二次函数与等腰三角形存在性问题

老师

学生学管师

学科

名称

年级上课时间月日 _ _ :00-- __ :00 课题

名称

等腰三角形的存在问题

教学

重点

教学过程1.（2011•）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另

一点C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

2.（2011•）如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于

点B．

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；

（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3.（2011•）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段

AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．

（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；

（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．

4.（2011•市綦江县潭已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式：

（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

4.（2011•贵港）如图，已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a （x+2）2

相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点．

（1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式；

C

A B y x

O P D Q

（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值围；

（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5.（2010•）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，

其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

（1）点A的坐标为_________ ，点C的坐标为_________ ；

（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐

标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

6.（2010•）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的

射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．

（1）求点C的坐标．

（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．

（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t 秒后，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），

求t的值．

（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

7.（2010•）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，

4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8.（2011•）如图，一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c

的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；

（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

9.（2011•）如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，

0）和B．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．