数列中分奇偶项求和问题

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数列求和之奇偶项地讨论【真题+模拟】

题型一：数列奇数偶数项问题()n n 1-()n n 11--())1(1--n n ())1(1+-n n【真题再现】1、（2011，，文20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．解析：（I ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当110a =时，不合题意。

因此1232,6,18,a a a === 所以公式q=3，故123.n n a -=⋅（II ）因为(1)ln n n n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以21222122(133)[111(1)](ln 2ln 3)n nn nS b b b -=+++=++++-+-++--2|[123(1)2]ln 3n n -+-++-22132ln 3133ln 3 1.nn n n -=⨯+-=+- 2、（2011，，理20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-求数列{}n b 的前n 项和n S .解析：（1）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当110a =时，不合题意；因此 1232,6,18a a a ===，所以公比 3q = 故123n n a -=（2）因为[]1111(1)ln =23+(1)ln 23=23+(1)ln 2(1)ln 3=23+(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3n n n nn n n nn n n n b a a n n ----=+---+---+-（）所以n-12(13+3)111+(1)(ln 2ln 3)123+(1)ln 3nn nS n ⎡⎤=+++-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+-+-⎣⎦………所以当n 为偶数时，132ln 33ln 311322n n n n nS -=⨯+=+--当n 为奇数时，1312(ln 2ln 3)()ln 313213ln 3ln 212n n n n S n n --=⨯--+---=--- 综上所述， 3ln 31213ln 3ln 212n n n nn S n n ⎧+-⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩为偶数为奇数3、（2014，，文19）在等差数列{}n a 中，已知公差2=d ，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .解析：（Ⅰ）由题意知：{}n a 为等差数列，设()d n a a n 11-+=，2a 为1a 与4a 的等比中项4122a a a ⨯=∴且01≠a ，即()()d a a d a 31121+=+， 2=d 解得：21=a n n a n 22)1(2=⨯-+=∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a n 2=，)1(2)1(+==+n n a b n n n①当n 为偶数时：()()()()()()()()[]()()222222642222624221153431214332212nn n n n n n n n n n T n +=+⨯=++++⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++--+++-++-=+++⨯-⨯+⨯-= ②当n 为奇数时：()()()()()()()()[]()()()()[]()()()212122112211642212126242212153431214332212++-=----+⨯=+--++++⨯=+-⨯-++⨯+⨯+⨯=+-+---+++-++-=+-+⨯-⨯+⨯-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=为偶数为奇数，n n n n n n T n ,22212224、（2014，，理19）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n(2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)【模拟题库】1、（2016届一模，理19）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n T =-. （I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（II ）设()()1ln nn n n n c a b S =-+，求数列{}n c 的前n 项和.解析：（Ⅰ）记等差数列{a n }的公差为d ，依题意，S 5=5a 1+d=30，又∵a 1=2， ∴d==2，∴数列{a n }的通项公式a n =2n ； ∵T n =2n ﹣1，∴T n ﹣1=2n ﹣1﹣1（n≥2），两式相减得：b n =2n ﹣1，又∵b 1=T 1=21﹣1=1满足上式， ∴数列{b n }的通项公式b n =2n ﹣1；（Ⅱ）由（I ）可知a n b n =n•2n ，S n =2•=n （n+1），∴c n =（﹣1）n （a n b n +lnS n ）=n （﹣2）n +（﹣1）n [lnn+ln （n+1）]，记数列{（﹣1）n a n b n }的前n 项和为A n ，数列{（﹣1）n lnS n }的前n 项和为B n ，则A n =1•（﹣2）1+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n ，﹣2A n =1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+（n ﹣1）•（﹣2）n +n•（﹣2）n+1，错位相减得：3A n =（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n ﹣n•（﹣2）n+1 =﹣n•（﹣2）n+1 =﹣﹣•（﹣2）n+1， ∴A n =﹣﹣•（﹣2）n+1；当n 为偶数时，B n =﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…+[lnn+ln （n+1）] =ln （n+1）﹣ln1 =ln （n+1），当n 为奇数时，B n =﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…﹣[lnn+ln （n+1）] =﹣ln （n+1）﹣ln1=﹣ln（n+1）；综上可知：B n=（﹣1）n ln（n+1），∴数列{c n}的前n项和A n+B n=（﹣1）n ln（n+1）﹣﹣•（﹣2）n+1．题型二：通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数，的数列，可采用分组求和法求和．1、（2016潍坊一中，理19）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，223422,2S a S a =-=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22log 2nn na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T解析：（1）由已知2222S a =- ①342S a =- ②①-②得3422a a a =-即220q q --= ……………………2分又02q q >∴= ……………………3分22122111122,22222S a a a a a a q a q a =-∴+=-∴+=-∴= ……………………5分2n n a ∴= ……………………6分（2）由（1）知()()221log 22222n n n n nn n n n n n b b n n n n ⎧⎧⎪⎪++⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数……………7分所以21232n n T b b b b =++++=1111111213352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭()246222426222n n ----⎡⎤+⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦21nn =+()246222426222n n ----⎡⎤+⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦ ……………………9分设()246222426222n A n ----⎡⎤=⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦，则()()2468222222426222222n n A n n -------=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减得()()46822231222222242n n A n ------=+++++-⋅，整理得2868992nn A +=-⨯， ……………………11分所以2286899221n nn nT n +=-+⨯+． ……………………12分 2、（2015届滕州实验，理19）设等差数列{}n a 的前n 项和为248,40n S a S ==，且．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且*230n n T b n N -+=∈，．（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P解析：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………6分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数．当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-=+=+--． ……………9分当n 为奇数时，132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． …………11分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数．………12分 3、已知数列{}n a 的前n 和为n S ，且22n S n n =+；数列{}n b 是公比大于1的等比数列，且满足149b b +=，238b b =.（Ⅰ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若()1nn n n n c S a b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】（Ⅰ）1n =时，113a S ==2n ≥时，()221(2)(1)2121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦，又因为2113⨯+=，所以21n a n =+. 设等比数列{}n b 的公比为q ，由已知142398b b b b +=⎧⎨⋅=⎩，即31121198b b q b q b q ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩，或1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去，因为1q >）所以，12n n b -=（Ⅱ）()211(2)(21)2nn n c n n n -=-⋅+++⋅，设数列{}1(21)2n n -+⋅的前n 项和为nG ，数列(){}21(2)nn n -⋅+的前n 项和为n R .当n 为偶数时，()2238152412(1)(2)n R n n n n ⎡⎤=-+-+---+-++⎣⎦(521)(3)259(21)22nn n n n +++=++++==当n 为奇数时，()21(1)2(1)n n R R n n +⎡⎤=-+++⎣⎦()2(1)(4)(1)2(1)2n n n n ++⎡⎤=-+++⎣⎦232n n +=-()0121325272212n n G n -=⋅+⋅+⋅+++⋅ ○1 则2n G =()1213252(21)2212n n n n -⋅+⋅++-⋅++⋅○2 ○1-○2得 ()0121322(222)212n n n G n --=⋅++++-+⋅()12(12)3221212n n n --=+⋅-+⋅- ()1122nn =-+-⋅所以()1212nn G n =+-⋅所以，()()23212,2(3)1212,.2n n n n n n n T n n n n ⎧+-+-⋅⎪⎪=⎨+⎪++-⋅⎪⎩为奇数，为偶数。

