小波与多分辨率分析

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第7章图像处理课后答案

7.1.1 图像金字塔
一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图集合。金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。基级J的尺寸是2J×2J或N×N (J=log2N)，中间级j的尺寸是2j×2j ，其中0<= j <=J。
图7.2b表示，各级的近似值和预测残差金字塔都是以一种迭代的方式进行计算的。第一次迭代和传递时， j = J ，并且2J×2J的原始图像作为J级的输入图像，从而产生J-1级近似值和J级预测残差，而J-1级近似值又作为下一次迭代的输入，得到J-2级近似值和J-1级预测残差。迭代算法：
1, 0 x 0.5 ψ( x) 1, 0.5 x 1 0,在，有了尺度函数和小波函数，可以正式定义小波变换了，它包括：一般小波序列展开、离散小波变换和连续小波变换。
7.3.1 小波序列展开
首先根据小波函数ψ( x)和尺度函数 ( x)为函数f(x)定义小波序列展开：
高斯近似值和预测残差金字塔
基级，第9级
第8级第7级第6级
图像重建
7.1.2 子带编码
另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带编码。在子带编码中，一幅图像被分解成为一系列限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。最初是为语音（一维信号）和图像压缩而研制的，每个子带通过对输入进行带通滤波而得到（相当于分解一个频段为若干个子频段）。因为得到的子带的带宽要比原始图像的带宽小，子带可以无信息损失的抽样。原始图像的重建可以通过内插、滤波和叠加单个子带来完成。
k
V Spk an{k ( x)}
7.2.2 尺度函数
现在来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数 ( x) 组成的展开函数集合，即集合{ j ,k ( x)} ： j/2 j j ,k ( x) 2 (2 x k ) 式7.2.10 k决定了 j ,k ( x)在x轴的位置（平移k个单位），j决定了 j ,k ( x) 的宽度，即沿x轴的宽或窄的程度，而2j/2 控制其高度或幅度。由于 j ,k ( x)的形状随j发生变化， ( x) 被称为尺度函数。如果为赋予一个定值，即j = j0，展开集合 { j0 ,k ( x)} 将是 { j ,k ( x)}的一个子集，一个子空间：

外文翻译---多分辨率分析 & 连续小波变换

题目：多分辨率分析＆连续小波变换TITLE: MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WA VELETTRANSFORM院系：电气信息工程系专业：通信工程姓名：学号：毕业设计（论文）外文资料翻译多分辨率分析＆连续小波变换多分辨率分析虽然时间和频率分辨率的问题是一种物理现象（海森堡测不准原理）无论是否使用变换，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，称为信号多分辨率分析（MRA）。

MRA，如它的名字一样，分析了不同分辨率不同频率的信号。

每个频谱分量不能得到同样的解决是因为在STFT的情况下。

MRA是为了在高频率时，能够得到良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时，能够得到良好的频率分辨率和较差的时间分辨率而设计的。

这种方法是十分有意义的，特别是当手头的信号高频成分持续时间短和低频成分持续时间长时。

幸运的是，在实际应用中所遇到的信号往往是这种类型。

例如，下面显示了这种类型的信号。

它有一个贯穿整个信号相对较低的频率分量，而在信号中间有一个短暂的、相对较高的频率成分。

连续小波变换连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题。

小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，{\它的小波}，类似的STFT的窗口功能，并转换为不同分段的时域信号。

但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是：1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。

