否适合此表达式； （3）用裂项相消法求和． 【详解】解：（1）由已知得112316a ⨯⨯== 12237276a a ⨯⨯+==，∴23a = 2由123(1)(41)236n n n n a a a na +-++++=，①得2n ≥时，1231(1)[4(1)1]23(1)6n n n n a a a n a ----++++-=，② ①-②得(1)(41)(1)(45)(21)66n n n n n n n na n n +---=-=- ∴21n a n =-，11a =也适合此式，∴21n a n =-（*n N ∈）． （3）由（2）得21n a n =-，∴111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+∴11111111[(1)()()](1)23352121221n T n n n =-+-++-=--++ ∵*n N ∈，∴1021n >+∴12n T <【点睛】本题考查由数列的通项公式，考查裂项相消法求和．求通项公式时的方法与已知n S 求n a 的方法一样，本题就相当于已知数列{}n na 的前n 项和，要求n na ．注意首项求法的区别． 19．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF PF ⊥，BF EF ⊥，又因为PFEF F =，利用线面垂直的判定定理可以得出BF ⊥平面PEF ，又BF ⊂平面ABFD ，利用面面垂直的判定定理证得平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成角为θ，利用线面角的定义，可以求得34sin 43HP DP HP DPθ⋅===⋅，得到结果【详解】（1）由已知可得，BE PF ⊥，BE EF ⊥，又PF EF F =，所以BF ⊥平面PEF又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）作PH EF ⊥，垂足为H 由（1）得，PH ⊥平面ABFD以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -由（1）可得，DE PE ⊥又2DP =，1DE =，所以PE =1PF =，2EF =，故PE PF ⊥可得32PHEH == 则()330,0,0,0,0,,1,,0,1,,,2222H P D DP ⎛⎛⎛⎫--=⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0,0,2HP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面ABFD 的法向量 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin3HP DP HP DPθ⋅===⋅所以DP 与平面ABFD 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可 20．1 ；2万元；3见解析【分析】（1）根据频率分布直方图，求对应条形的面积，可得生猪重量达不到270斤概率；（2）利用组中值乘以频率再作和，求得生猪重量的平均数，再用重量乘以单价乘以头数得到销售收入； （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=，利用二项分布的特征求得其分布列，利用公式求得其方差【详解】（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为(0.00050.002)400.005300.25+⨯+⨯=（2）生猪重量的平均数为1800.022200.082600.23000.323400.24⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3800.1+⨯+4200.04⨯305.6=（斤）所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.685000⨯⨯1222.4=（万元） （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=， 由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2，则3~(2,)4Y B ， ∴022311(0)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， 1112313(1)C ()()448P Y ==⨯⨯=， 2202319(2)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， ∴随机变量Y 的分布列为∴随机变量Y 的方差3()2448D Y =⨯⨯=． 【点睛】该题主要考查了概率与统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的应用，利用频率分布直方图求平均数，二项分布的分布列以及其方差，从频率分布直方图中获取信息是解题的关键，属于简单题目21．（1）AM的方程为2y x =-2y x =-（2）证明见解析 【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果 【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛ ⎝⎭ 所以AM的方程为y x =+y x = （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+-- 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+ 从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠ 综上，OMA OMB ∠=∠【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论22．（1）见解析；（2）[),e -+∞【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，由()0f x '=得出1x a=和2x =，然后对1a 和2的大小关系进行分类讨论，分析导数符号，可得出函数()y f x =的单调增区间和减区间；（2）由()()f x g x ≥，得出ln 0ax x -≥，得出ln x a x ≥，构造函数()ln x h x x=，将问题转化为()min a h x ≥，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后利用导数求出函数()ln x h x x =在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，可得出实数a 的取值范围 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x -++--+'=-+== 当0a >时，令()0f x '=，可得10x a =>或2x = ①当12a =时，即当12a =时，对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+； ②当102a <<时，即当12a >时， 令()0f x '>，得10x a<<或2x >；令()0f x '<，得12x a << 此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当12a>时，即当102a <<时， 令()0f x '>，得02x <<或1x a>；令()0f x '<，得12x a << 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由题意()()f x g x ≥，可得ln 0ax x -≥，可得ln x a x ≥，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦构造函数()ln x h x x =，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()min a h x ≥ ()21ln x h x x -'=，令()0h x '=，得21,x e e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦当1x e e≤<时，()0h x '>；当2e x e <≤时，()0h x '< 所以，函数()y h x =在1=x e 或2x e =处取得最小值， 1h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()222h e e =，则()1h h e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()min 1h x h e e ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，a e ∴≥- 因此，实数a 的取值范围是[),e -+∞【点睛】本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，在求解时充分利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题。
山东省济南外国语高三数学上学期期中试题 理(含解析)
济南外国语高三上期中高三数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．1. 若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥ab ,则实数x =（ ） A ．－4B ． 4C ．－6D ．62. 设{}1123a ∈-，，，，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所a 值为（ ）A ．1，3B ．1-，1C ．1-，3D ．1-，1，33. 下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是： “x R ∀∈，02≤-x x ”D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 【答案】C.4. 设全集U 是实数集R ， 2{4}M x x =>，N ＝{x|31≤<x }，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{x|－2≤x ＜1}B ．{x|－2≤x ≤2}C ．{x|1＜x ≤2}D ．{x|x ＜2}5. 在ABC ∆中，已知B C B C cos )sin(2sin +=，那么ABC ∆一定是A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意可得sin(A+B)=2sinAconB,所以sinAcosB+cosAsinB=2sinAconB.所以可得sin(A-B)=0.又因为在三角形ABC 中，所以A=B.即ABC ∆一定是等腰三角形.关注sin(B+C)=sinA.的变化.考点：1.三角形的内角间的正余弦的变化.2.角的和差公式.3.解三角方程的能力.6. 已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（ ） A.51-B.57C.57-D. 437. 给出下列三个等式：()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()f x x =B ． 2()log f x x =C ．()3x f x =D ．()sin f x x =【答案】D. 【解析】试题分析：因为A 选项符合()()()f x y f x f y +=+.因为f(x+y)=x+y=f(x)+f(y).所以A 选项正确.选项B 符合()()()f xy f x f y =+.因为222()log ()log log f xy xy x y ==+()()f x f y =+.所以B 选项成立.选项C 符合()()()f x y f x f y +=.因为()333()()x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅.所以C 选项正确.又因为sin(x+y) ≠sinx+siny;sin(xy) ≠sinx+siny;sin(x+y) ≠sinxsiny.所以选D.本题涉及的知识点较多，一次函数，对数函数，指数函数，三角函数等知识.要熟练这四种函数的基本运算.考点：1.隐函数的知识.2.四种初等函数的知识.8. 已知正实数数列{}n a 中，22212111,2,2(2)n n n a a a a a n +-===+≥，则6a 等于（ ）A ．16B ．8C ．D ．49. 设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）【答案】D. 【解析】试题分析：A 选项中像二次函数图像的当做导函数，则可知导函数的值大于或等于零，所以原函数函数是递增的.即A 选项正确.B 选项把递增的那支作为导函数可知，导函数小于零，所以原函数的递减.所以B 选项正确.选项C 类似选项A.对于选项D.若x 轴上方的做导函数，则可知导函数大于或等于零，所以原函数递增.即另一只不符合.若x 轴下方的为导函数则可知，导函数小于或等于零，所以原函数递减.另一只也不符合.故选D.本题考察的知识点是学会看懂导函数图像.关注导函数的正负与函数的单调性的关系.考点：1.导函数图像的正负的含义.2.函数的单调性的判断方法.3.观察图像能力.10. 各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++的值为（ ）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215-11. 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B. 【解析】试题分析：令f(x)=0得0.51log ()2xx=.画出两个函数0.5()log xg x =. 1()()2xh x =图像即可得交点的个数为两个.所以原函数的零点有两个. 故选B.本题关键是0.5()log xg x =的图像的画法是将函数0.5log xy =在负y 半轴的图像沿x 轴翻折.考点：1.函数的零点问题.2.对数函数图像，指数函数图像的画法.3.函数绝对值的图像的画法.12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的函数，其最小正周期为3，且)3,0(∈x 时，)13(log )(2+=x x f ，则f(2014)=（ ）A ．4B ．2C ．－2D ．7log 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． 13. 已知直线13+=x y 与曲线n mx x y ++=3相切于点)4,1(，则_____=m .14. 设)(x f 定义如下面数表，数列{}n x 满足50=x ，且对任意自然数n 均有1()n n x f x +=，则2014x 的值为___________________。
山东省济南外国语学校高一数学上学期期中(11月)试题
2014-2015学年度第一学期期中模块考试高一数学试题（2014.11）本试卷共包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟 满分120分第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（每题只有一个正确选项，每题4分，共40分）1. 已知全集错误！未找到引用源。
，集合错误！未找到引用源。
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为（ ）.A 错误！未找到引用源。
.B 错误！未找到引用源。
.C 错误！未找到引用源。
.D 错误！未找到引用源。