奇数数列与偶数数列的求和

奇数数列与偶数数列的求和在数学中，数列是一组按照特定规律排列的数值。

奇数数列和偶数数列是两种常见的数列类型，它们在数学中有着重要的应用，尤其是在求和问题中。

一、奇数数列的特点与求和公式奇数数列是由全体奇数构成的数列，首项为1，公差为2。

奇数数列的前几项为1、3、5、7、9......，其通项公式为an=2n-1。

求奇数数列的前n项和的公式称为奇数数列的求和公式，可以通过数列的性质和数学推理来得到。

我们知道，数列的求和可以通过等差数列求和公式来计算。

然而，奇数数列与普通等差数列有所不同，因为奇数数列的公差为2，所以传统的等差数列求和公式无法直接适用于奇数数列。

为了解决这个问题，我们可以通过将奇数数列转化为等差数列来求和。

具体而言，我们可以将奇数数列中的每一项都乘以2，得到的数列便成为等差数列。

例如，奇数数列1、3、5、7、9......转化为等差数列后变为2、6、10、14、18......。

接下来，我们计算变形后的等差数列的前n项和Sn，然后将结果再除以2，即可得到原奇数数列的前n项和。

换句话说，奇数数列的前n项和Sn=（2n）^2/2。

二、偶数数列的特点与求和公式偶数数列是由全体偶数构成的数列，首项为2，公差为2。

偶数数列的前几项为2、4、6、8、10......，其通项公式为an=2n。

求偶数数列的前n项和的公式称为偶数数列的求和公式，可以通过数列的性质和数学推理来得到。

与奇数数列类似，偶数数列的求和也可以通过等差数列求和公式来计算。

然而，由于偶数数列的公差为2，所以同样无法直接使用传统的等差数列求和公式。

为了求解偶数数列的求和问题，我们可以将偶数数列的每一项都加1，得到的数列变为奇数数列。

例如，偶数数列2、4、6、8、10......加1后变为3、5、7、9、11......。

然后，我们可以利用先前提到的奇数数列求和公式来计算变形后的奇数数列的前n项和Sn。

最后，将结果再减去n，即可得到原偶数数列的前n项和。

数列中的奇偶项问题

n n 1 2 2
2
n 1 n 3 2 2
3、相间两项之差为常数；例 3：已知数列{an}中 a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），Sn 为{an}前 n 项和，求 Sn
解：∵an-an-2=2 （n≥3） ∴a1,a3,a5,…,a2n-1 为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n 为等差数列
1 1 1 1 n2 1 n2 ②n 为奇数时： an 2( ) 2( ) 3 3
n 1 n 1 11 * 2(2( ) 2) 2 n n2 k2 k 1( k 1( k N )N ) 33 a { n 则有：nan { n 11 1 1 * ( ( ) 2 ) 2 n n2 k (2 kk N )N ) ( k 2 3
作业：数列{an}满足 an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为
方法五：当为奇数时, ,
．
因此每四项的和依此构成一个以 10 为首项 ,16 为公差等差数列 , 所以
的前
项和为
1 n 2 * x C x ( ) 0 n N 练习：已知 an，an+1 为方程的两根 ∈ ， n 3 a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn，求 an 及 S2n。
解：①当 n 为偶数时： S n a1 a2 a3 a4 … an 1 an
(a1 a2 ) (a3 a4 ) … (an 1 an )
②当 n 为奇数时： S n a1 (a2 a3 ) (a4 a5 ) … (an 1 an )
②n 为偶数时，n+1 为奇数： Cn an an 1

数列中的奇偶项通项与求和

数列中的奇偶项通项与求和这个我之前也讲过，不过是以视频的形式。

今天我就一起来说说奇偶通项公式。

我们来看看求奇偶项的通项公式！如果考试考这个，那估计得死一批才行。

题目问的是bn的通项公式，而且告诉我们bn=a(2n-1)的关系，那我们这里就往后面走一个【注意项数问题】，如下因为2n+1一定是奇数啊，又因为所以就有这种问题就解决了，多训练就没问题了！接下来我讲一下奇偶项之和，分为四类。

第一类一共有2n项【最后一项一定是偶数项】，所以你这边就有n 个奇数项和n个偶数项，这时候只要简单的分一下就行，如下这种形式还是比较简单的。

第二类这里是有n项，这最后一项是奇数项还是偶数项呢？我们不知道，既然不知道那就得讨论讨论！怎么个讨论？我们一般是先讨论n为偶数的时候【其实讨论奇数也是可以，不过后续操作会有点繁琐罢了】，即这时候你把偶数项求出来再求奇数项就好求多了这时候最终的结果就得写成分段的形式了，如下所以这边得清楚了，在分类讨论的时候一般先讨论n为偶数的时候，然后再用an=Sn-Sn-1来求n为奇数的时候。