2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。

连续小波变换的定义如下：公式3.1从上面的方程可以看出，改变信号功能的有两个变量，τ和s，分别是转换参数和尺度参数。

psi(t)为转化功能，它被称为母小波。

母小波一词得名是由于如下所述的两个小波分析的重要性质：这个词意味着小波浪。

小指的条件是本（窗口）函数的有限长度的（紧支持）。

小波变换分析降水时间序列的多分辨率特性研究

ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄｕｓｉｎｇｔｈｅａｔｒｏｕｓｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｍ．Ｔｒｈｅｎ，Ｍｕｌｔｉ — ＳｃａｌｅＥｎｔｒｏｐｙ（ＭＳＥ）ａｎａｌｙｓｉｓｔｈａｔｈｅｌｐｓｔｏｅｌｕｃｉｄａｔｅｓｏｍｅ
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｃａ．ｅｎ
小波变换分析降水时间序列的多分辨率特性研究
何锡玉，蔡夕方，景嘉洲
（海军海洋水文气象中心，北京１００１６１）
（｝通信作者电子邮箱ｈｅｘｙｎｅｗ＠１６３．ｃｏｎｒ）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ＩＳＳＮ１０ｏ１．９Ｏ８１Ｃ０ＤＥＮＪＹＩＩＤＵ
２Ｏ１３．Ｏ６．３Ｏ
计算机应用，２０１３，３３（Ｓ１）：３３１ —３３４文章编号：１００１ —９０８１（２０１３）Ｓ１ — ０３３１ —０４
ｔｈａｔｔｈｅＭａｎｎ．Ｋｅｎｄａｌｌ（ＭＫ１ｒｎｋａｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｔｅｓｔｏｆＭＳＥＣＵｌ－Ｖｅｓｏｆｒｅｓｉｄｕｌｓａａｔｖａｉｒｏｕｓｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｌｅｖｅｌｓｃｏｌｄｕｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅ

Loop细分小波对网格模型的多分辨率分析

计算机时代２０１３年第２期
ｖｏ：曼 ± ＋ — ｖ．＋ — ｖ３
８８・１５・Fra bibliotek ｉ
‘
（１）
‘
ｉ
ｅ００００６００６．０Ｏ１００００２００００００３０００ＯＯ１
ｏｐｔｉｏｎｕｓｉｎｇｕｎｉｉｅｆｄｆｏｒｍｕｌａ，ｉｔｉｓｏｎｌｙｓｕｉｔａｂｌｅｔｏｄｏｓｏｍｅｓｉｍｐｌｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｏｎｍｏｄｅｌｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｅｓｈｍｏｄｅｌ；Ｌｏｏｐｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｗａｖｅｌｅｔ；ｍｕｌｔｉ — ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｎａａｌｙｓｉｓ；ｗａｖｅｌｅｔｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；ｗａｖｅｌｅｔｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ
：：
Ｖ。＝６０；、，ｌ＋ｙ。 ∑Ｖ
（２）
ｖｌ
其中＝
点ｖ。的价。
＝詈＋（吾＋ｌｃ０２ｋ１ｒ）２，Ｖ。为Ｖ。的１一邻域顶点，ｋｉ为
中。
、 ‘
：一一 —
—
（８）
。
８
８
图ｌ由Ｌｏｏｐ细分模板得到的Ｌｏｏｐ细分小波示意图
Ｖ＝（Ｖ；。一８ｉ ∑Ｖ

小波变换与多分辨率分析课件

有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对较低，容易实现，而多分辨率分析的算法复杂度较高，实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、图像处理、数据压缩等领域已经得到广泛应用，未来随着技术的不断发展，它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的分析方法。
定义目的多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。

02-多分辨率信号分解理论：小波变换

一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。

显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。

小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。

这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。

它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。

对于图像，小波表示区分了几种空间定位。

我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。

关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。

的确，这一数值依赖于照明条件。

更为重要的是图像强度的局部变化。

邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。

这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。

总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。

因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。

一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。

为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。

给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。

多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。

图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。

当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。

多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。

我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。

如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。

即每一物体以α倍大的分辨率度量。

因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。

小波变换和多分辨率处理

例如，N=4时，
k
p
q
k,p,q的值如右：
0
0
0
1
0
1
2
1
1
3
1
2
则，4×4变换矩阵H4
1 1 1 1
H4
1
2
4 2
1 2
1 0
10ຫໍສະໝຸດ 002 2
2×2变换矩阵H2
H2
1 1 2 1
1 1
离散小波变换的哈尔函数
64×64
128×128
图示为哈尔基函数对图像的多分辨率分解，离散小波变换包含了与原始图像相同的像素数
T=HFHT
F是N×N图象矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果
哈尔基函数
h0zh00 z
1 N
z0,1
2p/2 q1/2pzq0.5/2p
hkzhpq z1 N 2 0p/2
q0.5/2pzq/2p
其它 z 0,1 ，
(3) 哈尔变换
N×N哈尔变换矩阵第i行包含元素hi(z)，其中z = 0/N, 1/N, …, (N-1)/N。
主要内容
背景图象金字塔子带编码哈尔变换
多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包
1.背景
物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用较高的分辨率观察。
物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨率。
物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合用不同的分辨率对其进行研究。
12G1(z)[H1(z)X(z)H1(z)X(z)]
滤波h0(n)的输出
h 0 n * x n h 0 n k x k H 0 z X z