2. 已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=⋂N M （ ）.A {}2-≥x x .B {}2<x x .C {}22<<-x x .D {}22<≤-x x3. 下列函数中与函数x y 2=相等的是（ ）.A 2)(2x y = .B 332x y = .C 22x y = .D y =4. 已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ，则))2((-f f 的值是（ ）.A ．2 .B 2- .C 4 .D 4-5. 函数2)1(x x f =-，则=)3(f （ ）.A 9 .B 16 .C 4 .D 26．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）.A 3a ≤- .B 3a ≥- .C a ≤5 .D a ≥57. 函数121+⎪⎭⎫⎝⎛=xy 的图象必经过点（ ）.A (0,2) .B (0,1) .C (1,0)- .D (1,0)8. 方程220x x +-=的解所在的区间为（ ）.A （-1，0） .B （0，1） .C （1，2） .D （2，3）9. 函数221x x y =-的图象大致是( ).A .B .C .D10. 设奇函数()f x 在(0)-∞，上为增函数，且(1)0f -=，则不等式()()0f x f x x --> 的解集为 （ ）.A (10)(1)-+∞，， .B (1)(01)-∞-，， .C (1)(1)-∞-+∞，， .D (10)(01)-，， 第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知0.533log 2,b log 0.5, 1.1a c ===，那么a 、b 、c 的大小关系为 .（用 ""<号表示）。
山东省济南外国语学校三箭分校2021-2022学年高三上学期模拟考试数学试题及参考答案
山东省济南外国语学校三箭分校2021-2022学年高三上学期模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列各组集合表示同一集合的是（ ） A ．{}{}(3,2),(2,3)M N == B ．{}{}(,)1,1M x y x y N y x y =+==+= C ．{}4,5M =，{}5,4N =D ．{}{}1,2,(1,2)M N ==2．已知0a <，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是（ ） A ．{|5x x a >或}x a <- B ．{|5x x a <或}x a >- C ．{}|5x a x a -<<D ．{}5x a x a <<-3．已知函数()()1,03,0f x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩，则()2f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()y f x =在R 是奇函数，当0x >时，()21xf x =+， 则()2f - 的值（ ） A ．5B ．-5C ．9D ．-95．若函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图象向左平移6π个单位后所得图象对应的函数()g x 为奇函数，则()f x 的图象（ ） A ．关于直线3x π=对称 B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=-对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称6．若(2,1)a =，(1,2)b =-，(2)//()a b a mb +-，则m =（ ） A ．12-B ．12 C ．2D ．-27．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()()n 1n n n f x x x f x +'=-，则称数列{}n x 为牛顿数列.如果函数2()2f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设n n 2ln1n x a x -=+且11a =-，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（ ）A ．202121-B ．202112-C ．20211122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2021122⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知双曲线2212y x m -=，直线l 过其上焦点2F ，交双曲线上支于A ，B 两点，且AB 4=，1F 为双曲线下焦点，1ABF 的周长为18，则m 值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．254二、多选题9．如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A ．点M 存在无数个位置满足1CM A D ⊥B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1BC MD -的体积最大值为13C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30° D ．点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等 10．经过点()4,2P -的抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x =B ．2y x =-C ．28y x =-D ．28x y11．假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，则（ ） A ．目标被击中的概率为3132B ．()314P X == C ．()2316E X =D ．()87256D X =12．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -+=+，则下列结论正确的是（ ） A ．(4)0f =B ．函数()y f x =的图象关于直线1x =对称C ．(8)()f x f x +=D ．若(3)1f -=-，则(2021)1f =- 三、填空题13．设集合{}2,0a A x x a ==>，{}2230B x x x =-+>，则A B =_________.14．设曲线e x y ax =+在点(0,1)处的切线方程为21y x =+，则=a ___________. 15．已知圆22(1)4x y -+=内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是________.16．如图所示，公园直立的路灯杆BC 正前方有棵挺拔的小树NH ，在路灯杆前的点A （BC ，NH ，点A 在同一平面内）处测得路灯顶点B 处和小树顶点N 处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M ，此时M ，N ，B 三点在同一条直线上.在点M 处测得MH =1m ，小树顶点N 处的仰角为60°，则路灯杆BC 的长为___________m .四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． (1)若1+2cos A cos B ＝2sin A sin B ，求角C ；(2)若()()()2221tan 1tan b A c a A +=--，求角C ．18．已知数列{n a }是首项1a =1，公差为d 的等差数列，数列{n b }是首项1b =2，公比为q 的正项等比数列，且公比q 等于公差d ，3a +6a =32b .（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式；（2）若数列{n c }满足21123333n n c c c c +++⋯+－=n a （n *∈N ），求数列{n c }的通项公式.19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =（1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；（2）若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值.20．甲、乙两位大学生参加一企业的招聘，其中有三道测试题△△△，已知甲同学对这三道题解答正确的概率分别为13，13，23，乙同学对这三道题解答正确的概率均为12，公司规定甲、乙均从这三道试题中抽取两道试题进行解答，且两道试题解答完全正确就可以被录用．（1）求甲同学被录用的概率；（2）若甲同学抽中试题△△，乙同学抽中试题△△，设两人解答正确的试题总数为X ，求X 的分布列与数学期望．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一点，12,A A 为椭圆C 的左､右顶点，M 为2PA 中点，求证：直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值；（3）若椭圆C 的右焦点为F ，过()4,0B 的直线l 与椭圆C 交于,D E ，求证：直线FD 与直线FE 斜率之和为定值.22．设函数()1xf x e -=-.（1）求函数()()g x f x x =-的极值点； （2）令()()()1h x x f x =-. （i ）求()h x 的最大值； （ii ）如果12x x ≠，且12h x h x ，判断12x x +与2的大小关系，并证明你的结论.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据集合的表示法一一判断即可； 【详解】解：对于A ：集合{}(3,2)M =表示含有点()3,2的集合，{}(2,3)N =表示含有点()2,3的集合，显然不是同一集合，故A 错误；对于B ：集合M 表示的是直线1x y +=上的点组成的集合，集合N R =为数集，故B 错误；对于C ：集合M 、N 均表示含有4,5两个元素组成的集合，故是同一集合，故C 正确； 对于D ：集合M 表示的是数集，集合N 为点集，故D 错误； 故选：C 2．D 【解析】 【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】解：因为方程22450x ax a --=的解为x a =-或5a ，且0a <， 所以不等式22450x ax a --<的解集是{}5x a x a <<-. 故选：D. 3．D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】()()()210033f f f ===-+=.故选：D 4．B【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，可直接得到答案. 【详解】数()y f x =在R 是奇函数，当0x >时，()21xf x =+所以()22(2)(21)5f f -=-=-+=-，故选：B. 5．D 【解析】 【分析】先求出()sin()f x x π=-223，再求出函数的对称轴方程和对称中心即得解.【详解】解：由函数()f x 的最小正周期T π=可得0>ω， 所以2T ππω==，可得2ω=，这时()2sin(2)f x x ϕ=+，向左平移6π可得()2sin[2()]2sin(2)63g x x x ππϕϕ=++=++，要使函数()g x 为奇函数，则3k πϕπ+=，k Z ∈，而||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223， 对称轴满足232x k πππ-=+，k Z ∈，可得A,C 不正确；对称中心满足23x k ππ-=，k Z ∈，所以26k x ππ=+，可得D 正确，B 不正确； 故选：D 6．A 【解析】 【分析】首先求出2a b +，a mb -的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为(2,1)a =，(1,2)b =-，所以()23,4a b +=，()2,12a mb m m -=+- ，因为(2)//()a b a mb +-，所以()()31242m m -=+，解得12m =-故选：A 7．B 【解析】 【分析】先由题设得到：221222121n n n n n n n x x x x x x x +--+=-=--，从而得到12n n a a +=，即可说明数列{}n a 是以-1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n 项和求和公式得到结果. 【详解】解：由题知()21f x x '=-221'()22()2121n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-=--22121222212211121n n n n n n n n x x x x x x x x +++-⎛⎫---∴== ⎪+++⎝⎭+-两边取对数得：1122ln 2ln 11n n n n x x x x ++--=++令2ln1n n n x a x -=+即12n n a a +=，所以数列{}n a 是以-1为首项，2为公比的等比数列， ()1202120211121n a q S q-∴==--故选：B 8．D 【解析】 【分析】根据三角形1ABF 周长和双曲线的定义，可得到周长与实半轴a 和||AB 的关系，进而求出m 的值．【详解】：由题意三角形1ABF 的周长为11||||||AB AF BF ++，由双曲线的定义，可知12||2||AF a AF =+，12||2||BF a BF =+ 所以1122||||||||||||442||AB AF BF AB AF BF a a AB ++=+++=+， 由题意，可知42||18a AB +=，||4AB =，a =所以10，解得254m =． 故选：D ． 9．ABD 【解析】 【分析】画出示意图，由直线与平面垂直的判定定理，可判断A 正确；求出三棱锥1B C MD -体积的最大值，可判定B 正确；由线面角的概念，求得其正切值，可判定C 错误；根据抛物线的定义，可得M 的轨迹为平面11ADD A 上抛物线的部分，可判断D 正确. 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，则1CD AD ⊥， 又由111,AD A D A DDC D ⊥=，所以1AD ⊥平面1A DC ,当点M 在线段1A D 上时，可得1CM A D ⊥，所以A 正确； 由正方体的性质，可知1A C ⊥平面1BC D ，若正方体的棱长为1， 则M 与1A 重合时，三棱锥1B C MD -的体积取得最大值，最大值为111323⨯=，所以B 正确；异面直线1B M 与CD 所成的角，即为11A B M ∠，当M 在线段1AD 上运动时，取1AD 的中点M 时，11A B M ∠最小，可得11111tan A M A B M A B ∠==>C 错误； 平面11ADD A 上的点M 到直线11C D 的距离等于点M 到1D 的距离，则满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等，即满足到直线AD 和点1D 的距离相等， 可知M 的轨迹为平面11ADD A 上抛物线的部分，故D 正确.故选：ABD.10．AD 【解析】 【分析】把点()4,2P -代入选项，逐项检验即可求解. 【详解】因为抛物线过点()4,2P -， 所以代入2y x =，28x y 满足，2y x =-，28y x =-不符合.故选：AD 11．BD 【解析】 【分析】求随机变量X 的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错. 【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为30311464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以目标被击中的概率为16316464-=，A 错误. 易知该射手每次射击命中失败的概率为14，X 的取值范围为{1，2，3}，所以()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()11134416P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=，()2222132132118712316416161616256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， B ，D 正确，C 错误， 故选：BD. 12．