反比例函数
反比例函数的方法
反比例函数的方法反比例函数是一类特殊的函数，其定义为：y = k/x，其中k为常数，x不等于0。
这意味着当x增加时，y减小，反之亦然，因此它被称为反比例函数。
在数学、物理、工程和科学等许多领域中，反比例函数都有广泛的应用。
本文将介绍反比例函数的性质、图像和解题方法。
一. 反比例函数的性质1. 垂直渐近线：x = 0是反比例函数的垂直渐近线，因为当x趋近于0时，y无限大或无限小。
2. 水平渐近线：y = 0是反比例函数的水平渐近线，因为当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0。
3. 对称中心点：反比例函数的对称中心点为(x,y) = (±√k,±√k)，因为当x等于±√k时，y等于±√k，即(x,y)关于这一点对称。
4. 定义域和值域：反比例函数的定义域为x不等于0，值域为y不等于0。
二. 反比例函数的图像反比例函数的图像可以通过绘制一些点然后连接它们来得到。
例如，对于函数y = 2/x，我们可以选择一些x值，并计算相应的y值，然后将它们表示在坐标系统中，如下所示：x y-3 -2/3-2 -1-1 -21 22 13 2/3通过连接这些点，我们可以得到反比例函数的图像如下所示：此图像具有以下特征：1. 过原点(0,0)，因为当x等于0时，y等于0。
2. 右上和左下方向的开口，因为当x大于0时，y小于0，当x小于0时，y大于0。
3. 垂直渐近线x = 0。
4. 水平渐近线y = 0。
5. 对称中心点为(-√2,√2)和(√2,-√2)。
三. 反比例函数的解题方法当我们需要解决与反比例函数有关的问题时，我们可以使用以下步骤：1. 理解问题并确定变量：首先，我们需要明确问题中给出的信息，并确定与反比例函数相关的变量。
例如，如果一个问题涉及到两个变量的反比例关系，我们可以使用y=k/x的形式表示它们之间的关系，并将k视为常数。
2. 列出方程：其次，我们需要将反比例关系转化为相应的方程，并用给定的值求解未知量。
反比例函数
反比例函数知识Ⅰ反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k〃x^（-1）。
Ⅱ自变量的取值范围：①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数②函数y的取值范围也是任意非零实数。
Ⅲ函数图像：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
Ⅳ图象的形状：双曲线．K的绝对值越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．K的绝对值越小，图象的弯曲度越大．Ⅴk的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC 的面积为．Ⅵ函数性质：单调性：当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
对称性：反比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，其对称轴为y=x和y=-x；反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。
Ⅶ直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．技能：Ⅰ画图像1）列表2）在平面直角坐标系中标出点。
3）用平滑的曲线连接点。
（注：当两个数相等时那么曲线呈弯月型）Ⅱ构造k（k的几何意义）思想Ⅰ数形结合（主要是k）Ⅱ分类讨论经验Ⅰ（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；Ⅱ（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；Ⅲ反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点Ⅳ双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．。
反比例函数的定义
反比例函数的定义
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数。
注：
（1）因为分母不能为零，所以反比例函数函数的自变量x不能为零，同样y也不能为零；（2）由，所以反比例函数可以写成的形式，自变量x的次数为-1；
（3）在反比例函数中，两个变量成反比例关系，即，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的形式，即两个变量的积是不是一个常数。
表达式：
x是自变量，y是因变量，y是x的函数
自变量的取值范围：
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数性质：
①反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式；
②反比例函数表达式中，常数（也叫比例系数）k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数。
反比例函数
k 1 ．反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象是 x 双曲线．因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0， 所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不 与 x 轴、y 轴相交．
2．反比例函数的图象和性质 k 反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象总是关于 x 原点对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影响.
