直线与平面垂直的判定

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直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定1．如果一条直线l和一个平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做．2．过一点一条直线与已知平面垂直；过一点一个平面与已知直线垂直．3．直线与平面垂直的判定方法：(1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条．用符号表示为.(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号表示为.4．一条直线P A与平面α相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的，交点A叫做，过斜线上除斜足外的任一点P作平面α的垂线PO，则AO叫做．平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做，一条直线垂直于平面，它们所成的角为，一直线平行于平面或在平面内，它们所成的角为.主要要点：1．线面垂直的判定①用定义：证l和α内任意一条直线垂直．②用定理：证l和α内“两条相交”直线都垂直，我们可把定理简化为：线线垂直⇒线面垂直．③利用平行线：若a⊥α，证l∥a即可知l⊥α. 2．由线面垂直定义：l⊥α，a⊂α，则l⊥a.3．A是平面α外一点，AB⊥α，B为垂足，则线段AB叫做点A到平面α的垂线段，垂线段的长叫做点A到平面α的距离，点B是A在平面α内的正投影(简称射影)设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影．(1)若P A＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．(2)若P A、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．二、典型例题[例1]在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证：CD⊥平面ABC.练习1、在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．练习2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为___________.例3、有一根旗杆AB 高12m ，它的顶端A 挂着两条长13m 的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C 、D (和旗杆脚B 不在同一条直线上)．若这两点和旗杆脚B 的距离都是5m ，则旗杆就和地面垂直，为什么？练习3、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.[例4] 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD∥BC ，∠ABC＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面P AC .练习4、如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1，(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.例5、过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α与一点P .求证：过点P 与α垂直的直线只有一条．练习5、(1)已知：直线l ⊥平面α，垂足A ，直线AP ⊥l .求证AP 在平面α内． (2)已知直线a 不在平面α内，且与平面α的一条垂线b 垂直，求证：a ∥α.例6、如图a ∥b ，点P 在a 、b 所确定的平面外，P A ⊥a 于A ，AB ⊥b 于B .求证：PB ⊥b .基础练习1．如图，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．12．若一条直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l 与α的关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．不确定3．设m ，l 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m4．如图，从直线CD 出发的两个半平面α、β，EA ⊥α于A ，EB ⊥β于B ，求证：CD ⊥AB .5．S 为直角△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC . (1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥平面ABC ； (2)若直角边BA ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .巩固练习：一、选择题1．下列命题中，正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ②过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑤过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是( )A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥βB ．l ⊂α，m ⊂β，且l ∥mC ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥mD ．l ∥α，m ∥β，且l ∥m3．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.255 C.155 D.1054．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ， P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°5．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠ACC 1＝60°，∠BCC 1＝45°，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于( )A.12B.22 C.32D.336．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等7．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A ．相交但不垂直B ．垂直但不相交C ．不相交也不垂直D ．无法判断二、填空题10．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且P A ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是________．11．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离是________．12．如图中的三个直角三角形是一个体积20cm 3的几何体的三视图，则h ＝______ cm. 三、解答题13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，C 1E ＝3EC . 求证：A 1C ⊥平面BED .14．已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，SA ⊥平面ABC ，AD ⊥SC 于D ，求证：AD ⊥平面SBC .15．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，求证：AB ⊥A 1C .16．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH ，下半部分是长方体ABCD －EFGH .图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图． (1)求该安全标识墩的体积； (2)证明：直线BD ⊥平面PEG .17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，DB ＝2 2(1)证明P A ∥平面BDE ； (2)证明AC ⊥平面PBD .直线与平面垂直的判定参考答案例1、如图：,AB CD αα⊥⊂ AB CD ∴⊥又90BCD ∠=BC CD ∴⊥AB BC B ⋂=CD ∴⊥平面ABC练习1、如右图，连结AC ，BD ，则O 为AC ，BD 的交点 ∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BO又∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥BB 1 ∵BO ∩BB 1＝B ， ∴AC ⊥平面BB 1O .又∵EF 是△ABC 的中位线 ∴EF ∥AC ∴EF ⊥平面BB 1O例2、(1)∵直线A 1A ⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角，设A 1A ＝1，则AC ＝2，∴tan ∠A 1CA ＝22。