ACD 【解析】 【分析】由()f x 奇函数可得(0)0f =，令2x =-，(4)(0)f f =可判断A ；由(2)(2)f x f x -+=+，可得2x =为对称轴，可判断B ；由()f x 是奇函数，(2)(2)f x f x +=-+，分析可判断C ；由()f x 周期为8，可判断D【详解】选项A ，由于()f x 是定义域为R 的奇函数，故(0)0f =，令2x =-，(4)(0)0f f ==，故A 正确；选项B ，由于(2)(2)f x f x -+=+，故函数()f x 关于2x =对称，不一定关于1x =对称，故B 错误；选项C ，()f x 是奇函数，故(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，令2t x =-，有(4)()f t f t +=-，故(8)(4)()f t f t f t +=-+=，即(8)()f x f x +=，故C 正确； 选项D ，由C ，()f x 周期为8，故(2021)(25383)(3)1f f f =⨯-=-=-，故D 正确 故选：ACD13．{}1x x >##()1,+∞ 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】因为{}{}2,01a A x x a x x ==>=>，{}2230B x x x R =-+>=，因此，{}1A B x x ⋂=>. 故答案为：{}1x x >. 14．1 【解析】 【分析】由题意02x y ='=，求导，代入0x =，即得解 【详解】对函数x y ax e =+求导得xy a e '=+， 由已知可得012x y a ==+='，解得1a =. 故答案为：1 15．30x y +-= 【解析】 【分析】要使过P 点的最短弦，则圆心到弦所在直线的距离最大，由当CP 与所求弦垂直时，圆心到弦所在直线的距离最大，先求出CP k ，从而可得答案. 【详解】圆22(1)4x y -+=的圆心为()1,0C ，半径2r =要使过P 点的最短弦，则圆心到弦所在直线的距离最大. 当CP 与所求弦垂直时，圆心到弦所在直线的距离最大. 由10121CP k -==-,所以所求弦的斜率为1- 故所求弦的方程为()12y x -=--，即30x y +-= 故答案为：30x y +-=16．33 【解析】 【分析】设CH x =，结合Rt MNH △，Rt ANH △中的长度和角度关系可求得3AH =，再由MNH △MBC △，可得NH MHBC MC=，解得x = 【详解】设CH x =，在Rt MNH △中，有1MH =，60NMH ，所以NH =在Rt ANH △中，有NH =30NAH ∠=︒，则3AH =， 所以 3BC AC x ==+， 由题意可知MNH △MBC △，可得NH MHBC MC=，11x =+，解得x =所以3BC =故答案为：3 17．(1)3C π=(2)34C π=【解析】 【分析】（1）根据两角和的余弦公式求出C 的余弦值，求出C 的值即可； （2）结合余弦定理求出C 的正切值，求出C 的值即可． (1)若1+2cos A cos B ＝2sin A sin B ，则cos A cos B ﹣sin A sin B ＝12-，即故1cos()2A B +=-，即()1cos()cos cos 2A B C C π+=-=-=-,所以1cos 2C =，由0C π<< ，故3C π=(2)若()()()2221tan 1tan b A c a A +=--，显然2A π≠，所以2222222cos cos tan tan 2cos cos tan c a b ab C a C AA b c a bc A c A C-----====+-， 又由tan A ≠0得到tan C ＝﹣1，0C π<<，故34C π=．18．（1）21n a n =-，2n n b =；（2）11,112,23n n n c n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 【解析】 【分析】（1）用基本量11,,,a d b q 表示题干中的条件，求解即可；（2）构造对2n ≥时，有2212311333n n n c c c c a ---++++=，与原式相减，即得解【详解】（1）由题意3632a a b +=，可得211272a d b q +=，因为d q =，则2274d d +=，解得2d =或14-，因为等比数列{}n b 各项为正项，所以2d q ==，则12(1)21n a n n =+-=-，1222n nn b -=⨯=.（2）因为对n *∈N ，有21123333n n n c c c c a -++++=成立，对2n ≥时，有2212311333n n n c c c c a ---++++=成立，两式相减得1132n n n n c a a --=-=，所以()11212233n n n c n --⎛⎫==⨯≥ ⎪⎝⎭，当1n =时，111c a ==不符合上式，所以11,112,23n n n c n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.19．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）证明BQ AD ⊥，利用面面垂直的性质可得出BQ ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定定理可证得平面MQB ⊥平面PAD ；（2）连接PQ ，以点Q 为坐标原点，QA 、QB 、QP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(01)PM PC λλ→→=≤≤，根据BM PC ⊥可得出0BM PC →→⋅=，求出λ的值，利用空间向量法可求得直线AP 与BM 所成角的余弦值. 【详解】（1）Q 为AD 的中点，且2AD BC =，则DQ BC =，又因为//BC AD ，则//BC DQ ，故四边形BCDQ 为平行四边形， 因为90ADC ∠=，故四边形BCDQ 为矩形，所以BQ AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BQ ⊂平面ABCD ， BQ ∴⊥平面PAD ，因为BQ ⊂平面MBQ ，因此，平面MQB ⊥平面PAD ；（2）连接PQ ，由（1）可知，BQ ⊥平面PAD ，PA PD =，Q 为AD 的中点，则PQ AD ⊥，以点Q 为坐标原点，,,QA QB QP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A 、P 、B 、(C -、(1,0,0)D -， 设((,)(01)PM PC λλλλ→→==-=-≤≤，(0,(,)()BM BP PM λλ→→→=+=+-=-,因为BM PC ⊥，则3333760BM PC λλλλ→→⋅=+--+=-=，解得67λ=，6(,7BM →∴=-，(AP →=-，则9cos ,||||AP BM AP BM AP BM →→→→→→⋅<>===⋅. 因此，直线AP 与BM所成角的余弦值为28. 20．（1）527；（2）53.【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式，分别计算甲同学抽取△△，△△和△△被录用的概率，再利用互斥事件的加法公式计算即可；（2）列出X 的可能取值为0，1，2，3，4，利用事件的独立性分别计算概率，列出分布列，求解数学期望即可. 【详解】（1）甲同学抽取△△被录用的概率为1311113327C ⨯⨯= 甲同学抽取△△和△△被录用的概率均为1311223327C ⨯⨯= 所以甲同学被录用的概率为1252272727+⨯=. （2）由题意可知X 的可能取值为0，1，2，3，4，可知22214(0)3236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22211221212112(1)3323236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222221122111212113(2)323323236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2221122111216(3)3233236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22111(4)3236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：所以4121361605012343636363636363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 21．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式得到,a c 的关系，得到b 和c 的关系，将点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程，即可求出c 的值，从而得到a 和b 的值，求出椭圆的标准方程；（2）设()00,P x y 为椭圆C 上任意一点，由题意可得1//OM PA ，由两点间斜率公式表示出2PA OM k k ，由点P 在椭圆上，化简求解即可证明结论；（3）设直线l 的方程为()4y k x =-，与椭圆方程联立方程组，得到韦达定理，利用两点间斜率公式表示出FD FE k k +，结合韦达定理进行化简整理，即可证明结论. 【详解】（1）由题意，椭圆C 的离心率12e =，即12c e a ==，可得2a c =， 又由22223b a c c =-=，所以椭圆的方程为2222143x y c c+=，因为点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，可得所以22914+143c c =，解得21c =， 则224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）设()00,P x y 为椭圆C 上任意一点，由题意可知，212,PM MA AO OA ==，所以1//OM PA ， 故210000,22PA OM PA y y k k k x x ===-+，所以22222003334444PA OMx y k k x x -===---， 故直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值34-.（3）设直线l 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,D x y E x y ， 联立方程组()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222343264120k x k x k +-+-=，则()()()2223243464120k k k ∆=-+->，解得214k <， 所以22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++， 故()()()12121212122581111FD FE k x x x x y y k k x x x x -++⎡⎤⎣⎦+=+=----， 因为()22212122221282416024322580343434k k k x x x x k k k -+-++=-+=+++， 即0FD FE k k +=，所以直线FD 与直线FE 斜率之和为定值0. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．（1）0x =；（2）（i ）()h x 的最大值为1e ；（ii ）122x x +>；证明见详解.【解析】 【分析】（1）由()()1x g x f x x e x -=-=--，则()1xg x e -'=-，利用导数求出函数()g x 的单调性，进而求出函数的极值点.（2）由题意得()xh x xe -=，()()1xh x x e -'=-，（i ）利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值； （ii ）由题意不妨设12x x <，又12h x h x ，可得1201x x <<<，令()()()2H x h x h x =--，[)1,x ∈+∞，利用导数可得函数()H x 在[)1,+∞上单调递增，从而可推出()()2h x h x >-，结合条件可得()()122h x h x >-，易得12,21x x -<，从而借助函数()h x 在(),1-∞上单调递增即可证明．【详解】（1）证明：由()()1x g x f x x e x -=-=--，则()1xg x e -'=-，由()0g x '≤得0x ≥，由()0g x '>得0x <，△函数()g x 在(),0-∞上单调递增，在[)0,+∞上单调递减， △0x =是函数()g x 的极大值点.（2）解：()()()1h x x f x =-()11xx x e xe --⎡⎤=--=⎣⎦，()()1x h x x e -'=-， （i ）由()0h x '≤得1≥x ，由()0h x '>得1x <，△函数()h x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， △函数()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值， △()h x 的最大值()()1max 11h x h e e-===；（ii ）由12x x ≠，不妨设12x x <，又12h x h x ，△当0x >时，()0xh x xe -=>，且()00h =，△1201x x <<<，令()()()2H x h x h x =--()22x x xe x e --=--，[)1,x ∈+∞，则()()()2112x x H x x e x e --'=---+-()()2211x x x ee --=--， △1≥x ，△220x -≥，2210x e --≥，△()0H x '≥，△函数()H x 在[)1,+∞上单调递增， 又()10H =，△当1x >时，()()()()210H x h x h x H =-->=， 即()()2h x h x >-，则()()222h x h x >-， 又12h x h x ，则()()122h x h x >-，△1201x x <<<，△221x -<，即12,21x x -<， 而函数()h x 在(),1-∞上单调递增，△122x x >-， △122x x +>．。
2021届山东省济南外国语学校高三上学期模拟数学试题(解析版)
山东省济南外国语学校2021届高三上学期模拟英语试题第一部分阅读理解（共两节，满分50分）第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
