组合数学 第二章 容斥原理
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
组合数学中的容斥原理及其应用实例容斥原理又称为包含排斥原理，是组合数学中一个重要的计数技巧。
其思想是在计数过程中，先将需要计算的几个集合的元素个数求出，再减去它们的交集元素个数，最后加上它们的交集的交集元素个数。
用数学符号表示为：A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = \sum_{i} A_i - \sum_{i<j} A_i\cap A_j + \sum_{i<j<k} A_i\cap A_j\cap A_k - \cdots + (-1)^{n-1}A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n其中，A_i 表示集合A_i中元素的个数。
容斥原理在计数问题中的应用是十分广泛的。
下面以几个实例来说明其具体应用。
例1：10个人围坐在一张圆桌周围，问将他们分成若干组，每组至少有3个人，共有多少种分法？解：我们可以以每个小组首位的编号来考虑不重不漏地表示方案数，设小组数量为k，则总方案数为\sum_{k=1}^{5} \binom{10}{k} (k-1)!，其中\binom{10}{k}表示从10个人中选k个人分成小组，(k-1)!表示考虑首位编号的排列数。
但是，这样计算会重复计算某些情况，比如将10个人随便分成3组时，第一组有4个人，第二组有3个人，第三组有3个人，这个方案在计算k=3和k=4时都会被算一次，因此需要使用容斥原理去除重复。
根据容斥原理，减去既有一个人被分在恰好一组的情况，又有两个人被分在恰好一组的情况，再加上既有一个人被分在恰好两组的情况，有：\sum_{k=1}^5 (-1)^{k-1} \binom{10}{k} (k-1)! +\binom{10}{1}\binom{9}{3}2! + \binom{10}{2}\binom{8}{3}\binom{5}{3}1!即：151200 - 19,008 + 1,680 = 134,592因此，共有134,592种分法。
组合数学之容斥原理
对个人学习建议
01
深入理解容斥原理的 基本概念
要学好容斥原理，首先要深入理解其 基本概念和公式，掌握其基本原理和 思想。
02
多做练习题
通过大量的练习题，可以加深对容斥 原理的理解和掌握，提高解题能力和 思维水平。
03
拓展相关数学知识
容斥原理涉及到许多相关的数学知识 ，如集合论、概率论等。为了更好地 理解和应用容斥原理，建议学习者拓 展相关数学知识，建立完整的知识体 系。
THANK YOU
感谢聆听
有限制的排列问题
在n个元素中取出m个元素进行排列，要求某些元素必须相邻或某些元素不能相邻。可以 利用容斥原理，通过计算不满足条件的排列数，进而求得满足条件的排列数。
棋盘多项式问题
在n×n的棋盘上放置k个棋子，要求任意两个棋子不在同一行或同一列上。可以利用容斥原理， 通过计算至少有两对棋子在同一行或同一列上的放置方式数，进而求得满足条件的放置方式 数。
图论基本概念
01
图
02
顶点
03 边
04
度
路径
05
由顶点集和边集构成的一种数据结构，表示对象及其之间的 关系。 图中的基本元素，表示对象。
连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系。
与顶点相关联的边的数目。
从一个顶点到另一个顶点的一条边的序列。
容斥原理在图论中应用
计算图的着色数
利用容斥原理，通过计算不同 颜色着色的子图个数，进而求 得图的着色数。
当某些元素不能同时选取或某些选取 方式不符合要求时，可以通过容斥原 理来求解符合条件的排列组合数。
典型问题解析
错排问题
n个元素进行排列，要求每个元素都不在原来的 位置，求这样的排列有多少种。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
组合数学 —— 容斥定理
即：A∪B∪C = A+B+C - AB - BC - AC + ABC
当被计数的种类被推到 n 类时，其统计规则即遵循奇加偶减。
容斥定理最常用于求 [a,b] 区间与 n 互质的数的个数，该问题可视为求 [1,b] 区间与 n 互质的个数减去 [1,a-1] 区间内与 n 互质的个数，故而可先对 n 进行因子分解，然后从 [1,b]、[1,a-1] 区间中减去存在 n 的因子的个数， 再根据容斥定理，奇加偶减，对 n 的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。
2.求[1,n]中能/不能被m个数整除的个数
对于任意一个数 a[i] 来说，我们能知道在 1-n 中有 n/a[i] 个数是 a[i] 的倍数，但这样将 m 个数扫一遍一定会用重
复的数，因此需要用到容斥原理
根据容斥定理的奇加偶减，对于 m 个数来说，其中的任意 2、4、...Байду номын сангаас2k 个数就要减去他们最小公倍数能组成的 数，1、3、...、2k+1 个数就要加上他们的最小公倍数，因此 m 个数就有 2^m 种情况，对于每种状态，依次判
cnt=0; memset(bprime,false,sizeof(bprime)); for(LL i=2; i<N; i++) {
if(!bprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(LL j=i*i; j<N; j+=i) bprime[i]=true;
} } } void getFactor(int n){ num=0; for(LL i=0; prime[i]*prime[i]<=n&&i<cnt; i++) {
什么是容斥原理
