弦的中点问题
2023高考数学专题03 中点弦问题(点差法)(学生版)
专题02 中点弦问题（设而不求与点差法）椭圆:第一步：若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a b y a x 上不重合的两点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，第二步：两式相减得0))(((2212122121=-++-+by y y y a x x x x ））（， 第三步：2121x x y y --是直线AB 的斜率k ，）（2,22121y y x x ++是线段AB 的中点）（00,y x ，化简可得2221212121a b x x y y x x y y -=--⋅++2200ab k x y -=⋅⇒，此种方法为点差法。
特别提醒：若AB 是椭圆）（012222>>=+b a b y a x 上不垂直于x 轴的两点，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线AB 与OP 的斜率之积为定值22-ab考点一 直线与椭圆例1．（1）、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为A ．22B ．12C ．14D 3（2）、已知椭圆2221(02)4x y b b +=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14-，则b 的值是A ．2B 3C ．32D 2（3）、椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB ，则a b的值为A B C ．D ．【小试牛刀1-1】．已知椭圆(22212x y a a +=的左、右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为－2的直线与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则a 的值是______.【小试牛刀1-2】．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,4)B ，离心率e =直线l 交椭圆于,M N两点，如果BMN ∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，直线l 方程为________．【小试牛刀1-3】．已知)F为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为23π，则椭圆C 的长轴长为___________.例2．如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，点()2,1M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10AB．（1）求椭圆C的方程；（2）求AD EB⋅的最小值．【小试牛刀2-1】．已知椭圆22 :15x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点,M N 在椭圆C 上.（1）若线段MN 的中点坐标为12,3⎛⎫⎪⎝⎭，求直线MN 的斜率；（2）若,,M N O 三点共线，直线1NF 与椭圆C 交于,N P 两点，求ΔPMN 面积的最大值，考点二 直线与双曲线例 3.（1）、已知双曲线)0,5(),0,0(12222F b a by a x >>=-为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于B A ,两点，且AB 的中点)780,745(--M ，则该双曲线的方程为 .（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线22214x y b-=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则b 的值是（ ）A ．2 BC ．32D（3）、（2023·全国·高三专题练习）直线l 交双曲线22142x y -=于A ，B 两点，且()4,1P 为AB 的中点，则l的斜率为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1（4）、（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D ．3【小试牛刀3-1】．（2023·全国·高三专题练习）双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()21，，则双曲线E 的离心率为 ______.【小试牛刀3-2】．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为则双曲线C 的离心率为___________.【小试牛刀3-3】．（2022·全国·高三专题练习）过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________.例4．（2022·河南·新乡市第一中学高二阶段练习）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上． (1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【小试牛刀4-1】．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C 过点P ⎫⎪⎝⎭，其焦点1F ，2F 在x 轴上，且12||||2PF PF -=．(1)求双曲线C 的标准方程．(2)是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．考点三 直线与抛物线例5.（1）、已知抛物线24y x =的一条弦AB 恰好以()1,1P 为中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ）A .1y x =-B .21y x =-C .2y x =-+D .23y x =-+（2）、（2022·云南·一模（文））经过抛物线C ：24x y =的焦点作直线与抛物线C 相交于A ､B 两点.若8AB =，则线段AB 的中点的纵坐标为（ ）A ．32B ．3C ．72D ．4（3）、（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线()220x py p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．3y =- B ．32y =-C ．3x =-D ．32x =-【小试牛刀5-1】．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A 、B 两点，过线段AB 的中点M 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点N ，若AB =，则l 的斜率为（ ）A ．12 B C D【小试牛刀5-2】．（2021·福建省福州第一中学高三开学考试）已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F的直线与抛物线交于,A B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ，若1CC 的中点为()1,3，则p =__________.【小试牛刀5-3】．（2022·全国·高三专题练习）若A 、B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点()4,0P ，则弦AB 中点的横坐标为___________.【小试牛刀5-4】．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为()3,2，则线段AB 的长度为_______．例6．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,2P 在抛物线C 上．(1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点为()3,2M -，求直线l 的方程及AB ．A 组 基础巩固1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，,则E 的方程为 ( ) A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -=D.22154x y -=3．已知椭圆221369x y +=以及椭圆内一点P(4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－2D ．24．已知椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，斜率为13-的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为()1,2M ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B 2C 3D ．125．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(033)F ，，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=6．