《简单的线性规划问题》ppt课件
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简单的线性规划问题课件
目标函数表示点(x，y)与点 M(1,1)的距离的平方．由图可 知，z 的最小值为点 M 与直线 x－y＝1 的距离的平方．即 zmin ＝(|1－12－1|)2＝12.
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
简单线性规划 课件(48张)
x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
编辑版pppt
32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
编辑版pppt
33
kOM＝－13. 答案：C
编辑版pppt
46
4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7. Nhomakorabeax＝1，
编辑版pppt
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
求： (1)x2＋y2 的最小值； (2)xy的最大值．
由
解得 C(2，1)，
3x－y－5＝0，
编辑版pppt
36
所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
编辑版pppt
37
类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x，
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大， 由(1)知 C1，32， 所以 vmax＝32，所以xy的最大值为32.
编辑版pppt
27
归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)解析：如图所示，
编辑版pppt
32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
编辑版pppt
33
kOM＝－13. 答案：C
编辑版pppt
46
4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7. Nhomakorabeax＝1，
编辑版pppt
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
求： (1)x2＋y2 的最小值； (2)xy的最大值．
由
解得 C(2，1)，
3x－y－5＝0，
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36
所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
编辑版pppt
37
类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x，
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大， 由(1)知 C1，32， 所以 vmax＝32，所以xy的最大值为32.
编辑版pppt
27
归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法
《简单线性规划》PPT课件
y x
的
x、y
满足约束条件
x
y
1
y 1
x y5
2、 图中阴影部分的点满足不等式组 2 x y 6
在这些点中，使目标函数
k
=
6x
+
8y
x
0,
y
0
取得最大值的点的坐标是__(_0__,_5__)__
2、某木器厂生产圆桌和衣柜两种木料，第一 种有 72 米 3，第二种有 56 米 3，假设生产 每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和 一个衣柜分别所需要木料如表所示，每生产一 张圆桌可获利润6元，生产一个衣柜可获利润 10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣 柜各生产多少，才使获得的利润最多？
y值 y=x
1
1
o
x
－1
x + y －1 = 0
y x
x
y
1
y 1
x 3 0
2x-y+1=0 y
1
1/2
1
o
x
x+y-1=0
y
2x-3y+2=0
2/3
-1 -1o/2
3
x
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮 甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨； 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸 盐15吨.现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨.如果在此基 础上进行生产，设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并 画出相应的平面区域.
解：x和y所满足的数学关系式为：
y
4 x y 10
4x+y=10
18 x 15 y 66
高中数学《简单的线性规划问题 》课件
11
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解 z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域 的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找 到最大值点或最小值点．
12
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
27
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
x≥0，
【跟踪训练 3】 记不等式组x＋3y≥4， 3x＋y≤4
所表示的平
面区域为 D，若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，则 a 的 取值范围是___12_，__4_ _．
28
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
24
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
探究3 已知目标函数的最值求参数 例 3 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最 大值，则 a 的取值范围为__a_>_1____．
解析 由约束条件画出可行域(如图)． 点 C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移 y＝－ax 时，使 直线在 y 轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(3)(教材改编 P89 例 6)某公司招收男职员 x 名，女职员 y
5x－11y≥－22， 名，x 和 y 需满足约束条件22xx≤＋131y≥，9，
简单的线性规划问题(4课时)PPT课件
12 5
.
3
x-4y+3=0
B
2
1C
3x+5y-25=0
0 1 234567 X
13
y
例2 已知x、y满足： x
y
求z＝2x＋y的最大值. y
2x＋y＝0
最优解（3，3），
最大值9.
O
x y2 3x 6
y＝x
M
x
y＝3x－6
x＋y＝2
14
小结作业
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
19
20
探究（一）：营养配置问题 t
p
1 2
5730
【背景材料】营养学家指出，成人良好
的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳
水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的
脂肪.已知1kg食物A含有0.105kg碳水化
合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花
费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水
（3）线性规划问题： 在线性约束条件下，求线性目标函数
的最大值或最小值问题，统称为线性规 划问题．
（4）可行解： 满足线性约束条件的解（x，y）叫
做可行解．
10
（5）可行域： 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
（6）最优解： 使目标函数取得最大或最小值的可行
解叫做最优解．
11
理论迁移
例1 设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
1
问题提出
t
p
1 2
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线性目标函数的最值一般都是在可行域 的顶点或边界取得.
把目标函数转化为某一直线,其斜率与 可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要 弄清楚.
9
10
11
相关概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
y
4 3
48
0
象这样关于x,y一次不等式组的 约束条件称为线性约束条件
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数 为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数
求线性目标函数,在线性约束下的最值问题, 统称为线性规划问题,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,
所有可行解组成的集合叫做可行域
x 使目标函数取得最值的可行解叫做这个
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
7
体验: 一、先定可行域和平移方向，再找最优解。 二、最优解一般在可行域的顶点处取得． 三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关．
8
小结
本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题
正确列出变量的不等关系式,准确作出 可行域是解决目标函数最值的关健
3
4
8x
当点P在可允许的取值范围变0化时,
求截距 z 的最值,即可得z的最值. 3
3
问题：求z=2x+3y的最大y 值.
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4
3
M（4，2）
4
8x
0
y2x z 33
Zmax 4 2 2 3 14 4
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成 的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
14
[练习]解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y
o
x
1
问题1：画出下列不等式组所表示的平面
区域. y
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
4
3
4
8x
0
y 0
问题2：在上述条件下，求z=2x+3y的最大值
2
问题2：求z=2x+3y的最大值. y
把z=2x+3y变形为y=-
2
34
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为 z 的直3 线,
问题的最优解
5
变式：求z=x+3y的最大值.
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
y1x z
33
zmax 2 3g3 11
6
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行
线中，利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线
y x x y 1 y 1
15
y x
x y 1
y
y 1
x+y=1
A
目标函数： Z=2x+y y=x
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
x C
2x+y=0
Zmax=3
16
把目标函数转化为某一直线,其斜率与 可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要 弄清楚.
9
10
11
相关概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
y
4 3
48
0
象这样关于x,y一次不等式组的 约束条件称为线性约束条件
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数 为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数
求线性目标函数,在线性约束下的最值问题, 统称为线性规划问题,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,
所有可行解组成的集合叫做可行域
x 使目标函数取得最值的可行解叫做这个
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
7
体验: 一、先定可行域和平移方向，再找最优解。 二、最优解一般在可行域的顶点处取得． 三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关．
8
小结
本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题
正确列出变量的不等关系式,准确作出 可行域是解决目标函数最值的关健
3
4
8x
当点P在可允许的取值范围变0化时,
求截距 z 的最值,即可得z的最值. 3
3
问题：求z=2x+3y的最大y 值.
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4
3
M（4，2）
4
8x
0
y2x z 33
Zmax 4 2 2 3 14 4
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成 的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
14
[练习]解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y
o
x
1
问题1：画出下列不等式组所表示的平面
区域. y
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
4
3
4
8x
0
y 0
问题2：在上述条件下，求z=2x+3y的最大值
2
问题2：求z=2x+3y的最大值. y
把z=2x+3y变形为y=-
2
34
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为 z 的直3 线,
问题的最优解
5
变式：求z=x+3y的最大值.
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
y1x z
33
zmax 2 3g3 11
6
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行
线中，利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线
y x x y 1 y 1
15
y x
x y 1
y
y 1
x+y=1
A
目标函数： Z=2x+y y=x
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
x C
2x+y=0
Zmax=3
16