反比例函数
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过双曲线 ( )上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、反比例函数定义
1、 为何值时， 是反比例函数
【答案与解析】
解：由 得 ∴
【总结升华】根据反比例函数关系式的一般式 ，也可以写成 ，后一种写法中 的次数为－1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件， 且 ，二者缺一不可．
类型四、反比例函数综合
4、如图所示，已知双曲线 ，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA， ，求反比例函数的解析式．
【答案与解析】
解：过点D作DM⊥AB于点M．
∴ DM∥OA，∴ ∠BDM＝∠BOA．
在△BDM和△EOD中
∴ △BDM≌△DOE(AAS)，
∴ ， ．
设D( )，则B( )．
类型三、反比例函数的图象和性质
3、若A( ， )、B( ， )在函数 的图象上，当 、 满足________时， .
【答案】 或 或 ；
【解析】 的图象在一、三象限，在每个象限内，随着 的增大，函数值 减小，所以 或 时， .当B点在三象限，A点在一象限，即 ，也满足 .
【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ( )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
类型二、确定反比例函数的解析式
2、已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 ＝1时， ＝7；当 ＝2时， ＝8．
(1) 与 之间的函数关系式；
(2)自变量的取值范围；
(3)当 ＝4时， 的值．
【答案与解析】
解：(1)∵ 与 成正比例，
∴ 设 ．
∵ 与 成反比例，
∴ 设 ．
∴ ．
把 与 分别代入上式，得
要点诠释：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无交点；
（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.
A．2B．4C．6D．8
5．如图，正方形 的两个顶点 ， 在反比例函数 的图象上，对角线 ， 的交点恰好是坐标原点 ，已知 ，则 的值是（）
A． 5B． 4C． 3D． 1
6．如图，点B在反比例函数 （ ）的图象上，点C在反比例函数 （ ）的图象上，且 轴， ，垂足为点C，交y轴于点A，则 的面积为（）
（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将 代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】
解：（1）把 代入反比例函数 得：
11．已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
12．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入 中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入 中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为 ，
将点B(n，-1)代入 中得：
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出 的符号.
要点四、反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义
过双曲线 ( )上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
∵ ，
∴ ．
即 ，解得： ．
∴ 反比例函数的解析式为 ．
【总结升华】本题欲求解析式有两个思路可考虑，一个是求D点或C点的坐标，另一个就是求△DOE或△AOC的面积，从条件看，求D点或C点坐标的可能不大，于是从求△DOE或△AOC的面积入手思考，由于D、C、B三点坐标间的特殊关系，设出D点的坐标就可以将B、C两点的坐标表示出来，然后运用 求出D点两坐标之积，就不难求出解析式．
（3）解方程求出待定系数 的值；
（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.
要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
举一反三：
【变式】如图所示，正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
【答案】D；
提示：对于D项，由正比例函数 的图象经过第二、第四象限，得 ＜0，由反比例函 的图象位于第一、第三象限，得 ＞1， 不存在，故D项错误．解决这类图象问题的一般解法是先根据函数表达式的大致图象来确定函数表达式中字母系数的符号或范围，再根据字母系数的符号或范围确定另一个函数图象的大致位置．
m=6，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵ 点在反比例函数 图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴ ，解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）∵ ， ，一次函数的解析式为 ，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB= ，
A．36B．48C．49D．64
35．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象在第一、三象限分别交于 ， 两点，连接 ， ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2） 的面积为______；
（3）直接写出 时x的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【解析】
【分析】
反比例函数（提高）
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，定义域是不等于零的一切实数.
A．3B． C．2D．1
9．反比例函数y＝ （x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象wk.baidu.comB．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝ 的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（）
A．x＜﹣1B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1D．x＜﹣1或0＜x＜1
∴
所以 与 的函数解析式为 ．
(2)自变量的取值范围是 ≠0．
(3)当 ＝4时， ．
【总结升华】注意，比例系数要分别用 和 表示，不能用成同一个比例系数 .
举一反三：
【变式】已知 与 成反比例，且 时， ，求 与 的函数关系式．
【答案】
解：因为 与 成反比例，
所以 ，且 ，解得 .
所以 与 的函数关系式为 .