如果椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．23120x y +-=D ．280x y +-=7．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞3l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．23C ．12D ．18．椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．24x y +=C ．2314x y +=D ．28x y +=9．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：0x y --=交C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22163x y +=B ．22175x y +=C ．22184x y +=D ．22196x y +=10．已知椭圆22:143x y C +=，过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A ．3220x y --= B ．3240x y +-= C ．3450x y +-=D ．3410x y --=11．已知点(2,1)是直线l 被椭圆221124x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是（ ） A ．2370x y +-= B ．2310x y --= C ．43110x y +-=D ．4350x y --=12．（2021·河南南阳·高二阶段练习（文））已知斜率为1的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．313．（2020·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线221164x y -=，以点()5,1P -为中点的弦所在的直线方程为（ ） A ．45210x y +-= B ．54210x y +-= C ．240x y --=D ．240x y +-=14．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的离心率为2，过点(3,3)P 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且点P 恰好是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y --=B ．290x y +-=C ．360x y --=D ．60x y +-=15．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线2:4C y x =，过点(2,1)P 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．1216．（2022·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线22y x =-上的两点A ，B （点A 的横坐标大于点B 的横坐标），满足OA OB FA λ-=（O 为坐标原点），弦AB 的中点M 的横坐标为56-，则实数λ=（ ）A ．32B ．43C ．3D ．417．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线28y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限内的点(),4M t 为线段AB 的中点，则AB 的长度为（ ） A ．12B ．18C ．16D ．818．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点（点A 在第一象限，点B 在第四象限），与x 轴交于点(,0)M m ，若线段AB 的中点的横坐标为3，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,3]B ．(,3]-∞C ．(0,6]D ．(1,6]19．（2022·江西·模拟预测（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F l 与C交于,M N 两点，若线段MN F 到C 的准线的距离为_______．20．（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-，在抛物线C 上存在A ､B 两点关于直线:70l x y +-=对称，设弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则||OM 的值为___________.21．已知点P (1，2)是直线l 被椭圆22148x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是_____.22．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．23．已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若椭圆E的离心率为12，2ABF 的周长为16． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点,C D ，设弦,AB CD 的中点分别为,M N .证明：,,O M N 三点共线.B 组 能力提升25．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．2BC D 26．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭27．已知斜率为12的直线l 与椭圆22:1164x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 中点M 纵坐标为点P 在椭圆上，若APB ∠的平分线交线段AB 于点N ，则||||PN MN 的值MN 为（ ）AB C D28．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点12M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.29．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A B ，两点，且A B ，的中点为112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________.30．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为4（1）当直线y x m =+与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）设点(2,1)M 是直线l 被椭圆所截得的线段AB 的中点，求直线l 的方程．31．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(3,0)F ，AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB 的中点为E ，AB 的垂直平分线交椭圆于C ，D 两点，CD 的中点为N .当1k =时，直线OE 的斜率为14-（O 为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点O 到直线AB 的距离为d ，求ENd的取值范围； （3）若直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)OA OB k k k k =⋅>，判断并证明22175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是否为定值.32．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦（不经过原点），直线()0y kx k =>经过弦AB 的中点，与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线AB 的斜率为1k .（1）若点Q 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程；（2）求证：1k k 为定值；（3）过P 作x 轴的垂线，垂足为R ，若直线AB 和直线QR 倾斜角互补，且PQR 的面积为26求椭圆C 的方程.33．已知直线l ：y x m =+与椭圆C ：2213xy +=交于A ，B 两点.（1）若直线l 过椭圆C 的左焦点1F ，求AB ；（2）线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，求m .34．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)若l 的倾斜角为6π且过点F ，求AB ； (2)若线段AB 的中点坐标为()3,2-，求l 的方程．35．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知椭圆()22122:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 与抛物线2Γ的焦点重合，1Γ的中心与2Γ的顶点重合，过2F 且与x 轴垂直的直线交1Γ于A 、B 两点，交2Γ于C 、D 两点，且125CD AB =.(1)求1Γ的离心率；(2)设E 是1Γ与2Γ的公共点，若213=EF ，求1Γ与2Γ的标准方程；(3)直线:=+l y kx h 与1Γ交于M 、N ，与2Γ交于P 、Q ，且在直线l 上按M 、P 、N 、Q 顺序排列，若MP PN NQ ==，求2QF .。