什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要方法，它常常被用来解决计算某种特定情况下的元素个数的问题。
容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。
首先，我们来看一个简单的例子来理解容斥原理的基本思想。
假设有三个集合A、B、C，我们需要计算它们的并集的元素个数。
根据容斥原理，我们可以通过如下的公式来计算，|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式的意义是，先将A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减去它们两两交集的元素个数，最后再加上它们三个集合的交集的元素个数。
这样计算得到的结果，就是A、B、C三个集合并集的元素个数。
通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理的核心思想是通过加减交替的方式，来排除重复计数，最终得到不重复的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决各种组合数学问题。
例如，在排列组合中，我们常常需要计算满足某种条件的排列或组合的个数，这时就可以运用容斥原理来进行计算。
在概率统计中，容斥原理也常常被用来计算事件的概率，特别是在计算事件的互斥和独立性方面，容斥原理能够提供简洁而有效的计算方法。
除了上面提到的例子，容斥原理还可以应用于更加复杂的情况。
例如，在计算某个集合的补集元素个数时，容斥原理同样可以提供便利的计算方法。
在实际问题中，我们常常需要计算满足一定条件的集合的补集的元素个数，这时就可以利用容斥原理来简化计算过程，提高计算效率。
总的来说，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数的方式，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。
通过深入理解和灵活运用容斥原理，我们可以更加高效地解决各种计数问题，提高数学问题的解决能力。
容斥原理的三大公式
容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）是概率论和组合数学中常用的一种技巧，用于解决计数问题。
它通过对各种情况的交集和并集进行适当的计算，避免了重复计数或漏计的问题。
容斥原理的三大公式是指在应用容斥原理时常用的三个公式：
1.二项式容斥原理：
对于给定的事件A和B，二项式容斥原理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式表示，两个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们的交集概率。
2.三个事件的容斥原理：
对于给定的事件A、B和C，三个事件的容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。
这个公式表示，三个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们的三个事件的交集概率。
3.n个事件的容斥原理：
对于给定的n个事件Ai（1≤i≤n），n个事件的容斥原理可以表示为：
P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) -ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ... + (-1)^(n-1) * P(A1∩A2∩...∩An)。
这个公式表示，n个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们三个事件的交集概率之和，依此类推，最后加上或减去n 个事件的交集概率。
这些容斥原理的公式可以帮助我们在计算概率或解决组合数学问题时进行正确的计数，避免了重复计数或漏计的错误。
容斥原理组合恒等式
容斥原理组合恒等式
容斥原理是组合数学中一个重要的计数方法，它可以用来解决一些复杂的计数问题。
在这个原理中，我们通过计算不重叠的事件的数量来计算整个事件的数量。
为了更好地理解容斥原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个班级，里面有5个男生和4个女生。
我们现在想要从这个班级中选择出3个学生组成一个小组。
我们可以使用容斥原理来计算有多少种不同的组合方式。
我们可以计算出选择3个学生的总数。
根据组合数的定义，可以得到：C(9,3) = 84。
这表示我们从9个学生中选择3个学生的不同组合方式总共有84种。
接下来，我们需要计算出只选择男生或者只选择女生的组合方式数量。
只选择男生的组合方式数量为C(5,3) = 10，只选择女生的组合方式数量为C(4,3) = 4。
但是我们注意到，我们同时计算了既选择男生又选择女生的组合方式数量。
为了避免重复计算，我们需要从总数中减去这部分重复的组合方式数量。
根据容斥原理，我们得到最终的计算公式为：C(9,3) - C(5,3) - C(4,3) = 84 - 10 - 4 = 70。
所以，从这个班级中选择出3个学生组成一个小组的不同组合方式总共有70种。
通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理在解决组合问题中的作用。
它可以帮助我们避免重复计算，从而得到准确的计数结果。
在实际应用中，容斥原理经常被用来解决各种计数问题，尤其是在组合数学和概率论中。
无论是求解组合数，还是计算事件的概率，容斥原理都是一个非常有用的工具。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用来计算多个事件的概率或计数。