2.3.1直线与平面垂直的判定(经典)

如图,点Q是＿点＿P＿在＿平＿面＿内＿的＿射＿影＿＿线＿段＿PQ＿是点P到平面的垂线段
（2）斜线
一条直线和一个平面相交，但不和
这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线．
P
斜线和平面的交点
叫做斜足。
从平面外一点向平面引斜线，这点与斜
R
足间的线段叫做这点
到这个平面的斜线段
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？
A
B
O
D
α
C
这条直线垂直于梯形所在的平面。（√ ）
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内
没有与这条直线垂直的直线。(× )
定理应用
四：典型例题
例1 如图，已知 a//b,a，求证 b.
证明：在平面内作两条相交
直线m，n．
a
b
m n
巩固练习
例2 如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC， AB=BC，求证：VB⊥AC。
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
A
A
B
D
CB
C D
过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻
折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接
触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？

直线、平面垂直的判定及其性质

2.如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 3AD＝DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD. 证明：因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥BC. 在 Rt△ABC 中，由 BC＝ 3AC，得∠ABC＝30°. 设 AD＝1，由 3AD＝DB 得，DB＝3，BC＝2 3. 由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AB. 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC，所以 PD⊥CD. 因为 PD∩AB＝D，所以 CD⊥平面 PAB，又 PA⊂平面 PAB，所以 PA⊥CD.
找共性
[过关训练] 1．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.又 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，∴AE⊥平面 PCD. 又 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一线面垂直的判定与性质 [全析考法过关]

直线与平面垂直判定定理

a
m
b
a a m m b ma // b m
b

常用结论发散
练习 1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．结论 1.
结论 2. 练习 2.过一点只有一个平面和一条直线垂直．
结论 3. 练习 3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行．
直线与平面垂直
直线和面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. 平面的垂线

A 垂足
直线的垂面
直线和平面垂直，记作
A
l
2、判定直线和平面垂直的方法（1）根据定义 (最基本的方法)
推理模式：
l m,l n m , n , m n B
l
两条相交直线
垂直两条交线
B

m
A
n
线线垂直
线面垂直
例
例1
题
求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：a//b，a 可作定理使用求证: b
证明：设m是内的任意一条直线
例
题
例2:已知 PA 平面 ABC ， AB 是⊙O的直径， C 是⊙O上的任一点，求证： PC CB ．
例
题
例3: 已知 l ， PA 于 A ， PB 于 BQ l Q ． B ，求证：于点 AQ l
，
课堂练习
1．选择题 B （1）“直线L垂直于平面内的无数条直线”是“L⊥”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线L与平面的一条垂线垂直，那么直线L与平面 D ）的位置关系是（（A）L （B）L⊥ （C）L∥ （D）L或L∥ 2．填空题无数条；垂面有___ 一个；平（1）过直线外一点作直线的垂线有_____ 无数一__条；平行平面有行线有 _____个. 一条；垂面有无数（2）过平面外一点作该平面的垂线有___ ____个；平一个. 行线有无数条；平行平面有___

直线与平面垂直的判定和性质

直线与平面垂直的判定和性质1.定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面． 2. 直线和平面垂直的判定定理．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3.直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行 4.唯一性定理（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

5.距离（1）点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．（2）直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．6、平面的斜足、斜线、斜线在平面内的射影（1）直线l 与平面α斜交：当直线l 与平面α相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α斜交。