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−． 由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−， 故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=， 整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ， 两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=， 即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=． 故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−， 即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−， 又2211222,2y x y x ==， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−， 因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。
椭圆中互相垂直的弦过定点问题 - (原创)
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
(最新整理)1.中点弦问题(点差法)
(完整)1. 中点弦问题(点差法)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)1. 中点弦问题(点差法)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题;②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题；④圆锥曲线的相关最值（范围）问题；⑤求曲线的方程问题；⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题--—-—-点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ,将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：(1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02020=+k by a x . (2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0）则有 02020=-k by a x （3)y 2=2px(p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M （x 0，y 0),则有2y 0k=2p ，即y 0k=p.一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦,使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
椭圆中点弦问题
解析几何中的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是高考的一个热点问题。
在处理这类问题时，一般以如下几种方法入手：①代点相减得出中点坐标和斜率之间的关系；②设而不求，结合根与系数关系得出中点坐标表示；③借助直线参数方程中t 的几何意义入手处理弦中点问题。
特别注意的是，此类问题需要判断直线与曲线是否相交。
【引理】斜率为k 的直线l 交椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 的中点为00(x ,y )M ，则22ab k k OM-=⋅，当椭圆焦点在y 轴上时有22b a k k OM-=⋅.一、已知弦中点的弦的直线方程【例1】设直线l 交椭圆2212x y +=于,A B 两点，且,A B 的中点为1(1,)2M ，求直线l 的方程。
【解法一】直线l 斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线1:(1)2l y k x -=- 代入椭圆方程，整理得222113()2()0224k x k k x k k +--+--=设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212()212k k x x k -+=+，又因为1(1,)2M 所以1221()21122k k x x k -+==+，解得1k =-，经检验此时0∆> 所以3:2l y x =-+【解法二】设1122(,),(,)A x y B x y ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+121222222121y x y x两式相减得0))((2))((21212121=-+++-y y y y x x x x由,A B 的中点为1(1,)2M 得，0)(2)(22121=-+-y y x x ，即1-=k 所以3:2l y x =-+二、求弦中点的轨迹方程【例2】 已知椭圆19422=+y x ，一组平行直线的斜率是23，当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段中点在同一条直线上。
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的 根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点) 坐标为A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)是线段AB 的中点。
若存在这样的直线 I ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)故直线 AB: y 12(x 1)y 1 2(x 1) 由 2 y 2消去y ，得2x 2 4x 3 0x12 2(4)4 2 3 8 0评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题 中判断点的M 位置非常重要。
(1)若中点M 在圆锥曲线内，则被点 M 平分的弦一般存在；(2)若 中点M 在圆锥曲线外，则被点 M 平分的弦可能不存在。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹2 2例3、已知椭圆 ——1的一条弦的斜率为 3，它与直线x75 25点M 的坐标。
x 2例1、过椭圆乞162y1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 4 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
M (2, 1)为AB 的中点X 1 X 2 4 y 1 y 2 2 又A 、 B 两点在椭圆上，则2 X14y2 .2 2 16，X24y 2两式相减得(才 X 22) 4( y.2 y 2) 0于是(x 1X 2)(X 1 X 2)4(y 1y 2)( y 1 y 2) 0 y 1y 2 X 1 X 241x-i x 24( y 1 y 2)4 22即k AB1，故所求直线的方程为y 11-(x 2)，即2216x 2y 4 0。
圆锥曲线中的中点弦问题
圆锥曲线中的中点弦问题（泌阳第二高级中学河南泌阳463700）直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是高考的一个热点问题，也是解析几何的主要内容之一。
在近几年的高考试题中时有出现。
以下三个结论在解决相关问题时能有效简化解题过程，节省做题时间。
我们通过练习体会一下。
1. 三个结论结论1：在椭圆x2m+y2n=1（m>0，n>0，m≠n）中，弦AB以点M（x0，y0 ）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=-nm结论2：在双曲线x2m-y2n=1 （m>0，n>0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=nm结论3：在抛物线y2=2px（p >0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率是kAB =py02. 说明（1）上述结论均只考虑直线斜率存在的情形，做解答题时仍需分类讨论，关注斜率不存在的情形.（2）上述结论均可利用点差法进行证明，（3）.利用结论2求弦所在的直线方程时，应注意验证。
