2018届全国高考模拟试(四)数 学(文科)试题

2018届全国高考模拟试（四）数学（文科）本试题卷共10页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合{y|y=x2﹣2}，则M∪N=（）A．（﹣2，﹣1）B．[﹣2，﹣1）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）2．已知复数z满足（2﹣i）=5，则z在复平面内对应的点关于y轴对称的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如果实数x、y满足条件，那么z=4x•2﹣y的最大值为（）A．1 B．2 C．D．4．角α的终边经过点A（﹣，a），且点A在抛物线y=﹣x2的准线上，则sinα=（）A．﹣ B．C．﹣D．5．若“m＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）A．（19+π）cm2 B．（22+4π）cm2C．（10+6+4π）cm2D．（13+6+4π）cm28．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数的大致图象大致是（）A．B．C． D．9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（）日．（结果保留一位小数．参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．1.3 B．1.5 C．2.6 D．2.810．已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．3 C．D．2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．执行如图所示的程序框图，输出的i=．12．已知向量，满足=（1，3），，则=．13．从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为．14．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，若关于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）分成5组，制成如图所示频率分布直方图．（I）求图中x的值；（II）已知各组内的男生数与女生数的比均为2：l，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．17．已知函数．（I）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（C）=，a=2，且△ABC的面积为，求c的值．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F分别为PD，BC的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）G为线段PD上一点，若FG∥平面AEC，求的值．19．已知数列{a n}的前n项和为{S n}，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：a n=，求数列{b n}的通项公式；（III）令c n=，求数列{c n}的前2n项和T2n．20．已知函数f（x）=axlnx+b（a，b为实数）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a，b的值及函数（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=，证明g（x1）=g（x2）（x1＜x2）时，x1+x2＞2．21．椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＞2b点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上，椭圆r的上、下顶点分别为A，B，△AF1F2的面积为，（I）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）如图，过点P的直线l椭圆Γ相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．（i）求的取值范围；（ii）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．2018届全国高考模拟试（四）数学（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合{y|y=x2﹣2}，则M∪N=（）A．（﹣2，﹣1）B．[﹣2，﹣1）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）【考点】1D：并集及其运算．【分析】解不等式得集合M、求值域得集合N，再计算M∪N．【解答】解：集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}=（﹣2，﹣1），集合N={y|y=x2﹣2}={y|y≥﹣2}=[﹣2，+∞），则M∪N=[﹣2，+∞）．故选：D．2．已知复数z满足（2﹣i）=5，则z在复平面内对应的点关于y轴对称的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，进一步得到z，然后找对称点的坐标得答案．【解答】解：由（2﹣i）=5，得，∴z=2﹣i，则z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），关于y轴对称的坐标为（﹣2，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．如果实数x、y满足条件，那么z=4x•2﹣y的最大值为（）A．1 B．2 C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由4x•2﹣y=22x﹣y，设m=2x﹣y，利用数形结合即可．【解答】解：由4x•2﹣y=22x﹣y，设m=2x﹣y，则y=2x﹣m，作出不等式组对应的平面区域如图，平移直线y=2x﹣m，由图象可知当直线y=2x﹣m经过点C（0，﹣1）时，直线y=2x﹣m的截距最小，此时m最大．将C的坐标代入目标函数m=2x﹣y=1，此时z=4x•2﹣y=22x﹣y最大值为2，故选：B．4．角α的终边经过点A（﹣，a），且点A在抛物线y=﹣x2的准线上，则sinα=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】K8：抛物线的简单性质；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】先确定抛物线的准线方程，从而确定点A的坐标，利用三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：抛物线y=﹣x 2的准线方程为y=1∵点A （﹣，a ）在抛物线y=﹣x 2的准线上∴a=1∴点A （﹣，1）∴sinα=故选B ．5．若“m ＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数的图象不过第三象限，可得：m ﹣≥﹣1，解得m 范围．由“m ＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出．【解答】解：∵函数的图象不过第三象限，∴m ﹣≥﹣1，解得m ≥﹣．∵“m ＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，∴a ＜﹣．则实数a 的取值范围是．故选：D ．6．已知P 是△ABC 所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义；CF：几何概型．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC 的面积相除可得本题的答案．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．