此时l 叫平面α的斜线；直线l 与平面α斜交于点M ，点M 叫斜足。

（2）点的射影：直线α⊥PQ 于Q ，点Q 是点P 在α内的射影。

PQ 是P 到平面α的垂线段。

（3）直线l 在平面α上的射影：直线MQ 叫作直线l 在平面α上的射影。

射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影较长；（3）垂线段比任何一条线段都短。

7、直线与平面α所成的角：（1）斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；（2）直线和平面垂直，它们所成的角是90；（3）直线在平面内或与平面平行，它们所成的角是0；注：一条直线和平面α所成的角的范围是]2,0[π直线和平面所成角的步骤： ①作图—找出或作出直线在平面上的射影 ②证明—证明所找或所作的角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角8．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面上的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直例题：1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（） A ．垂直 B ．平行 C ．相交不垂直 D ．不确定2、下列命题中错误的是（）A ．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线B ．若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直C ．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则此直线垂直于这一平面D ．若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直3.如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ，求证：A 1C ⊥平面BDE ；4.如图，四面体ABCD 中，O 分别是BD的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======求证：AO ⊥平面BCD ；5.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°6.如图，已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA ⊥底面ABC ，SA ＝3，那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为________．7．如图，直线l 是平面α的斜线，AB ⊥α，B 为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（） A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°8.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）直线1D B 与平面ABCD 所成角的正弦值。

直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ，在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。

直线与平面垂直判定定理

直线与平面垂直
直线和面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. 平面的垂线

A 垂足
直线的垂面
直线和平面垂直，记作
A
l
2、判定直线和平面垂直的方法（1）根据定义 (最基本的方法)
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
B

m
n
A
有以下几种情况：
已知：m , n , m n B l m,l n 求证：l
A

m
B
g
n
D
c
E
A’
（2）直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
a
m
b
a a m m b m

a // b
m
b

常用结论发散练习 1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．结论 1.
结论 2. 练习 2.过一点只有一个平面和一条直线垂直．
结论 3. 练习 3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行．
作
业
习题9.d39wmx
夜北冥叫着，夜北冥摸了摸焱的皮毛，宠溺的说道：“乖，待会再睡，地图你已经拿到了吧，在你的空间藏好不要让师傅和我母上发现了，现在我们先去暗门找些人，然后我带你去个更好的地方，在那里你可以不用再隐藏自己的实力了！”焱一听，兴奋的所有的睡意都跑光了，从夜北冥的手心飞起来围着夜北冥一圈一圈的旋转着，嘴里一直啾啾啾的叫，好像在欢呼自己终于可以大展神威了，夜北冥感觉到焱的兴奋，于是也低声笑了起来，然后神力一展，用精神力探路，飞身出山洞，然后继续向夜空飞去，直到看不见人影，而她的身后则跟着一道紫色的身影。第008章离开前的准备（二）暗门是朝凰大陆十年前兴起的新势力，主要的工作就是收集情报，据言传，暗门的情报网遍布天下，不管你想要知道什么消息，暗门都会给你收集到。前提是你出得起钱，只要你有钱就没有暗门得不到的消息，所以也传出这样一则消息，暗门的消息一价千金。于是暗门门主富可敌国的传言也就这样传出了，可是外人不知道的是，暗门除了收集情报之外，也经营着茶楼、妓院等行业。其中朝凰大陆最为出名的凤栖楼就是暗门的产业，凤栖楼里的食物糕点、茶点等都是一等一的美味，每天为了吃到凤栖楼的一顿茶点等美食而排队的人能从日出排到日落还有一条长龙在焦急等候。而且据说凤栖楼的背后靠山就是超级帝国的人，哪怕是皇亲国戚想吃到凤栖楼的菜也得乖乖的排队，所以找凤栖楼麻烦的人都很少，就算有也都是没胆子的，笑话，谁敢跟超级帝国对着干。夜北冥现在就处于自己产业当中唯一的一处妓院——梦之境。名副其实，进过梦之境的人都感觉像做了一场梦似的玄幻，梦之境的青年和少女个个都是美如天仙的。且实力均在紫玄之上，加上个个都能说会道，每次都能把来时的客人逗得哈哈大笑，让每个来到梦之境的客人觉得自己是最特别的。夜北冥坐在自己专属的私人领地，这个地方是整个梦之境最高的一层独立楼层，修的特别的空阔，此时，在这最高的一层楼里，站着两个梦之境的高层。月如和月媚两姐妹眼神狂热的看着坐在高座上的夜北冥，月如虽然神情激动但一直隐忍着不说话。月媚就已经迫不及待的开口说道：“主上，您终于来了!”夜北冥摸着怀里闭目养神的焱，没有抬头的低声说道：“是啊，我来了！”月如立马就紧跟着说道：“主上，您这次忙里抽空来到这里，是要吩咐我们什么吗？”夜北冥停止了摸着焱的手，斜身靠在扶手上，一手支着下巴，语气严肃低沉的说道：“我要你们从暗门帮我找过来实力高强和各个行业的天才，人不需要太多，先找十二人，三天后带他们到这里集合，不要多说，记得让她们带好自己行李，这次要出趟远门。”月如两姐妹虽然疑惑，但是没有