AJoseph Francis Charles Rock (1884–1962) was an Austrian-American explorer, botanist, and anthropologist(人类学家). For more than 25 years, he travelled extensively through Tibet and Yunnan, Gansu, and Sichuan provinces in China before finally leaving in 1949.In 1924, Harvard sent Joseph Francis Rock on a treasure hunt through China’s southwestern provinces—the Wild West of their day. But gold and silver weren’t his task: Rock, a distinguished botanist, sought only to fill his bags with all the seeds, saplings, and shrubs he could find. During his three-year expedition, he collected 20,000 specimens for the Arnold Arboretum(阿诺德植物园).Botany, though, was just one of Rock’s strengths. As an ethnologist(民族学者), he took hundreds of photographs of the Naxi, a tribe in Yunnan province, recording their now-lost way of life for both Harvard and National Geographic, and took notes for an eventual 500-page dictionary of their language. His hand-drawn map of his travels through China’s “Cho-Ni” territory, in the Harvard Map Collection, includes more than a thousand rivers, towns, and mountains indicated in both English and Chinese, and was so well made that the U.S. government used it to plan aerial missions in World War II.Scientist, linguist, cartographer, photographer, writer—Rock was not a wallflower in any sense. Arrogant and self-possessed, he would walk into a village or warlord’s place “as if he owned the place,” said Lisa Pearson, the Arboretum’s head librarian.In declaring his successful return under the headline “Seeking Strange Flowers, in the Far Reaches of the World” , the Boston Evening Transcript ran a large photo of the daring explorer wearing in a woolly coat and fox-skin hat. “In discussing his heroism including hair-raisingescapes from death either from mountain slides, snow slides and robber armies, he waves the idea away as if it is of no importance.”The Arboretum and Rock parted ways after 1927, mainly because his trip cost Harvard a fortune—about $900,000 in today’s dollars. Fortunately, many of his specimens, many of his amazing photos, and his great stories remain.1. What is the passage mainly about?A. Rock’s service for the U.S government.B. Rock’s cooperation with Harvard.C. Rock’s work as a botanist.D. Rock’s exploration in Southwest China.2. What contribution did Rock make to the USA besides collecting new plants and specimens?A. He traveled through some uncivilized places in China.B. His hand-drawn map was used in WWII.C. He showed heroism by escaping difficulties.D. He made headlines in Boston Evening News.3. How did Rock respond when people mentioned his heroic deeds?A. Excitedly.B. Proudly.C. CalmlyD. Nervously4. What caused Rock to stop work for The Arboretum?A. The vast expense.B. The dangerous journey.C. The challenging tasks.D. The unknown world.『答案』1. D 2. B 3. C 4. A『解析』本文是一篇说明文。
山东省济南外国语学校高三上学期11月质量检测(图片)—
山东省济南外国语学校文数参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） CACBD CCAAC二、填空题（每小题5分，共25分）11. 100 12. 16 13.－3 14. ②③④ 15. 4 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．解：（Ⅰ）)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f (3)分则由：)(22622z k k x k ∈+≤-≤-πππππ …………5分整理，得的单调增区间为：)](322,32[z k k k ∈+-ππππ …………6分 （Ⅱ）当6566],0[ππππ≤-≤-∈x ，x 时故当x =0时，在上的最小值为-1 …………9分 当，x x 时即32,26πππ==-在上的最大值为2 …………12分 17．解：（Ⅰ）设AB 1的中点为P ，连结NP 、MP ．…………………………………1分 ∵CM ∥＝ 1 2AA 1，NP ∥＝ 1 2AA 1，∴CM ∥＝NP ，………………………………2分 ∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ．………………………………………3分 ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1，∴CN ∥平面AMB 1．………………4分（Ⅱ）∵CC 1⊥平面ABC ，∴平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG．…………6分∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1，设：AC=2a ,则在Rt△MCA中，AM＝CM2＋AC2＝6a．同理，B1M＝6a．…………9分∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∴AB1＝B1B2＋AB2＝C1C2＋AB2＝23a，∴AM2＋B1M2＝AB21，∴B1M⊥AM，…………10分又AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG．…………12分18．解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2. …………4分其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于的有种情况，故所求的概率为. …………6分（II）加入一张标号为的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的种情况外，多出种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有种情况，…………8分其中颜色不同且标号之和小于的有种情况，…………10分所以概率为. …………12分19．解: （Ⅰ）∵等比数列中，∴，…………1分解得…………3分∴．…………4分（Ⅱ）…………6分∴S=(1+2+22+¼+2n-1)+(1+2+3+¼+n)…………8分n…………10分．…………12分20．解：（Ⅰ）令，有，由题意知，，∴即的值为． …………4分 （Ⅱ）设与轴交于，令有，则是式的两个根，则12||y y -==．所以在轴上截得的弦长为． …………8分（Ⅲ）由数形结合知：S PAMB =2S △PAM=2´12MB ´PB =4PB = …………10分 ∵的最小值等于点到直线的距离即PM min =6+16+85=6， …………12分∴PAMB S ==…………13分 21．解：（Ⅰ）当时，336)(0)0(3232)(223-+='=-+=x x x f f x x x x f ，，， …………2分,所以曲线在点处的切线方程为. …………4分 （Ⅱ）解：22336)(t tx x x f -+='，令，解得 …………6分 因为，以下分两种情况讨论：所以，的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是. …………8分所以，的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭的单调递减区间是 (10)分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当时，在（0，1）内单调递减， 02322432323)1(021)0(2<+⨯+⨯-≤++-=>-=t t f t f ，.所以对任意在区间（0，1）内均存在零点. …………12分（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若08721872]1,0(33<-≤-+-=⎪⎭⎫⎝⎛∈t t t t f t ，, 02323232323)1(2>+-=++-≥++-=t t t t t f . 所以内存在零点.若0218721872)2,1(33<+-<-+-=⎪⎭⎫⎝⎛∈t t t t f t ，., 所以内存在零点. 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点. …………14分。
2020-2021学年山东省济南外国语学校高三(上)开学数学(理科)试题word版含解析
2020-2021学年山东省济南外国语学校高三（上）开学数学（理科）试题一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）复数z=的共轭复数=（）A．i B．i C．i D．i2．（4分）设集合P={x||x+1|≤3}，Q={y|y=（）x，x∈（﹣2，1）}，则P∩Q=（）A．（﹣4，）B．（，2] C．（，2] D．（，2）3．（4分）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人C．950人D．970人4．（4分）下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减5．（4分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.6，则P（0＜ξ＜1）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.16．（4分）若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣137．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．628．（4分）将函数f（x）=sin（x+）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A． B．C．D．9．（4分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．10．（4分）过双曲线C：x2﹣=1（b＞1）的左顶点P作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于点Q，R，且+=2，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．（4分）若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于．12．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a= ．13．（4分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．14．（4分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．15．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（8分）在△ABC中，已知sin（+A）=，cos（π﹣B）=﹣．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．17．（8分）甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．（I）求甲比乙少投进一次的概率．（Ⅱ）若投进一个球得2分，未投进得0分，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望Eξ．18．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．19．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，正项等比数列{b n}满足：b1=a1﹣1，且b4=2b2+b3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足：c n=，其前n项和为T n，求T n的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（Ⅱ）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．证明AB⊥MF．2020-2021学年山东省济南外国语学校高三（上）开学数学（理科）试题参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）复数z=的共轭复数=（）A．i B．i C．i D．i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z===的共轭复数=，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（4分）设集合P={x||x+1|≤3}，Q={y|y=（）x，x∈（﹣2，1）}，则P∩Q=（）A．（﹣4，）B．（，2] C．（，2] D．（，2）【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出Q中y的范围确定出Q，找出两集合的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：﹣3≤x+1≤3，解得：﹣4≤x≤2，即P=[﹣4，2]，由Q中y=（）x，x∈（﹣2，1），得到＜x＜9，即Q=（，9）．则P∩Q=（，2]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A．1030人B．97人C．950人D．970人【分析】根据样本容量和女生比男生少6人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为200，女生比男生少6人，∴样本中女生数为97人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为970人．故选：D．【点评】本题考查了分层抽样的定义与应用问题，是基础题目．4．（4分）下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减【分析】分别根据复合命题真假之间的关系，含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确．B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误．D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，正确．