3. 结论的应用类型1：求与中点有关的圆锥曲线的标准方程问题例1（2013年高考数学全国新课标卷I理科第10题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（3，0），过F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标是M（1，-1），则椭圆方程是（）A.x245+y236=1B.x227+y218=1C.x236+y227=1D.x218+y29=1析：由结论1可知：kAB·kOM=kMF·kOM=12·-11=-12=-b2a2∴a2=2b2，又a2-b2=9，解得b2=9，a2=18故选D练习.1.（2010年高考数学课标全国卷理科第12题）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程是（）A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1析：由结论2知：kAB·kON=b2a2=3-（-12）0-（-15）·-15-12=54，4b2=5a2又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B2.（2012郑州三模，16）已知双曲线x2-y23=1上存在两点M、N关于直线y=x+m 对称，且线段MN 中点P在抛物线y2=18x上，则实数m的值为_________析：由结论2可知：kOP ·kMN=kOP ·（-1）=b2a2=3，∴kOP=-3，设P（x0，y0），则y0x0=-3推出y0=-3x0，代入y2=18x 得9x02=18x0，解得x0=2y0=-6，x0=0y0=0，再代入方程y=x+m ，得m=-8或m=0类型2：求以某点为中点的弦所在直线方程问题例2.（北师大版选修1——1第48页A组第8题）已知椭圆x216+y24=1 ，求以点P（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
“中点弦”问题的解法探索
一
一
丢
【 —
，
２
√ 一＋（ ） ２ ６１ ． １ ２４ ２ ：
因此 ， Ａ 弦 Ｂ所在 的直 线方 程为 ＋ ）一 ０ ２， ４＝ ． 注 ： 法一 是 解 决 “ 解 中弦 点 ” 题 的 常规 解 法 ， 问
所求 的轨迹 方程 为（ 一 ｘ ） １ ６ｘ ）＝ ． ｙ ４ （ ＋ ４ ４
得 ＋＝ 一 ：
Ａ（ ，１ ， （ ２Ｙ ） １Ｙ ） Ｂ ，２ ．
＝ ２ 一． ２ ＝号 ×
点 的轨迹 方程． 结论 （ ） （ ２ 的运 用 ）
解： 设点 ｍ（ ， ） Ａ ＋ｍ， ｘｙ ， （ Ｙ＋凡 ， ｘ— ｒ Ｙ一 ） Ｂ（ ｒ， ｔ ，
忍． ）
因此 ， Ａ 弦 所 在 的直线 方程 为 ＋ ｙ一 ０ ２ ４＝ ． 解 法二 ： 点 差法 ） Ａ， 两 点 的坐标 为 （ 设
解 法三 ： Ａ ２＋ １ ） Ｂ（ 设 （ ｍ， ＋ ， ２一ｍ， 一ｎ ， １ ）
分， 弦 Ａ 求 所 在 的直 线 方程 分 析 ： 题 的 关 键 是 求 出 弦 Ａ 所 在 直 线 的 本 Ｂ
斜 率．
解法一： 设直线的斜率为 显然 ｋ存在 目 （ ． 不等于０ ， ） ｒ Ｙ一１： 一 ） （ ２ ，
《 数学之友＞
２ １ 年第 ８ ００ 期
“ 中点弦＂ 问题的解法探 索
解 题 探 索
纪 伟
（ 江苏省泰兴市第 四高级 中学 ，２ ４ １ ２５１ ）
“ 中点弦” 问题是圆锥曲线上两点的中点 （ 已知 或待求） 一类问题的统称 ， 在平面解析几何中与“ 中 点弦” 有关 的 问 题 是 一 类 很 典 型 且 很 重 要 的 问题 ．
中点弦问题
中点弦问题：例题:已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得： ()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．练习:椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,52212221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,从而b 2=a 2－c 2=4,所以椭圆C 的方程为4922y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得98=k ，所以直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且,1492121=+yx①,1492222=+yx②①-②得.04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝98（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.最值例题E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值．解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩ （2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 则 5.AF BF +=（3）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((1663t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠=练习：已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP j ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+uu u r uu r uuu r uu u r r .（I）设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角uu v u u v 的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由34sin cos ,sin 34||||,sin ||||2132θθθθt FP OF FP OF ==⋅⋅⋅=由得，得.34tan t=θ…………………………………………………………………3分],0[3tan 1344πθθ∈<<∴<< t ∴夹角θ的取值范围是（3,4ππ）………………………………………………………………6分（2）0000(,),=(,),(,0).P x y FP x c y OF c -=设则2000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y c∆∴⋅=-⋅=-==∴==⋅==±…………………………………………………………………………………………8分||OP ∴= 10分∴当且仅当)32,32(,,62||,2,343±===c cc 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33=+=∴ 或)1,2()1,0()32,32(33-=+-=OM …………12分 椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a或2171,2171171)01()22()01()22(222222+=+=∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为1121622=+y x .或12171217922=+++y x …………14分练习：已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；（Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由． 解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为1222=+y x ．（Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2m ax )1()1()(+=-=a f x f ；当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2m ax +==a a f x f ；当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2m ax )1()1()(-==a f x f ．所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．（Ⅲ）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22121a a S -=,2222+=a S ,（12分）若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ， 22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 于是641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([m ax =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81．定值、定点、例题：已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为D 是AB的中点．（1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ，① 当|PQ |＝3时，求直线l 的方程；② 设点E (m ，0)是x 轴上一点，求当PE uu u v ·QE uu uv 恒为定值时E 点的坐标及定值．