直线与平面垂直判定定理

推理模式：
l m,l n m , n , m n B
l
两条相交直线垂直两条交线
B

m
A
n
线线垂直
线面垂直
例
例1
题
求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：a//b，a 可作定理使用求证: b 证明：设m是内的任意一 b m

a // b
m
b

常用结论发散练习 1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．结论 1.
结论 2. 练习 2.过一点只有一个平面和一条直线垂直．
结论 3. 练习 3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行．
作
业
习题9.4：5、6、7。
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帅の号召. "火狼王！" 白重炙不惊反喜,嘴角一扬,搓了搓手,跃上旁边一棵大树上,手脚并用,一下窜进茂密の枝叶丛,把全身掩盖起来,只留下两只黝黑の眼珠子,望着前方. 咻！咻！不一会儿,四面八方到处都是狼影,一道道火红色の身影,犹如一只只火箭般集体往一个方向射去,其中一道粗壮高大狼影速度更是吓人,白重炙只是看到一片红色丛下面掠过,便消失不见了. 嗷！嗷！吼！由于火狼王の加入,战斗似乎更加激烈了,声声狼嚎和道道巨吼声,树木倒地声,连绵不绝. 走！此时不走,更待何时！白重炙确定基本上大部分火狼都已经赶过去,轻声一跃,战气全力运转, 不要保留和隐藏,整个人犹如猎豹般朝山の另一头奔去. 呼！呼！一口气跑出七八里,偶尔回头望了一眼,感觉战斗の地方越来越远,他心中松了一口气.这次真是死里逃生啊,要不是噬魂智小白能变身,要不是刚好变身の时间

直线、平面垂直的判定与性质

2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。

7.5直线平面垂直的判定和性质

3
∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE, ∴MG∥平面ADE.
同理,GN∥平面ADE.又∵GN∩MG=G,பைடு நூலகம்
∴平面MGN∥平面ADE.
又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE. ∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.
4.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB;
(2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,故PA=AC.
∵E是PC的中点,故AE⊥PC.
由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD,
故AE⊥PD. 易知BA⊥PD,故PD⊥平面ABE.
下图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图.
(1)若F为PD的中点,求证:AF⊥面PCD; (2)证明BD∥面PEC;
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
(2)解:连接CG,DE,且CG与DE相交于H点, 在△PGC中作HF∥PG交PC于F点,连接DF, ∴FH⊥平面ABCD, ∴平面DHF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点,∴F是PC的中点,
∴在PC上存在一点F,满足平面DEF⊥面ABCD.
对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:
• • • • • • •
考点一直线与平面垂直的判定与性质 1.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定
m n a
解析:直线l与平面α内的两条直线都垂直,因为不知道 b c 这两条直线是否相交,所以无法确定直线l与平面α的位置关系. 答案:D
4.如图所示,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E 是AB的中点.

直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”.这与“无数条直线”不同.注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若.则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。

直线与平面垂直及判定定理

到
平面? 的距离
.A
a
d ? AB ? B
例：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
三、线面垂直的判定
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
图形：
a A
?m n
符号：若a ? m,a ? n, m ? n ? A,
直线与平面垂直及判定定理
一、直线与平面垂直
圆锥的形成
a
?
如果直线 a与一个平面 ? 内的任意
一条直线都垂直，我们就说
直线a与平面? 垂直
记作：a ? ?
直线a叫做平面? 的垂线平面? 叫做直线a的垂面
直线与平面的交点叫做垂足
线面垂直的重要性质：
若直线和平面垂直，则该直线垂直于平面中的任何一条直线。
m ? a, n ? a,则a ? ?
判断题：
（1）l ? ? ? l与? 相交（2）m ? ? ，n ? ? ，l ? m， l? n? l? ? （3）l // m，m // n，l ? ? ? n??
1.共点的三条线段 OA、OB、 OC两两垂直，则OA与BC 的位置关系？
A
B O
C
练2.正方体AC1中，
? l ? ? ? l ? a
a? ?
思考：
在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么，在空间 :
过一点有几条直线与已知平面垂直？
过一点有几个平面与已知直线垂直？
结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
二、点到平面的距离
过平面? 外一点向平面 ? 引垂线，则