第三类这个是让求2n项的，一定是个偶数项，所以我们在裂项之后是可以直接操作的，如下那如果不是求前2n项呢？是求n项的话那还得分类讨论才行！比如下一题还是先讨论当n为偶数的时候此时再求n为奇数项的时候有所以最终的结果是第四类这一类和上面一类有点相同，不过不一样的点在于这个引入了三角函数sin和cos的形式，这里只需要各位掌握的是下面的两个恒等式至此关于数列奇偶问题就结束了，不过关于数列问题还是有很多题型的，这类的奇偶只是“沧海一粟”而已，之前新高考一卷解答题第一题考了数列的奇偶，学生们错的一塌糊涂，虽然往后可能不考，但是万一考什么插项，存在性，恒成立，绝对值问题怎么办呢？就比如绝对值问题，随便出一个这个怎么求？还是要分类讨论的！学生解决数列问题，常规的知识点总得知道吧，比如:等差等比数列的相关性质，错位相减法，裂项相消法，倒序相加法，待定系数法，相除法，倒数法，构造法，累加法，累乘法等等！。

数列奇偶项求和关系

数列奇偶项求和关系数列是数学中非常重要的概念，它们在许多不同的数学领域中都扮演着重要的角色。

其中一个有趣的数列问题是奇偶项求和关系。

在这篇文章中，我们将探讨奇偶项数列的求和规律，并且讨论一些有趣的应用。

首先，让我们来定义一个数列。

一个数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

在奇偶项求和关系中，我们关注的是数列中奇数项和偶数项的和之间的规律。

假设我们有一个数列：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...该数列中的奇数项为1, 3, 5, 7, 9, ...，偶数项为2, 4, 6, 8, 10, ... 现在让我们分别计算奇数项和偶数项的和：奇数项的和为，1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...偶数项的和为，2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ...现在让我们来观察一下这两个和的规律。

我们可以发现，奇数项的和是一个等差数列，每一项之间的差为2，而偶数项的和也是一个等差数列，每一项之间的差同样为2。

这意味着，奇数项和偶数项的和之间存在着一种特殊的关系。

事实上，我们可以得出一个结论，对于任意一个等差数列，其奇数项和与偶数项和之间的差恰好等于该数列的公差。

这个结论可以很容易地通过数学归纳法来证明。

奇偶项求和关系不仅仅是一个数学上的有趣问题，它在实际生活中也有许多应用。

例如，在计算机科学中，奇偶项求和关系被广泛应用于算法设计和性能优化中。

另外，它还可以用于解决一些数学难题，如数学竞赛中的一些问题等等。

总之，奇偶项求和关系是一个非常有趣且具有深刻意义的数学问题。

通过研究奇偶项求和关系，我们可以更深入地理解数列的性质，并且在实际应用中发挥其重要作用。

希望本文能够对读者有所启发，激发大家对数学的兴趣和热爱。

实用文库汇编之数列中分奇偶项求和问题

*作者：座殿角*作品编号48877446331144215458 创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之数列中分奇偶数项求和问题数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：一、相邻两项符号相异；例1：求和：n 1n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =-=-2nn n n 当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=-+=2-1（4-3）（4-）n -1n n n n二、相邻两项之和为常数；例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：12341n n nS a a a a a a -=++++++…12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=⋅=…②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…13222n n -+=+=三、相间两项之差为常数；例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列当n 为奇数时：11(1)22n n a n +=+-•= 当n 为偶数时：4(1)222n na n =+-•=+即n ∈N +时， 1(1)n n a n ⎡⎤=++-⎣⎦∴①n 为奇数时：1(1)(123)2122n n n n S n n -+=+++++⋅=+-…②n 为偶数时：(1)(123)222n n n n S n n+=+++++⋅=+…四、相间两项之比为常数；例4：已知a n ，a n+1为方程21()03n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，求a n 及S 2n 。

数列创新找规律分奇偶求和2011山东

2
数列创新找规律分奇偶求和 2011 山东 1. (2011 年高考山东卷理科 20)（本小题满分 12 分）
等比数列 an 中， a1, a2, a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1, a2, a3 中
的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）若数列bn 满足： bn an (1) ln an ，求数列bn 的前 2n 项和 S2n .
【解析】（I）当 a1 3时，不合题意；
当 a1 2 时，当且仅当 a2 6, a3 18时，符合题意；
当 a1 10 时，不合题意。
因此 a1 2, a2 6, a3 18,
所以Βιβλιοθήκη 当n为偶数时， Sn
2 1 3n 1 3
n 2
ln 3
3n n ln 3 1; 2
当
n
为奇数时， Sn
2 1 3n 1 3
(ln
2 ln 3)
(n 1 2
n) ln 3
3n n 1 ln 3 ln 2 1. 2
综上所述，
Sn
3n
n 2
ln
3
1,
n为偶数
3n
-
n
1ln3-ln2-1,n为奇数
所以公式 q=3，
故 an 23n1.
（II）因为bn an (1)n ln an
2 3n1 (1)n (2 3n1) 2 3n1 (1)n[ln 2 (n 1) ln 3] 2 3n1 (1)n (ln 2 ln 3) (1)n n ln 3,

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解18 数列中的奇、偶项问题

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第18讲数列中的奇、偶项问题高考定位数列的奇、偶项问题，是近年来的高考的热点问题，考察了学生的分类与整合能力，考察了学生的探究发现的能力，也是今后考察的热点。