正交小波基与多分辨分析

具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
2021/4/22
5
正交小波
且对任意
f
(t
)
S 2
m
有
f
(t)
nZ
f
(2
m
n)
sin 2m
2m
(t
(t
2m n) 2m n)
记S
2m
在S 2m1
中的正交补为V2m
，则
V2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m或 2m1}
R
d j,k
f (t), j,k (t)
f (t)2 j/2 (2 j t k)dt
§4 正交小波基与多分辨分析
正交小波多分辨分析小波函数和小波空间信号空间L2(R)的分解双尺度方程标准正交小波基的构造滤波器系数h(k)和g(k)的性质 Mallat快速算法紧支集正交小波的性质
2021/4/22
1
正交小波
定义：
j
设有允许小波 (t)，记 j,k (t) 22 (2 j t k)，其中
2021/4/22
图4-1
13
双尺度方程
双尺度方程描述了两个相邻尺度空间V
j和V
j
1函数、相邻尺度空间V
j
1和W
的基函数
j
j1,k , j,k和 j,k之间的内在联系。
由于V0 V1，W0 V1，所以(t)， (t)也属于V1空间，可以用 1,k(t)来线性表示

基于小波多分辨率分析的自动聚焦算法

基于小波多分辨率分析的自动聚焦算法
周贤姜威朱孔凤
（山东大学信息科学与工程学院山东济南２００）５１０
摘
要
利用点扩散函数（Ｓ）论讨论了自动聚焦过程中图像高频能量的变化。通过对传统方差评价函数的改进，出了一ＰＦ理提
ＴＨＥＡＵＴｏ．ＦｏＣＵＳＮＧＩＡＬＧＯＲＩＴＨＭＢＡＳＥＤｏＮ
ＷＡＶＥＬＥＴＵＬＴＩＲＥＳＭ．ｏＬＵＴＩｏＮＡＮＡＬＩＹＳＳ
ＺｏｉＪａｇＷｅＺｕＫｎｆｇｈｕＸａｎｉｉｈｂｇｅｎｎ
（ｃｏｏｆｒａｉｎＳｉｃｎｎｉｅｒｇ，ｈｎｏｇＵｉｒｔ，ｉａｈｎｏｇ２００ＣｉａＳｈｏｌｆＩｏｍｔｃｎｅａｄＥｇｎｅｎＳａｎｎｖｓｙＪｎｎＳａｄｎ５１０，ｈｎ）ｏｎｏｅｉｄｅｉ
１引言
在数字图像获取过程中，快速精确地实现聚焦是非常必要的，同时自动聚焦还是机器人视觉、数字图像和数字视频系统中
ｙ表示。由于光衍射效应和白光中不同波长光波对图像畸变）影响，系统中点扩散函数常用二维高斯函数来近似：实际
）＝ｌ ห้องสมุดไป่ตู้
的关键技术。在数码相机、数码摄像机、视频监控、微镜、显内窥
镜及卫星遥感相机等方面有着广泛的应用。自动聚焦可分为主动式和被动式两种。主动式通过红外线
式中ｈ川（ｙ为点冲击的成像，为扩散参数。ｈｘｙ的傅（，）棚（，）

小波变换的多分辨率分析原理与应用

小波变换的多分辨率分析原理与应用引言：小波变换是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。

它通过将信号分解成不同频率的子信号，以实现对信号的多分辨率分析。

本文将介绍小波变换的原理和应用，并探讨其在信号处理和图像处理中的潜在价值。

一、小波变换的原理小波变换是一种基于窗函数的变换方法，它通过将信号与一组基函数进行卷积运算，得到信号在不同尺度和频率上的分解系数。

小波基函数是一种具有有限长度的波形，它可以在时间和频域上进行调整，以适应不同尺度和频率的信号特性。

小波变换的核心思想是多分辨率分析，即将信号分解成不同尺度的子信号。

通过对信号进行连续缩放和平移操作，小波变换可以捕捉到信号在不同频率上的细节信息。

与傅里叶变换相比，小波变换可以提供更好的时频局部化特性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。