容斥原理的核心思想是通过逐步剔除重复计数的方式得到准确的计数结果。
下面将详细介绍容斥原理及其应用。
一、容斥原理的基本概念：设集合U为一个样本空间，A₁，A₂，...，Aₙ为U的n个子集，容斥原理给出了如下关于这些集合的计数或概率的公式：```P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ)=Σ[P(A₁)-P(A₁∩A₂)+P(A₁∩A₂∩A₃)-...+(-1)ⁿ⁻¹P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ)]```其中P(A₁)表示事件A₁的概率，P(A₁∩A₂)表示事件A₁与A₂同时发生的概率，依此类推。
二、容斥原理的证明：容斥原理的核心思路是通过排除重复计数的方法得到准确的计数结果。
可以用一个数轴来表示样本空间U，集合A₁，A₂，...，Aₙ所对应的子集分别在数轴上画出，然后逐步排除交集的部分。
具体证明过程如下：1.先考虑只有两个集合A₁和A₂的情况，根据概率的加法原理可得：```P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁∩A₂)```这里P(A₁∩A₂)表示事件A₁和A₂同时发生的概率，由于在P(A₁)和P(A₂)中分别计算了P(A₁∩A₂)，所以要减去一次P(A₁∩A₂)去除重复计数。
2.推广到三个集合A₁、A₂、A₃的情况，根据加法原理得：```P(A₁∪A₂∪A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)-P(A₁∩A₂)-P(A₁∩A₃)-P(A₂∩A₃)+P(A₁∩A₂∩A₃)```这里减去了P(A₁∩A₃)和P(A₂∩A₃)是因为它们在P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)中分别计算了两次，要减去一次去除重复计数。
加上P(A₁∩A₂∩A₃)是因为它在前面的计算中被减去了两次，要加回来。
3.对于n个集合的情况，以此类推可以得到容斥原理的一般形式。
三、容斥原理的应用：容斥原理在组合数学和概率论中具有广泛的应用1.计数问题：利用容斥原理可以解决一些与集合计数相关的问题，如给定集合A₁，A₂，...，Aₙ，求它们的并集的元素个数。
二集合容斥原理公式
二集合容斥原理公式二集合容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集的问题。
它在概率论、数论、组合数学等领域有着广泛的应用，是一种非常有用的工具。
在这篇文档中，我们将介绍二集合容斥原理的公式及其应用。
首先，我们来看一下二集合容斥原理的公式。
假设A和B是两个集合，那么它们的交集记为A∩B，即同时属于A和B的元素组成的集合。
它们的并集记为A ∪B，即属于A或者属于B的元素组成的集合。
那么，二集合容斥原理的公式可以表示为：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示A 和B的交集的元素个数，|A∪B|表示A和B的并集的元素个数。
这个公式的含义是，A和B的并集的元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数，再减去A和B的交集的元素个数。
这样一来，我们就可以利用这个公式来计算集合的并集的元素个数，而不需要一个个地去列举。
接下来，我们来看一下二集合容斥原理的应用。
在实际问题中，我们经常会遇到需要计算集合的交集和并集的情况，而二集合容斥原理可以帮助我们简化计算过程，节省时间和精力。
例如，假设有一个班级里有60名学生，其中40名学生会打篮球，30名学生会踢足球。
那么，我们想知道会打篮球或者踢足球的学生有多少人。
我们可以利用二集合容斥原理来计算：|打篮球∪踢足球| = |打篮球| + |踢足球| |打篮球∩踢足球|。
代入已知条件，得到：|打篮球∪踢足球| = 40 + 30 |打篮球∩踢足球|。
现在我们已知了打篮球和踢足球的人数，但是我们不知道同时会打篮球和踢足球的人数。
这时候，我们可以利用其他方法来计算出打篮球和踢足球的交集的人数，然后代入公式，就可以得到会打篮球或者踢足球的学生人数。
通过这个例子，我们可以看到二集合容斥原理在实际问题中的应用。
它可以帮助我们简化计算过程，提高效率，解决集合交集和并集的问题。
总之，二集合容斥原理是一种非常有用的工具，它可以帮助我们解决集合之间的交集和并集的问题。
组合数学(第二版)容斥原理
容斥原理
图 4.4.3 有禁区的排列
容斥原理
【例 4.4.5】(错排问题) 即第i个棋子不能排在第i行的第i 个位置,问题可以看作在 一个n×n 的棋盘上,以对角线上的方 格为禁区A 的布局问题,求布局方案数.
解 如图4.4.4所示,阴影部分为禁区构成的棋盘A,由式 (4.4.6)知
从而必有
容斥原理 因此,由公式(4.4.8)可得错排的方案数为
容斥原理
4.2 容 斥 原 理
引理 4.2.1 设A,B 为有限集合,则有
容斥原理
证 显然,对于A+B 中的元素a,在等式左边恰被统计一次, 而在等式右边被统计 的次数,可分为如下三种情形来考虑:
(1)a∈A,但a∉B,则a 也恰被统计一次; (2)a∉A,但a∈B,同样恰被统计一次; (3)a∈A 且a∈B,那么必有a∈AB,从而a 被统计1+1-1=1 次. 所以,a 在等式两边被统计的次数是相同的,引理4.2.1得 证.
容斥原理
4.1 引 言
容斥原理 关于集合的运算,有:
容斥原理 集合的运算,满足下列运算定律:
容斥原理
当集合A 中的元素为有限个时,称A 为有限集合,其元素 个数记为|A|,亦称为A 的 势.关于|A|,有如下简单性质:
(1)若集合A、B 不相交,即AB=⌀,则|A+B|=|A|+|B|; (2)若A⊃B,则|A-B|=|A|-|B|.