专题解析（1）求通项和求和时，分奇数项与偶数项分别表达；（2）求S n时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.专项突破类型一、数列中连续两项和或积的问题(a n＋a n＋1＝f(n)或a n·a n＋1＝f(n))；例1-1.已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＋a n＝4n.(1)求数列{a n}的前100项和S100；(2)求数列{a n}的通项公式.解(1)∵a1＝1，a n＋1＋a n＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋...＋4×99＝4×(1＋3＋5＋ (99)＝4×502＝10 000.(2)由题意，a n ＋1＋a n ＝4n ，①a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)，② 由②－①得，a n ＋2－a n ＝4，由a 1＝1，a 1＋a 2＝4，所以a 2＝3.当n 为奇数时，a n ＝a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×4＝2n －1，当n 为偶数时，a n ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1×4＝2n －1.综上所述，a n ＝2n －1.练．设各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，520S =，且2a ，61a -，11a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的公差d ；（2）数列{}n b 满足1n n n b b a ++=，且111b a +=，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）1d =；（2）()11124n n n b -+-=+.【分析】（1）根据2a ，61a -，11a 成等比数列可得()262111a a a -=，利用1,a d 表示出520S =和()262111a a a -=，解方程组可求得1,a d ，结合0n a >可得结果；（2）由（1）可得11n n b b n +=-++，整理得()1131312424n n b n b n +⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭，可知数列()13124n b n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，2a Q ，61a -，11a 成等比数列，()262111a a a ∴-=，即()()()21115110a d a d a d +-=++，又51545202S a d ⨯=+=，解得：121a d =⎧⎨=⎩或18217717a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；当18217717a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，13182842120171717a a d =+=-=-<，与0n a >矛盾，121a d =⎧∴⎨=⎩，即等差数列{}n a 的公差1d =；（2）由（1）得：1n a n =+，11n n b b n +∴+=+，即11n n b b n +=-++，()1131312424n n b n b n +⎛⎫∴--=---- ⎪⎝⎭，又1121b a +==，解得：11b =，∴数列()13124n b n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭是以13144b -=为首项，1-为公比的等比数列， ()()113111244n n b n -∴---=-⨯，整理可得：()11124n n n b -+-=+.练．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（） A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．40412022【答案】B 【分析】首先根据已知条件求得n a ，然后求得n S ，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121n n a a n ++=+，则2132a a =-=. 所以2123n n a a n +++=+，两式相减得：22n n a a +-=，且11a =，22a =，当n 为奇数时，11121122n n a a n n +⎛⎫=+-⨯=++-=⎪⎝⎭，当n 为偶数时，212222n na a n n ⎛⎫=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭，所以n a n =，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列. 所以(1)2n n n S +=，故12112()(1)1n S n n n n ==-++，所以121111111112(1)2(1)22311n n T S S S n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-++，则2020140402(1)20212021T =-=. 故选：B例1-2.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n－1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求S n .解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列.因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12，n 为奇数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2，n 为偶数.(3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3－32n2，n 为偶数，3－42n ＋12，n 为奇数.练．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n nn aa S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+b 2)n n b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N =∈122n c c c +++<.【答案】（1）(*)n a n n N =∈ （2）证明见解析【分析】（1）根据题意得到12n n n a a S +=和112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，解得答案.（2）计算1(1)n b n n =+，n c =n c <和n c >，利用裂项相消法计算得到证明. （1）由12n n n a a S +=得112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，由11a =，得22a =，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列，当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，n a n =. 综上所述(*)n a n n N =∈. （2）由1211n n n a nb b b a n ++++==+，1211n n b b b n --+++=，2n ≥，112b =，两式相减得1(1)n b n n =+，2n ≥，验证112b =成立，故1(1)n b n n =+.则n c那么n c =，故12111112(1)2231n c c c nn +++<-+-++-+=2(12<，同理n c，故121111112()233412n c c c n n +++>-+-+-++.类型二、含有(－1)n 的类型；例2-1.数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n ，n ∈N *. (1)若数列{a n }是等差数列，求数列{b n }的前100项和S 100； (2)若数列{b n }是公差为2的等差数列，求数列{a n }的通项公式. 解 (1)∵{a n }为等差数列，且a 1＝1，a 2＝2，∴公差d ＝1，∴a n ＝n .∴b n ＝⎩⎨⎧a n ＋1－a n ＝1，n 为奇数，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，n 为偶数，即b n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，2n ＋1，n 为偶数，∴b n 的前100项和S 100＝(b 1＋b 3＋...＋b 99)＋(b 2＋b 4＋...＋b 100) ＝50＋(5＋9＋13＋ (201)＝50＋50×5＋50×（50－1）2×4＝5 200.(2)由题意得，b 1＝a 2－a 1＝1，公差d ＝2， ∴b n ＝2n －1.∴⎩⎨⎧b 2n －1＝a 2n －a 2n －1＝4n －3， ①b 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＝4n －1， ② 由②－①得，a 2n ＋1＋a 2n －1＝2， ∴a 2n ＋1＝2－a 2n －1，又∵a 1＝1，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝1， ∴a 2n －1＝1，∴a 2n ＝4n －2，综上所述，a n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数.例2-2.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)na n －12n ，n ∈N *.(1)求a 3；(2)求S 1＋S 2＋…＋S 100.解(1)令n＝4，则S4＝a4－124，∴S3＝－124.令n＝3，则S3＝－a3－1 23，∴a3＝－S3－123＝－124.(2)当n＝1时，a1＝－1 4；当n≥2时，a n ＝S n－S n－1＝(－1)n·a n－12n－(－1)n－1·a n－1＋12n－1＝(－1)n·a n＋(－1)n·a n－1＋12n ，即a n＝(－1)n·a n＋(－1)n·a n－1＋12n.(*)①当n为偶数时，由*式可得a n－1＋12n＝0，则a n－1＝－12n ，∴a n＝－12n＋1，此时n为奇数.②当n为奇数时，由*式可得a n－1＝－2a n＋12n＝－2·⎝⎛⎭⎪⎫－12n＋1＋12n＝12n－1，∴a n＝12n，此时n为偶数.综上所述，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n ＋1，n 为奇数，12n，n 为偶数.∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋116＋…＋12100－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 练 .数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400 答案 B解析 S 100＝1－5＋9－…－397＝4×(－50)＝－200.练.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2，又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列. 所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *.(2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列；当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×1＋12n （n －1）×2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.类型三、含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；例3-1.已知数列{a n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 2n －1＝a 2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)S 2n －1＝（2n －1）（a 1＋a 2n －1）2＝a n (2n －1)＝a 2n ，∵a n ≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ＝n （2n －1）（2n ＋1）(－1)n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1(－1)n ，当n 为偶数时T n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫－11－13＋13＋15－15－17＋…＋12n －1＋12n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋12n ＋1＝－n4n ＋2，当n 为奇数时T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11－13＋13＋15－15－17＋…－12n －1－12n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11－12n ＋1＝－n －14n ＋2. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 4n ＋2，n 为偶数，－n ＋14n ＋2，n 为奇数.练．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123n n n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（） A ．100332005- B ．201632017- C ．100832017- D ．100932018-【答案】D 【分析】根据给定条件求出21{}n a -与2{}n a 的通项，进而求得212n n a a ++即可求出数列{}n a 的前2017项的和. