第五节高阶偏导数59539

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第5节高阶偏导数

x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x 2 z
(2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
7
例6 已知 u eu xy ，求 2u ， xy
解设 F ( x, y, z) u eu xy ，
Fx y , Fy x , Fu 1 eu ,
y0 )表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
•
一般地,(h k )m x y
f (x0 ,
y0 ) 表示
m
Cmp
p0
h
pk
m
p
x
m f p ym
p
(x0 ,
y0 )
定理1. 设 z f (x, y) 在点(x0, y0 ) 的某一邻域内有直
6x2
y
9 y2
1.
2
例2 设 u eax cos by ，求二阶偏导数.
解 u aeax cosby , u beax sinby ;
x
y
2u x 2
a 2eax
cos
by
,
2u y 2
b2eax
cos by
,
2u abeax sinby , 2u abeax sinby .
xy
yx
一般地,若 2z 与 2z 是连续函数,则必相等. xy yx
a2 ( x
ay)
a 2
( x
ay)
a2
2u x 2
.
4
例4 证明函数 u ln x2 y2 z2 满足方程

偏导数的定义及其计算法

f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0 偏导函数的符号
f z z f ( x , y ) >>> , , , 或 . x x x x
偏导函数
f ( x x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 . f ( x , y ) lim x 0 0 x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
其中(x, y, z)是函数uf(x, y, z)的定义域的内点.
偏导函数
f ( x x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 . f ( x , y ) lim x 0 0 x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
二、高阶偏导数
二阶偏导数如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数. 函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个
其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
存在, 则称此极限为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
2 2 z z z z ( ) f ( x , y ) , , ( ) f ( x , y ) xy xx 2 y x x y x x x 类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>

第五节高阶偏导数

解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6xy 6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2
y
2z 3x2 18xy2 xy
2z 3x2 18xy2 . yx
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u e xy sin z xye xy sin z xy
例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
连续偏导,求 xy .
x
x
x
x
解f u v
f u
v
y
y
y
y
zx
1 x2
f
1 x
f x
y x
1 x2
f
y x
f
y
zxy
1 x2
f y
1 x
f
y x
(
f
)y
y( )y
yf y
例6 设 z f (2x y) g( x, xy), 其中 f (t)二阶
e xy (1 xy)sin z
3u e xy (1 xy)cos z. xyz
例3 x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
zy
xy
解令 F(x, y, z) x z ln z z ln y
则 Fx 1
Fy
z y
Fz ln z 1 ln y
(
y x
)
(
y ), x
求
x 2 zxx
2xyzxy
y 2 zyy .

第5节高阶偏导数资料讲解

第5节高阶偏导数资料讲解高阶偏导数指的是一个多元函数的某个变量对应的偏导数再次进行偏导数运算的结果，即对偏导数求导。

这是微积分中的一个重要概念，其在数学和工程中都有广泛应用。

一阶偏导数是指函数在该变量处的变化率，二阶偏导数是指函数在该变量处变化率的变化率，以此类推。

具体来说，设函数f(x,y)含有两个自变量x和y，f对x的偏导数为fx，对y的偏导数为fy，则f的二阶偏导数分别为fxx，fyy，以及两个偏导数的混合导数fxy和fyx。

混合导数fxy和fyx并不相等，它们是对同一函数f(x,y)在不同自变量处求偏导数得到的结果。

具体计算方法为先对x求偏导数fx，再对fx关于y进行求偏导数，得到fxy；同理，对y求偏导数fy，再对fy关于x进行求偏导数，得到fyx。

高阶偏导数的计算方法同样可以采用类似的方式：先求出函数的一阶偏导数，然后对一阶偏导数进行求偏导数，即可得到高阶偏导数。

以二阶偏导数为例，设函数f(x,y)的一阶偏导数分别为fx和fy，则f的二阶偏导数fxx，fyy和fxy可以通过以下公式进行计算：fxx = ∂²f / ∂x²这些公式可以进一步推广到高阶偏导数的情况下。