(2)j=k,则a 在q- 中只出现一次,且当i>k 时,a 在q- 中同样 不可能被统计;
容斥原理
容斥原理
在所讨论的问题中,如果性质 P1,P2,…,Pn 是对称的,即具 有k 个性质的事物的 个数不依赖于这k 个性质的选取,总是等 于同一个数值,则称这个值为公共数,记作Rk, 例如:
容斥问题讲解方法
容斥问题讲解方法一、容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要原理，主要用于解决包含与排斥的问题。
当两个或多个集合存在重叠时，我们不能简单地将这些集合的元素数目相加，因为重叠部分的元素被重复计算了。
容斥原理提供了解决这类问题的方法，通过将各个集合的元素数目两两相减，得到不重叠部分的元素数目。
二、基本形式两个集合的容斥问题：设A和B是两个集合，则A和B 的并集的元素数目可以通过|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| 来计算。
三个集合的容斥问题：设A、B和C是三个集合，则A、B和C的并集的元素数目可以通过|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C| 来计算。
三、复杂形式当集合的数量增加时，容斥原理可以扩展到更复杂的形式。
通过递归或归纳的方法，可以将多个集合的并集的元素数目表示为各个集合元素数目的函数。
四、解题技巧明确问题的条件和目标：首先需要明确问题的条件和目标，确定涉及的集合以及它们之间的关系。
画出文氏图：在理解问题时，可以通过画出文氏图来直观地表示各个集合以及它们的重叠部分。
文氏图是一种用封闭曲线表示集合及其关系的图形。
应用容斥原理：根据问题的具体情况，选择适当的容斥原理公式来解决问题。
如果涉及多个集合，需要仔细分析它们的重叠关系。
简化计算：在应用容斥原理时，需要注意简化计算，避免出现大量的重复计算和复杂运算。
可以采取提取公因式、使用对称性等方法来简化计算。
检查答案：在解决问题后，需要检查答案是否符合实际情况和逻辑，确保答案的正确性。
五、注意事项理解问题的背景和要求：在解决容斥问题时，需要注意理解问题的背景和要求，弄清各个集合的含义和关系。
避免重复计数：在应用容斥原理时，需要注意避免重复计数。
特别是当集合之间存在多重重叠时，需要仔细分析重叠部分的关系。
分情况讨论：当问题涉及多种情况时，需要注意分情况讨论。
不同情况下的集合关系可能会有所不同，需要分别进行分析和计算。
容斥原理的证明及应用
容斥原理的证明及应用1. 容斥原理的概述容斥原理是组合数学中的一种重要的计数原理，用于计算多个集合的并集或交集的大小。
容斥原理指出，当计算多个集合的并集或交集时，需要减去同时属于这些集合的部分，以避免重复计数。
2. 容斥原理的证明容斥原理的证明基于集合的基本性质：对于任何集合A和B，它们的并集大小可以表示为两个集合大小之和减去交集的大小：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|这个性质可以推广到多个集合的情况。
假设有n个集合A1, A2, …, An，它们的并集大小可以表示为：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ A3| + ... + (-1)^(n-1) * |An-1 ∩ An ∩ An+1| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An|这个式子可以用数学归纳法证明，但这里只给出直观的证明思路。
考虑一个元素x，它在A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An 中出现的次数：count(x) = count(x在A1中出现的次数) + count(x在A2中出现的次数) + ... + count(x在An中出现的次数)如果x同时出现在k个集合，则它被计算了k次。
根据这个思路，我们可以将上式中的每一项拆分为不同的元素计数，再进行求和，即可得到容斥原理的公式。
3. 容斥原理的应用容斥原理在组合数学、概率论、计算机科学等领域都有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景。
3.1 整数划分整数划分是将一个正整数分解为一系列小于等于它的正整数之和的问题。
使用容斥原理可以解决整数划分的计数问题。
假设要将正整数n划分为k个正整数之和，那么可以定义k个集合，其中第i个集合表示第i个整数的范围为[1, n]。
组合数学之容斥原理
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算一个集合 中具有某种性质的元素个数比起直接计算来得简 单.
例如: 计算1到700之间不能被7整除的整 数个数.
先计算1到700之间能被7整除的整数个数=700/ 7=100, 所以1到700之间不能被7整除的整数个数 =700-100=600.
4
上面举的间接计数的例子是利用了如下原 理：如果A是集合S的子集, 则A中的元素 个数等于S中的元素个数减去不在A中的元 素个数, 这个原理可写成：
组合数学
容斥原理
1
一. 引言
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数. ●在实际中, 有时要计算具有某种性质 的元素个数. 例如: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
2
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为
学英语, 法语人的集合, 如图所示.
●学两门外语的人数为|AB|, 只学一门外语的人数为|AB|-|AB|, 没有参加学习的人数为|U|-|AB|.
