一阶电路的零输入响应和零状态响应
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§8-1 零输入响应
一、 RC电路的零输入响应 对下图电路，求换路以后 ( t 0) 的 uc ( t )，i ( t )，uR ( t )。
R0
t=0 i + + R uR C uc -
+ -
U0
R0
t=0 i + + R uR C uc C + uc -
i + R uR -
+ -
U0
1、换路前后，电路的物理过程
iL
R
I0
R
L
+ L uL t 0, i L ( 0 ) I 0
R 由特征方程 LS R 0 S L 1 L 且令 称为RL电路的时间常数。
diL L RiL 0 以 iL为变量的方程： dt iL ( 0 ) I 0
S
R
， t0 t di L RI 0e t >0 及 uL (t ) L ， dt iL u
a + 10V t = 0-
解：这是求零输入响应，先 t 求
10 i1(0- )
i1 ( t ) i1 ( 0 )e
由t =0-的电路，
i1 (0) 1 A i1 (0)
又∵ R0=20∥20=10
wk.baidu.com i3
i2 i1
1 H
L 1 则 S R 10
∴ i 1 (t ) e
uR uc U0 i( t ) e R R R
uc t
U0 R
t
，t >0
U0
i t
0 0 由上述结果可看出： （1） 特征根为负（即 为正）的零输入响 应是从初始值开始随时间单调衰减的指数函数。 所经历的过渡过程的长短取决于RC（即时间常 数），R和C↑，过程会↑。
（2） RC电路零输入响应变化过程的实质 是电容的贮能逐渐被R所消耗的过程。
(若电路中有多个电阻或受控源，式中R0 为 t 0 时动态元件两端的戴维宁等效电 阻。)
3. 零输入响应满足线性性 (即比例性 和叠加性)。
例 求 t 0 时 的i1、i2、i3。
a t = 0 10 + b - 10V 10 i3 i1
1H
20
i3 i1
i2
20
i2
1 H
20
t0
(t )
uc(t)的微分方程及其求解 R duc RC uc U s + 由KVL dt US uc ( 0) 0
非齐次一阶微分方程的解为：
I0
iL ( t ) I 0 e
R t L
I0e
t
0
L
t
0.368I0
0
t - RI 0
可见，当s <0时，RL电路的零输入响应也是按指 数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数 。
L 何以 ? R
这是因为在同样的初始电流时，L↑，贮 能↑，过渡过程将愈长。即 初始电流一定时，R↑，消耗的功率↑，
st
因特征方程为
1 RCS 1 0 则 S RC t uc (t) Ke RC
在上式中令 t=0，得K= uC(0) =U0
t U 0e RC t
则 uc ( t )
U0 e ，t 0
1 式中 RC ，称为RC电路的时间常数 S
又
。而 L
放电时间↓，所以
1 。 R
三、小结
1. 一阶电路零输入响应的通式
t
f ( t ) f ( 0 )e
, t >0
即只需求得 f (0 ) 和τ，就可 得出 一阶电路的零输入响应。
2 . f ( 0 ) 由动态元件的性质及KVL、 KCL确定；τ由电路本身参数确定： R0C 或 L R0 。
10 t
20
20
t0 A，t 0 1 10 t i 2 (t ) i 3 (t ) i 1 (t ) 0.5e A，t 0 2
§8-2零状态响应
初始状态为零，仅由外加激励引起的响应称 为零状态响应。
一、 RC电路的零状态响应 R ic t=0 + u R + + uc C US R
2. 电路的微分方程及其求解
i
设响应为 uc(t) + + uc uR 0 C uc R uR duc uR Ri RC t 0, uc (0) U 0 dt duc RC uc 0，t （齐次微分方程） 0 dt 及uc ( 0) U 0 一阶齐次微分方程的解为 uc ( t ) Ke 式中K是由初始条件确定的待定常数，S 是特征方程的特征根。
+ u R + + US C uc (t = 0+)
ic
uc(0- ) = 0
1. 电路的物理过程 t=0- 时， uc (0) 0，ic (0) 0 t = 0+ 时，uc (0) uc (0) 0 ，电容等效 为短路，
Us 为最大值， ic ( 0 ) uR (0) US 最大值。 R duc ic (0 ) 随t↑，∵ uC(t)↑, > ，∴ 0 dt t 0 C ic R uR(t) ↓, ic↓。 + + US C uc 当t→∞时，ic→0， t0 uR→0，uc→Us 达到最 ic R + uR 大值，此时电容相当于 + + US C uc 开路，电路达到稳态。 -
t 0, uc (0) U 0
t 0 时，uc ( 0 ) U0，i ( 0 ) 0，uR ( 0 ) 0
t=0+时，uc(0+)=uc(0-)=U0,
i(0+)= U 0 , R
1 2 CU Wc(0)= 0 2
uR(0+)=U0,
t > 0 时， C 放出能量（放电）， uc ( t ) ， uR ( t ) uc ( t ) i(t ) R t ， uc uR 0 ， i 0 ，放电结束，电路 达到稳态。
（3） 求一阶电路的零输入响应，就是 找初始值及特征根（或时间常数）。 （4） 因 e 1 =0.368，所以 是零输入响 应衰减到初始值的0.368时的时间。
如果电路中有多个电阻或含受控源， 则 =RC中的R应是动态元件两端 的戴维宁电阻R0 。