(1)求该轿车可行驶的总路程 s 与平均耗油量 a 之 间的函数解析式(关系式)． (2)当平均耗油量为 0.08 升/千米时， 该轿车可以行 驶多少千米？ 【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际 问题． k k 解：(1)把 a＝0.1，s＝700 代入 s＝ ，得 700＝ ， a 0.1 70 k＝70，s＝ . a
考点三 反比例函数值的大小比较 例 3(2014· 衡阳)若点 P1(－1，m)，P2(－2，n)在 k 反比例函数 y＝ (k>0)的图象上，则 m________n(填 x “>”“<”或“＝”)．
【点拨】方法一：∵k＞0，∴在每个象限内y 随x的增大而减小．又∵0＞－1＞－2，∴m＜n.方 法二：∵k＞0，∴取k＝2，把x＝－1，x＝－2分别 2 代入y＝ ，得m＝－2，n＝－1，∴m＜n. x
k 2． (2014· 株洲)已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 x (2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 ( B ) A．(－6,1) C．(2，－3) B．(1,6) D．(3，－2)
k 解析：∵y＝ 的图象经过点(2,3)，∴k＝2×3＝6. x 又∵1×6＝6＝k， ∴点(1,6)也在这个函数的图象上． 故 选 B.
A．②③
B．③④
C．①②
D．①④
反比例函数
反比例函数相关知识反比例函数的定义定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3.x的取值范围是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。
4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
反比例函数的一般形式一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
其中，x是自变量，y是函数。
由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。
补充说明：1.反比例函数的解析式又可以写成：(k是常数，k≠0).2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。
⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
y与x成反比xy=a（a为常数）如果二者呈反比，常数a依然被称作反比例常数。
顺便说一下，反比例的式子也可以通过下面的形式表达（可能这种形式才是主流）。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点总结1.反比例函数的定义一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
它可以从以下几个方面来理解：⑴ x是自变量，y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围是y≠0；⑶比例系数k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：① y=k/x（k≠0）；② y=kx^-1（k≠0）；③ xy=k（定值）（k≠0）；⑸函数y=k/x（k≠0）与函数x=k/y（k≠0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
当k=0时，y=k/x就不是反比例函数了。
2.用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
3.反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
4.反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表所示：反比例函数 y=k/x（k≠0） k的符号 k>0 k0 y0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
反比例函数
2.在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致为( )．
A． B． C． D．
3．如图，一次函数y1＝k1+b(k1≠0)的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，与反比例函数 的图象交于C(﹣4，-2)，D(2，4)．当x为()时， ．
A．x＞﹣2B．x＜﹣4
C．x＜﹣4或0＜x＜2D．﹣2＜x＜2
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)根据图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出这一函数的表达式；
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
反比例函数
反比例函数图象与性质
知识点
1.反比例函数的概念：一般地， (k为常数，k≠0)叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。(x为自变量，y为因变量，其中x不能为零)
2.反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→ ←→ ←→ ←→变量y与x成反比例，比例系数为k.
3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即 >。(通常第二种方法更适用)
【例5】图，点 是双曲线 ： ( )上的一点，过点 作 轴的垂线交直线 ： 于点 ，连结 ， .当点 在曲线 上运动,且点 在 的上方时，△ 面积的最大值是______.
【例6】如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B(6，0)，若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为___.