例如，若f的二阶混合导数fxy在一个区域上连续，那么f的二阶偏导数fxx和fyy也存在，且它们相等，即：fxx = ∂²f / ∂x² = ∂/∂x(∂f / ∂x) = ∂/∂x(fx)此外，高阶偏导数具有一些基本性质，如连续性、可交换性和与区间交换极限的等式等。

这些性质为高阶偏导数的计算和应用提供了一定的便利。

总之，高阶偏导数是微积分理论中的重要概念，在许多数学和工程问题中都有广泛的应用。

通过对偏导数的反复求导，我们可以进一步研究函数的性质和变化规律，帮助我们更好地理解和解决实际问题。

《高阶偏导》课件

总结与展望
总结高阶偏导的重要性和应用前景，提出进一步学习的内容和研究方向。
《高阶偏导》PPT课件
高阶偏导的定义
二阶偏导的概念回顾，高阶偏导的定义和意义，高阶偏导的符号表示。
高阶偏导的性质
1 高阶偏导的连续性
介绍高阶偏导的连续性及其重要性。
2 Schwarz定理及其应用
解释Schwarz定理的含义，以序
讨论函数多阶导数交换次序的规则和计算方法。
介绍二次型微积分的核心概念和求解方法，以及鞍点的判定。
应用实例
1 用高阶偏导数判定
方程的最值
2 用高阶偏导数优化
函数
3 偏导数求解物理问
题的应用
通过高阶偏导数来判定方程的最值，包括极大值、极小值和拐点。
展示如何使用高阶偏导数来优化函数，提高性能和效率。
说明如何运用高阶偏导数解决实际物理问题，如速度、加速度和力的计算。
高阶偏导的计算方法
1
隐函数求导法
介绍使用隐函数求导法计算高阶偏导的基本步骤和技巧。
2
全微分法
讲解全微分法在高阶偏导计算中的应用和优势。
3
多元泰勒公式及其应用
详细解释多元泰勒公式的概念和使用方法，以及在高阶偏导中的应用案例。
线性函数和二次型的微积分
线性函数的微积分
二次型的微积分
探讨线性函数微积分的基本原理和常见应用场景。

第五节高阶偏导数

′′ f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z = f ( x , y ) 三阶偏导数
∂ z 2 ∂x
2
x
y
∂ ∂ 2z ∂ 3z 2= 3 ∂x ∂x ∂x
∂3z ∂ ∂ 2z 2= 2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ ∂2z ∂3z 2= 2 ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y 2x y , = 2 − 2 2 2 2 x + y (x + y )
x 2x y ′ f y ( x, y) = 2 , − 2 2 2 2 x + y (x + y )
3 3 2
2
4
当 ( x , y ) = (0,0) 时,
0 f (∆x,0) − f (0,0) = lim = 0, ′ f x (0,0) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0,0) 0 ′ f y (0,0) = lim = lim = 0, ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y
∂z Fx′ 故 = − =− ∂x Fz′
Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
z = x+z x+z − 2 1 z 2 z y =− x+z = y( x + z ) − 2 z
∂z ∂z ( x + z) − z 2 z ∂ ∂ z ∂y ( ) = ∂y = ∂y x + z ∂ x∂ y ( x + z )2 z′y =