15
Aj=(n-1)!, j=1,2,3,,n. AiAj=(n-2)!, i,j=1,2,3,,n, 但ij. 对于任意整数k且1kn, 则有
| Ai1 Ai2 Aik | ( n k )!
因为{1,2,3,,n}的k组合为C(n,k)个, 应用容斥原理得到:
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
其中A表示A在S中的补集或余集 .
5
● 原理的重要推广, 称之为容斥原理,
并且将它运用到若干问题上去, 其 中包括： 错位排列、 有限制的排列、 禁位排列和 棋阵多项式等.
6
二. 容斥原理
容斥原理公式
容斥原理公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集问题。
容斥原理的应用范围非常广泛，涉及到概率论、组合数学、计算几何等多个领域。
在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算，提高问题求解的效率。
本文将介绍容斥原理的基本概念和公式推导，希望能够帮助读者更好地理解和运用容斥原理。
首先，我们来看容斥原理的基本概念。
容斥原理是指对于给定的集合A，B，C…的交集和并集问题，可以通过容斥原理来求解。
假设A，B，C…是有限集合，那么它们的交集和并集可以表示为：并集，A∪B∪C = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
交集，A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。
其中，|A|表示集合A的元素个数。
这就是容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以方便地求解集合的交集和并集问题。
接下来，我们来看容斥原理的公式推导。
首先，我们可以通过一个简单的例子来理解容斥原理的推导过程。
假设有三个集合A，B，C，我们要求它们的交集。
根据容斥原理的基本公式，交集可以表示为：A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。
这个公式的推导过程可以通过集合的特征函数来解释。
我们定义集合A，B，C的特征函数分别为χA(x)，χB(x)，χC(x)，其中χA(x)表示元素x是否属于集合A。
那么集合的交集可以表示为：A∩B∩C = ΣχA(x)χB(x)χC(x)。
通过特征函数的定义，我们可以将交集的计算转化为特征函数的计算，进而得到容斥原理的公式推导过程。
在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算。
例如，在概率论中，我们经常需要计算多个事件的交集和并集，这时容斥原理可以帮助我们简化计算过程。
在组合数学中，容斥原理也经常用于计算排列组合的问题，提高问题求解的效率。
组合数学及其应用——容斥原理
组合数学及其应⽤——容斥原理
容斥原理在集合论、概率论、组合数学中都常常出现，它是下⾯⼀个结论的推⼴。
这是因为，我们分别减|A|、|B|的时候，把|AB|减掉了两次，因此这⾥应该再加⼀次。
它的推⼴形式就是容斥定理。
在给出证明之前，我们很有必要充分的理解⼀下这个公式的内涵。
我们基于S集合上的⼀系列离散元素上讨论不满⾜m个性质的对象(元素)个数。
我们假想某⼀种性质的具体表现为：⼀根丝带，圈住了满⾜这⼀条性质的所有元素(本质上就是画Venn图)，现在我们想要求的就是没有被特定的m条丝带圈出的元素个数。
这个定理再利⽤德摩根律能够做出等价变化，它在计数、反演公式等⽅⾯发挥着重要作⽤。
下⾯开始结合⼀些具体的例⼦来拓展和深化对容斥定理的理解。
错位排列：
⾸先直观的解释什么是错位排列，然后我们再去探讨它如何与容斥原理结合起来.
所谓错位排列，举个最简单的例⼦，在⼀个宴会上，10位绅⼠都有着⾃⼰的帽⼦，将这些帽⼦混合起来，10位绅⼠各⾃拿了⼀个帽⼦，考察每⼀位绅⼠发现，他们⼿中的帽⼦均不是⾃⼰原本的帽⼦，那么这就是⼀种错位排列，我们关⼼的是，有多少种这样的错位排列？
关于错位排列，我们继续讨论⼀些内容。
通过上⾯利⽤容斥定理这个⾓度看错排，我们得到了⼀个概率的极限结果，现在我们讨论⼀个易于计算错排公式的⽅法。
⼀个具有限制位置的计数问题：
假设⼀天8个男⽣按照标号1,2…7,8的序号站队去晨跑，第⼆天⽼师想要换⼀下站队顺序，要求是每个男孩前⾯的男孩都不是他昨天前⾯的男⽣，那么请问有多少种符合的排列⽅式？
简单的讲，就是说8的全排列中，不含12,23,…,78的排列个数.。
容斥原理公式
容斥原理公式什么是容斥原理容斥原理是概率论与组合数学中的重要理论之一，它是一种计算交集的概率或数量的方法。