解：(1)设D (x ，y )，A (a ，a )，B (b ，－b ),∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2a b+，y ＝2a b -，∵ |AB |＝∴(a －b )2＋(a ＋b )2＝12，∴(2y )2＋(2x )2＝12∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3.(2) ①当直线l 与x 轴垂直时，P (1，Q (1，此时|PQ |＝当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由于|PQ |＝3，所以圆心C 到直线l，解得k ＝.故直线l 的方程为y ＝(x －1). ②当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)， 由消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－3＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则由韦达定理得x 1＋x 2＝2221k k +，x 1x 2＝2231k k -+，则PE＝(m －x 1，－y 1)，QE ＝(m －x 2，－y 2)，∴PE ·QE ＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－2221mk k +＋2231k k -+＋k 2 (2231k k -+－2221k k +＋1)＝2222(21)31m m k m k --+-+要使上式为定值须22213m m m ---＝1，解得m ＝1，∴PE ·QE 为定值－2，当直线l 的斜率不存在时P (1，Q (1，由E (1，0)可得PE ＝(0，QE ＝(0，∴PE ·QE＝－2，综上所述当E (1，0)时，PE ·QE为定值－2.例题：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上存在一点P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距 离相等．（I ）求椭圆的离心率e 的取值范围；（II ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）若直线:l y kx m =+与（II ）中所述椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点2A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标．解:（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)P x y ，则|PF |=a ex +，∴a ex +=2a x c-， 整理得：2()()a a c x c a c -=+，而x a ≤，∴2()()a a c a c a c -≤+11e ≤<（II ）3,1a c a c +=-=，3,1,22===∴b c a ，∴椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅲ）设2222(,),(,)A x y B x y ，联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=．则22222212221226416(34)(3)0,3408,344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪=-+->+-⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩即 又22221222121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++-+-+=-， ∵椭圆的右顶点为222(2,0),,A AA BA ⊥，2212(2)(2)0,x x y y ∴--+=1212122()40,y y x x x x ∴+-++=2222223(4)4(3)1640,343434m k m mk k k k--∴+++=-++2271640,m mk k ∴++=解得：1222,7k m k m =-=-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾． 当227k m =-时，l 的方程为2()7y k x =-， 直线过定点2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
有关圆锥曲线的中点弦问题
有关圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
中点弦问题是高中解析几何模块中的一类重要题型，也是高考的一个热点问题之一。
身为高中数学教师，研究好其解法及常见类型很有必要。
1.中点弦问题的主要解法解法一：解方程组法例1过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
解：设P（x1,y1 ）, Q( x2,y2),设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为：y-1 = k(x-2) ,解方程组y=k(x－2)+1x216+y29=1 ，将直线方程代入椭圆方程，消去y并整理得（16k2+9）x2+(-64 k2+32k)x+(64k2-64k-128)=0因为直线与椭圆有两个交点，所以△＞0，由根与系数的关系，有x1+x2=64k2－32k16k2+9，∵点A恰好是线段PQ的中点，由中点坐标公式，有x1+x22=2∴64k2－32k16k2+9=4解之得，k=-98,将k=-98代入直线方程y-1 = k(x-2)得所求直线方程为9x+ 8y-26=0解法二：点差法例2过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
解：设P（x1, y1）, Q(x2,y2),因为直线PQ与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，所以P,Q两点在椭圆上，所以有x21 16 + y21 9=1x22 16 + y22 9=1两式相减得：(x1－x2)(x1+x2)16+(y1－y2)(y1+y2)9=0∴(x1－x2)(x1+x2)16=-(y1－y2)(y1+y2)9∴y2－y1x2－x1=－9(x1+x2)16(y1+y2)又∵k =y2－y1x2－x1, x1+x22=2,y1+y22=1∴k=-98由点斜式，得直线PQ的方程为：y-1=-98(x-2)即9x+8y-26=0解法三：中点转移法例3过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤
思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。
第97课--中点弦问题
第97课中点弦问题基本方法：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识，中点弦问题主要涉及点差法和中点坐标公式.常用到的公式：中点坐标公式1202x x x +=.涉及到中点和斜率问题，也可以考虑设而不求法，利用点差法求解.一、典型例题1.已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ，,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值.答案：3m =解析：根据题意，,A B 所在直线的斜率存在，设:AB l y kx n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y kx nx y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx n --=，所以122x x k +=，得()2,M k k n +.又121y y m ++=即1221kx kx n m +++=，得2221k n m ++=（*）.又1MC k k =-，即221k n +-=-，整理得21k n =-，代入（*）式，得3m =.2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为()0,1B ，半焦距为c ，离心率2e =，又直线():0l y kx m k =+≠交椭圆于()11,M x y ，()22,N x y 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1,1k m ==-，求弦MN 的长；（3）若点11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭恰好平分弦MN ，求实数,k m .答案：（1）2214x y +=；（2）825；（3）12k =-，1m =解析：（1）根据题意222132b c ab c a =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）联立直线方程和椭圆方程:22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2580x x -=，解得0x =或85x =，所以()0,1M -，83,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN =.