空间几何体的体积

历庄高级中学高一数学导学案 总编号：017

空间几何体的体积

教学目标：1.了解的体积公式的推导过程，掌握球体的体积公式并会利用其熟练解题；会解球体与柱、棱、台组合体的体积有关的问题；

2.通过实际动手操作，理解公式由来的过程，感知数学在实际中的应用通过数学活动，感受实际生活对数学的需要.

教学重点：灵活运用球体的体积公式，并能应用于实践.

教学难点：球体的体积公式的推导过程及其应用.

教学过程：

一、问题情境

如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好上升r ，问： R ：r 的值是多少？

二、学生活动

（1）倒沙试验：

一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，用沙粒充满后，再将其所容纳的沙粒倒入一个半径为R 的半球内，结果刚好也能充满半球.说明两者体积相等.

（2）计算上图中的等高截面的体积：

上图中，取相同的高度h ，试计算出等高截面的面积，并观察它们的关系.并阅读课本，问：可用什么知识解释此问题？

三、建构数学

1、球体的公式：V =长方体 .

由上图可推出：

223112=233

V R R R R R πππ-= 球. 所以 V =球 亦可由“准椎体”推出：3124111=

3333

R V RS RS RS π=++⋅⋅⋅=球球面 2、球的表面积：=S 球面 .

即：球的表面积是球的大圆面积的 倍.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径.

思维点拨：公式的推导过程使用了“分割—求近似值—得准确值”的积分思想，让学生在探究的过程中体会并感受“无穷”、“极限”的思想.

四、数学运用

例1 如图是一个奖杯的三视图（单位：cm ），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01 cm ）

说明：计算组合体的体积时，考虑将其转化为计算柱、椎、台、球等常见几何体的体积.

例2 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，，求球的表面积和体积.

练习：

1.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径12cm ，深2cm 的空穴，求该球的表面积.

2.一平面截一球的到直径为6cm 的圆面，球心到这个面的距离为4cm ，求球的体积.

例3 直三棱柱的高为6cm ，底面三角形的三边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，将棱柱削去部分体积的最小值.

练习：

1、过球的半径中点，作一垂直于半径的截面，截面面积是248cm ，求球的表面积.

2、四个面均为全等三角形的三棱柱的内切球与外接球的体积之比为多少？

五、回顾小结

1.球的表面积公式与体积公式及推导过程.

2.求空间几何体的体积的方法有哪些？

直接法、公式法、割补法、等积法

3.几何体积的最值问题.

六、布置作业

七、课后反思