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入 中得：
解得： ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）设点P（x，0），
∵直线 交 轴于点 ，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵ 的面积是 ，
∴
∴解得： ，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形 ，且点C在反比例函数 的图象上，则k的值为（）
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
44．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线 交 轴于点 ，点 是 轴上的点，若 的面积是 ，求点 的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ；（2）（3，0）或（-5，0）
A．3B．4C．5D．6
7．如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）
A．4B．6C．8D．12
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝ ，则k的值为（ ）
A． B． C．42D．
3．如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 和点 在 边上， ，连接 轴，则 的值为（）
A． B．3C．4D．
4．如图，点A是反比例函数y （x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝ 的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
（2）在反比例函数 ( 为常数， )中，由于 ，所以两个分支都无限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增大而增大；
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、反比例函数定义
1、 为何值时， 是反比例函数
【答案与解析】
解：由 得 ∴
【总结升华】根据反比例函数关系式的一般式 ，也可以写成 ，后一种写法中 的次数为－1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件， 且 ，二者缺一不可．
类型四、反比例函数综合
4、如图所示，已知双曲线 ，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA， ，求反比例函数的解析式．
【答案与解析】
解：过点D作DM⊥AB于点M．
∴ DM∥OA，∴ ∠BDM＝∠BOA．
在△BDM和△EOD中
∴ △BDM≌△DOE(AAS)，
∴ ， ．
设D( )，则B( )．
类型三、反比例函数的图象和性质
3、若A( ， )、B( ， )在函数 的图象上，当 、 满足________时， .
【答案】 或 或 ；
【解析】 的图象在一、三象限，在每个象限内，随着 的增大，函数值 减小，所以 或 时， .当B点在三象限，A点在一象限，即 ，也满足 .
【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ( )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
类型二、确定反比例函数的解析式
2、已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 ＝1时， ＝7；当 ＝2时， ＝8．
(1) 与 之间的函数关系式；
(2)自变量的取值范围；
(3)当 ＝4时， 的值．
【答案与解析】
解：(1)∵ 与 成正比例，
∴ 设 ．
∵ 与 成反比例，
∴ 设 ．
∴ ．
把 与 分别代入上式，得
要点诠释：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无交点；
（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.
A．2B．4C．6D．8
5．如图，正方形 的两个顶点 ， 在反比例函数 的图象上，对角线 ， 的交点恰好是坐标原点 ，已知 ，则 的值是（）
A． 5B． 4C． 3D． 1
6．如图，点B在反比例函数 （ ）的图象上，点C在反比例函数 （ ）的图象上，且 轴， ，垂足为点C，交y轴于点A，则 的面积为（）
（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将 代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】
解：（1）把 代入反比例函数 得：
11．已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
12．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入 中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入 中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为 ，
将点B(n，-1)代入 中得：
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出 的符号.
要点四、反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义
过双曲线 ( )上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
∵ ，
∴ ．
即 ，解得： ．
∴ 反比例函数的解析式为 ．
【总结升华】本题欲求解析式有两个思路可考虑，一个是求D点或C点的坐标，另一个就是求△DOE或△AOC的面积，从条件看，求D点或C点坐标的可能不大，于是从求△DOE或△AOC的面积入手思考，由于D、C、B三点坐标间的特殊关系，设出D点的坐标就可以将B、C两点的坐标表示出来，然后运用 求出D点两坐标之积，就不难求出解析式．
（3）解方程求出待定系数 的值；
（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.
要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
举一反三：
【变式】如图所示，正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
【答案】D；
提示：对于D项，由正比例函数 的图象经过第二、第四象限，得 ＜0，由反比例函 的图象位于第一、第三象限，得 ＞1， 不存在，故D项错误．解决这类图象问题的一般解法是先根据函数表达式的大致图象来确定函数表达式中字母系数的符号或范围，再根据字母系数的符号或范围确定另一个函数图象的大致位置．
m=6，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵ 点在反比例函数 图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴ ，解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）∵ ， ，一次函数的解析式为 ，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB= ，
A．36B．48C．49D．64
35．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象在第一、三象限分别交于 ， 两点，连接 ， ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2） 的面积为______；
（3）直接写出 时x的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【解析】
【分析】
反比例函数（提高）
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，定义域是不等于零的一切实数.
A．3B． C．2D．1
9．反比例函数y＝ （x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象wk.baidu.comB．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝ 的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（）
A．x＜﹣1B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1D．x＜﹣1或0＜x＜1
∴
所以 与 的函数解析式为 ．
(2)自变量的取值范围是 ≠0．
(3)当 ＝4时， ．
【总结升华】注意，比例系数要分别用 和 表示，不能用成同一个比例系数 .
举一反三：
【变式】已知 与 成反比例，且 时， ，求 与 的函数关系式．
【答案】
解：因为 与 成反比例，
所以 ，且 ，解得 .
所以 与 的函数关系式为 .
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入 中得：
解得： ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）设点P（x，0），
∵直线 交 轴于点 ，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵ 的面积是 ，
∴
∴解得： ，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形 ，且点C在反比例函数 的图象上，则k的值为（）
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
44．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线 交 轴于点 ，点 是 轴上的点，若 的面积是 ，求点 的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ；（2）（3，0）或（-5，0）
A．3B．4C．5D．6
7．如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）
A．4B．6C．8D．12
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝ ，则k的值为（ ）
A． B． C．42D．
3．如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 和点 在 边上， ，连接 轴，则 的值为（）
A． B．3C．4D．
4．如图，点A是反比例函数y （x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝ 的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
（2）在反比例函数 ( 为常数， )中，由于 ，所以两个分支都无限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增大而增大；