直线、平面垂直的判定及其性质解析

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若，则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直，直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或。

直线与平面的垂直关系与判定

直线与平面的垂直关系与判定直线与平面的垂直关系一直是几何学中的重要概念。

在几何学中，垂直被定义为与直角（90度）相交或成直角的关系。

本文将探讨直线与平面垂直关系的性质，并介绍几种判定直线与平面垂直的方法。

一、直线与平面的垂直性质1. 定理1：如果一条直线与一个平面垂直，则与这条直线在同一平面内的另外一条直线也与这个平面垂直。

证明：首先，设一条直线L与一个平面P垂直。

在平面P内，我们可以找到另外一条直线M与直线L垂直。

如果我们在直线M上选取一点N，并以N为中心作一个圆，圆上的任意点都在平面P内。

因此，直线M上任意一点到平面P的距离都是相等的，即直线M与平面P垂直。

2. 定理2：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

证明：设一条直线L与平面P内的两条相交直线AB和CD垂直。

构造两个平面，一个是由直线L和线段AB所确定的平面，另一个是由直线L和线段CD所确定的平面。

这两个平面的交线就是直线L，因此，直线L与平面P的夹角为90度，即直线L与平面P垂直。

二、判定直线与平面垂直的方法1. 方法1：通过判定直线的方向向量与平面的法向量是否相互垂直来确定直线与平面的垂直关系。

- 若直线的方向向量与平面的法向量相互垂直，即两个向量的点积为0，则可以判定直线与平面垂直。

- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：2x + 4y + 6z = 10。

直线L的方向向量为(1, 2, 3)，平面P的法向量为(2, 4, 6)。

计算两个向量的点积(1*2 + 2*4 + 3*6)，得到的结果是20，不为0，所以直线L与平面P不垂直。

2. 方法2：通过判定直线上的一点到平面的距离是否为0来确定直线与平面的垂直关系。

- 若直线上的一点到平面的距离为0，则可以判定直线与平面垂直。

- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：x - 2y + z = 4。

直线与平面垂直的判定定理

一、教材内容解析直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性．对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力．同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”．二、教学目标解析知识与技能：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理．过程与方法：在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论．情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养学生勤于思考、勤于动手的学习品质．教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．教学难点：直线与平面垂直的判定定理．目标解析：1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义．2.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理．3.能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直．4.能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面．三、教学问题诊断分析学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力．在直线与平面垂直的判定定理中，学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍．同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择已知平面内的两条相交直线证直线与平面线垂直，或选择与直线垂直的平面证明直线与直线垂直，导致证明过程中无从着手或发生错误．教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用．四、教学工具准备为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪，多媒体课件，三角板，教鞭（表直线）．学生自备学具：三角形纸片、三角板、笔（表直线）、课本（表平面）．五、教学过程设计（一）观察归纳直线与平面垂直的定义1直观感知问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备．师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题．2.观察归纳思考1：直线和平面垂直的意义是什么？我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系,直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系．问题2：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线的位置关系是什么？（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？设计意图：引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵．师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直．问题3：如图2，AC、AD是用来固定旗杆AB的铁链，它们与地面内任意一条直线都垂直吗？设计意图：通过反面剖析，进一步感悟直线与平面垂直的本质．师生活动：引导学生将三角板直立于桌面上，用一直角边作旗杆AB，斜边作为铁链AC，观察桌面上的直线（用笔表示）是否与AC垂直，由此否定上述结论．问题4、通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义．师生活动：学生回答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法与画法．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图3．3.辨析讨论辨析1：下列命题是否正确，为什么？（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线．设计意图：通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性．由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思．由（2）使学生明确，直线与平面垂直的定义既是判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化．师生活动：命题（1）判断中引导学生用笔表直线，用三角板两直角边表两垂直直线，用书本表平面举出反例．教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在黑板面上，这时另一条直角边BC就和黑板面的一条直线（即三角板与黑板面的交线AC）垂直，在此基础上在黑板面上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但BC不一定和黑板面垂直，最后教师给出反例的直观图4．由命题（2）给出下列常用命题：指出它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面．（二）探究发现直线与平面垂直的判定定理1.分析实例思考2：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？虽然可以根据直线与平面垂直的定义判定直线与平面垂直，但由于利用定义判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这种方法实际上难以实施，因为我们无法去一一检验．