容斥原理可以用于解决包含多个事件或集合的情况下的数学问题。
容斥原理的思想是通过减去重叠部分来计算交集的数量。
它提供了一种有效的计算包含多个集合的交集的方法，允许我们回答类似于“同时满足A和B的概率是多少？”或“在给定的条件下，同时满足A、B和C的数量是多少？”等问题。
容斥原理公式容斥原理可以通过一个简单的公式来表示。
给定n个集合A1，A2，…，An，那么这些集合的交集的数量可以通过以下公式计算：|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∪ A2| - |A1 ∪ A3| - ... - |An-1 ∪ An| + |A1 ∪ A2 ∪ A3| + ... + (-1)^(n-1) |A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An|其中，|A|表示集合A的元素数量，∩表示交集，∪表示并集，(-1)^(n-1)表示(-1)的n-1次幂。
如何使用容斥原理容斥原理可以用于解决各种问题，包括组合数学和概率论中涉及多个集合的问题。
以一个简单的例子来说明如何使用容斥原理。
假设有三个集合A，B和C，我们希望计算同时属于A、B和C的元素数量。
首先，我们可以计算各自集合的元素数量，即|A|、|B|和|C|。
然后，我们计算每两个集合的并集的元素数量，即|A ∪ B|、|A ∪ C|和|B ∪ C|。
接下来，我们计算同时属于三个集合的元素数量，即|A ∩ B ∩ C|。
根据容斥原理公式，我们可以通过减去重叠部分来计算交集的数量：|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∪ B| - |A ∪ C| - |B ∪ C| + |A ∪ B ∪ C|这样，我们就可以得到同时属于A、B和C的元素数量。
容斥原理的推广容斥原理不仅适用于多个集合的情况，还可以推广到更复杂的情况。
容斥原理阴影面积画勾法
容斥原理阴影面积画勾法什么是容斥原理？容斥原理，又称为容斥原则或包容原理，是概率论和组合数学中的一种计数方法。
它用于解决多个集合的并、交问题。
容斥原理是集合论中一个非常重要的方法，它通过巧妙地计算某个集合的元素个数，使得我们能够处理相对复杂的集合操作问题。
容斥原理可以用另外一种形式描述，即对于给定的一组集合A₁, A₂, ... , Aₙ，计算它们的并集的元素个数，可以通过依次减去交集的元素个数再加上二次交集、三次交集...以此类推，直到最后一个交集的元素个数。
数学表达式如下：A₁∪A₂∪ ... ∪Aₙ= A₁+ A₂+ ... + Aₙ- A₁∩A₂- A₁∩A₃- ... + (-1)^(n+1) A₁∩A₂∩ ... ∩Aₙ这个公式中的' ' 符号表示集合的元素个数，∩表示交集，∪表示并集。
如何运用容斥原理解决问题？首先，我们需要分析问题中的集合，确定需要计算的集合以及它们的交集。
接下来，我们可以利用容斥原理的计数公式，一步一步地计算集合的并集的元素个数。
具体步骤如下：1. 计算每个单个集合的元素个数，即A₁，A₂，...，Aₙ。
2. 计算每两个集合的交集的元素个数，即A₁∩A₂，A₁∩A₃，...。
3. 计算每三个集合的交集的元素个数，即A₁∩A₂∩A₃，A₁∩A₂∩A ₄，...。
4. 依此类推，计算每个集合的交集的元素个数。
5. 最后，根据容斥原理的计数公式，将上述计算的结果代入公式，得到并集的元素个数。
通过应用容斥原理，我们可以解决一些涉及集合操作的问题，例如计算排列组合问题、计算给定条件下的选择方式个数等。
容斥原理在实际问题中的应用容斥原理在实际问题中的应用非常广泛。
下面我们以阴影面积画勾法为例，通过讨论一个具体问题来说明容斥原理的应用。
假设有一个正方形区域，边长为a。
在该正方形中，有两个对角线，我们希望计算这两个对角线的阴影面积。
首先，我们可以将阴影面积划分为两个部分：一个是在第一个对角线之下且在第二个对角线之上的部分，另一个是在第二个对角线之下且在第一个对角线之上的部分。
什么是容斥原理
什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要的计数方法，常常用于解决包含排列组合的问题。
容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来求解包含多个集合的问题。
在实际问题中，容斥原理有着广泛的应用，特别是在概率统计、组合数学、计算机算法等领域。
首先，我们来了解一下容斥原理的基本概念。
假设有n个集合A1、A2、……、An，我们希望求解这些集合的并集的元素个数。