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，221(1)n n n a a -=+-，2123n n n a a +=+，*N n ∈，则有1122212(1)3(1)n n n n n n a a a ++++=+-=++-，即12223(1)n n n n a a ++-=+-，而20a =，于是得2242642224222()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-223211[3(1)][3(1)][3(1)][3(1)]n n n n ---=+-++-+++-++-221231[3333][(1)(1)(1)(1)]n n n n ---=+++++-+-++-+-113(13)1(1)113(1)1131(1)22n n n n -----=+=⋅+⋅-----，因此，212222113232[3(1)1]322n n n n nn n n n n a a a a a ++=++=+=⋅+⋅--+23(1)2n n =⋅+--，则2017123456720162017()()()()S a a a a a a a a a =+++++++++2233100810081[23(1)2][23(1)2][23(1)2][23(1)2]=+⋅+--+⋅+--+⋅+--++⋅+--23100823100812(3333)[(1)(1)(1)(1)]21008=++++++-+-+-++--⋅100810093(13)12020163201813-=+⋅+-=--，数列{}n a 的前2017项的和为100932018-. 故选：D练．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）． A ．4950- B ．4851- C ．4851 D ．4950【答案】D 【分析】由数列{}21n a -为递增数列，得到()()2122210n n n n a a a a +--+->，进而得出2120n n a a +->，又由数列{}2n a 为递减数列，得到()()22212120n n n n a a a a ++++-<-，得到22210n n a a ++-<，得出当n 为奇数且3n ≥时，21n n a a n --=，当n 为偶数时，21n n a a n --=-，即可求解．【详解】因为数列{}21n a -为递增数列，所以2121n n a a -+<，即21210n n a a +-->，则()()2122210n n n n a a a a +--+->，由题意22212221(21)(2)n n n n a a n n a a +--=+>=-，则由()()212221212221n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-⎧-+->⎪⎨->-⎪⎩得2120n n a a +->，*n N ∈，因为数列{}2n a 为递减数列，所以222n n a a +>，即2220n n a a +-<，则()()22212120n n n n a a a a ++++-<-，由题意得，222221(22)(21)n n a a n n ++-=+>+212n n a a +=-，由()()222121222213120n n n n n n n na a a a a a a a ++++++⎧-+-<⎪⎨->-⎪⎩，可得22210n n a a ++-<，*n N ∈，又12a a >，即210a a -<，所以当n 为奇数且3n ≥时，21n n a a n --=；当n 为偶数时，21n n a a n --=-．所以99a =()()()()999898979796211a a a a a a a a a -+-+-++-+…2222229998979632199=-+-++-+=+…9897963214950++++++=…．故选：D ．类型四、已知条件明确的奇偶项问题. 例4-1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n ＋n －1，n 为奇数，a n－2n ，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，求证：数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式.证明 ∵b n ＋1＝a 2(n ＋1)＝12a 2n ＋1＋2n ＋1－1＝12a 2n ＋1＋2n＝12(a 2n －2·2n )＋2n ＝12a 2n ＝12b n ， ∴{b n }为等比数列，且公比q ＝12.又b 1＝12a 1＝12，可得b n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以，当n 为偶数时，a n ＝b n2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n；当n 为奇数且n ≥3时，a n ＝a (n －1)＋1＝a (n －1)－2(n －1)＝b n －12－2(n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12（n －1）－2(n －1)，可验证a 1＝1也符合上式，综上所述，a n＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12（n －1）－2（n －1），n 为奇数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n 为偶数.练.已知数列{a n }满足a n＝⎩⎨⎧n2an ＋12＋12，n 为正奇数，2a n 2＋n2，n 为正偶数.(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n 2n 是等差数列，并求数列{a 2n }的通项公式.(1)解由a 1＝12a 1＋12＋12＝12a 1＋12⇒a 1＝1，a 2＝2a 22＋22＝2a 1＋1＝3，a 3＝32a 3＋12＋12＝32a 2＋12＝5，a 4＝2a 42＋42＝2a 2＋2＝8.∵a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，∴a 3－a 2≠a 4－a 3， ∴数列{a n }不是等差数列.又∵a 2a 1＝3，a 3a 2＝53，∴a 2a 1≠a 3a 2，∴数列{a n }也不是等比数列.(2)证明 ∵对任意正整数n ，a 2n ＋1＝2a 2n ＋2n ， ∴a 2n ＋12n ＋1－a 2n 2n＝12，a 22＝32，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n 2n 是首项为32，公差为12的等差数列，从而对∀n ∈N *，a 2n 2n＝32＋n －12，则a 2n ＝(n ＋2)·2n －1. ∴数列{a 2n }的通项公式是a 2n ＝(n ＋2)·2n －1(n ∈N *).练．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.【答案】30342023【分析】由题意，当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭；当n 为偶数时，sin 4n n a π=.然后根据分组求和法、裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.【详解】解：数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈， ①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，②当n 为偶数时，sin4n n a π=，24680a a a a +++=，则偶数项和为()()246810121416a a a a a a a a ++++++++()20102012201420162018202020182024201a a a a a a a a a a +++++++==+=，所以()()2021132021242020S a a a a a a =+++++++1111111233520212023⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭101130341120232023+=+=，故答案为:30342023. 练．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（）A ．B ．4C ．D ．2018【答案】B 【分析】由21(1)n n n a a n ++=-，可得2221223341,2,3a a a a a a +=-+=+=-，2245201820194,,2018a a a a +=+=，以上各式相加得可求得()12345201820192a a a a a a a +++++++，结合201920192101020192019S a μ-=-，根据均值不等式，即可求得答案. 【详解】21(1)n n n a a n ++=-∴2221223341,2,3a a a a a a +=-+=+=-，2245201820194,,2018a a a a +=+=，以上各式相加得，()22222212345201820192123420172018a a a a a a a +++++++=-+-+--+，()()()2222222019120192123420172018S a a ∴--=-++-+++-+(21)(21)(43)(43)(20182017)(20182017)=-⨯++-⨯+++-⨯+，12342017201820191009=++++++=⨯20192019121009201920192019S a a∴-=+ 又201920192101020192019S a μ-=-， 1100910102019a μ∴+=-，即112019a μ+=，又1a λ=，20191201912019λμλμλμ⎛⎫⎛⎫∴+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201911242019μλλμ=++++…，当且仅当20192019μλλμ=时等号成立，故选：B ．练．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（） A ．32 B ．43C ．34D ．35【答案】C 【分析】讨论n 为奇数、偶数的情况数列{}n a 的性质，并写出对应通项公式，进而应用分组求和的方法求数列的前9项之和.【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴当n 为奇数时，21210n n a a +--=，则数列21{}n a -是常数列，2112n a a -==；当n 为偶数时，2222n n a a +-=，则数列2{}n a 是以23a =为首项，公差为2的等差数列，129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯34=. 故选：C练．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A 【分析】由递推式求出数列的首项,当2n ≥时分n 为偶数和奇数求出n a ,代入*1(1),2n n n nS a n N =--∈后分组,然后利用等比数列的前n 项和公式求解. 【详解】由*1(1),2n n a n S a n =--∈N ，当1n =时，1112S a =--，得114a =-；当2n ≥时，111111(1)(1)22----=-=----+nn n n n n n n n a S S a a ，即11(1)(1)2n nn n n na a a -=-+-+. 当n 为偶数时，11(2)2n n a n -=-≥，所以112n n a +=-（n 为正奇数），当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n nn a a -+-⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，所以12n na =（n 为正偶数），所以122211,22a a -==，所以412342411112,,2222a a a a -+=⨯=-==，所以34991004310010011112,,,2222a a a a -+=⨯=⋯-==，所以991001009911222a a -+=⨯=.因为123100S S S S ++++()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-+++-+-2100111222⎛⎫+++⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--10011132⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：A练．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n n S S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．【答案】32,11,23⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】根据n n S a ，之间关系可得数列{}n a 为等差数列并得到n a ，然后得到n b ，根据裂项相消可得数列{}n b 前n 项和，最后进行判断即可. 【详解】由21n n n S S a -+=①，则211n n n S S a +++=②②-①化简可得：()()1110n n n n a a a a ++--+=，又0n a >，所以()112n n a a n +-=≥当2n =时，21212122222a a S S a a a a +=⇒++=⇒= 所以211a a -=符号11n n a a +-=，故数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列所以n a n =，则()12n n nS +=所以()()()()2112111112nn n n n b n n n ⋅-+==⋅⎛⎫+ ⎪+⎝+⎭- 令设数列{}n b 前n 项和n T 所以()()111111121...11223341n nn T n n ⎡⎤=--++--++-⋅+-⋅⎢⎥+⎣⎦所以11,1111n n n T n n ⎧-⎪⎪+=⎨⎪--⎪+⎩为偶数，为奇数，当n 为偶数时，111n T n =-+，则12133n T ≤-=-且1n T >- 当n 为奇数时，111n T n =--+，则13122n T ≥--=-且1n T <- 综上所述：32,11,23n T ⎡⎫⎛⎤∈--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故答案为：32,11,23⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦练．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1(1)2n n n n S a =-+，则1211S S S ++⋯+=_____. 【答案】13654096 【分析】运用数列的递推式，讨论n 为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.【详解】解：()112n n n nS a =-+，当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，可得()()1112n n n n nS S S -=--+，当n 为偶数时，112n n n S S S π-=-+，即有1n12n S -=；当n 为奇数（3n ≥）时，()112n n n S S S π-=--+，可得1122n n n S S -=-=1112022n n +⋅-=，即有121114S S S +++=110001664+++++++1212 61111365441409614⎛⎫- ⎪⎝⎭==-. 故答案为13654096.。