二、小波变换的应用1. 信号处理小波变换在信号处理中有广泛的应用。

通过对信号进行小波变换，可以实现信号的降噪、压缩和特征提取等操作。

由于小波基函数具有时频局部化的特性，它可以有效地消除信号中的噪声，并提取出信号的重要特征。

因此，在语音识别、图像处理和生物医学信号处理等领域，小波变换被广泛应用于信号的预处理和特征提取。

2. 图像处理小波变换在图像处理中也有重要的应用。

通过对图像进行小波变换，可以实现图像的去噪、边缘检测和纹理分析等操作。

由于小波基函数具有多尺度分析的能力，它可以捕捉到图像中不同尺度上的细节信息。

因此，在图像压缩、图像增强和图像分割等领域，小波变换被广泛应用于图像的处理和分析。

3. 数据压缩小波变换在数据压缩中有着重要的应用。

通过对信号或图像进行小波变换，可以将其表示为一组小波系数。

由于小波系数具有稀疏性，即大部分系数都接近于零，可以通过对系数进行适当的量化和编码，实现对信号或图像的高效压缩。

因此，在音频压缩、图像压缩和视频压缩等领域，小波变换被广泛应用于数据的压缩和传输。

结论：小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，它通过多分辨率分析实现对信号的精确描述和处理。

小波变换和多分辨率概念

每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。

而该小波的basis 函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。

缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。

还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。

小波展开的近似形式是这样：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。

和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。

我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。

但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。

首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。

那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。

但是，母小波并非唯一的原始基。

在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。

它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。

可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。

其中是母小波，是父小波。

需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。

但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。

引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。

说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？wavelet function背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。

基于小波变换的不规则网格的多分辨率分析

［ｙｗｏｄ］ＷａｅｅｓＭｕｔｒｓｌｔｎＩｅｕａｓｅＫｅｒｓｖｌｔ：ｌ— ｏｕｉ；ｒｇｌｒｈｓｉｅｏｒｍｅ
ｌ概述
三角形网格足计算机图形学中最常用的种三维物体表
解压缩，其压缩、解压缩的过程表示复杂。Ｌｕｓｅｙ提出的基于小波多分辨率分析方法０也是一ｏｎｂｒ，种渐进压缩方法，但它不能直接应用于不规则网格。
维普资讯
第３２卷第ｌ８期
ｇ１３ｏ．２
・
计
算
机
工
ห้องสมุดไป่ตู้程
２００６年９月
Ｓｅｔｍｂｅ０６ｐｅｒ２０
№
ｌ８
ＣｏｐｔｒＥｎｉｅｒｇｍｕｅｇｎｅｉｎ
人工智能及识别技术・
文章编号：１０４８０６ｌ２２３文献标识码：（０２（０）一ｌ一ｌ１—３２８２Ａ
ＨＵＡＮＧｉｑｉｎ，ＪａａｇＧＵｏｉＹａｌｎ
（ｃｏ）ｏｌｍａｉｎＥｎｉｅｒｎＳｏｔｅｎＹｎｔｅＵｎｖｒｉｙＷｕ４１２Ｓｈ￣ｌｆｌｏｒｔｇｎｅｉｇ，ｕｈｒａｇｚｉｅｓｔ，ｎｏｘｉ２１２）
示方式。随着ｉ维扫描技术的进步，网格数槲开始大被用。由于州格的数据量通常都比较大，凶此有必要进行有效的压缩，以减少对存储空问和网络带宽的要求。三角形ｌ州格数据压缩的研究与图像压缩、视频压缩的研究相比，还是一个较新的课题。网格数据的压缩技术可分为一次性压缩技术和渐进压缩技术两种。前者，即单分辨率表示模式的压缩技术，是对网格模型实行一次性压缩和一次性解压缩，目前已经有很多好办法被提了出来－－ ’ 。但是如果网格模型的规模很大，－次性解压缩所花费的时间会很长，人们希在解压缩的过程－就｛能够了解到模型的基本情况随之出现的网格模型渐进压缩