5-高阶偏导数泰勒展开式_文档

5. 高階偏導數;泰勒展開式P1835.1 (4) 計算 xy y x f =),( 的 22x f ¶¶,y x f ¶¶¶2,x y f ¶¶¶2,22y f ¶¶ Hint:)(22x f x xf ¶¶¶¶=¶¶Ans:2)(ln y y x , )1ln (1+-y x y x , )1ln (1+-y x y x ,2)1(--x y x x5.3 )sin ,(cos ),,(q q ==u y x f z r , 說明q q q q 222222222sin sin cos 2cos )(y f y x f x f u u f uf ¶¶+¶¶¶+¶¶=¶¶¶¶º¶¶r r rHint:q q sin cos ),(yf x f u y x f ¶¶+¶¶=¶¶r º),(y x Fq q sin cos ),()(22y F x F u y x F u f u uf ¶¶+¶¶=¶¶=¶¶¶¶=¶¶r r r r 再將代入即可),(y x FP1845.4 (5) 如果),(y x f 滿足2222yf x f ¶¶+¶¶=0則稱為諧和函數. 檢驗)ln(),(22y x y x f +=是否為諧和函數Hint:)ln(21),(22y x y x f += , 22y x y x f +=¶¶ , 2222222)(y x x y x f +-=¶¶=－22yf ¶¶Ans: 是P1875.8 (1) 求 32233),(y xy y x x y x f +-+= 在(1,2)展開的三階泰勒多項式 Hint:f x =3x 2+2xy-3y 2f y =x 2-6xy+3y 2f xx =6x+2yf xy =2x-6yf yy =－6x+6yf xxx =6f xxy =2f xyy =－6f yyy =6 再將點(1,2)代入三階泰勒展式即可Ans:－1+[-5(x-1)-2(y-2) ] +21[10(x-1)2-20(x-1)(y-2)+6(y-2)2]+ !31[6(x-1)3+6(x-1)2(y-2)-18(x-1)(y-2)2+6(y-2)3)]5.9 利用單變數的泰勒展開式，先猜猜看下述函數在指定點的泰勒展式，再驗算之至第三階(3) )0,0(,cos sin y x (6) )0,0(,122y x ++Hint: (3) )!4!21)(!5!3(4253L L ++-++-y y x x x (6) L +++!2122y xAns: (3) L +--!3!232x xy x (6) L +++)(!21122y x6. 極值測試與應用P1906.2 找出下列函數的候選點，決定其極值性質(即使D=0)(4) )(22y xxe +-Hint: )(22),(y x xe y x f +-=, 候選點滿足0)21(2)(22=-=¶¶+-x e x f y x 且 0)2()(22=-=¶¶+-xy e yf y xAns: (0,21) 極大值 (0,21-) 極小值6.3 (4) 討論R y xy x y x f Î++=l l ,),(22 依不同l 值，討論其候選點及極值性質Hint:候選點滿足 02=+=¶¶y x x f l 且 02=+=¶¶y x yf l 再利用定理6.2判別，考慮úûùêëé22l lAns:l >2時，(0,0)為鞍點。

高阶偏导数

∂z . 的二阶偏导数及 2 ∂y∂x ∂z = 2ex+2y ∂y ∂2 z x+2y = 2e ∂x∂y
3
例12.1.11
f (x, y) =
x2 − y2 xy 2 , x2 + y2 ≠ 0 x + y2 0, x2 + y2 = 0
f x (x, y) =
x4 + 4x2 y2 − y4 y , x2 + y2 ≠ 0 (x2 + y2 )2
证: 记 ϕ ( x ) = f ( x , y0 + ∆y ) − f ( x , y0 ),
ψ ( y ) = f ( x0 + ∆x , y ) − f ( x0 , y ),
f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x , y 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) I= . ∆ x∆ y
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
下页结束
练习题：练习题：设
确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且解: 求
方程
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结束
练习题
一、填空题: 填空题: 1 、设 z = ln tan
x ∂z ∂z ,则 = ________; = _________. ∂x y ∂y ∂z ∂z 2 、设 z = e xy ( x + y ), 则 = _______; = ________. ∂x ∂y y ∂u ∂u 3 、设 u = x z , 则 = __________; = __________; ∂x ∂y ∂u = ____________. ∂z ∂2z y ∂2z 4 、设 z = arctan , 则 2 = ________; 2 = _______; x ∂x ∂y ∂2z = ____________. ∂x∂y