=S△ABC．∴S△PBC将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C7．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）A．（19+π）cm2 B．（22+4π）cm2C．（10+6+4π）cm2D．（13+6+4π）cm2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，（也可以看成是一个三棱柱与半圆柱的组合体），其底面面积S=×2×2+π=（2+π）cm2，底面周长C=2++=（2+2+π）cm，柱体的高为3cm，故几何体的表面积S=2×（2+π）+（2+2+π）×3=（10+6+4π）cm2，故选：C．8．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数的大致图象大致是（）A．B．C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用指数函数的性质求出a的范围，判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，可得a＞1，则函数是奇函数，可知B不正确；，时，函数＜0，排除A，当x→0+当x=a10时，函数=→0，排除D，故选：C．9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（）日．（结果保留一位小数．参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．1.3 B．1.5 C．2.6 D．2.8【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A n=，B n=，令=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：C．10．已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．3 C．D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M 的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．执行如图所示的程序框图，输出的i=4．【考点】EF：程序框图．【分析】计算每次循环的结果，与判断框条件比较，即可得到结论．【解答】解：第一次循环，S=，i=2；第二次循环，S=，i=3；第三次循环，S=，i=4；此时＞不成立，退出循环，输出i=4．故答案为：4．12．已知向量，满足=（1，3），，则=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设出的坐标，求得与的坐标，结合列式求解．【解答】解：设，又=（1，3），∴，．由，得（1﹣x）（1+x）+（3+y）（3﹣y）=0，即10﹣x2﹣y2=0，得x2+y2=10．∴．故答案为：．13．从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为2π．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC 与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB等于2×30°，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C的坐标为（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=3，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60°，所以∠ACB=120°，所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l==2π．故答案为：2π14．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．【考点】7F：基本不等式．【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，若关于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（0，1）∪{} ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】解方程可得f（x）=a或f（x）=，作出f（x）的函数图象，根据图象判断a的范围．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）=t，则由图象可得：当t=0时，方程f（x）=t只有1解；当0＜t＜1或t=时，方程f（x）=t有2解；当1时，方程f（x）=t有4解；∵5[f（x）]2﹣（5a+6）f（x）+6a=0，∴f（x）=或f（x）=a，∵f（x）=有4解，∴f（x）=a有两解，∴0＜a＜1或a=．故答案为：（0，1）∪{}．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）分成5组，制成如图所示频率分布直方图．（I）求图中x的值；（II）已知各组内的男生数与女生数的比均为2：l，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出x．（Ⅱ）由频率分布直方图得满意度评分值在[90，100]的人的频率为0.06，从而满意度评分值在[90，100]的人有6人，其中男、女各3人，从中随机抽取2人进行座谈，基本事件总数n==15，所抽取的两人中至少有一名女生的对立事件是抽取的两人都是男生，由此能求出所抽取的两人中至少有一名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：（x+0.08+0.21+0.30+0.35）×10=1，解得x=0.006．（Ⅱ）由频率分布直方图得满意度评分值在[90，100]的人的频率为0.006×10=0.06，∴满意度评分值在[90，100]的人有0.06×100=6人，其中男、女各3人，从中随机抽取2人进行座谈，基本事件总数n==15，所抽取的两人中至少有一名女生的对立事件是抽取的两人都是男生，∴所抽取的两人中至少有一名女生的概率：p=1﹣=．17．已知函数．（I）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（C）=，a=2，且△ABC的面积为，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算；GL：三角函数中的恒等变换应用．（I）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin 【分析】（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据f（C）=，求出C，a=2，且△ABC的面积为，求出b，利用余弦定理可得c的值．【解答】解：函数．化简可得：f（x）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）．（I）由≤2x+≤，k∈Z．得：≤x≤．∴函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（Ⅱ）∵f（C）=，即sin（2C+）=可得：2C+=，k∈Z．∵0＜C＜π，∴C=．由a=2，且△ABC的面积为，即S=sinC=，∴b=2．余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：=4．∴c=2．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F分别为PD，BC的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）G为线段PD上一点，若FG∥平面AEC，求的值．