容斥原理告诉我们，这个并集的元素个数可以通过如下的公式来计算：|A1 ∪ A2 ∪……∪ An| = Σ|Ai| Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| …… + (-1)^(n-1) |A1 ∩ A2 ∩……∩ An|。
其中，|A|表示集合A的元素个数，Σ表示求和运算。
公式右边的第一项是将所有集合的元素个数相加，第二项是将两两集合的交集的元素个数相减，第三项是将三个集合的交集的元素个数相加，以此类推。
最后一项是将所有集合的交集的元素个数相加，并且交替加减。
通过这个公式，我们可以清晰地看到容斥原理的核心思想，通过交替相加和相减集合的交集元素个数，来排除重复计数，最终得到并集的元素个数。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个集合包含了所有小于100的正整数中能被2、3或5整除的数，我们希望求解这个集合中元素的个数。
首先，我们分别求解能被2、3和5整除的数的个数，分别记为A2、A3和A5。
然后，我们求解能同时被2和3、2和5、3和5以及2、3和5整除的数的个数，分别记为A2∩3、A2∩5、A3∩5和A2∩3∩5。
最后，根据容斥原理的公式，我们可以得到集合中元素的个数：|A2 ∪ A3 ∪ A5| = |A2| + |A3| + |A5| |A2 ∩ A3| |A2 ∩ A5| |A3 ∩ A5| + |A2 ∩ A3 ∩ A5|。
通过具体的计算，我们可以得到最终的结果。
这个例子清晰地展现了容斥原理在实际问题中的应用，通过排除重复计数，我们可以准确地求解集合的并集元素个数。
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500 5
100,|A
B|
500 15
33
根据容斥原理，从1到500的整数中被3或5除尽的数的个数为
|A B| |A|+|B||A B| 233
§2.1 容斥原§理2例.41 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例4、求有a,b,c,d四个字符构成的n位符 号串中，a,b,c至少出现一次的符号串的 数目。
A BA B
A BA B
注：De Morgan定律可推广到n个有限子集。
S
A
S AB
§§22..11容容斥原斥理原定理理1-1
2.1.2 计数定理
定理 2.1
|A B| |A||B||A B|
可用Venn图说明该定理的正确性。 或通过组合分析法，若A代表具有性质a的元素集合，B代表具有 性质b的元素集合，等式左端表示至少具有性质a、b之一的元素 个数，|A|表示具有性质a的元素个数，|B|表示具有性质b的元素个 数，但二者相加时，同时具有性质a、b的元素计数重复加了一次， 故需要减去重复的数|A∩B|。 注：加法法则相当于该等式A∩B=Φ的一个特例。
解：设S为26个字母的全排列集，令Ai分别为出现dog, god, gum, depth, thing的排列集，i=1,2,3,4,5。出现dog的排列，可把dog作 为一个元素看，|A1|=24!，同理|A2|=|A3|=24!，|A4|=|A5|= 22!。因 dog, god不可能同时出现，故|A1∩A2|=0，同理|A2∩A3|=|A1∩A4|= |A1∩A5|= 0，gum, dog可以在dogum中同时出现，故|A3∩A1|=22!， 同理|A2∩A4|=|A3∩A4|=|A5∩A2|=|A5∩A3|=20!, |A4∩A5|=19!。同理 |A1∩A2∩A3|=|A1∩A2∩A4|=|A1∩A2∩A5| =|A2∩A3∩A4|=|A2∩A3∩A5|=|A1∩A4∩A5|=|A1∩A3∩A4| =|A1∩A3∩A5|=|A2∩A4∩A5|= 0，|A3∩A4∩A5|=17!，其他4个、5 个子集的交集均为空集。 根据容斥原理，所求的排列数为
定理 2.4
素的子集，则S中至少具有性质pi (i=1,2,…,nn)的一 个性质的元素个数为：|A1 A2 ... An| |Ai |
i 1
|Ai Aj | |Ai Aj Ak | ... (1)n1|A1 A2 ... An|
i j
i jk
证性明质：元素由所于组集成合的A1子集A2，所...以有An 是S中至少具有n个性质中一个
26!-3×24!-22!+4×20!+19!-17!
§2.1 容斥原§理2例.71 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例7、欧拉函数(n)是求小于n且与n互
素的自然数的个数。 (n∈N) 求欧拉函数表达式。
解：对任一大于1的正整数n都可惟一地分解为
n
p1 1
p2 2
...