高阶偏导数及泰勒公式

2021/8/24
15
A fxy(x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
3 从而 uy ax c( y). 与 uy x y b sin x比较可得a 1,b 0.
2021/8/24
20
例3. 设w f (x y z, xyz), f C2, 求 2w .
xz
解: 设 u=x+y+z, v=xyz,
从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数.
f
(x, y) ,
gy
(
x,
y)
lim
y0
g
(
x,
y
y) y
g
(
x,
y)
,
f xy (x,
y)
fx(x,
y)y
lim
y0
f x(x,
y
y) y
f x(x,
y) ,
2021/8/24
9
lim 1 y0 y
lxim0
f
(x
x,
y
y) x
f
(x, y
y)
lim x0
f
(x
x, y) x
f
(x,
y)
2021/8/24
w f (x2 y, y) x
25
例5.
设z
z ( x,
y)由方程x 2

高阶导数与高阶偏导数

高阶导数可以描述曲线的弯曲程度，例如二阶导数表示曲线的凹凸程度，三阶导数表示曲线的拐点变化趋势。
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词

偏导数讲解

偏导数是多元函数在某一点处对其中一个自变量求导时，将其他自变=f(x,y)中，当y固定在y0，x在x0处有增量时，函数z的相应增量与x增量的比值在增量趋于0时的极限。接着，通过具体示例展示了如何计算偏导数，包括二元函数和三元函数在特定点处的偏导数。此外，文档还强调了偏导数是一个整体记号，不能拆分，并指出在求分界点、不连续点处的偏导数时应使用定义法。然而，该文档并未涉及全导数的相关内容，全导数通常用于描述函数在某一点处的整体变化率，考虑了所有自变量的影响。

高等数学：第五讲高阶偏导数

2z xy
fxy (x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
混合偏导数
混合偏导数
高阶偏导数
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z f (x, y) 关于 x 的三阶偏导数为
3z 2z x3 x ( x2 )
z f (x, y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数，再关于 y 的一阶偏导数为
1 x
2z x 1 xy xy y
3z x2y 0
3z xy 2
-
1 y2
内容小结
高阶偏导数
二阶偏导数
( z ) x x
2z x 2
fxx(x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
பைடு நூலகம்
y
( z ) x
2z xy
f xy (x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
谢谢
例题1中，两个二阶混合偏导数相等，即 2 z 2 z . xy yx
这是由于多项式函数在其定义区域内都是连续的函数.
例题2：
设
z x ln(xy),
求
2z , 2z , 3z , 3z . x2 xy x2y xy2
解
z ln( xy) x y ln(xy) 1
x
xy
2z x 2
y xy
y
n1z ( xn1
)
nz x n 1y
二阶及二阶以上的偏导数统称为函数的高阶偏导数.
z ，z x y

偏导数的定义及其计算法-PPT

ln x
例4例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数
解解 r
x
x r
y
y
x x2 y2 z2 r y x2 y2 z2 r
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)
p V
V T
T p
1
证证因为 p RT V
p V
RT V2
V RT V R p T p
z x
x x0 y y0
f x
x x0 y y0
zx xx0 或 fx(x0 y0)
y y0
类似地函数zf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数 >>>
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f x (x0,
y0)
lim
x0
f
(x0 x, y0) x
f (x0, y0)
❖偏导数的符号
z x
在区域 D 内连续
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例7例 7 验证函数 z ln
x2 y2
满足方程 2z x2
2z y2
0
证证因为 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2) 所以 2
z x
x2
x
y2
z y
y x2 y2
2z x2
(x2 y2) x2x (x2 y2)2
证明函数 u
1 r
满足方程
2u x2
2u y2
2u z2
0
其中 r x2 y2 z2
证证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
2u x2
1 r3