故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，比较基础．5．（4分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.6，则P（0＜ξ＜1）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到P（0＜ξ＜1）．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＜2）=0.6，∴P（0＜ξ＜1）=0.6﹣0.5=0.1，故选：D．【点评】题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．6．（4分）若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，此时M=z=3×+5×=17，由，解得，即A（4，﹣1），此时z=3×4﹣1=11，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．62【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．【解答】解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．8．（4分）将函数f（x）=sin（x+）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A． B．C．D．【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．【解答】解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+kπ，即+2kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．9．（4分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B． C．D．【分析】判断f（x）的奇偶性，判断f（x）在（0，）上的函数值的符号，结合选项得出答案．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，排除A、D，当0时，sinx＞0，x2﹣2＜0，∴f（x）=＜0，排除B，故选C．【点评】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题．10．（4分）过双曲线C：x2﹣=1（b＞1）的左顶点P作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于点Q，R，且+=2，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题的能力．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．（4分）若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于 3 ．【分析】先计算定积分得到a4，因为等比数列的首项为，然后根据等比数列的通项公式列出关于q的方程，求出即可．【解答】解：由已知得：a4=∫14（1+2x）dx=x+x2|14=18．又因为等比数列的首项为，设公比为q根据等比数列的通项公式a n=a1q n﹣1，令n=4得：a4=×q3=18，解得q3==27，所以q=3．故答案为3．【点评】本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．12．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a= ．【分析】分别计算出（ax+1）5的展开式中x2的系数和的展开式中x3的系数，利用它们相等，建立方程关系，进行求解即可．【解答】解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，∴10a2=5，即a2=，解得a=．故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．13．（4分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．【分析】画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．【分析】先画出满足条件的平面区域，分别求出区域D的面积和区域D在圆中的部分面积，从而求出满足条件的概率P的值．：【解答】解：画出区域D和圆，如图示：区域D的面积是：，区域D在圆中的部分面积是，∴点P落在圆内的概率是=，故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了概率问题，是一道基础题．15．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．【分析】由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接B1C，则，又，∴，∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，∴．【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（8分）在△ABC中，已知sin（+A）=，cos（π﹣B）=﹣．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【分析】（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．【解答】解：（1）∵，∴，又∵0＜A＜π，∴．∵，且0＜B＜π，∴．（2）由正弦定理得，∴，另由b2=a2+c2﹣2accosB得49=25+c2﹣5c，解得c=8或c=﹣3（舍去），∴b=7，c=8．【点评】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．17．（8分）甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．（I）求甲比乙少投进一次的概率．（Ⅱ）若投进一个球得2分，未投进得0分，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望Eξ．【分析】（I）设“甲比乙少投进一次”为事件A，依题意可知它包含以下两个基本事件：①甲投进0次，乙投进1次，记为事件B，②甲投进1次，乙投进2次，记为事件C，由P（A）=P（B）+P（C），能求出甲比乙少投进一次的概率．（II）两人得分之和ξ的可能取值为0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．【解答】解：（I）设“甲比乙少投进一次”为事件A，依题意可知它包含以下两个基本事件：①甲投进0次，乙投进1次，记为事件B，则有：，…（2分）②甲投进1次，乙投进2次，记为事件C，则有：，…（4分）∴P（A）=P（B）+P（C）=0.08+0.32=0.40…（5分）答：甲比乙少投进一次的概率为0.40．…（6分）（II）两人得分之和ξ的可能取值为0，2，4，6，8，P（ξ=0）=（1﹣0.5）2（1﹣0.8）2=0.01，P（ξ=2）==0.10，Pξ=4）=0.52•（1﹣0.8）2+（1﹣0.5）2•0.82+=0.33，P（ξ=6）==0.4，P（ξ=8）=0.52×0.82=0.16，∴ξ的分布列为：ξ0 2 4 6 8P 0.01 0.10.330.40.16∴Eξ=0×0.01+2×0.10+4×0.33+6×0.40+8×0.16=5.2…（11分）∴两人得分之和ξ的期望Eξ为5.2．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．18．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【分析】（Ⅰ）由题设条件推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．（Ⅱ）由题设条件推导出∠ABE=60°，∠ADE=∠DAE，从而得到BA⊥AD．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵E、F分别为BD、PD的中点，∴EF∥PB…（2分）∵EF⊂面AEF，PB⊄面AEF∴PB∥面AEF…（4分）（Ⅱ）解：∵EA=EB=AB=1∴∠ABE=60°又∵E为BD的中点∴∠ADE=∠DAE∴2（∠BAE+∠DAE）=180°解得∠BAE+∠DAE=90°，∴BA⊥AD…（6分）∵EA=EB=AB=1，∴，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系由题设条件知：∴…（8分）设、分别是面PBD与面AEF的法向量则，∴又，∴…（11分）∴．∴面PBD与面AEF所成锐角的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，正项等比数列{b n}满足：b1=a1﹣1，且b4=2b2+b3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足：c n=，其前n项和为T n，求T n的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出首项，利用a n=S n﹣S n﹣1，求解a n，设{b n}的公比为q，由题意得q＞0，且b1=a1﹣1，且b4=2b2+b3．求解数列{b n}的通项公式．（Ⅱ）化简c n，由错位相减法求解前n项和，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1，当n=1时也适合上式，所以a n=2n+1．设{b n}的公比为q，由题意得q＞0，且，∴q2﹣q﹣2=0∴q=2或q=﹣1（舍去），故数列{b n}的通项公式为．（Ⅱ）由错位相减法得，∵，又，∴．【点评】本题考查数列求和，数列通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（Ⅱ）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．证明AB⊥MF．【分析】（Ⅰ）由已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）可得抛物线C的方程为x2=4y；由点椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率，求出a，b，椭圆方程可求．（Ⅱ）要证明AB⊥MF，只需证=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）可得抛物线C的方程为x2=4y．设椭圆E的方程为，半焦距为c．由已知可得：，解得 a=2，b=1．所以椭圆E的方程为：．…（4分）（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，…（6分）故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），由，消去y并整理得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4．∵抛物线C的方程为，求导得，∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是，，即，，解得两条切线l1，l2的交点M的坐标为，即M，=，∴AB⊥MF．…（12分）【点评】本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点．。
2020-2021济南外国语学校高一数学上期中第一次模拟试卷含答案
2020-2021济南外国语学校高一数学上期中第一次模拟试卷含答案一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12 B ．14 C ．1 D ．2 4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．13 5．函数2x y x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5- 8．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ）A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是15．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =；（2）函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥； （4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.17．函数6()12log f x x =-的定义域为__________． 18．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.19．若4log 3a =，则22a a -+= ．20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log 22x x f x =⋅的最大值和最小值． 22．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.23．已知函数()xf x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,6),(3,24)A B（1）求()f x 的解析式（2）若不等式11120x x m a b ⎛⎫⎛⎫++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 24．已知幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减. （1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()a g x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.25．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =.（1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值． 26．已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 3．A解析：A【解析】【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解.【详解】由题意3225,5225a b ==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ====由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+= lg1512lg152== 故选:A【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.4．B解析：B【解析】【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解.【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则由()()1f x f x m -≤+， 得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立， 则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩， 解得113m -≤≤-，即m 的最大值为13-.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 5．A解析：A【解析】【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A.