反比例函数知识讲解
反比例函数知识讲解具体来说，当x≠0时，反比例函数的定义域为R\{0}，值域为R。
当x=0时，函数的值将无法定义，因为在分母为零的情况下，函数没有意义。
1.当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于零。
2.当x趋近于零时，y趋近于正无穷大或负无穷大。
3.函数图像不会与坐标轴相交。
1.比例定律：在一定条件下，两个量之间的比值始终保持不变。
如果该比值为常数k，我们可以写成y=k/x的形式，其中自变量x和因变量y之间呈现出反比例关系。
2.电阻和电流关系：根据欧姆定律，电阻R与电流I之间的关系为R=k/I，其中k为电阻常数。
根据这个关系，可以推导出电压和电流之间的关系为V=kI，其中V为电阻上的电压。
3. 速度和时间关系：根据路程与时间的关系式 S = vt，可以得到时间和速度之间呈现出反比例的关系。
要求提高反比例函数的知识理解，可以进一步研究以下几个方面：1.反比例函数的图像特点：观察不同常数k值的情况下函数图像的变化情况。
通过画出函数图像来理解反比例函数的性质。
2.反比例函数的性质：研究反比例函数的性质，例如定义域、值域、单调性等。
了解函数图像的变化对应的函数性质的变化。
3.反比例函数的应用：研究反比例函数在实际问题中的应用，例如物理学、经济学、生物学等领域中的应用。
需要注意的是，在应用反比例函数的过程中，需要将模型与实际问题相结合，并针对具体问题来确定函数中的常数。
总之，反比例函数是一类重要的函数形式，具有特殊的数学特征和实际应用背景。
通过进一步的研究和探索，可以提高对反比例函数的理解和应用能力。
反比例函数表达式的三种形式
反比例函数表达式的三种形式
反比例函数是一种特殊的函数，其表达式可以有三种形式，标
准形式、一般形式和直线方程形式。
1. 标准形式，反比例函数的标准形式可以表示为 y = k/x，其
中 k 是一个非零常数。
在标准形式中，y 和 x 是函数的变量，k
是比例常数，表示 y 和 x 的乘积的比例。
2. 一般形式，反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/(ax +
b)，其中 k、a 和 b 都是非零常数。
一般形式中，除了比例常数 k，还引入了两个常数 a 和 b，用于调整函数的斜率和截距。
3. 直线方程形式，反比例函数的直线方程形式可以表示为 xy
= k，其中 k 是一个非零常数。
直线方程形式中，将反比例函数转
化为直线的乘积形式，其中 x 和 y 的乘积保持不变。
这三种形式都可以用来表示反比例函数，选择使用哪种形式取
决于具体的问题和需要。
无论使用哪种形式，反比例函数都具有一
个特点，即当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，它们之
间的乘积保持不变。
反比例函数概念与性质
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。
反比例函数计算公式
反比例函数计算公式
1、y＝k／x 其中X是自变量，Y是X的函数
2、y=k/x=k·1/x
3、xy=k
4、y=k·x^-1
5、① k ≠ 0 ②一般情况下，自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .
两种有关联的量，一种量随另一种量变化而变化，但这两种量的积一定是个常数，这时，这两种量是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
一般用来x的变化规律来表示y的变化规律。
反比例量涵盖三个量，一个定量和两个变量。
研究两个变量的膨胀(或减少)之间的关系。
一个量的变化导致另一个量的相反变化。
这两个量是成反比的，它们的关系是成反比的。
形如 y／x＝k（一定）（k不等于0）的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。
(一定)，这是求反比例的公式。
用字母表示反比例的关系式k（一定）=yx。
反比例，指的是两种有关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，假设这两种量中相对应的两个数的乘积一定，既然如此那，他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
比例（proportion）是一个数学术语，表示两个或多个比相等的式子。
在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。
反比例函数知识点汇总
反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征：反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。
反比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲线的形状。
2.反比例函数的基本性质：(a)定义域：x≠0，即x不能为0。
(b)值域：排除0，即y不能为0。
当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
(c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。
(d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。
(e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。
(f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。
(g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。
3.确定反比例函数的常数k：y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k，可以得到：y1*y2=k因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。
4.反比例函数的应用：(a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。
例如，当一个物体的质量与加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个函数来解决问题。
(b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例关系。
当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。
(c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。