数列求和奇偶求和法

数列求和
第一课时奇偶求和法
教学目标：
通过观察发现数列(通项)的特点(题目中含有奇偶数要求)，寻找合适的求和方法，用
奇偶求和法求数列的前 n 项和.
重点：会用奇偶求和法求数列的前 n 项和．
难点：会用奇偶求和法求数列的前 n 项和.
一、奇偶求和法
数列中的项分成奇偶两类，或者不考虑奇
偶情况不能求解，则使用分类讨论的方法求和.
(1
1 3n
1 1
)
；
3
n为偶数时,an
1 2
(
1
)
n 2
3
,
Sn
9 (1 2
1 3n
).
三、课堂练习
练习 4 设等差数列{an }的前n项和为Sn ，
数列{bn }的前n项和为Tn，且Tn 2bn 3 0，
n N.
(1)求数列{an },{bn }的通项公式.
(2)设 cn
abnn
, ,
二、典型例题
例 1 已知数列{an }，且an 2[n (1)n ]，求该数列前n项和 Sn.
例2
已知数列{an
}的通项an
6n 5(n奇)
2n (n偶)
，
求其前n项和 Sn．
二、典型例题
例 3 求和 1 5 9 13 ... (1)n1(4n 3)(n N ).
解析：
① 当n为偶数时，
n为奇数时,
Sn
n(n 1) 2
n
1；
n
为偶数
时, Sn
n(n 1) 2
n
三、课堂练习
练习 3 已知an , an1数为方程 x2 Cn x
( 1 )n 3
0的两实数根(n N ),a1

数列求和之奇偶项的讨论【真题+模拟】

题型一：数列奇数偶数项问题()n n 1-()n n 11-- ())1(1--n n ())1(1+-n n【真题再现】1、（2011，山东，文20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．解析：（I ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当110a =时，不合题意。