因而有必要寻找一个便捷、可行的判断直线和平面垂直的方法．问题5、如图,观察跨栏、简易木架等实物，你认为其竖杆能竖直立于地面的原因是什么?设计意图：通过图片观察思考，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线（两条相交直线），从中体验有限与无限之间的辩证关系．师生活动：引导学生观察思考，师生共同分析竖杆能竖直立于地面的原因：它固定在两相交横杆上且与两横杆垂直．2.操作确认实验：如图5，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.问题6：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？设计意图：通过观察试验，分析折痕AD与桌面不垂直的原因，探究发现折痕AD与桌面垂直的条件．师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因．学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直．问题7: 如图6, 由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？设计意图：引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线．师生活动：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD．这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面．问题8：（1）如图7，把AD、BD、CD抽象为直线、、，把桌面抽象为平面，直线与平面垂直的条件是什么？（2）如图8,若α内两条相交直线、与无公共点且，直线还垂直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？设计意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能用符号语言准确表示，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的．师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实作简要说明．然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理．指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号语言表示为：3.质疑深化辨析2：下列命题是否正确，为什么？如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面．设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件．师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件．（三）初步应用例1、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直．设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用判定定理的条件．师生活动：学生根据题意画图（如图9），将其转化为几何命题：△ABC中，a⊥AC,a ⊥BC，求证：a⊥AB．请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件．例2、如图10，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α．设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理或用定义证明直线与平面垂直，体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系．师生活动：教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证，提示辅助线的添法．学生在练习本上完成，对照课本P73例1,完善自己的解题步骤．让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．指出：命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法．练习、如图11，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确：① AC⊥面CDD1C1② AC⊥面BDD1B1③ EF⊥面BDD1B1④ AC⊥BD1设计意图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用．其中①是定义的应用，②是判定定理的应用，③是例2结论的应用，④是判定定理与定义的应用．师生活动：学生思考讨论，请一位同学用投影仪展示并分析其思路，教师参与讨论．（四）总结反思（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题进行质疑和概括．师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的三种方法：利用定义，利用判定定理，利用例2的结论．这些方法体现了转化的数学思想．同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路．六、目标检测设计1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD．2、课本P74 练习13、课本P73 探究题：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？4、设计一个检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直的方案，写出实施步骤和依据．设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识．其中第1题主要运用直线与平面垂直的判定定理，第2、3题是活用直线与平面垂直的定义与判定定理，第4题前后呼应，为解决课中给出的问题提供各种方案，是本课所学知识的实际应用．附：板书设计。

直线、平面垂直的判定与性质

第五节直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A-BCB1的体积．解：(1)证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ，在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点． ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴SE ⊥AB .又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ， ∴SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .考点二面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ，所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ，所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ，又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P -NBM 的体积．解： (1)证明：连接BD . ∵P A ＝PD ，N 为AD 的中点， ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P -NBM ＝V M -PNB ＝23V C -PNB ＝23×13×32×2＝23. 10.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点．所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1，因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ，因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，P A⊥AD，∴P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.。