不规则网格的小波多分辨率分析

文章编号：１０．１８２０）１０６ —６０３０５（０７０ —０００
中图分类号：Ｔ９Ｐ３１
文献标识码：Ａ
Ｗａｅｅ・ｓｄｕｌｉＲｅｏｕｉｎｎｌｓｓｏｒｅｕａｒＭｅｈｅｖｌｔＢａｅＭ・ｔ・ｓｌｔｏＡａｙｉｆＩｒｇｌｓｓ・
ｏｔｚｄａｄｔｅｏｔｕｃｍｅｍｏｅｓｍｌ．ｈｅｕｔｎｉａｅｔａｅｐｏｏｅｇｒｍｐｍｉｅ，ｕｐｔａｌｉａＴｅｒｓｌｉｄｃｔｔｔｒｐｓｄａｏｔｉｎｈｅｂｉｒｓｈｈｌｉｈ
ｈｏｉｔｅａｇｒｔｍ，ｅｉｅｕａｓｅａｉｅｔｏｒｓｅ，ｄｔｅｌ —ｅｏｕｏｓｅｌｈｈｒｔｒｇｌｍｅｈｓＣｂｄｒｃｙｃｍｐｅｓｄａｎｍｕｔｒｓｌｔｎｍｅｈｓｒｎｅｌｎｈｉｉＣｂａｎｄＢａｅｎｔｅｇｏｔｙｏｈｅｐｏｅｓｄｍｅｈｓｔｅｔａｇｅｍｅｈｓｈｖｅｎｅａｂｏｔｉｅ．ｓｄｏｅｍｅｒｆｔｒｃｓｅｓｅ，ｉｌｓｅａｅｂｎｈｈｒｎｅ
பைடு நூலகம்
摘
要：Ｌｕｓｅｙ提出了一种网格渐进压缩的三角形网格多分辨率分析方法，但ｏｎｂｒ
它只能应用于规则的三角形网格，且包含了重新网格化的过程。为了解决该问题，基于小波
变换，扩展了Ｌｕｓｅｙ的方法。该算法直接对不规则网格进行渐进压缩，ｏｎｂｒ得到了不同分辨率的网格。在此过程中还可以基于三角形网格的几何信息，对三角形网格进行优化，之更使加相似，从而使算法得到了改善。实验结果表明，算法速度快，效果良好，有一定的实用性。关键词：计算机应用；网格简化；多分辨率分析；小波；不规则网格

第十章离散小波变换的多分辨率分析

282第10章离散小波变换的多分辨率分析在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在),(b a 平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。

在这两种情况下，时间t 仍是连续的。

在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究b a ,及t 都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。

由Mallat 和Meyer 自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术[87,88,8]在这方面起到了关键的作用。

该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法[34,33]结合起来，构成了小波分析的重要工具。

本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。

10.1多分辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。

给定一个连续信号)(t x ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。

如图10.1.1(a)所示，令⎩⎨⎧=01)(t φ其它10<≤t (10.1.1)显然，)(t φ的整数位移相互之间是正交的，即)()(),(k k k t k t '-=〉'--〈δφφ Z k k ∈', (10.1.2) 这样，由)(t φ的整数位移)(k t -φ就构成了一组正交基。

设空间0V 由这一组正交基所构成，这样，)(t x 在空间0V 中的投影（记作)(0t x P ）可表为： )()()()()(,t k a k t k at x P k 0k0k0φφ∑∑=-=(10.1.3)式中)()(,0k t t k -=φφ,)(k a 0是基)(,0t k φ的权函数。

)(0t x P 如图10.1.1(b)所示，它可以看作283是)(t x 在0V 中的近似。

)(k a 0是离散序列，如图10.1.1(c)所示。

令)()(/,k t 22t j 2j k j -=--φφ (10.1.4)是由)(t φ作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的)(t φ，)(,t k j φ和)(,t k j 'φ是正交的。

小波变换与多分辨率分析

j,k
x
范围变窄，x有较小
➢随j增加 V j 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数
包含在子空间中。
哈尔尺度函数
考虑单位高度、单位宽度的尺度函数：
x
1 0
0 x 1 其它
V0展开函数都属于V1， V0是V1的一个子空间。
5.2 多分辨率展开
多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间{Vj}, j Z
与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。
5.1 背景
为什么需要多分辨率分析？如果物体的尺寸很小或对比度不高高分辨率如果物体尺寸很大获对比度很强低分辨率通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在
j
的展开函数的加权和。
1
j,k x an j1,n x
n
其中 j1,n x 2 j1/2 2 j1 x n
an改写成h (n)
j,k x h n 2 j1/2 2 j1 x n
n
j，k置0
x h n 22x n
给定一个基本函数 (x) ,则 (x) 的伸缩和平移公式可记为：
a,b (x) (ax b)
5.2 多分辨率展开
函数的伸缩和平移
例：给定函数
(
x)
sin(x)
0
0 ≤ x 2
其它
则2, (x)的波形如下图所示
函数的伸缩和平移
5.2 多分辨率展开
序列展开
信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。
1.一致单调性： V0 V1 V2