【详解】 因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D;因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 6．A解析：A【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A . 7．C解析：C【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]，∴由−2⩽2x −1⩽3，解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 本题选择C 选项.8．A解析：A【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.9．C解析：C【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题. 10．B解析：B【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数， 1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2x y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．A解析：A【解析】 试题分析：∵函数2()5x y =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．C解析：C【解析】【分析】令函数4()log 7x f x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7x f x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间．【详解】令函数4()log 7x f x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7x f x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6故选C.【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是： 解析：(1，3](4,)+∞U ．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图： 若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点，则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得解析：(5,7)【解析】【分析】【详解】由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b << 15．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确解析：（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确；（4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x=-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.16．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝1，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝1,故填1.17．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(【解析】要使函数()f x有意义，则必须612log0xx>⎧⎨-≥⎩，解得：0x≤<故函数()f x的定义域为：(．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y＝tan x的定义域为π{|π,}2x x k k≠+∈Z.18．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点解析：2()23(1)f x x x x=--≥【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令11t=≥，则()21x t=-故()()214f t t=--=223(1)tt t--≥故答案为2()23(1)f x x x x =--≥【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点19．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 解析：433 【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=，∴24223333a -+=+=. 考点：对数的计算 20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．最小值为14-，最大值为2. 【解析】【分析】由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭. 当23log ,2x =()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．22．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．【解析】 试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<， ∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．23．（1）()=32x f x ⋅；（2）1112m ≤. 【解析】试题分析：（1）由题意得2,3a b ==，即可求解()f x 的解析式；（2）设11()()()x x g x a b =+，根据()y g x =在R 上为减函数，得到min 5()(1)6g x g ==，再由11()()120x x m a b ++-≥在(],1x ∈-∞上恒成立，得5216m -≤，即可求解实数m 的取值范围.试题解析：（1）由题意得()x 36a 2,b 3,f x 32a 24a b b ⋅=⎧⇒==∴=⋅⎨⋅=⎩（2）设()x x x x 1111g x a b 23⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()y g x =在R 上为减函数 ∴当x 1≤时()()min 5g x g 16==x x 1112m 0a b ⎛⎫⎛⎫∴++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(]x ,1∞∈-上恒成立，即5112m 1m 612-≤⇒≤ ∴ m 的取值范围为：11m 12≤ 点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和不等式的恒成立问题的应用，解答中涉及到函数满足条件的实数的取值范围的求法，以及函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时注意合理进行等价转化是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.24．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论. 【详解】（1）因为幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去）， 所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.25．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2【解析】【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值. 【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-, 则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦, 由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==. 【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 26．(),1-∞-【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性，把函数不等式转化为自变量的不等式，这个问题就转化为2210kx x R +-<在上恒成立，从二次函数的观点来分析恒小于零问题。
山东省济南外国语学校2020届高三数学上学期模拟试题(二)理
济南外国语学校高考模拟考试（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}2|9B x x =≥，则()R A B =I ð（ ） A ．[2,3)B ．(2,3)C ．(3,)+∞D ．(2,)+∞2.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ．2B ．3C ．2D ．33.已知命题p ：13x <<，q ：31x>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数2sin ()1xf x x =+的部分图像可能是（ ）5.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆221124x y +=有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为3y x =，则该双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22162x y -= D ．22126x y -= 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．4849B ．5051C ．4951D ．49507.已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则(|)P B A =（ ）A ．14π-B ．4π C ．21π-D ．2π8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）A ．83B ．23C ．43D ．29.将函数()2sin f x x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移6π个单位长度，得到()y g x =图象，若关于x 的方程()g x a =在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,2-B ．[2,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-10.若函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数，奇函数，且满足()2()xf xg x e +=，则（ ）A ．(2)(3)(1)f f g -<-<-B ．(1)(3)(2)g f f -<-<-C ．(2)(1)(3)f g f -<-<-D ．(1)(2)(3)g f f -<-<-11.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1||||PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B 32C 21D 63-12.为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（ ）A ．83B ．163C ．43D ．43π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(1)nx +的展开式各项系数之和为256，则展开式中含2x 项的系数为 ． 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若66a =，1515S =，则公差d = ． 15.在ABC ∆中，3B π∠=，其面积为3，设点H 在ABC ∆内，且满足()()CH CB CA AH AB AC ⋅-=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r0=，则BH BC ⋅=u u u r u u u r ．16.对1x R ∀∈，[]23,4x ∃∈，使得不等式2211221223x x x x x mx ++≥++成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=． （1）求角A 的大小； （2）若2a =ABC ∆21-，求b c +的值． 18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x ，若每次抽取的结果是相互独立的，求x 的分布列，期望和方差． 附表：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k2. 0722.7063.8415.0246.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值．20.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为22'l 的方程． 21.设函数1()xf x x e-=⋅．（1）求证：当0x >时，()e f x x<； （2）求证：对任意给定的正数k ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有()k f x x<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.济南外国语学校高考模拟考试（二）理科数学答案一、选择题1-5:BCAAD 6-10:BCBCD 11、12：DB 二、填空题13.28 14.52- 15.23 16.3m ≤ 三、解答题17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+Q sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A ≠∴=Q (0,)4A A ππ∈∴=Q(2) 1221sin 22242ABC S bc A bc bc -===∴=-V Q 又22222cos 2()(22)a b c bc A b c bc=+-∴=+-+Q所以，2()4, 2.b c b c +=+=．18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计7525100根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。
2020-2021济南市外国语初中部高中必修一数学上期中一模试题(及答案)