（3）11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭恰好平分弦MN ，所以121212122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.,M N 在椭圆上，则22112222114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上下相减得()()()()12121212+++04x x x x y y y y --=，即()()1212+02x x y y --=，则121212y y x x -=--，即12k =-，点Q 在直线上，所以直线()11:122l y x -=--，整理得112y x =-+，所以1m =.综上所述，12k =-，1m =.二、课堂练习1.已知()(2,0),2,0A B -，斜率为k 的直l 上存在不同的两点,M N满足MA MB -=，NA NB -=，且线段MN 的中点为()6,1，求直线的斜率k .答案：2解析：∵04MA MB <-=<，04NA NB <-=<，∴,M N 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线的方程为2213x y -=.设()()1122,,,M x y N x y ，则221113x y -=，222213x y -=，两式相减得()()()()121212123x x x x y y y y -+=-+，又∵线段MN 的中点为()6,1，∴1212122x x y y +=⎧⎨+=⎩，故有12122y y x x -=-，即2k =.2.已知椭圆C ：22143x y +=，若一组斜率为2的平行线，当它们与椭圆C 相交时，证明：这组平行线被椭圆C 截得的线段的中点在同一条直线上.答案：见解析解析：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，它们的中点坐标为()00,x y .由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得()()()()21212121043x x x x y y y y -+-++=，()()()()21212121043x x y y y y x x +-++=⨯-，由已知21212y y -=-，所以00380x y +=，故直线被椭圆C 截得的线段的中点都在直线380x y +=上.三、课后作业1.已知椭圆22:1164x y C +=，过点()2,1P 作直线l 与该椭圆相交于,A B 两点，若线段AB 恰被点P 所平分，求直线l 的方程．答案：240x y +-=解析：设()()1122,,,A x y B x y ，∴2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()121212120164x x x x y y y y +-+-+=.∵AB 的中点为()2,1P ，∴124x x +=，122y y +=，代入上式得()()1212420164x x y y --+=，则12AB k =-，∴l 的方程为11(2)2y x -=--即为240x y +-=．2.已知抛物线26y x =，过点()2,1P 引一条弦12P P 使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及12PP .答案：350x y --=；21103解析：设直线上任意一点坐标为(),x y ，弦两端点111222(,),(,)P x y P x y ．∵()2,1P 12,P P 在抛物线上，∴2211226,6y x y x ==，两式相减，得121212()((6))y y y y x x +-=-．∵()2,1P 平分12P P ，∴122y y +=，∴12121263y y k x x y y -===-+，∴直线的方程为(12)3y x -=-，即350x y --=.联立26350y x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，得22100y y --=，∴12122,10y y y y +=⋅=-，∴12P P =＝21103.3.已知椭圆22:12x E y +=，设直线:(0)l y x m m =+<与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当点T 到直线l 距离为26时，求直线l 方程和线段AB 长.答案：102x y --=；2113解析：设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得2234220x mx m ++-=.由()()22412220m m ∆=-->，又0m <，得0m <<.又21212422,33m m x x x x -+=-=，设,A B 中点为C ，C 点横坐标122,233C C C x x m m x y x m +==-=+=，即2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭.∴T 点坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，T 到AB的距离6d ==，又0m <，12m ∴=-，即直线l 方程为102x y --=.∴2113AB =.。
椭圆中互相垂直的弦过定点问题
（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b +。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x ab =+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b +。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
五种方法解决圆中弦的中点轨迹问题
五种方法解决圆中弦的中点轨迹问题ʏ西北师范大学附属中学 卢会玉圆中弦的中点轨迹问题是一类常见的题型,多以选择题或填空题的形式出现,下面总结出五种常见的解题方法㊂从不同角度分析问题,可以带给同学们不同的解题过程㊂题目 由圆x 2+y 2=9外一点P (5,12)引圆的割线与圆相交于A ,B 两点,求弦A B 的中点M 的轨迹方程㊂解法一:(直接法)图1如图1,设弦A B的中点M 的坐标为M (x ,y ),连接O P ,O M ,则O M ʅA B ㊂在әO M P 中,由两点间的距离公式和勾股定理得:x 2+y 2+(x -5)2+(y -12)2=169㊂整理得x 2+y 2-5x -12y =0,其中-3ɤx ɤ3㊂解法二:(定义法)因为M 是A B 的中点,所以O M ʅA B ㊂因此,点M 的轨迹是以|O P |为直径的圆㊂圆心为O P 的中点52,6 ,半径为|O P |2=132㊂所以该圆的标准方程为x -522+(y -6)2=1322㊂化简得x 2+y 2-5x -12y =0,其中-3ɤx ɤ3㊂解法三:(交轨法)设过点P 的割线的斜率为k ,则此割线的方程为y -12=k (x -5)㊂因为O M ʅA B ,所以O M 的方程为y =-1kx ㊂这两条直线的交点就是M ,两式联立消去k 可得x 2+y 2-5x -12y =0,其中-3ɤx ɤ3㊂解法四:(参数法)设过P 点的割线方程为y -12=k (x -5)㊂则由方程组y =k (x -5)+12,x 2+y 2=9,可得:(1+k 2)x 2+(24k -10k 2)x +25k 2-120k +135=0㊂设M (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x =x 1+x 22=k (5k -12)1+k2,y =y 1+y 22=k (x 1+x 2)+24-10k 2=12-5k1+k2㊂消去参数k 可得M 点的轨迹方程为x 2+y 2-5x -12y =0,其中-3ɤx ɤ3㊂解法五:(点差法)设M (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ㊂已知x 21+y 21=9,x 22+y 22=9,两式相减整理得(x 2-x 1)(x 2+x 1)+(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0㊂所以A B 的斜率y 2-y 1x 2-x 1=-x 1+x 2y 1+y 2=-xy㊂而A B 的斜率又可表示为12-y 5-x,所以12-y5-x =-x y,化简并整理得x 2+y 2-5x -12y =0,其中-3ɤx ɤ3㊂以上五种解法都是求轨迹问题的基本方法,有的解法充分利用了圆的条件解题,有的解法突破了圆的局限,适用于一般的过定点P 且与二次曲线C 交于A ,B 两点,求A B 中点M 的轨迹问题,是具有普遍意义的通性通法,有一定的学习价值㊂(责任编辑 徐利杰)3 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
求解两类中点弦问题的思路