pk k
其中p1＜p2＜…＜pk都是不超过n的素数，且α1,α2,…,αk都是正整
解：设S为60名学生的集合，令M为喜欢数学课的学生集合，P为 喜欢物理课的学生集合，C为喜欢化学课的学生集合。 根据题意有|S|=60，|M|=24，|P|=28，|C|=26，|M∩P|=10， |P∩C|=14， |C∩M|=8， |M∩P∩C |=6 ，根据容斥原理，则该班级 三门学科都不喜欢的学生数为
§2.1 容斥原理§定理2.31 容斥原理
2.1.3 容斥原理 若Ai (i=1,2,…,n) S，且Ai是S中具有性质pi的元
定理 2.3
素的子集，则S中不具有性质pi
(i=1,2,…,n)的元 n
素的个数为：|A1 A2 ... An| |S| |Ai |
i 1
|Ai Aj | |Ai Aj Ak | ... (1)n|A1 A2 ... An|
数。设S={1,2,…, n}， Ai为S中能被pk整除的子集，i=1,2,…,k。显 然有|S|=n, |Ai|=n/pi, (i=1,2,…,k), |Ai∩Aj|=n/(pi pj), (i,j=1,2,…,k; i≠j),…,|A1∩A2 ∩…∩Ak|=n/(p1p2…pk)k，根据容斥原理，有
§2.1 容斥原§理2例.51 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例5、求不超过120的素数个数。
解：设S={1,2,…,120}，因为102＜120＜112，故120以内的合数必 然是2,3,5,7的倍数，令Ai为120以内数i的倍数集，i=2,3,5,7，有
|S| 120,|A2| 120 2 60,|A3| 120 3 40, |A5| 120 5 24,|A7| 120 7 17, |A2 A3| 120 6 20,|A2 A5| 120 10 12,|A2 A7| 120 14 8, |A3 A5| 120 15 8,|A3 A7| 120 21 5,|A5 A7| 120 35 3, |A2 A3 A5| 120 30 4,|A2 A5 A7| 120 70 1, |A2 A3 A7| 120 42 2,|A3 A5 A7| 120 105 1, |A2 A3 A5 A7| 120 210 0
解：令M为修数学课的学生集合，P为修物理课的学生集合，C为 修化学课的学生集合。
据题意有|M|=170，|P|=120，|C|=130，|M∩P|=45，|P∩C|=22， |C∩M|=20，|M∩P∩C|=3 ， 则该学校的学生数为
|M∪P∪C|=|M|+|P|+|C|-|M∩P|-|P∩C|-|C∩M|+|M∩P∩C|=336
C(m,k)=0，有C(m,0)-C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)nC(m,n)= C(m,0)-
C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)mC(m,m)=0。因此y具有n个性质中至少一个
性质时，被计算的次数净值为0。 定理得证。
§2.1 容斥原理§定理2.41 容斥原理
2.1.3 容斥原理 若Ai (i=1,2,…,n) S，且Ai是S中具有性质pi的元
§§22..11 容容斥斥原原理理定理2
2.1.2 计数定理 |A B C| |A||B||C||A B|
定理 2.2
|B C||C A||A B C|
|A B C| |S|-(|A||B||C|)+(|A B|
|B C|+|C A|)|A B C|
证明： |A B C| |( A B) C| |A B||C||( A B) C| |A||B||C||A B||( A C ) (B C )| |A||B||C||A B||A C||B C||A B C|
证明： |A B C|=|A B C|=|S||A B C| =|S| (|A||B||C|) (|A B||A C||B C|)|A B C|
§§2.21.1 容容斥斥原原理理例1
2.1.2 计数定理
例题
例1、一个学校只有三门课程：数学、 物理、化学。已知修这三门科的学生分
别 有 170 、 130 、 120 人 ； 同 时 修 数 学 物 理两门课的学生有45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人； 同时修三门科的学生3人。问这学校有 多少学生？
|A1 A2 ... An| |S||A1 A2 ... An|
|S||A1 A2 ... An| 代入上述定理，即可得证。
§2.1 容斥原§理2例.21 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例2、求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不 允许出现ace和df图像的排列数。
解：令S为这六个字母的全排列集合，A为ace作为一个元素出现 的排列集合，B为df作为一个元素出现的排列集合。 根据题意有|S|=6!，|A|=4!，|B|=5!，|A∩B|=3!，根据容斥原理， 不允许出现ace和df的排列数为
但该计算过程排除了素数2,3,5,7，又包含1这个非合数，故所求 120以内的素数数目为
27+4-1=30
§2.1 容斥原§理2例.61 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例6、用26个英文字母做不允许重复的全 排 列 ， 要 求 排 除 dog, god, gum, depth, thing字样的出现，求满足这些条件的排列 数。
根据容斥原理，有
|A2 A3 A5 A7| |S| (|A2||A3| A5||A7|) (|A2 A3||A2 A5| |A2 A7||A3 A5||A3 A7||A5 A7|) (|A2 A3 A5||A2 A5 A7| |A2 A3 A7||A3 A5 A7|)|A2 A3 A5 A7| 27
§§22.1.1容容斥斥原理原定理理1-2
2.1.2 计数定理
定理 2.1
|A B| |A||B||A B| |A B| |S||A||B||A B|
同样可用Venn图说明该定理的正确性。 该等式表示同时不具有性质a、b的元素个数的计数方法。同时不 具有性质a、b的元素个数应该在全集S中去掉|A|和|B|，但此时同 时具有性质a、b的元素计数重复减了一次，故需要加上重复的数 |A∩B|。
解：令S为四个字符的所有n位符号串集合，A,B,C分别为n位符号 串中不出现a,b,c的集合。 根据题意有
|S| 4n |A| |B| |C| 3n
|A B| |B C| |C |A B C| 1
A| 2n
根据容斥原理， a,b,c至少出现一次的符号串数目为
|A B C| |S| ( A||B||C|) (|A B||B C||C A|)|A B C| 4n 3 3n 3 2n 1
i j
i jk
证明：可以利用数学归纳法证明。或用组合分析方法如下：