【考点】LT：直线与平面平行的性质；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明：AE⊥平面PCD，即可证明AE⊥PC；（2）取AP中点M，连接MF，MG，ME，利用平面MFG∥平面AEC，又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，MG∥AE，即可求的值．【解答】（1）证明：∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CD，在矩形ABCD中，CD⊥AD，又AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，在△PAD中，E为PD中点，PA=AD，∴AE⊥PD，又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AE⊥PC（2）解：取AP中点M，连接MF，MG，ME．在△PAD中，M，E分别为PA，PD的中点则ME为△PAD的中位线∴，又，∴ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF为平行四边形，∴MF ∥EC，又MF⊄平面AEC，EC⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC，又FG∥平面AEC，MF∩FG=F，MF，FG⊂平面MFG，∴平面MFG∥平面AEC，又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，∴MG∥AE，又∵M为AP中点，∴G为PE中点，又E为PD中点，∴，即．19．已知数列{a n}的前n项和为{S n}，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：a n=，求数列{b n}的通项公式；（III）令c n=，求数列{c n}的前2n项和T2n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由数列的递推式：n=1时，a1=S1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简计算即可得到所求通项公式；（Ⅱ）n=1时，求得b1=8，再将n换为n﹣1，相减可得b n=2（3n+1），检验即可得到所求通项；（III）求得c n==（﹣1）n•（n•3n+n），运用数列的求和方法：分组求和及错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n=n（n+1）（n∈N*）．可得n=1时，a1=S1=2；=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1上式对n=1也成立．则a n=2n，n∈N*；（Ⅱ）数列{b n}满足：a n=，可得n=1时，a1=，即有b1=8，n≥2时，a n=++…+，﹣1==2，相减可得a n﹣a n﹣1即有b n=2（3n+1），上式对n=1也成立．则b n=2（3n+1），n∈N*；（III）c n===（﹣1）n•（n•3n+n），数列{c n}的前2n项和T2n=﹣[1•3+3•33+…+（2n﹣1）•32n﹣1]+[2•32+4•34+…+2n•32n]+（﹣1+2﹣3+4﹣…﹣2n+1+2n），令S n=1•3+3•33+…+（2n﹣1）•32n﹣1，9S n=1•33+3•35+…+（2n﹣1）•32n+1，相减可得﹣8S n=3+2（33+35+…+32n﹣1）﹣（2n﹣1）•32n+1=3+2•﹣（2n﹣1）•32n+1，化简可得S n=+•32n+1，令M n=2•32+4•34+…+2n•32n，9M n=2•34+4•36+…+2n•32n+2，相减可得﹣8M n=18+2（34+36+…+32n）﹣2n•32n+2=18+2•﹣2n•32n+2，化简可得M n=+•32n+2，则T2n=﹣S n+M n+n=﹣+•32n+n．20．已知函数f（x）=axlnx+b（a，b为实数）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a，b的值及函数（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=，证明g（x1）=g（x2）（x1＜x2）时，x1+x2＞2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意可得关于a，b的方程组，求出a，b的值，可得函数解析式，再求出导函数，根据导函数的正负求原函数的单调区间；（2）求出函数g（x）=的解析式，由g（x1）=g（x2），可得＞0．把证明x1+x2＞2转化为证，即证＞，令（t＞1），则要证t﹣＞2lnt（t＞1）．构造函数h（t）=t﹣，利用导数证明得答案．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=a（1+lnx），∵曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1，∴，解得a=1，b=0．令f′（x）=1+lnx=0，得x=．当x＞时，f′（x）＞0，f（x）在（）上单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上单调递减．∴f（x）单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（2）证明：由（1）得：f（x）=xlnx+2，故g（x）=，（x＞0），由g（x1）=g（x2）（x1＜x2），得，即＞0．要证x1+x2＞2，需证，即证＞．设（t＞1），则要证t﹣＞2lnt（t＞1）．令h（t）=t﹣，则h′（t）=1+=．∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）=0，即t﹣．故x1+x2＞2．21．椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＞2b点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上，椭圆r的上、下顶点分别为A，B，△AF1F2的面积为，（I）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）如图，过点P的直线l椭圆Γ相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．（i）求的取值范围；（ii）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）求得直线y=﹣x的对称点，代入椭圆方程，则a=2，由bc=，b2+c2=4，由c＞b，即可求得b的值，求得椭圆的方程；（Ⅱ）（i）分类，当直线l的斜率不存在时，=﹣1，当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得的取值范围；（ii）由题意得，直线AD：y=x+1，直线BC：y=x﹣1，联立方程组，消去x得y，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（I）点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点（﹣2，0）在椭圆Γ上，则a=2，则△AF1F2的面积为S=×2c×b=，即bc=，①a2=b2+c2=4，②解得：b=，c=1或b=1，c=，由|F1F2|＞2b，即c＞b，则b=1，c=，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），∴=﹣1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），联立，消去y整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△＞0，可得4k2＞3，且x1+x2=﹣，x1x2=，∴=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）×+2k×（﹣）+4=﹣1+，∴﹣1＜＜，综上∈[﹣1，）；②由题意得，直线AD：y=x+1，直线BC：y=x﹣1，联立方程组，消去x得y=，又4kx1x2=﹣3（x1+x2），解得y=，故点Q的纵坐标为定值．。