《高数偏导数》课件

高阶偏导数计算
总结词
高阶偏导数的计算需要遵循一定的规律和技巧。
详细描述
高阶偏导数的计算需要理解二阶偏导数和更高阶偏导数的概念，掌握高阶偏导数的求导法则，如高阶乘积法则、高阶链式法则等，以便在遇到高阶偏导数时能够正确计算。
隐函数求导法则
总结词
隐函数求导法则是解决隐函数偏导数的关键。
详细描述
隐函数求导法则是基于复合函数求导法则的扩展，适用于解决由一个方程组确定的隐函数组的偏导数问题。通过对方程两边同时求导，并利用方程组中其他方程的导数，可以求得隐函数组的偏导数。
法线方程
根据法线方向向量和原点坐标，可以求出法线方程。
法线与切线的夹角
在曲面上某一点，法线与切线的夹角可以通过求法线方向向量和切线方向向量的夹角得到。
04ห้องสมุดไป่ตู้
偏导数的计算技巧
链式法则
总结词
链式法则是偏导数计算中的重要技巧，用于计算复合函数的偏导数。
详细描述
链式法则是基于复合函数求导法则的，当一个复合函数中包含多个中间变量时，链式法则能够将外层函数的偏导数通过中间变量传递到内层函数，从而简化计算过程。
2
如果函数在某点处偏导数不存在，则该函数在该点处不可微。
3
偏导数的连续性是保证函数可微的必要条件。
可微性的概念
可微性是指函数在某点处的极限值等于函数在该点的值，即函数在该点处具有切线。
如果函数在某点处可微，则该点处的切线存在，且切线的斜率等于该点处的偏导数值。
可微性的判定
01
如果函数在某点处的左右极限相等，则该函数在该点处可微。
乘积法则
对于两个函数的乘积的偏导数，其偏导数是各自函数的偏导数的乘积。

《高等数学偏导数》课件

偏导数的性质
连续性与可导性
偏导数存在时，函数在某点的邻域内连续。
偏导数存在且连续时，函数在该点的某邻域内可导。
偏导数的计算法则
链式法则
对于复合函数，求偏导数时需要使用链式法则。
乘积法则
对于两个函数的乘积，求偏导数时需要使用乘积法则。
商式法则
对于两个函数的商，求偏导数时需要使用商式法则。
高阶偏导数
对于高阶偏导数，可以使用递推关系进行计算。
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
01
对于一个函数，如果它的二阶偏导数存在，则称这个二阶偏导
数为该函数的高阶偏导数。
高阶偏导数的计算
02
高阶偏导数的计算需要使用到前面已经求得的低阶偏导数。
高阶偏导数的几何意义
03
高阶偏导数可以用来描述函数图像的凹凸性、拐点等几何特征
偏导数表示函数曲面在某一点处与坐标轴平面的交线在该方向的切线斜率。
偏导数的几何意义
切线斜率
对于二元函数，偏导数表示函数曲面在某一点处的切线斜率。
凹凸性
通过研究偏导数的符号变化，可以判断函数在某一点的凹凸性。
最值问题
利用偏导数研究函数的极值问题，通过求偏导数等于零的点，找到可能的极值点。
02
根据不同的标准，最优化方法可以分为多种类型，如线搜索方法、信赖域方法、梯度下降法等。
最优化方法的选择依据
选择最优化方法时需要考虑问题的性质、计算资源、精度要求等因素。
3
最优化方法的优缺点比较
各种最优化方法都有其优点和局限性，需要根据实际情况进行选择和调整。
05
偏导数在实际问题中的应用
经济问题
在给定函数中寻找最小值或最大值，且附加某些约束条件的数学问题。