2020-2021济南市外国语初中部高中必修一数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．135．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．16．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z7．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．已知()()2,11,1xx f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7810．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 14．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 15．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 16．若幂函数()a f x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.17．103383log ()()1255---+=__________．18．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人． 19．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________.20．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题21．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()xf x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,6),(3,24)A B（1）求()f x 的解析式（2）若不等式11120x xm a b ⎛⎫⎛⎫++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.26．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k 剟． （1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果. 【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.6．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.7．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．10．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】 解方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案. 【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.14．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.15．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．16．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 17．【解析】18．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可．【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=，由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂ 知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人，故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．19．【解析】∵函数=的图象经过点(13)∴∵反函数的图象经过点(20)∴函数=的图象经过点(02)∴∴∴==∴=解析：()2log 1,1x x ->【解析】∵函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),∴3a b +=,∵反函数()1f x -的图象经过点(2,0),∴函数()f x =x a b +的图象经过点(0,2),∴12b +=.∴2, 1.a b ==∴()f x =x a b +=2 1.x +∴()1f x -=()2log 1, 1.x x ->20．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题【解析】【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果.【详解】因为()()))()22f x f x ln x 1ln x 1ln 122x x +-=+++=+-+=， ()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.三、解答题21．(1)奇函数(2)()f x 在()0,+∞上是增函数，证明见解析.【解析】【分析】(1)分别确定函数的定义域和()f x 与()f x -的关系即可确定函数的奇偶性；(2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,通过讨论()()12f x f x -的符号决定()1f x 与()2f x 的大小，据此即可得到函数的单调性.【详解】(1)()4f x x x=-的定义域为0x ≠,()()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭,()4f x x x ∴=-是奇函数. (2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,()()()()()()121212122112121212124444441f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ∵()1212,0,,x x x x ∈+∞<,121240,10x x x x ∴-+， ()1212410x x x x ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭， ()()12f x f x <. ∴Q ()f x 在()0,+∞上是增函数.本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．（1）2；（2）(]1,3.【解析】【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】 （1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--，则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=； （2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?.因此，实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.24．（1）()=32x f x ⋅；（2）1112m ≤. 【解析】试题分析：（1）由题意得2,3a b ==，即可求解()f x 的解析式；（2）设11()()()x x g x a b =+，根据()y g x =在R 上为减函数，得到min 5()(1)6g x g ==，再由11()()120x x m a b ++-≥在(],1x ∈-∞上恒成立，得5216m -≤，即可求解实数m 的取值范围.试题解析：（1）由题意得()x 36a 2,b 3,f x 32a 24a b b ⋅=⎧⇒==∴=⋅⎨⋅=⎩（2）设()x x x x 1111g x a b 23⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()y g x =在R 上为减函数 ∴当x 1≤时()()min 5g x g 16== x x 1112m 0a b ⎛⎫⎛⎫∴++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(]x ,1∞∈-上恒成立，即5112m 1m 612-≤⇒≤ ∴ m 的取值范围为：11m 12≤ 点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和不等式的恒成立问题的应用，解答中涉及到函数满足条件的实数的取值范围的求法，以及函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时注意合理进行等价转化是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.25．（1）[1,0]- ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论．试题解析：（1）令101x x+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-，因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0- （2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.26．（1）[60，100]；（2）当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k <…，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k -升． 【解析】【分析】（1）将120x =代入每小时的油耗，解方程可得100=k ，由题意可得14500(100)95x x -+…，解不等式可得x 的范围； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，由题意可得10014500()5y x k x x=-+g ，换元令1t x=、化简整理可得t 的二次函数，讨论t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值．【详解】解：（1）由题意可得当120x =时，1450014500()(120)11.555120x k k x -+=-+=， 解得100=k ，由14500(100)95x x-+…， 即214545000x x -+…，解得45100x 剟， 又60120x 剟，可得60100x 剟， 每小时的油耗不超过9升，x 的取值范围为[60，100]；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，则2100145002090000()20(60120)5k y x k x x x x x =-+=-+g 剟， 令1t x=，则1[120t ∈，1]60， 即有22290000202090000()209000900k k y t kt t =-+=-+-，对称轴为9000k t =，由60100k 剟，可得1[9000150k ∈，1]90， ①若19000120k …即75100k 剟， 则当9000k t =，即9000x k=时，220900min k y =-； ②若19000120k <即6075k <…， 则当1120t =，即120x =时，10546min k y =-． 答：当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k <…，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k -升． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．。
2020-2021济南市外国语初中部高中必修一数学上期末一模试题(及答案)
2020-2021济南市外国语初中部高中必修一数学上期末一模试题(及答案)一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011D ．20227．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>8．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 BC ．14，2 D ．14，4 9．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<10．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+11．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<12．曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 二、填空题13．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______14．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 15．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.16．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.17．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 18．若函数()()22f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11xf x x+=-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 23．科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型xy pq r =+，其中y 为该物质的数量，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 为常数. （1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由. （2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？24．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17a mf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.26．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩剟…1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.10x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行4．B解析：B 【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．8．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．9．C解析：C【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 342a =<=<，由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.12．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法二、填空题13．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.14．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】 【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.15．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解. 【详解】()f x Q ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题.16．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析：24 【解析】由题意得：2211221924811{,,1924248b k k k be e e e +=∴====，所以33x =时，331131()192248k b k b y e e e +==⋅=⨯=.考点：函数及其应用.17．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】 【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可. 