当投资金额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。
(d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流较小；当电阻较小时，电流较大。
总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双曲线的形状。
反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心和渐进线等。
确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。
反比例函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。
反比例函数知识点
反比例函数知识点反比例函数的定义定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量， 1.当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随x的增大而减小;当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。
3.x的取值范围是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。
4..由于在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不行能与x轴相交，也不行能与y轴相交。
但随着x无限增大或是无限削减，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
反比例函数的一般形式(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
其中，x是自变量，y是函数。
由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，由于k≠0，且x≠0，所以函数值y也不行能为0。
补充说明：1.反比例函数的解析式又可以写成： (k是常数，k≠0).2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。
⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
反比例函数〔高一数学〕学问点形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(x)=f(x)，图像关于原点对称。
反比例函数最全知识点
反比例函数最全知识点反比例函数是一种特殊的函数形式，它表示了一种两个变量之间的相互依赖关系。
在反比例函数中，当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，反之亦然。
本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质、图像变换、实际应用以及解决反比例函数问题的方法等知识点。
一、反比例函数的定义反比例函数可以表示为：y=k/x（k≠0），其中y表示因变量（通常是函数的输出值），x表示自变量（通常是函数的输入值），k表示常数。
该定义中的k称为反比例函数的常数项，它决定了反比例函数的性质，也决定了函数图像的形状。
二、反比例函数的图像特征1.零点：当x=0时，由于分母为0，函数无定义。
因此，反比例函数没有定义在x=0的点，这个点称为函数的零点。
2.渐近线：反比例函数有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0；当y趋近于无穷大或无穷小时，x趋近于0。
3.反比例函数的图像是一个双曲线，由于分母不能为0，因此函数的图像始终存在。
当x取值较小时，y的取值较大；当x取值较大时，y的取值较小。
图像的形状与常数项k相关，k越大，图像越接近于x轴和y 轴。
三、反比例函数的性质1.定义域：反比例函数的定义域为除去零点以外的实数集合。
2.值域：反比例函数的值域为除去0以外的实数集合。
3.奇偶性：反比例函数是个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
4.单调性：反比例函数在定义域上是单调递减的。
5.对称轴：反比例函数的对称轴为y=x，即函数图像关于对称轴对称。
四、反比例函数的图像变换对反比例函数进行图像变换可以通过调整常数项k的值来实现。
具体变换如下：1.平移：当k保持不变时，反比例函数的图像向上平移或向下平移。
若向上平移b个单位，则为y=k/(x+b)；若向下平移b个单位，则为y=k/(x-b)。
2.拉伸：当k保持不变时，反比例函数的图像可以进行纵向拉伸或纵向压缩。
若纵向拉伸为a倍，则为y=(k/a)/x；若纵向压缩为a倍，则为y=(a*k)/x。
关于反比例函数的知识点
关于反比例函数的知识点反比例函数是数学中常见的一种函数形式，也称为倒数函数。
在反比例函数中，当自变量的值增大时，因变量的值会相应地减小，反之亦然。
本文将介绍反比例函数的基本概念、特点、图像和应用。
一、基本概念反比例函数是一种特殊的函数，可以用以下形式表示：f(x) = k / x其中，f(x)表示因变量的值，x表示自变量的值，k表示常数。
在反比例函数中，自变量和因变量之间呈现出反比例的关系，即当自变量x的值增加时，因变量f(x)的值减小；而当自变量x的值减小时，因变量f(x)的值增大。
二、特点1. 零点：反比例函数的图像除了原点(0, 0)外，没有其他交点。
2. 定义域：反比例函数的定义域为除了x=0的所有实数。
3. 值域：反比例函数的值域为除了f(x)=0以外的所有实数。
4. 对称轴：反比例函数的图像关于y轴对称，即对于每一个点(x, f(x))，如同点(-x, f(-x))也在图像上。
三、图像反比例函数的图像通常呈现出以下特点：1. 斜渐进线：当x的取值趋近于正无穷大或负无穷大时，f(x)趋近于0。
这意味着反比例函数的图像有两条与坐标轴都平行的渐进线。
2. 反比例曲线：除了渐进线以外，反比例函数的图像是一条经过原点的弧线，呈现出“倒U”字型的形状。
四、应用反比例函数在实际生活中有很多应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 电阻和电流关系：欧姆定律中的电阻和电流的关系可以用反比例函数来表示。
根据欧姆定律，电阻R等于电压U与电流I的比值，即R = U / I。
2. 货币兑换：在外汇市场中，货币兑换的汇率通常也遵循反比例的关系。
汇率就是两种货币之间的比值，较低的汇率意味着兑换一单位的本国货币可以获得更多的外币。
3. 速度和时间关系：当物体的速度恒定时，物体在一段时间内所走的距离与时间成反比。