偏导数与高阶偏导数详细解法

第二节偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。

教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学过程:一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z 二f(xy)如果只有自变量x 变化而自变量y 固定这时它就是x 的一元函数这函数对x 的导数就称为二元函数z 二f(xy)对于x 的偏导数定义设函数z=f(xy)在点(x o y o )的某一邻域内有定义当y 固定在y o 而x 在X o 处有增量 x 时相应地函数有增量f(x o x y o) —f(x o y o ).如果极限f (X o X, y o ) - f (X o , y o )A x存在则称此极限为函数z=f(xy)在点(x o y o )处对x 的偏导数记作例如f (X o ：x, y o ) - f(x o , y o )A x 类似地函数z 斗(xy)在点(x o y o )处对y 的偏导数定义为Hm f(x °,y o ：y)-f (x °,y o ) .y —.o y偏导函数如果函数zh(xy)在区域D 内每一点(xy)处对x 的偏导数都存在那么这个偏导数就是x 、y 的函数它就称为函数z=f(xy)对自变量x 的偏导函数记作——zx 或 f x (x, y) ■ X x偏导函数的定义式：fx(x,y 円m f(x 2)7("cf — y —y o C X=X o -z x y=y o :z .x x=x ° 或 f x (x o , y o ) y mof x (x o ，yo ^.'r.o 记作各X’ * 0 x=X o ■z yy=y ° y To 或 f y (x o y o ). X =<o y =y °类似地可定义函数z=f(xy)对y的偏导函数记为Z/或f y(x，y) ‘-■y :y偏导函数的定义式:f y(x,y) = limf(x,y：y)-f(x,y)求兰时只要把y暂时看作常量而对x求导数求埜时只要把x暂时看作常量而对y ；x ；y 求导数，讨论下列求偏导数的方法是否正确？f x(><0，y o) = f x(x,y)x^ f y(x o，y o) = f y(X,y) xs .y=y°d df x(X o，y o) =【dxf (x,y o)〕xK fygy o)珂石fd o’y)]© ■偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u=f(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为f (x ：x,y,z) —f(x,y,z)Ax其中(xyz)是函数u=f(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题，例1求z=x2+3xy+y2在点(1 . 2)处的偏导数，解—=2x 3y z =3x 2y . z & cyXT =21 3 2=8 ]z例2求z=x2sin 2y的偏导数解—=2xsin2y — -2x2cos2y . & cy例 3 设z=x y(x Qx^)求证――1—■ =2zy ex In x 內证—=yx y A— =x y I nx,x ：y——1 -yx y^ —x y I nx 二x y x y=2z .y :x In x : y y In x例4求x^y^z2的偏导数解』- ______X 仝 [.一__________ y ____ & +'x2+ y2+z2r by Jx2+y2+z2=_yx”31 22 = 7 .例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)•求证空乂 .兀_1证因为p = R L P 一马. "vw V 2V=RL 卫卫p ：:T pT pV 汀 VT = R 亍 R 所以8汎汀=_RT RV-RT-I討贡④ V 2 p R pV ^例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数z=f(xy)在点(x o y o )的偏导数的几何意义：f x (x o y o )=[f(x y o )]x 是截线z=f(x y o )在点M o 处切线T x 对x 轴的斜率 f y (x o y o ) =[f(x o y)]y 是截线z=f(x o y)在点M o 处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如 xyf(x,y) = x 2 y 2I 0 在点(0 0)有f x (0. 0)=0 f y (o. 0)=0但函数在点(0 0)并不连续“提示：f(x,O) =0 f (0, y^of x (O,O)=f [f(x,0)]=0 f y (0, 0^-d [f(0, y)H0 . dx dy当点P(x y)沿x 轴趋于点(0 0)时有lim f(x, y)=lim f (x, 0) = lim 0 =0 (x,y) >(0,0) X r 0 x >0当点P(x y)沿直线y=kx 趋于点(0 0)时有因此.lim f (x,y)不存在故函数f(xy)在(0 0)处不连续(x,y)T(0,0) 类似地可定义函数z=f(xy)对y 的偏导函数记为冷 f zy 或 f y (x,y) • x 2 y 2" x 2 y 2 =0 lim 2 ' 2(x,y)—?