因此1232,6,18,a a a === 所以公式q=3，故123.n n a -=⋅（II ）因为(1)ln n n n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以21222122(133)[111(1)](ln 2ln 3)n nn nS b b b -=+++=++++-+-++--2|[123(1)2]ln 3n n -+-++-22132ln 3133ln 3 1.nn n n -=⨯+-=+- 2、（2011，山东，理20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-求数列{}n b 的前n 项和n S .解析：（1）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当110a =时，不合题意；因此 1232,6,18a a a ===，所以公比 3q = 故123n n a -=（2）因为[]1111(1)ln =23+(1)ln 23=23+(1)ln 2(1)ln 3=23+(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3n n n nn n n nn n n n b a a n n ----=+---+---+-（）所以n-12(13+3)111+(1)(ln 2ln 3)123+(1)ln 3nn nS n ⎡⎤=+++-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+-+-⎣⎦………所以当n 为偶数时，132ln 33ln 311322n n n n nS -=⨯+=+--当n 为奇数时，1312(ln 2ln 3)()ln 313213ln 3ln 212n n n n S n n --=⨯--+---=--- 综上所述， 3ln 31213ln 3ln 212n n n nn S n n ⎧+-⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩为偶数为奇数3、（2014，山东，文19）在等差数列{}n a 中，已知公差2=d ，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .解析：（Ⅰ）由题意知：{}n a 为等差数列，设()d n a a n 11-+=，2a 为1a 与4a 的等比中项4122a a a ⨯=∴且01≠a ，即()()d a a d a 31121+=+， 2=d 解得：21=a n n a n 22)1(2=⨯-+=∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a n 2=，)1(2)1(+==+n n a b n n n①当n 为偶数时：()()()()()()()()[]()()222222642222624221153431214332212nn n n n n n n n n n T n +=+⨯=++++⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++--+++-++-=+++⨯-⨯+⨯-= ②当n 为奇数时：()()()()()()()()[]()()()()[]()()()212122112211642212126242212153431214332212++-=----+⨯=+--++++⨯=+-⨯-++⨯+⨯+⨯=+-+---+++-++-=+-+⨯-⨯+⨯-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=为偶数为奇数，n n n n n n T n ,22212224、（2014，山东，理19）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)【模拟题库】1、（2016届济宁一模，理19）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n T =-.（I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（II ）设()()1ln nn n n n c a b S =-+，求数列{}n c 的前n 项和.解析：（Ⅰ）记等差数列{a n }的公差为d ，依题意，S 5=5a 1+d=30，又∵a 1=2， ∴d==2，∴数列{a n }的通项公式a n =2n ； ∵T n =2n ﹣1，∴T n ﹣1=2n ﹣1﹣1（n≥2），两式相减得：b n =2n ﹣1，又∵b 1=T 1=21﹣1=1满足上式， ∴数列{b n }的通项公式b n =2n ﹣1；（Ⅱ）由（I ）可知a n b n =n•2n ，S n =2•=n （n+1），∴c n =（﹣1）n （a n b n +lnS n ）=n （﹣2）n +（﹣1）n [lnn+ln （n+1）]，记数列{（﹣1）n a n b n }的前n 项和为A n ，数列{（﹣1）n lnS n }的前n 项和为B n ，则A n =1•（﹣2）1+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n ，﹣2A n =1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+（n ﹣1）•（﹣2）n +n•（﹣2）n+1，错位相减得：3A n =（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n ﹣n•（﹣2）n+1 =﹣n•（﹣2）n+1=﹣﹣•（﹣2）n+1，∴A n =﹣﹣•（﹣2）n+1；当n 为偶数时，B n =﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…+[lnn+ln （n+1）] =ln （n+1）﹣ln1 =ln （n+1），当n 为奇数时，B n =﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…﹣[lnn+ln （n+1）] =﹣ln （n+1）﹣ln1=﹣ln（n+1）；综上可知：B n=（﹣1）n ln（n+1），∴数列{c n}的前n项和A n+B n=（﹣1）n ln（n+1）﹣﹣•（﹣2）n+1．题型二：通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数，的数列，可采用分组求和法求和．1、（2016潍坊一中，理19）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，223422,2S a S a =-=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22log 2nn na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T解析：（1）由已知2222S a =- ①342S a =- ②①-②得3422a a a =-即220q q --= ……………………2分又02q q >∴= ……………………3分22122111122,22222S a a a a a a q a q a =-∴+=-∴+=-∴= ……………………5分2n n a ∴= ……………………6分（2）由（1）知()()221log 22222n n n n nn n n n n n b b n n n n ⎧⎧⎪⎪++⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数……………7分所以21232n n T b b b b =++++=1111111213352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭()246222426222n n ----⎡⎤+⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦21nn =+()246222426222n n ----⎡⎤+⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦ ……………………9分设()246222426222n A n ----⎡⎤=⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦，则()()2468222222426222222n n A n n -------=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减得()()46822231222222242n n A n ------=+++++-⋅，整理得2868992nn A +=-⨯， ……………………11分所以2286899221n nn nT n +=-+⨯+． ……………………12分 2、（2015届滕州实验，理19）设等差数列{}n a 的前n 项和为248,40n S a S ==，且．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且*230n n T b n N -+=∈，．（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P解析：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………6分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数．当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-=+=+--． ……………9分当n 为奇数时，132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． …………11分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数．………12分 3、已知数列{}n a 的前n 和为n S ，且22n S n n =+；数列{}n b 是公比大于1的等比数列，且满足149b b +=，238b b =.（Ⅰ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若()1nn n n n c S a b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】（Ⅰ）1n =时，113a S ==2n ≥时，()221(2)(1)2121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦，又因为2113⨯+=，所以21n a n =+. 设等比数列{}n b 的公比为q ，由已知142398b b b b +=⎧⎨⋅=⎩，即31121198b b q b q b q ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩，或1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去，因为1q >）所以，12n n b -=（Ⅱ）()211(2)(21)2nn n c n n n -=-⋅+++⋅，设数列{}1(21)2n n -+⋅的前n 项和为nG ，数列(){}21(2)nn n -⋅+的前n 项和为n R .当n 为偶数时，()2238152412(1)(2)n R n n n n ⎡⎤=-+-+---+-++⎣⎦(521)(3)259(21)22nn n n n +++=++++==当n 为奇数时，()21(1)2(1)n n R R n n +⎡⎤=-+++⎣⎦()2(1)(4)(1)2(1)2n n n n ++⎡⎤=-+++⎣⎦232n n +=- ()0121325272212n n G n -=⋅+⋅+⋅+++⋅ ○1 则2n G =()1213252(21)2212n n n n -⋅+⋅++-⋅++⋅○2 ○1-○2得 ()0121322(222)212n n n G n --=⋅++++-+⋅ ()12(12)3221212n n n --=+⋅-+⋅- ()1122nn =-+-⋅ 所以()1212nn G n =+-⋅ 所以，()()23212,2(3)1212,.2n n n n n n n T n n n n ⎧+-+-⋅⎪⎪=⎨+⎪++-⋅⎪⎩为奇数，为偶数。

等差数列偶数项和奇数项和公式

等差数列偶数项和奇数项和公式等差数列是数学中常见的一种数列，每个数与它的前一个数之差相等。

偶数项和奇数项是指数列中位于偶数位和奇数位的数的和。

本文将介绍等差数列偶数项和奇数项的求和公式，并探讨其应用。

在等差数列中，假设首项为a，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的性质可知，第n项可表示为an = a + (n-1)d。