即物体走的距离等于速度乘以时间，d = v / t。
总结：反比例函数是数学中常见的一种函数形式，具有许多特点和应用。
反比例函数公式
反比例函数公式1. 引言在数学中，反比例函数是一种常见的函数类型，它描述了两个变量之间的关系，当一个变量增加时，另一个变量会相应地减少。
本文将介绍反比例函数的基本概念和公式，以及它在实际应用中的一些例子。
2. 反比例函数的定义反比例函数是一种由两个变量 x 和 y 构成的函数，其定义为：y = k / x其中，k 是一个常数，表示比例系数。
3. 反比例函数的特点反比例函数有以下几个特点：3.1 零点当 x 等于零时，由于分母为零，反比例函数的值为无穷大。
因此，反比例函数没有定义在 x = 0 的点。
3.2 渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，一条是与 x 轴平行的直线 y = 0，另一条是与y 轴平行的直线 x = 0。
3.3 变化趋势反比例函数的变化趋势是当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小。
当 x增大时，y 值会变小；当 x 减小时，y 值会变大。
4. 反比例函数的应用反比例函数在实际应用中具有广泛的应用。
以下是一些例子：4.1 物体的速度和时间根据运动学原理，物体的速度和时间的关系可以表达为反比例函数。
当时间增加时，物体的速度会相应地减小；当时间减小时，物体的速度会增大。
4.2 电阻和电流根据欧姆定律，电阻和电流的关系可以表达为反比例函数。
当电阻增加时，电流会相应地减小；当电阻减小时，电流会增大。
4.3 饮料的浓度和稀释在化学实验中，饮料的浓度和稀释的关系可以表达为反比例函数。
当饮料的浓度增加时，稀释的倍数会相应地减小；当饮料的浓度减小时，稀释的倍数会增大。
5. 结论反比例函数是一种常见的函数类型，用于描述两个变量之间的关系。
它具有一些特点，如零点、渐近线和变化趋势。
在实际应用中，反比例函数可以用来描述许多不同的现象和关系。
通过了解和应用反比例函数，我们可以更好地理解和分析这些现象。
以上就是关于反比例函数的基本概念、公式和应用的介绍，希望对你有所帮助！。
反比例函数
反比例函数知识要点1. 反比例函数的概念： 一般地，函数x k y =（k 是常数，且k ≠0）叫做反比例函数。
注意：（1）常数K 称为反比例系数，K 是非零常数；（2）解析式有三种表达式： ①xk y =（k ≠0）；②xy=k （k ≠0）；③1-=kx y （k ≠0） 2.反比例函数的图像： 3.反比例函数xk y =（k ≠0）的性质： （1）当K ＞0时，图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；（2）当K ＜0时，图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；（3）反比例函数的图像：①关于原点成中心对称；②关于直线x y =成轴对称；③关于直线x y -=成轴对称；4. 反比例函数面积的基本模型：①如图，过双曲线x k y =上任意一点P(X ，y)，作x 轴（或y 轴）的垂线，则S ∆OMN=2|K |; ②如图，过双曲线x k y =上任意一点P(X ，y)，作x 轴、y 轴的垂线，则S 矩形AOBP=|K|；反比例函数 xk y =（k 是常数，且k ≠0） K 的符号K ＞0K ＜0 图像（双曲线）这两条曲线只能无限接近于两坐标轴， 不能与其相交。
基础知识检测（一）填空1. 当m= 时，函数y=()的变化范围是时，函数值是反比例函数。
当y x m m 1-x 3-12≤≤+- . 2. 写出一个反比例函数，当x （x ＞0）增大时，y 反而减小，此函数的解析式是 ；已知反比例函数xk y -=4，当k 时，函数图像位于第一、三象限；当k 时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3. 在函数y=xa 12--(a 为常数)的图像上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则函数y1，y2，y3的关系是 。
4. 已知反比例函数x k y =（k ≠0）的图像经过P(1,3)点，则反比例函数的解析式为 。
反比例函数
反比例函数的定义：如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，定义域为x≠0，值域为y≠0。
反比例函数的图像：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线, 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
反比例函数性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k〃m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
反比例函数测试题一、选择题（每题3分共30分）1、下列函数中，反比例函数是（）A、y=x+1B、y=C、=1D、3xy=22、函数y1=kx和y2=的图象如图，自变量x的取值范围相同的是（）3、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。
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确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ( )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
举一反三：
【变式】如图所示，正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
【答案】D；
提示：对于D项，由正比例函数 的图象经过第二、第四象限，得 ＜0，由反比例函 的图象位于第一、第三象限，得 ＞1， 不存在，故D项错误．解决这类图象问题的一般解法是先根据函数表达式的大致图象来确定函数表达式中字母系数的符号或范围，再根据字母系数的符号或范围确定另一个函数图象的大致位置．
A．2B．4C．6D．8
5．如图，正方形 的两个顶点 ， 在反比例函数 的图象上，对角线 ， 的交点恰好是坐标原点 ，已知 ，则 的值是（）
A． 5B． 4C． 3D． 1
6．如图，点B在反比例函数 （ ）的图象上，点C在反比例函数 （ ）的图象上，且 轴， ，垂足为点C，交y轴于点A，则 的面积为（）
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形 ，且点C在反比例与 的函数解析式为 ．
(2)自变量的取值范围是 ≠0．
(3)当 ＝4时， ．
【总结升华】注意，比例系数要分别用 和 表示，不能用成同一个比例系数 .