【详解】 因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数， 因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为. 【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用.18．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意②当时此时函数 解析：()()9,00,3-⋃【解析】 【分析】将函数转化为分段函数，对参数a 分类讨论. 【详解】()()22f x x x a x a =+--，转化为分段函数： ()222232,2,x ax a x af x x ax a x a⎧-+≥=⎨+-<⎩. 为更好说明问题，不妨设：()2232h x x ax a =-+，其对称轴为3a x =； ()222g x x ax a =+-，其对称轴为x a =-.①当0a >时，因为()h x 的对称轴3a x =显然不在[]3,0-，则 只需()g x 的对称轴位于该区间，即()3,0a -∈-，解得：()0,3a ∈，满足题意.②当0a =时，()223,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，此时 函数在区间[]3,0-是单调函数，不满足题意.③当0a <时，因为()g x 的对称轴x a =-显然不在[]3,0-只需()h x 的对称轴位于该区间即可，即()3,03a ∈- 解得：()9,0a ∈-，满足题意.综上所述：()()9,00,3a ∈-⋃.故答案为：()()9,00,3-⋃.【点睛】本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数a 进行分类讨论. 19．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没 解析：{|2m m >或2}3m <-【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值， 则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x +【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题21．（1）()1,010,01,01x x x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩（2）函数()f x 在()0,+∞上为增函数,详见解析【解析】【分析】()1根据题意，由奇函数的性质可得()00f =，设0x >，则0x -<，结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得()f x 在()0,+∞上的解析式，综合可得答案；()2根据题意，设120x x <<，由作差法分析可得答案．【详解】解：()1根据题意，()f x 为定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则()00f =， 设0x >，则0x -<，则()11x f x x--=+， 又由()f x 为R 上的奇函数，则()()11x f x f x x -=-=-+， 则()1,010,01,01x x x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩；()2函数()f x 在()0,+∞上为增函数；证明：根据题意，设120x x <<，则()()()()()1212211212211221111111111x x x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-----=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 又由120x x <<，则()120x x -<，且()110x +>，()210x +>；则()()120f x f x ->，即函数()f x 在()0,+∞上为增函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义． 22．（1）32.（2）44. 【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：223222321(1).log 24lg log lg 2log 321(log 24log 3)(lg lg 2)log 32333log 8lg13222+--=-++-=+-=-=32601(-8)9⎛⎫-- ⎪⎝⎭－ 11362322(32()3)1--=⨯--9827144=⨯--=考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.23．（1）乙模型更好，详见解析（2）4月增长量为8，7月增长量为64，10月增长量为512；越到后面当月增长量快速上升.【解析】【分析】（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当5x =时的函数值，最接近32的模型好；（2）第n 月的增长量是()()1f n f n --，由增长量总结结论.【详解】（1）对于甲模型有3425939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：113a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩23y x x ∴=-+当5x =时，23y =.对于乙模型有23359pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：121p q r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，21x y ∴=+当5x =时，33y =.因此，乙模型更好；（2）4x =时，当月增长量为()()4321218+-+=， 7x =时，当月增长量为()()76212164+-+=，10x =时，当月增长量为()()1092121512+-+=，从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分）【点睛】本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意.24．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m <<【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =.函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x m f x x x x +=>---，[]2,6x ∈， 所以()()10117x m x x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立. 当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =. 所以07m <<.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．25．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤.【解析】【分析】（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案.【详解】(1)因为函数2()(,)1ax b f x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f =则有0001111b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1x f x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()122122122111x x x x x x --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x -> 所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > ,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220x x +-≤解得22x ≤,即1x ≤所以不等式的解集为{|1}x x ≤【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式.26．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元【解析】【分析】（1）先求出36x =，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元，再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大.【详解】（1）两个合作社的投入相等，则36x =，1(36)253620872f =++⨯+=（万元） （2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元.当1536x ≤≤时，11()25(72)208122f x x x =+-+=-+，令t =6t ≤≤，则总收益2211()481(4)8922g t t t t =-++=--+， 当4t =即16x =时，总收益取最大值为89；当3657x <≤时，11()49(72)2010522f x x x =+-+=-+， ()f x 在(36,57]上单调递减，所以()(36)87f x f <=.因为8987>，所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.【点睛】本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.。
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（1）求前n项和 ，求证：
19．（10分）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
20．（12分）2019年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）.
附表：
附：
A． B． C． D．
12．对于函数 ，下列说法正确的是（）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设 ，则 的最小值为______.
14．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
高三数学模拟题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设 ， ，则
A． B． ， C． D． ，
2．设 为虚数单位，复数 满足 ，则
A．1B． C．2D．
3．若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
4．已知圆 的方程为 ，点 在直线 上，线段 为圆 的直径，则 的最小值为（）
A．2B． C．3D．
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
6．在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为（ ）
由 ，得 ，
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．
3．A
【解析】
【分析】
【详解】
分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定 的最大值.
详解：因为 ，
所以由 得
因此 ，从而 的最大值为 ，选A.
点睛：函数 的性质：
(1) . (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由 求增区间；
A． B． C． D．
7．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 ，线段 的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值为（）
A． B．3C．6D．
8．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．在数列 中，若 ，（ ， ， 为常数），则称 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若 是等差数列，则 是等方差数列
B． 是等方差数列
C．若 是等方差数列，则 （ ， 为常数）也是等方差数列
D．若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
10．如图,在棱长均相等的四棱锥 中, 为底面正方形的中心, , 分别为侧棱 , 的中点,有下列结论正确的有：( )
A． ∥平面 B．平面 ∥平面
C．直线 与直线 所成角的大小为 D．
11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 ，女生喜欢抖音的人数占女生人数 ，若有 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人
21．（14分）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
22．（14分）
已知函数 ， ，其中 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由 求减区间.
4．B
【解析】
【分析】
将 转化为 ，利用圆心到直线的距离求得 的取值范围求得 的最小值.
【详解】
.故选B.
【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5．B
【解析】
【分析】
【详解】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
15．在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 ，顶点 在椭圆 上， _____________
16．已知函数 ，其中e是自然数对数的底数，若 ，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题：本题共4小题，共70 分。
17．（10分）△ABC的内角 的对边分别为 ,已知△ABC的面积为
(1)求 ;
(2)若 求△ABC的周长.
∴S7= =381，
解得a1=3．
故选B．
6．C
【解析】
【分析】
首先画出长方体 ，利用题中条件，得到 ，根据 ，求得 ，可以确定 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体 中，连接 ，
根据线面角的定义可知 ，
因为 ，所以 ，从而求得 ，
所以该长方体的体积为 ，故选C.
【点睛】
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
（1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生猪重量达不到270斤的概率（以频率代替概率）；
（2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元；
（3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量 ，试求随机变量 的分布列及方差.
利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可。
【详解】
， ；
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算．
2．B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．
【详解】