椭圆的基本性质

课题：12.4椭圆的基本性质（二课时）

教学目标：

1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.

2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形．

3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.

4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用

教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆

（1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习

1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。

椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ）

2。焦点在y 轴上____________（ ）

若125

162

2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________

二．教学过程设计 一、引入课题

“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性

问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？

x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称；

y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称；

x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；

问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？

以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换

成－x 方程不变，相当于点P （x ，y ）在曲线上，点P 点关于y 轴的对称点Q （－x ，y ）也在曲线上，所以曲线关于y 轴对称．其它同理.

相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. （二） 顶点

问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？

在椭圆的标准方程中，令0=x ，得b y ±=，0=y ，得a x ±= 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.

顶点坐标；)0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -.

相关概念：线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于b a 2,2，

a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

在椭圆的定义中，c 2表示焦距，这样，椭圆方程中的c b a ，,就有了明显的几何意义.

问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令222b c a =-能使方程简单整齐，其几何意义是什

么？

c 表示半焦距，b 表示短半轴长，因此，联结顶点2B 和焦点2F ，可以构造一个直角三

角形，在直角三角形内，2

22

2

22

2OB F B OF -=，即222b c a =-.

（三） 范围

问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围．

12222=+b y a x 变形为：a x a a x a x a x b y ≤≤-⇒≤⇒≤≥-=222

22201， 这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围：a x a ≤≤-

同理，我们也可以得到y 的范围：b y b ≤≤- 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把12

2

2

2=+

b y a x 看成1cos sin 22=+αα，

利用三角函数的有界性来考虑b y

a x ,的范围；

方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以122

≤a

x ，

同理可以得到y 的范围

由椭圆方程中y x ,的范围得到椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里.

三、例题解析

例1 已知椭圆的方程为36492

2

=+y x .

（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;

（2） 写出与椭圆364922

=+y x 有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程. 解：解答见书本P48

[说明] 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用.

例2（1）求以原点为中心，一个焦点为),1,0(-且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程; （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程.

解：（1）由题意可知：

b a

c 2,1==，由222c b a =-，有1222=-b b ，

1=b ，2=a ; ∴椭圆的标准方程为：12

2

2

=+y x . （2）142

2=+y x 或14

1622=+x y . [说明] 此题利用椭圆标准方程中c b a ,,的关系来解题，要注意焦点在x 轴上或y 轴上的椭圆标准方程.

例3已知直线03=+-y kx 与椭圆14

162

2=+y x ，当k 在何范围取值时， （1） 直线与椭圆有两个公共点；

（2） 直线与椭圆有一个公共点； （3） 直线与椭圆无公共点.

解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14

1632

2y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162

-=∆∴k ； （1）当4

5

450)516(162

-<>

>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14

162

2=+y x 有两个公共点； （2）当4

5

450)516(162

-==

=-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14

16

22=+

y x 有一个公共点；