小波分析

Absorbance
0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 -0.01
2
滤波
D(5)
C(5)
D(4)
C(4)
D(3)
C(3)
D(2)
C(2)
D(1)
C(1)
4
6
8
10
Retention Time / min
12 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12
将信号中的不同频率成分按照频率高低进行分离！噪声属于高频部分，背景、基线属于低频部分 17
(translation parameter) ,也称为时间平移因子
t 叫作小波基，或小波母函数。 9
2. 小波变换
❖ 连续小波变换 a,b R, a 0
Wf a,b
f t, a,b t f *~a b
1 a
f
t
a,b tdt
❖ 实际应用中，一般实现时，连续小波必须加以离散化，所以常使用离散化小波变换。
小波分析
➢ 小波分析概况 ➢ 小波及小波变换 ➢ 一维小波分析 ➢ 多分辨率分析 ➢ 二维小波分析
❖ 一、小波分析概况
❖ “小波分析”是利用多种 “小波基函数” 对 “ 原始信号” 进行分解，分析原始信号各种变化的特性，进一步用于趋势分析，数据压缩、噪声去除、特征选择等。
❖ 地理学的许多现象均可视为数据信号，进行小波分析，如气候和水文数据的时间序列，人文地理方面的经济数值波动，遥感方面的光谱分析、遥感数据的图像压缩，GIS方面的数据多尺度分析。
k 1
k 1
N
N
或： C j1 n h jn k *C jk g jn k * D jk

小波多分辨率分析及其在自适应消噪中的应用

摘
要：针对自适应消噪中存在的问题，出一种基于小波多分辨率分析提
的自适应消噪算法，用小波多分辨率分析理论，利把信号和噪声正交分解于不同的频
率范围中，而减少了自适应滤波器的阶数，高了算法的收敛速度和稳定性。选择从提若干不同频率尺度上信号作线性组合，组合后的信号进行自适应谱线增强，对保存了
ｎｉｅｉｔｉｆｒｎｒｑｅｃａｇｔｖｌｔａａｙｉ，ａｄｔｅａａｔｖｉｅｒｅｓｗｏｌｅｏｓｎｏｄｆｅｅｔｆｅｕｎｙｒｎｅｗｉｗａｅｅｎｌｓｓｎｈｄｐｉｅｆｌｒＳｏｄｒｕｄｂｈｔ
（．ｏａｙｏｏｔｒｄａｅＭａａｅｎ，ｔｅＡｃｄｍｙｏｑｉｍｅｔＣｍｍａｄ＆Ｔｅｈｏｏｙｅｉｇ１１１，Ｃｉａ１ＣｍｐｎｆｓａｕｔｎｇｍｅｔｈａｅｆｕｐｎｏＰｇＥｎｃｎｌｇ，Ｂｉｎ０４６ｈｎ；ｊ２ＤｅａｔｎｆｔａａｄＥｅｔｉｌｑｉｍｅｔｈａｅｆｑｉｍｅｔＣｍｍａｄ＆Ｔｅｈｏｏｙｅｉｇ１１１，Ｃｉａ．ｐｒｍｅｔｉｌｎｌｃｒａＥｕｐｎ，ｔｅＡｃｄｍｙｏｕｐｎｏｏＯｐｃｃＥｎｃｎｌｇ，Ｂｉｎ０４６ｈｎ）ｊ
ｓｏｒｅｄ．Ｓｔｉｈｔｎｅｏｉｍｐｒｅｈｅｓｅｏｅｇｎｅａｈｅｐｅｆｒｎｃｙｔｍ．Ｓｅｅｔｓｍｅｄｉｆｒｏｖｓｔｐｅｄｏｆｃｎｖｒｅｃｎｄｔｒｏｍａｅｏｆｓｓｅｌｃｏｆｅ — ｅｔｆｅｕｅｙｒｎｇｉｎａｎｄｃｎｒｑｎｃａｅｓｇｌａｏｍｂｎｅｔｅｔｏａｐｔｖｉｎｈｎｃｍｅｔＯｔｅｈｇｈｆｅｅｙｉｈｍｏｄｄａｉｅｌｎｅｅａｅｎ，Ｓｈｉｒｑｕｎｃ