偶数项和奇数项的求和公式如下：1. 偶数项和公式：对于等差数列中的偶数项和，可以使用以下公式进行求和：Sn = 2a + 2d + 2a + 4d + ... + 2a + 2(n/2)d= n(a + (n/2)d)其中，Sn表示偶数项和，n表示偶数项的个数。

2. 奇数项和公式：对于等差数列中的奇数项和，可以使用以下公式进行求和：Sn = a + (a + 2d) + (a + 4d) + ... + (a + (n-1)d)= n/2(2a + (n-1)d)其中，Sn表示奇数项和，n表示奇数项的个数。

以上公式可以通过简单的推导得到，其原理是根据等差数列的特性，将偶数项和奇数项分别求和并进行化简。

通过以上公式，我们可以轻松求解等差数列中的偶数项和奇数项。

这在实际问题中有着广泛的应用。

例如，假设小明每天存储一些零花钱，第一天存储1元，以后每天比前一天多存储2元。

现在我们想知道在第n天时，小明一共存储了多少钱。

我们可以将这个问题转化为等差数列的求和问题。

首项a为1，公差d为2，第n项为an。

根据等差数列的性质可知，an = 1 + (n-1)2。

假设小明存储了30天，我们可以使用偶数项和公式求解偶数项和，奇数项和公式求解奇数项和。

根据公式可知，偶数项和为30(1 + 30) = 465，奇数项和为15(2 + 29) = 465。

因此，在第30天时，小明一共存储了465元。

除了求解特定问题外，等差数列的偶数项和奇数项和公式还可以应用于数学推导和证明中。

通过利用公式，我们可以更加简洁地推导出某些等式和命题的成立。

(完整版)数列中分奇偶项求和问题

数列中分奇偶数项求和问题数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：一、相邻两项符号相异；例1：求和：n 1n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =-=-2nn n n当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=-+=2-1（4-3）（4-）n -1n n n n二、相邻两项之和为常数；例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++…12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=⋅=…②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…13222n n -+=+=三、相间两项之差为常数；例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列当n 为奇数时：11(1)22n n a n +=+-•=当n 为偶数时：4(1)222n na n =+-•=+即n ∈N +时， 1(1)n n a n ⎡⎤=++-⎣⎦∴①n 为奇数时：1(1)(123)2122n n n n S n n -+=+++++⋅=+-…②n 为偶数时：(1)(123)222n n n n S n n+=+++++⋅=+…四、相间两项之比为常数；例4：已知a n ，a n+1为方程21()03n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，求a n 及S 2n 。

数列奇偶并项求和法例题

数列奇偶并项求和法例题
这是一个典型的数列求和问题,可以使用奇偶并项求和法来解决。

假设这个数列是 $a_1, a_2, dots, a_n$,其中 $n$ 是项
数,$a_1$ 是首项。

奇偶并项求和公式为:
$$S=sum_{i=1}^n (a_i+a_{i+1}) = 2sum_{i=1}^n a_i$$ 其中,$2$ 是因为对于每个 $i$,它既包含奇数项也包括偶数项。

让我们来解决这个例题:
假设这个数列是 $1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22$ 等等,其中$n=5$ 是项数。

我们可以按照上述公式计算并检验结果:
$$S = 2 cdot (1+4+7+10+13+16+19+22) = 42$$
计算得到结果为 42。

现在我们来检验计算的结果是否是正确的:
对于每个项,我们将它分解成偶数项和奇数项的和,如下所示:
- 第一项是 $1$,第二项是 $4$,第三项是 $7$,第四项是 $10$,
第五项是 $13$,它们的和是 $1+4+7+10=20$。

- 第一项是 $1$,第二项是 $3$,第三项是 $5$,第四项是 $6$,
第五项是 $9$,它们的和是 $1+3+5+6+9=25$。

- 第一项是 $1$,第二项是 $4$,第三项是 $7$,第四项是 $11$,
第五项是 $14$,它们的和是 $1+4+7+11+14=32$。

- 第一项是 $1$,第二项是 $3$,第三项是 $5$,第四项是 $8$,
第五项是 $12$,它们的和是 $1+3+5+8+12=37$。

可以看出,计算结果与上述结果是一致的,因此,这个数列的奇偶并项求和公式是正确的。

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数列中分奇偶数项求和问题
陕西省吴起县高级中学鲁俊
数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：一、相邻两项符号相异；例1：求和：
n 1
n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)
…（-1）（4） n N
解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =-=-2n
n n n
当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=
-+=2-1（4-3）（4-）n -1
n n n n
二、相邻两项之和为常数；
例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：
12341n n n S a a a a a a -=++++++…
12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=
⋅=…
②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…
13
222
n n -+=+
=
三、相间两项之差为常数；
例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）
∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列
当n 为奇数时：1
1(1)22n n a n +=+-•=
当n 为偶数时：4(1)222
n n
a n =+-•=+
即n ∈N +时， 1(1)n n a n ⎡⎤=++-⎣⎦
∴①n 为奇数时：
1(1)
(123)2122n n n n S n n -+=+++++
⋅=+-…
②n 为偶数时：(1)
(123)222n n n n S n n
+=+++++⋅=+…
四、相间两项之比为常数；
例4：已知a n ，a n+1为方程21
()03
n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，
求a n 及S 2n 。

解：依题意：11()3n n n a a +•= ∴213n n a a += 其中121
2,6
a a ==。

∴13521,,,...,n a a a a -为等比数列；2462,,,...,n a a a a 为等比数列
∴①n 为偶数时：
1122
2
211111()()()36323n n n
n a a --=== ②n 为奇数时：11
122
112()2()33
n n n a +--== 则有：1
2
2
12()21()3
11()2()23
{n n n
n k k N a n k k N -++=-∈==∈ 而C n =a n +a n+1
∴①n 为奇数时，n+1为偶数：111222
11111312()()()
32363n n n n n n C a a -+-+=+=+=
则：
13521131
63113n n C C C C -++++=-
（1-）
… ②n 为偶数时，n+1为奇数：
22
2
1
11151()2()()23323n n n
n n n C a a +=+=+= 则：
于是：
246251
6
3113n n C C C C ++++=-
（1-）
... 21234212 (11)
(1)(1)1359133..(1)
116623
1133
n n n
n n n S c c c c c c -=++++++-
-=+=---。