(o,o )x 2 y 2y=kx=lim 2 x >0 x 2 kx 2_ k 2x 2 k 2偏导函数的定义式恥心肩“™高阶偏导数设函数Z 二f(xy)在区域D 内具有偏导数^ = f x (x, y)迸二 f y (x,y).那么在D 内f x (xy)、f y (xy)都是xy 的函数如果这两个函数的偏导数也存在贝U 称它们是函数x 二f(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z 二f(xy)在区域D 内的偏导数f x (xy)、f y (xy)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数z=f(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数2手(孑•手(勺=2 2 其中ry (：xU x y (x ，y) 称为混合偏导数；：(；：Z )_ ；：2Z 1 ( ：：Z) _ r 2Z ( :：Z) _ ：：2z ；：( ；：z )_ ；：2z :x ；:x ；:x 2 : y . x .x :y ；x ； y y ； x ；:y ；y ；:y 2同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数‘ 例 6 设 z=x 3y 2-3xy 3-xy V 求 f 、-f 、 - x 和 L x 2 ：x 3 :yx : xy解/ =3x 2y 2 -3y 3 -y Z =2x f y-9xy 2 -x :x :y C 2Z 62 ^z 6 2， 2 =6x y 3=6 .x:x -2-2 6^丫-9丫2-1x 6x 2y-9y 2 -1 x x .y y x -2 “2由例6观察到的问题 x xoycx cxcy 定理如果函数z=f(xy)的两个二阶混合偏导数昙及三在区域D 内连续•那么在该 tycx cxcy区域内这两个二阶混合偏导数必相等.x : x ； x 2 :y x :x y:Z = f xy (x, y).2 补評話mx’y)弓許■2Z”yy (x " -3 ：2类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数z = ln . x2—y2满足方程寻•岂=0 . ex cy 证因为z=ln ... x2- y2=2"n" ' y2)所以:z x :z y___________.:x _________ x2y2；:y x2 y2匕(x2y2)-x2x y2-x2戸一(x2y2)2—(x2y2)2悬(x2y2)-y 2y x2-y2旷 (x2y2)2 _(x2y2)2'-2-2 2 2 2 2因此驚+吟=x —y 2+ y 2 -o ■ $2 cy2(x2+y2)2(x2+y2)2例8•证明函数u二1满足方程总•总•岂=0 .r ex2內2ezr其中r = J x2y2z2.证:u _ _丄工—_丄x _ __x_ dx r2ex r2r r3E2u _ 1 +3x 宜=1 +3x2_x2r3r4；x r3r5-2 / -2因此T U Uex2cy2cz2r3-x ' (r3)r6r3-x3r21LExr6同理专：：2u _ —丄.3^:z2r3r5_ _ 3 3(x2y2- z2)r53 3r2—3-0r3 r5r r(。

偏导数与高阶偏导数

k 1 k 2
xy lim f ( x, y ) lim 2 x 0 x 0 x y2
y 0 y 0
，即f ( x, y )在(0,0)点不连续
f (0 x,0) f (0,0) 0 但f x (0,0) lim lim 0 x 0 x 0 x x f (0,0 y ) f (0,0) 0 而f y (0,0) lim lim 0 y 0 y 0 y y 故f ( x, y)在(0,0)的两个偏导数都存在。
得曲线
z f ( x , y) x x
0
由一元函数导数的几何意义：
z y
x =x0
= tan
M
( x , y )
y
.
x

.

3. 可偏导数与连续的关系
一元函数有：
y f ( x)在x0点可导 y f ( x)在x0点连续
那么二元函数：
是否
z f ( x, y)在( x0 , y0 )点f x( x0 , y0 )和f y ( x0 , y0 )都存在 z f ( x, y)在( x0 , y0 )点连续?
TxLM源自z= f (x,y)固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y ) L： y y0
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x

. .
同理，
z y
?
M
3. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y