二、RL电路的零输入响应
t=0 2 iL
1
一、 RC电路的零输入响应 对下图电路，求换路以后 ( t 0) 的 uc ( t )，i ( t )，uR ( t )。
R0
t=0 i + + R uR C uc -
+ -
U0
R0
t=0 i + + R uR C uc C + uc -
i + R uR -
+ -
U0
1、换路前后，电路的物理过程
iL
R
I0
R
L
+ L uL t 0, i L ( 0 ) I 0
R 由特征方程 LS R 0 S L 1 L 且令 称为RL电路的时间常数。
diL L RiL 0 以 iL为变量的方程： dt iL ( 0 ) I 0
S
R
， t0 t di L RI 0e t >0 及 uL (t ) L ， dt iL u
a + 10V t = 0-
解：这是求零输入响应，先 t 求
10 i1(0- )
i1 ( t ) i1 ( 0 )e
由t =0-的电路，
i1 (0) 1 A i1 (0)
又∵ R0=20∥20=10
wk.baidu.com i3
i2 i1
1 H
L 1 则 S R 10
∴ i 1 (t ) e
uR uc U0 i( t ) e R R R
uc t
U0 R
t
，t >0
U0
i t
0 0 由上述结果可看出： （1） 特征根为负（即 为正）的零输入响 应是从初始值开始随时间单调衰减的指数函数。 所经历的过渡过程的长短取决于RC（即时间常 数），R和C↑，过程会↑。
（2） RC电路零输入响应变化过程的实质 是电容的贮能逐渐被R所消耗的过程。
(若电路中有多个电阻或受控源，式中R0 为 t 0 时动态元件两端的戴维宁等效电 阻。)
3. 零输入响应满足线性性 (即比例性 和叠加性)。
例 求 t 0 时 的i1、i2、i3。
a t = 0 10 + b - 10V 10 i3 i1
1H
20
i3 i1
i2
20
i2
1 H
20
t0
(t )
uc(t)的微分方程及其求解 R duc RC uc U s + 由KVL dt US uc ( 0) 0
非齐次一阶微分方程的解为：
I0
iL ( t ) I 0 e
R t L
I0e
t
0
L
t
0.368I0
0
t - RI 0
可见，当s <0时，RL电路的零输入响应也是按指 数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数 。
L 何以 ? R
这是因为在同样的初始电流时，L↑，贮 能↑，过渡过程将愈长。即 初始电流一定时，R↑，消耗的功率↑，
st
因特征方程为
1 RCS 1 0 则 S RC t uc (t) Ke RC
在上式中令 t=0，得K= uC(0) =U0
t U 0e RC t
则 uc ( t )
U0 e ，t 0
1 式中 RC ，称为RC电路的时间常数 S
又
。而 L
放电时间↓，所以
1 。 R
三、小结
1. 一阶电路零输入响应的通式
t
f ( t ) f ( 0 )e
, t >0
即只需求得 f (0 ) 和τ，就可 得出 一阶电路的零输入响应。
2 . f ( 0 ) 由动态元件的性质及KVL、 KCL确定；τ由电路本身参数确定： R0C 或 L R0 。
10 t
20
20
t0 A，t 0 1 10 t i 2 (t ) i 3 (t ) i 1 (t ) 0.5e A，t 0 2
§8-2零状态响应
初始状态为零，仅由外加激励引起的响应称 为零状态响应。
一、 RC电路的零状态响应 R ic t=0 + u R + + uc C US R
2. 电路的微分方程及其求解
i
设响应为 uc(t) + + uc uR 0 C uc R uR duc uR Ri RC t 0, uc (0) U 0 dt duc RC uc 0，t （齐次微分方程） 0 dt 及uc ( 0) U 0 一阶齐次微分方程的解为 uc ( t ) Ke 式中K是由初始条件确定的待定常数，S 是特征方程的特征根。
+ u R + + US C uc (t = 0+)
ic
uc(0- ) = 0
1. 电路的物理过程 t=0- 时， uc (0) 0，ic (0) 0 t = 0+ 时，uc (0) uc (0) 0 ，电容等效 为短路，
Us 为最大值， ic ( 0 ) uR (0) US 最大值。 R duc ic (0 ) 随t↑，∵ uC(t)↑, > ，∴ 0 dt t 0 C ic R uR(t) ↓, ic↓。 + + US C uc 当t→∞时，ic→0， t0 uR→0，uc→Us 达到最 ic R + uR 大值，此时电容相当于 + + US C uc 开路，电路达到稳态。 -
t 0, uc (0) U 0
t 0 时，uc ( 0 ) U0，i ( 0 ) 0，uR ( 0 ) 0
t=0+时，uc(0+)=uc(0-)=U0,
i(0+)= U 0 , R
1 2 CU Wc(0)= 0 2
uR(0+)=U0,
t > 0 时， C 放出能量（放电）， uc ( t ) ， uR ( t ) uc ( t ) i(t ) R t ， uc uR 0 ， i 0 ，放电结束，电路 达到稳态。
（3） 求一阶电路的零输入响应，就是 找初始值及特征根（或时间常数）。 （4） 因 e 1 =0.368，所以 是零输入响 应衰减到初始值的0.368时的时间。
如果电路中有多个电阻或含受控源， 则 =RC中的R应是动态元件两端 的戴维宁电阻R0 。
二、RL电路的零输入响应
t=0 2 iL
1