5直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质[知识能否忆起]一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论3．直线与平面垂直的性质定理二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理2．平面与平面垂直的性质定理[小题能否全取]1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．典题导入[例1] (2012·襄州模拟)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线；②若m 、n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m ，n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β；④m ，n在平面α内的射影互相垂直，则m ，n 互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答] ①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l ，且n ∥l ，当m ⊥α时，m ⊥n ，但n ∥β，所以③错误；如图2显然当m ′⊥n ′时，m 不垂直于n ，所以④错误．[答案] ①③④由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直解析：选D A中平面可与α平行或相交，不正确．B中直线可与α垂直或斜交，不正确．C中平面可与直线l平行或相交，不正确．2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β3．(2012·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a ∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确．对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.\ 4．(2012·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b 的一个充分条件是()A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α解析：选C 对于选项C ，在平面α内存在c ∥b ，因为a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；A ，B 选项中，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 选项中一定有a ∥b .5．设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α；③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l ⊄β，且l ∥α，则l ∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：选D 对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l ⊥α，l ∩α＝A 时，l 上到A 距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．6．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B (1)错，也可能相交；(2)正确；(3)“α⊥β”是“m ⊥β”的必要条件，命题错误；(4)当异面直线a ，b 垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误．典题导入[例2] (2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .[自主解答] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点，所以EG ∥PH ，且EG ＝12PH ＝12.因为PH ⊥平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥AD .所以底面ABCD 为直角梯形．所以V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME . 因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB .因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．以题试法1.(2012·厦门模拟)如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：选D易知A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.解析：选C对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m，n是异面直线，所以A 错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．2.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案：43．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB.则下列命题正确的有________．①P A⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.解析：由P A⊥平面ABC，∴P A⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD与平面P AE相交，BC∥AD，故不正确；④中PD与平面ABC所成角为45°.答案：①4．如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，则△ACD是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选B∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③解析：选B 对于①，∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AC .∴BC ⊥平面P AC .又PC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥PC ；对于②，∵点M 为线段PB 的中点，∴OM ∥P A .∵P A ⊂平面P AC ，∴OM ∥平面P AC ；对于③，由①知BC ⊥平面P AC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面P AC 的距离，故①②③都正确．6．(2012·忻州一中月考)正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是BC 的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的长为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接SO ，取CD 的中点F ，SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，设EF 交AC 于点H ，连接GH ，易知AC ⊥EF ，GH ∥SO ， ∴GH ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ，故动点P 的轨迹是△EFG ，由已知易得EF ＝2， GE ＝GF ＝62，∴△EFG 的周长为2＋6，故动点P 的轨迹长为2＋ 6. 答案：2＋ 67．(2012·启东模拟)如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 证明：(1)连接AC ，AN ，BN ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC ，在Rt △P AC 中，N 为PC 中点，∴AN ＝12PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ， P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .∴BC ⊥PB .从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC .∴AN ＝BN .∴△ABN 为等腰三角形，又M 为AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .(2)连接PM ，MC ，∵∠PDA ＝45°，P A ⊥AD ，∴AP ＝AD .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴AP ＝BC . 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM . 而∠P AM ＝∠CBM ＝90°， ∴△P AM ≌△CBM . ∴PM ＝CM .又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC .由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD .8．(2012·福建高考)如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点．(1)求三棱锥A －MCC 1的体积；(2)当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC . 解：(1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知， AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1. 又S △MCC 1＝12CC 1×CD ＝12×2×1＝1，∴VA －MCC 1＝13AD ·S △MCC 1＝13.(2)证明：将侧面CDD1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M ＋MC 取得最小值．由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2，得M 为DD 1中点．