弦的中点问题

经典题突破方法——弦的中点问题

温县第一高级中学数学组 任利民

弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点，且主要有以下几个命题角度：

角度一：利用中点弦确定直线或曲线方程

[典题1] (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (4,0)，过点

F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )

A.

2214536x y += B. 22

1124x y += C.

221248x y += D. 22

1189

x y += (2)已知11,22⎛⎫ ⎪

⎝⎭是直线l 被椭圆2

212x

y += 所截得的线段的中点，则

l 的方程是________．

[解析] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程x2a2＋y2

b2

＝1，得

两式相减可得：1212121222

()()()()

0.x x x x y y y y a b +-+-+=由 x1＋x2＝2，

y1＋y2＝-2，1212101,143y y x x ---==--代入上式可得：222210,3a b -+⨯=

即223a b = ，又22216,c a b =-= 联立解得

2224,8.a b == 所以椭圆的方程为：

22 1.248

x y +=

(2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则

122112

x y +=，且

2

22212

x y +=，

两式相减得

12121212()()

()()02

x x x x y y y y +-++-=.

又x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2

＝－1

2，

故直线l 的方程为y －12＝－12(x －1

2)，即2x ＋4y －3＝0.

答案：(1)C (2) 2x ＋4y －3＝0 角度二：由中点弦解决对称问题

[典题2] (1)已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线l ：y ＝－kx ＋2对称，求k 的取值范围．

(2) 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋1

2

对称．

①求实数m 的取值范围；

②求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．

[解析] (1)法一：由题意知k ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线上关于直线l 对称的两点，则MN 的方程可设为y ＝1

k x ＋b (b >0)，代入y ＝x 2，

得x 2－1

k

x －b ＝0，

所以Δ＝1k 2＋4b >0，① x 1＋x 2＝1

k

.

设MN 中点的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12k ，y 0＝1

2k 2＋b ，

因为(x 0，y 0)在直线l ：y ＝－kx ＋2上， 所以12k 2＋b ＝－k ·12k ＋2，所以b ＝32－1

2k 2.②

将②代入①，得1k 2＋6－2k

2>0.

所以1

k 2<6，即k 2>16

，所以k >6或k <6-.

故k 的取值范围为6

(,(,).66

-∞-

+∞ . 法二：设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 2

2)关于直线l 对称，

因为MN ⊥l ，所以x 21－x 22x 1－x 2＝1k

，即x 1＋x 2＝1k .

又MN 的中点在l 上，

所以x 21＋x 2

22＝－k ·x 1＋x 22＋2＝－k ·12k ＋2＝32

，

因为MN 的中点必在抛物线内，

所以x 21＋x 222>⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1＋x 222，即32>⎝⎛⎭⎫12k 2，

所以k 2>

1

6

，即k >6 或k <6-.

故k 的取值范围为6

(,(,).66

-∞-

+∞ (2)①由题意知m ≠0，

可设直线AB 的方程为y ＝－1

m

x ＋b .

由⎩⎨⎧

x 22

＋y 2

＝1，y ＝－1

m x ＋b

消去y ，得

⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m

x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2

＝1有两个不同的交点，所以Δ＝

－2b 2＋2＋4

m

2＞0.(ⅰ)

将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2mb m 2＋2，m 2

b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋1

2解得b ＝－

m 2＋2

2m 2

.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得m ＜－

63或m ＞63.故m 的取值范围为⎝

⎛⎭⎫－∞，－63∪⎝⎛⎭

⎫63，＋∞.

②令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝

⎛⎭⎫0，6

2，

则|AB |＝

t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋

3

2

t 2＋

12

，

且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋

12

t 2＋1

.

设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12

－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤2

2

， 当且仅当t 2＝1

2，即m ＝±2时，等号成立．

故△AOB 面积的最大值为

22

.