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离散数学教程PPT课件
A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
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（2）因为两个权对应的顶点所放左右位置不同。
（3）画出的最优树可能不同，最佳前缀码并不唯一，
但有一点是共同的，就是它们的权相等，即它们都应
该03是.02.2最021优树。
28
五、树的遍历
遍历：对一棵根树的每个顶点访问且仅访问一次称为遍
历一棵树。
对2元有序正则树的遍历方式： ① 中序遍历法：访问次序为：左子树、树根、右子树 ② 先序遍历法：访问次序为：树根、左子树、右子树 ③ 后序遍历法：访问次序为：左子树、右子树、树根
树枝：生成树TG的边。 弦：G中不在TG中的边。 生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出 子图。余树不一定是树,也不一定连通。
03.02.2021
7
二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的， 但所有连通图都具有生成树。
（本书树根为第0层。）
03.02.2021
14
一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有 后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
二元前缀码:若i (i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号， 则称B为二元前缀码。
03.02.2021
24
四、最佳前缀码
例：判断下列符号串集合是否是前缀码。 {1，11，101，0010} {1，01，001，000} {00，11，011，0100，0101} {0，10，110，1111}
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
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目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学PPT【共34张PPT】
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18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1 N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y}，试证运算*，△满足吸收律
证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x
∴运算*和△满足吸收律
2020年6月9日星期二
《离散数学》
page: 13
普通的除法，是定义在何集合上的？
2020年6月9日星期二
《离散数学》
page: 3
7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ①运算表—表示函数运算关系的表
∧0 1 000 101
→0 1 0 11 1 01
01 ¬1 0
* abcd
aaaaa
bbccc
caabc
dcbbb
2020年6月9日星期二
如，R上普通乘对加,减法满足分配律，但加,减法对乘 除法不满足分配律。
其它可分配与不可分配的例子…..
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《离散数学》
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xо(x*y)=x ，
其它可结合与不可结合的例子…
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
③分配律 设о和*为S上的二元运算，若有∀x,y,z∈S，都有:
x*(yоz)=(x*y)о(x*z) (左分配) (yоz)*x=(y*x)о(z*x) (右分配) 则称运算*对о是可分配的(*对о满足分配律) 。
7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ⑤等幂的 设o为S上的二元运算，若∀x∈S，有 xox=x， 则称运算o是等幂的（称为满足等幂律）。
如，∧，∨与∪，∩都是等幂的，而R上的普通加，减， 乘，除都不是等幂的。
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
满足交换律的运算运算表一定是对称的！
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
②结合律 设о为S上的二元运算，若有∀x，y，z∈S，都有 xo(yoz)=(xoy)oz 则称运算o是可结合的(满足结合律)。
如，R上普通的加，乘法满足结合律，而减，除法不 满足结合律。
①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不 满足交换律。
其它可交换与不可交换的例子：
满足交换律的运算（特殊的二元关系）是否就是对称 关系？
z=xoy=o(<x,y>) <<x,y>,z>∈o 满足交换律的运算运算表的特点：？
第 7 章 代数系统
本章 知识 要点
代数系统的概念； 运算的性质； 运算的特殊元素； 同态与同构
本章 重点
运算的性质； 运算的特殊元素； 代数系统的同态与同构。
本章 难点 同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与同构
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7.1 运算 7.1.1 引言
C语言中的不同的数据类型？ 整数：存储方式，值的范围，可用运算…… 整数的取反运算-： F-：Z→Z，且：F-（x）=-x;
R的普通减法运算，在N中？
R*的普通除法运算，在Z中？ R的普通加法运算，在{x|x与5互质}中？
R的普通加法运算，在{x|x是30的因子}中？ R的普通加法运算，在{x|x是30的倍数}中？ R的普通加法运算，在{x|x的某次幂可被16整除}中？
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
示例2：R中的普通减法(-)， 对其子集Z
示例3：R中的普通除法(/)， 对其子集Z
示例4：R中的普通取反(单目-)， 对其子集N
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y z=x*y
x
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性--- 对于A上的2元运算*，若对于A的子 集B，任意的x,y∊B,有x*y∊B，则称运算*在B中的封闭的。 如，R中的普通减法运算，在整数集合Z中是？
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7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
* abcd aaaaa bbccc caabc dcbbb
* abcd aaaaa bacbc cabab dacbc
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性
y z
y z=x*y
x
x
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作为运算（函数）z自然应该在A中，但当 x,y取自A的子集B时，Z是否也在B中？
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性
示例1：R中的普通加法(+)， 对其子集N
整数的加运算+： F+：Z✕Z→Z，且：F+ (<x,y>）=x+y;
结论：运算是函数的另一种表示形式： A到A的函数是一元运算; A✕A到A的函数是二元运算； A✕A✕A到A的函数是三元运算。
………… Ak=A✕A✕A… ✕A✕A到A的函数是k元运算。
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7.1 运算 7.1.2 运算
1)集合A上的k元运算—集合Ak到集合A 上的函数。
显然，k=1和2时就是所谓的一元运算和二元运算。 2)说明
①作为函数的另一种形式，运算通常写成新的表示形 式，即表达式形式，如：
- (<x,y>)=x-y x-y ②以后的讨论以二元运算为主，涉及的运算多为广义 的运算，比如出现运算符*并不代表普通的乘法运算（除非 特别申请）。
则称运算*和о满足吸收律。
如，∧，∨与∪，∩都满足吸收律，而R上的普通加， 减，乘，除都不满足吸收律。
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7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xo(x*y)=x ， 则称运算*和о满足吸收律。
证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x
∴运算*和△满足吸收律
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普通的除法，是定义在何集合上的？
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ①运算表—表示函数运算关系的表
∧0 1 000 101
→0 1 0 11 1 01
01 ¬1 0
* abcd
aaaaa
bbccc
caabc
dcbbb
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如，R上普通乘对加,减法满足分配律，但加,减法对乘 除法不满足分配律。
其它可分配与不可分配的例子…..