连接A 1M ，B 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2，MC ＝2， CC 1＝2，∴CC 21＝MC 21＋MC 2，得∠CMC 1＝90°，即CM ⊥MC 1. 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1， ∴B 1C 1⊥CM .又B 1C 1∩C 1M ＝C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M . 同理可证，B 1M ⊥AM .又AM ∩MC ＝M ，∴B 1M ⊥平面MAC .典题导入[例3](2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－AB1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[自主解答](1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.由题悟法1．判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．以题试法B1C1中，∠BAC＝1.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．2.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)4(2013·蚌埠模拟)点P在正方体ABCD－AB1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.∴BC∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，∴三棱锥P－AD1C的体积不变．又VP－AD1C＝VA－D1PC，∴①正确．∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1显然③不正确；由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1，∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．答案：①②④5.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：选C要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE ⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC ⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.6. 如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.证明：(1)由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.7．(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若P A＝PD，求证：平面PQB⊥平面P AD；(2)若点M在线段PC上，且PM＝tPC(t>0)，试确定实数t的值，使得P A∥平面MQB.解：(1)因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD .连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，所以AB ＝BD . 所以BQ ⊥AD .因为BQ ⊂平面PQB ，PQ ⊂平面PQB ， BQ ∩PQ ＝Q ，所以AD ⊥平面PQB .因为AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)当t ＝13时，P A ∥平面MQB .证明如下：连接AC ，设AC ∩BQ ＝O ，连接OM .在△AOQ 与△COB 中，因为AD ∥BC ，所以∠OQA ＝∠OBC ，∠OAQ ＝∠OCB . 所以△AOQ ∽△COB .所以AO OC ＝AQ CB ＝12.所以AO AC ＝13，即OC AC ＝23.由PM ＝13PC ，知CM CP ＝23，所以CM CP ＝OCAC ，所以AP ∥OM .因为OM ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，所以P A ∥平面MQB .8.(2012·北京海淀二模)如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ；(2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥P A .因为P A ⊂平面P AC ，OE ⊄平面P AC ，所以OE ∥平面P AC . 因为OM ∥AC ，且AC ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ，所以OM ∥平面P AC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面P AC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC . 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC . 因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .所以平面P AC ⊥平面PCB .9．(2012·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB ＝π2.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π2，所以BC ⊥AC .又因为BC ⊂平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB ＝∠DAC .所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2，所以∠DAC ＝π6，即∠CBO ＝π6.又因为∠ACB ＝π2，CB ＝a ，所以CO ＝33a .连接FO ，由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形，所以EM ＝CO ＝33a . 10．(2012·江西模拟)如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，P A ，NC 都垂直于平面ABCD ，且P A ＝AB ＝4，NC ＝2，M 是线段P A 上的一动点．(1)求证：平面P AC ⊥平面NEF ；(2)若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．解：(1)证明：连接BD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD .又∵BD ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC .又∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点， ∴EF ∥BD . ∴EF ⊥平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面NEF . (2)连接OM ，∵PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ， ∴PC ∥OM ，∴PM P A ＝OC AC ＝14，故PM ∶MA ＝1∶3.11.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△P AC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.(1)现给出三个条件：①PB ＝3；②PB ⊥BC ；③平面P AB ⊥平面ABC .试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A ⊥平面ABC ；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P －ABC 的体积．解：法一：(1)选取条件① 在等腰直角三角形ABC 中， ∵AB ＝1， ∴BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵P A ＝AC ，∴P A ＝ 2.∴在△P AB 中，AB ＝1，P A ＝ 2.又∵PB ＝3， ∴AB 2＋P A 2＝PB 2.∴∠P AB ＝90°，即P A ⊥AB . 又∵P A ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ， ∴P A ⊥平面ABC .(2)依题意得，由(1)可知P A ⊥平面ABC ， V 三棱锥P －ABC ＝13P A ·S △ABC ＝13×2×12×12＝26.法二：(1)选取条件② ∵PB ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ， ∴BC ⊥平面P AB . ∵P A ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥P A .又∵P A ⊥AC ，且BC ∩AC ＝C ， ∴P A ⊥平面ABC .(2)依题意得，由(1)可知P A ⊥平面ABC .∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2，∴P A＝2，∴V三棱锥P－ABC＝13P A·S△ABC＝13×12AB·BC·P A＝13×12×1×1×2＝26.法三：(1)选取条件③若平面P AB⊥平面ABC，∵平面P AB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，∴P A⊥平面ABC.(2)同法二．3．(2012·陕西高考)(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图1，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μ n，则a·c ＝a·(λb＋μ n)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a⊂π，n⊥π，所以a·n＝0，故a·c＝0，从而a⊥c.法二：如图2，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面P AO，PO∩b＝P，∴a⊥平面P AO.又c⊂平面P AO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．。