圆锥曲线中的中点弦问题是指与圆锥曲线的弦和弦的中点有关的问题，主要有两种命题形式：一是求中点弦所在直线的方程；二是求中点弦中点的轨迹方程.圆锥曲线中的中点弦问题主要考查中点坐标公式、直线的斜率公式、直线的方程以及韦达定理.虽然圆锥曲线问题的综合性较强，运算量较大，但是同学们只要熟练掌握一些相应的技巧和解题思路，也能顺利破解难题.一、求中点弦所在直线的方程对求中点弦所在直线的方程问题，我们一般能根据已知条件求出圆锥曲线的方程、弦中点的坐标.求中点弦所在直线的方程的关键是求直线的斜率，求出了直线的斜率，便可利用直线的点斜式方程求得中点弦所在直线的方程.常用的方法有以下三种：1.利用韦达定理.首先设出中点弦所在直线的方程，然后将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x 或y ，得到一元二次方程，利用韦达定理建立方程的根与系数之间的关系，结合弦中点的坐标，根据斜率公式求得直线的斜率和方程.2.点差法.先设出直线与圆锥曲线的交点坐标，然后分别将两点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两式相减，求出中点弦所在直线的斜率，结合直线的点斜式方程求得中点弦所在直线的方程.3.参数方程法.先引入相关参数，设出直线的参数方程，将其代入圆锥曲线方程，再结合弦中点的坐标建立关系式，最后消去参数便可得出所求直线的方程.例1.已知A ，B 两点是圆x 24+y 24=1与一条直线的两交点，且点M ()1,1是弦AB 的中点，求直线AB 的方程.解法一：利用韦达定理解：设直线AB 的方程为y -1=k ()x -1，由ìíîïïy -1=k ()x -1,x 24+y 24=1,可得()2k 2+1x 2-4()k 2-k x +2()k -12-4=0,设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2，则x 1+x 2=2()k 2-k 2k 2+1,又点M ()1,1是直线AB 的中点坐标，所以x 1+x 22=2()k 2-k 2k 2+1=1，解得k =-12,所以直线AB 的方程为y -1=-12()x -1，即x +2y -3=0.我们将直线与圆的方程联立，通过消元得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理建立方程的根与系数的关系式，求得斜率，便能快速得到直线的方程.解法二：点差法解：设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2，∵直线AB 的中点M ()1,1，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，又∵A 、B 两点是圆上的点，∴ìíîx 21+2y 21=4,x 22+2y 22=4,将两式相减可得()x 21-x 22+2()y 21-y 22=0，∴y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x22()y 1+y 2=-12，即k AB =-12,∴直线AB 的方程为y -1=-12()x -1，即x +2y -3=0.设出弦的两个端点的坐标后，将其代入圆的方程，将两式相减，所得的式中就会含有三个未知量x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1-y2x 1-x 2，这样就直接建立了中点和直线的斜率之间的联系，利用中点公式即可求得到直线的斜率．解法三：参数方程法解：设{x =1+t cos α,y =1+t sin α,（t 为参数）将其代入圆的方程x 24+y 24=1中,可得()1+sin 2αt 2+2()cos α+2sin αt -1=0.∴t 1+t 2=-2()cos α+2sin α1+sin 2α,∵AB 的中点为M ()1，1，∴t 1+t 22=-cos α+2sin α1+sin 2α=0,化简可得cos α+2sin α=0,即sin αcos α=-12,将其代入()1+sin 2αt 2+2()cos α+2sin αt -1=0中并消去参数t ，可得直线AB 的方程为x +2y -3=0.参数方程法较为直接，将直线的参数方程代入圆求解两类中点弦问题的思路涂建芳43锥曲线方程中，通过恒等变换消去参数即可得到直线的方程.二、求中点弦中点的轨迹方程对求中点弦中点的轨迹方程问题，我们一般能根据已知条件求出圆锥曲线方程、直线的方程或斜率.要求中点弦中点的轨迹方程，需求出弦中点的坐标或者相关的表达式.常用的方法有两种：1.点差法.首先设出直线与曲线的交点的坐标，将其代入曲线的方程中并作差，再结合弦所在直线的方程或者斜率，求出中点坐标或者表达式，化简便可求出中点弦中点的轨迹方程.2.变换中心法.设出中点弦的中点，根据点的对称性（弦的两个端点关于中点对称）建立关于弦中点与斜率的关系式，化简求出中点弦中点的轨迹方程.例2.已知点P ()-6，0是双曲线x 236-y 29=1上的一点，过点P 的直线与椭圆相交于Q 点，求PQ 的中点的轨迹方程.解法一：点差法解：设点M ()x ,y 为弦PQ 的中点，且P ()x 1,y 1、Q ()x 2,y 2，∴ìíîx 21-4y 21=36,x 22-4y 22=36,将两式作差可得()x 21-x 22-4()y 21-y 22=0，∴2x ()x 1-x 2-4∙2y ()y 1-y 2=0,又∵x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，∴y 1-y 2x 1-x 2=x4y,又∵k PQ=y -0x -()-6,∴x 4y =y x +6,∴PQ 的中点轨迹方程为x 2+6x -4y 2=0()x ≠-6.运用点差法解题的基本思路是，将点代入圆锥曲线方程中，将两式作差，建立x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1-y 2x 1-x 2三者之间的联系，代入两个已知式子的值，便可求出第三个式子的值.解法二：变换中心法解：设弦中点M ()x ,y ，Q ()x 1,y 1，∵x =x 1-62,y =y 12,∴x 1=2x +6,y 1=2y ,又Q 是双曲线上一点，∴x 2136-y 219=1,即4()x +3236-4y 29=1,∴PQ 中点M 的轨迹方程为()x +329-4y 29=1()x ≠-6,即x 2+6x -4y 2=0()x ≠-6.运用变换中心法解题的关键是利用点的对称性来建立关系式.解答圆锥曲线的中点弦问题的关键在于从“中点”入手，根据题目条件设出点的坐标、直线或曲线的方程，利用韦达定理、参数方程、点的对称性来解题.其中，运用点差法是解答中点弦问题的常规思路，也是最为简单且高效的方法.(作者单位:安徽省广德市实验中学)。
中点弦二级结论
中点弦二级结论
中点弦二级结论，也称为中点弦定理，指的是在一个圆中，连接圆上两点的弦的中点连线会与这个圆的圆心连线垂直且平分这个圆的圆周弧。
具体来说，假设在一个圆中连接了两个不同的点A和B，这两个点的连线就是一条弦。
将这条弦的中点记为M，则连接圆心O和中点M的线段OM垂直于弦AB，且OM平分弧AB。
这个结论可以用来解决一些几何问题，例如计算圆的半径，确定圆弧的长短等等。
证明中点弦定理可以使用勾股定理和正弦定理，也可以使用向量的方法和复数的方法进行证明。
但无论采用何种证明方法，最终结论都是相同的。
总之，中点弦定理是一个非常有用的几何定理，它帮助我们更好地理解和应用圆的性质。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
03
统计学
在统计学中，弦长公式被用于计算样本数据的离散程度和相关性。例
如，在计算两个变量之间的线性相关系数时，我们需要使用弦长公式
来计算相关系数的标准误差。
弦中点问的应用
• 密码学：在密码学中，弦中点问题被用于加密和解 密算法。例如，RSA算法中使用了弦中点问题来加 密和解密数据。通过解决弦中点问题，我们可以找 到两个大素数的乘积等于另一个大素数，从而实现 加密和解密操作。
02
弦长公式
定义与性质
弦长公式定义
弦长公式是指连接椭圆上两点的线段的长度。在直角坐标系中，设椭圆上两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ ，则弦AB的长度为$|AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$。
性质
弦长公式具有普遍性，可以用于计算任何连接椭圆上两点的线段的长度。
分类与判定
直线与椭圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
判定方法：利用直线方程和椭圆方程联立，消去其中一个变量，得到关于另一个 变量的二次方程，通过判断二次方程的根的情况来确定直线与椭圆的位置关系。
解题方法与技巧
解题方法
利用弦长公式直接计算。
解题技巧
对于较复杂的题目，可能需要先化简，再代入数值进行计算。
《直线与椭圆的位置关系, 弦长公式,弦中点问题》
xx年xx月xx日
目 录
• 直线与椭圆的位置关系 • 弦长公式 • 弦中点问题 • 应用实例
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
定义
直线与椭圆在平面上有三种位置关系：相离、相切和相交。
性质
椭圆的离心率e决定了直线与椭圆的位置关系。e越大，直线 与椭圆越远离；e越小，直线与椭圆越接近。当e=0时，直线 与椭圆相切；当0<e<1时，直线与椭圆相离；当e=1时，直 线与椭圆相交。
中点弦问题
o
. . N
2
x
2
直线 AB 的方程为：y 1 1 ( x 1) 即 x 2 y 1 ， y1) ， B( x2 ， y2) ，则 ( x1 x2) 2 x1 y12 1 相减 4 2 y1 y2 1 x1 x2
∴不存在这样的弦
（）过 1 M （ 1 ，）的直线交双曲线于 1 A、B 两点，若 M 为弦 AB 的中点， 求直线 AB 的方程；
x2 y 2 已知双曲线方程 1 例、 4 2
1 （2）是否存在直线l，使 N 1， 为 l 被双曲线所截弦的中点，若存在， 2 y 求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由.