举一反三：
【变式】已知 与 成反比例，且 时， ，求 与 的函数关系式．
【答案】
解：因为 与 成反比例，
所以 ，且 ，解得 .
所以 与 的函数关系式为 .
A． B． C．42D．
3．如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 和点 在 边上， ，连接 轴，则 的值为（）
A． B．3C．4D．
4．如图，点A是反比例函数y （x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝ 的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
反比例函数（提高）
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，定义域是不等于零的一切实数.
类型三、反比例函数的图象和性质
3、若A( ， )、B( ， )在函数 的图象上，当 、 满足________时， .
【答案】 或 或 ；
【解析】 的图象在一、三象限，在每个象限内，随着 的增大，函数值 减小，所以 或 时， .当B点在三象限，A点在一象限，即 ，也满足 .
【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.
要点诠释：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无交点；
（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.
（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将 代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】
解：（1）把 代入反比例函数 得：
∵ ，
∴ ．
即 ，解得： ．
∴ 反比例函数的解析式为 ．
【总结升华】本题欲求解析式有两个思路可考虑，一个是求D点或C点的坐标，另一个就是求△DOE或△AOC的面积，从条件看，求D点或C点坐标的可能不大，于是从求△DOE或△AOC的面积入手思考，由于D、C、B三点坐标间的特殊关系，设出D点的坐标就可以将B、C两点的坐标表示出来，然后运用 求出D点两坐标之积，就不难求出解析式．
过双曲线 ( )上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、反比例函数定义
1、 为何值时， 是反比例函数
【答案与解析】
解：由 得 ∴
【总结升华】根据反比例函数关系式的一般式 ，也可以写成 ，后一种写法中 的次数为－1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件， 且 ，二者缺一不可．
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出 的符号.
要点四、反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义
过双曲线 ( )上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
（3）解方程求出待定系数 的值；
（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.
要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
A．3B．4C．5D．6
7．如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）
A．4B．6C．8D．12
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝ ，则k的值为（ ）
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
44．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线 交 轴于点 ，点 是 轴上的点，若 的面积是 ，求点 的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ；（2）（3，0）或（-5，0）
类型四、反比例函数综合
4、如图所示，已知双曲线 ，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA， ，求反比例函数的解析式．
【答案与解析】
解：过点D作DM⊥AB于点M．
∴ DM∥OA，∴ ∠BDM＝∠BOA．
在△BDM和△EOD中
∴ △BDM≌△DOE(AAS)，
∴ ， ．
设D( )，则B( )．
（2）在反比例函数 ( 为常数， )中，由于 ，所以两个分支都无限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增大而增大；
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入 中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入 中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为 ，
将点B(n，-1)代入 中得：
m=6，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵ 点在反比例函数 图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴ ，解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）∵ ， ，一次函数的解析式为 ，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB= ，
A．3B． C．2D．1
9．反比例函数y＝ （x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝ 的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（）
A．x＜﹣1B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1D．x＜﹣1或0＜x＜1
11．已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
12．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（）
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入 中得：