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xо(x*y)=x ，
其它可结合与不可结合的例子…
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
③分配律 设о和*为S上的二元运算，若有∀x,y,z∈S，都有:
x*(yоz)=(x*y)о(x*z) (左分配) (yоz)*x=(y*x)о(z*x) (右分配) 则称运算*对о是可分配的(*对о满足分配律) 。
7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ⑤等幂的 设o为S上的二元运算，若∀x∈S，有 xox=x， 则称运算o是等幂的（称为满足等幂律）。
如，∧，∨与∪，∩都是等幂的，而R上的普通加，减， 乘，除都不是等幂的。
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满足交换律的运算运算表一定是对称的！
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
②结合律 设о为S上的二元运算，若有∀x，y，z∈S，都有 xo(yoz)=(xoy)oz 则称运算o是可结合的(满足结合律)。
如，R上普通的加，乘法满足结合律，而减，除法不 满足结合律。
①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不 满足交换律。
其它可交换与不可交换的例子：
满足交换律的运算（特殊的二元关系）是否就是对称 关系？
z=xoy=o(<x,y>) <<x,y>,z>∈o 满足交换律的运算运算表的特点：？
第 7 章 代数系统
本章 知识 要点
代数系统的概念； 运算的性质； 运算的特殊元素； 同态与同构
本章 重点
运算的性质； 运算的特殊元素； 代数系统的同态与同构。
本章 难点 同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与同构
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7.1 运算 7.1.1 引言
C语言中的不同的数据类型？ 整数：存储方式，值的范围，可用运算…… 整数的取反运算-： F-：Z→Z，且：F-（x）=-x;
R的普通减法运算，在N中？
R*的普通除法运算，在Z中？ R的普通加法运算，在{x|x与5互质}中？
R的普通加法运算，在{x|x是30的因子}中？ R的普通加法运算，在{x|x是30的倍数}中？ R的普通加法运算，在{x|x的某次幂可被16整除}中？
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
示例2：R中的普通减法(-)， 对其子集Z
示例3：R中的普通除法(/)， 对其子集Z
示例4：R中的普通取反(单目-)， 对其子集N
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y z=x*y
x
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3)几个术语 ②运算封闭性--- 对于A上的2元运算*，若对于A的子 集B，任意的x,y∊B,有x*y∊B，则称运算*在B中的封闭的。 如，R中的普通减法运算，在整数集合Z中是？
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7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
* abcd aaaaa bbccc caabc dcbbb
* abcd aaaaa bacbc cabab dacbc
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性
y z
y z=x*y
x
x
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作为运算（函数）z自然应该在A中，但当 x,y取自A的子集B时，Z是否也在B中？
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3)几个术语 ②运算封闭性
示例1：R中的普通加法(+)， 对其子集N
整数的加运算+： F+：Z✕Z→Z，且：F+ (<x,y>）=x+y;
结论：运算是函数的另一种表示形式： A到A的函数是一元运算; A✕A到A的函数是二元运算； A✕A✕A到A的函数是三元运算。
………… Ak=A✕A✕A… ✕A✕A到A的函数是k元运算。
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7.1 运算 7.1.2 运算
1)集合A上的k元运算—集合Ak到集合A 上的函数。
显然，k=1和2时就是所谓的一元运算和二元运算。 2)说明
①作为函数的另一种形式，运算通常写成新的表示形 式，即表达式形式，如：
- (<x,y>)=x-y x-y ②以后的讨论以二元运算为主，涉及的运算多为广义 的运算，比如出现运算符*并不代表普通的乘法运算（除非 特别申请）。
则称运算*和о满足吸收律。
如，∧，∨与∪，∩都满足吸收律，而R上的普通加， 减，乘，除都不满足吸收律。
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7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xo(x*y)=x ， 则称运算*和о满足吸收律。