2 y 2 x 1 例.已知双曲线的方程为 2
⑴求以P(2,1)为中点的弦MN所在的直线方程. ⑵试问是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出 弦所在的直线方程，如果不存在说明理由.
y
M
P(2,1) B(1,1) o x N
k不存在显然不合题意 （2）假设存在这样的弦， y 1 k ( x 1) 设弦所在的直线方程为： 并且交双曲线于C(x1,y1) ,D(x2,y2）
2 k 2 x 2 2k 2 2k x k 2 2k 3 0
y 1 k ( x 1) 2 y2 1 x 2
2k 2k 2 2 k 2
x1 x2
2
k 2
当k 2时， 为2 x2 4 x 3 0 此时， 16 4 2 3 8 0
中点弦问题
2 y 2 x 1 例：已知双曲线的方程为 2
⑴求以P(2,1)为中点的弦MN所在的直线方程.
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经典题突破方法——弦的中点问题
温县第一高级中学数学组 任利民
弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点，且主要有以下几个命题角度：
角度一：利用中点弦确定直线或曲线方程
[典题1] (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (4,0)，过点
F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.
2214536x y += B. 22
1124x y += C.
221248x y += D. 22
1189
x y += (2)已知11,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭是直线l 被椭圆2
212x
y += 所截得的线段的中点，则
l 的方程是________．
[解析] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程x2a2＋y2
b2
＝1，得
两式相减可得：1212121222
()()()()
0.x x x x y y y y a b +-+-+=由 x1＋x2＝2，
y1＋y2＝-2，1212101,143y y x x ---==--代入上式可得：222210,3a b -+⨯=
即223a b = ，又22216,c a b =-= 联立解得
2224,8.a b == 所以椭圆的方程为：
22 1.248
x y +=
(2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则
122112
x y +=，且
2
22212
x y +=，
两式相减得
12121212()()
()()02
x x x x y y y y +-++-=.
又x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2
＝－1
2，
故直线l 的方程为y －12＝－12(x －1
2)，即2x ＋4y －3＝0.
答案：(1)C (2) 2x ＋4y －3＝0 角度二：由中点弦解决对称问题
[典题2] (1)已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线l ：y ＝－kx ＋2对称，求k 的取值范围．
(2) 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋1
2
对称．
①求实数m 的取值范围；
②求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
[解析] (1)法一：由题意知k ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线上关于直线l 对称的两点，则MN 的方程可设为y ＝1
k x ＋b (b >0)，代入y ＝x 2，
得x 2－1
k
x －b ＝0，
所以Δ＝1k 2＋4b >0，① x 1＋x 2＝1
k
.
设MN 中点的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12k ，y 0＝1
2k 2＋b ，
因为(x 0，y 0)在直线l ：y ＝－kx ＋2上， 所以12k 2＋b ＝－k ·12k ＋2，所以b ＝32－1
2k 2.②
将②代入①，得1k 2＋6－2k
2>0.
所以1
k 2<6，即k 2>16
，所以k >6或k <6-.
故k 的取值范围为6
(,(,).66
-∞-
+∞ . 法二：设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 2
2)关于直线l 对称，
因为MN ⊥l ，所以x 21－x 22x 1－x 2＝1k
，即x 1＋x 2＝1k .
又MN 的中点在l 上，
所以x 21＋x 2
22＝－k ·x 1＋x 22＋2＝－k ·12k ＋2＝32
，
因为MN 的中点必在抛物线内，
所以x 21＋x 222>⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 222，即32>⎝⎛⎭⎫12k 2，
所以k 2>
1
6
，即k >6 或k <6-.
故k 的取值范围为6
(,(,).66
-∞-
+∞ (2)①由题意知m ≠0，
可设直线AB 的方程为y ＝－1
m
x ＋b .
由⎩⎨⎧
x 22
＋y 2
＝1，y ＝－1
m x ＋b
消去y ，得
⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m
x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2
＝1有两个不同的交点，所以Δ＝
－2b 2＋2＋4
m
2＞0.(ⅰ)
将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2mb m 2＋2，m 2
b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋1
2解得b ＝－
m 2＋2
2m 2
.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得m ＜－
63或m ＞63.故m 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－63∪⎝⎛⎭
⎫63，＋∞.
②令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝
⎛⎭⎫0，6
2，
则|AB |＝
t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋
3
2
t 2＋
12
，
且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋
12
t 2＋1
.
设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12
－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤2
2
， 当且仅当t 2＝1
2，即m ＝±2时，等号成立．
故△AOB 面积的最大值为
22
.
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2
x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中
点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．。