力矩 刚体绕定轴转动定律

z
dC m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量
JZ ? JC
Jc :刚体绕通过质心C轴的转动惯量
d :两轴间垂直距离
z
z
例: 求均匀细棒的转动惯量
J Z
JZ
m
L 2
2
1 mL2 3
Lm
L/ 2
Jz
1 12
ML2
四、 转动定律的应用举例 例：滑轮半径 r =20 cm ，转动惯量 J = 0.5 kg ·m2。
rO
T
F
mg
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动
初始时它在水平位置
求: 它由此下摆 角时的
解: dm 质元 dm m dx l
O
ml
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dm 重力矩 dM gdm x cos
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
M
J
J 1 ml2 3
3g cos
2l
d d dt d
d
3g cos d
0
0 2l
2 3g sin / l
例: 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求: 到圆盘静止所需时间。
解: 取宽为dr的细圆环 其质量为
dm
σdS
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
dr r
df
df 的力矩 dM rdf
在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力
求 (1) 滑轮的角加速度；
(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮 的角加速度
解: (1) M J
M Fr Fr 39.2[rad / s2 ]
J
(2) mg T ma
Tr J
a r
21.8[rad / s2 ]
0
0
o
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
解:
dm
dS
m πR2
2πrdr
2mr R2
dr
dm 转动惯量 dJ r 2dm
J
m
dJ
0
R 0
2m R2
r 3dr
1 2
mR2
dr m
r o
R
转动惯量取决于转轴、刚体形状及质量，它反映了 质量相对转轴在空间的分布。
平行轴定理
J z Jc md 2
力矩 刚体绕定轴转动定律
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
MO
Mz
x
O r P
F
F对点O转动的力矩:
MO
r
F
y
F对定轴 zr转动F//的力r 矩F:
F
M z r F
二、定轴转动定律
M z Jβ
三、 转动惯量的计算
J miri2
质量连续分布物体 J r2dm
例: 求均质细棒(L, M )，绕端点轴 z 和质心轴 z 的转
l C
Nx
acx
质心运动定理 F Nx mac
F
转动定律
Fl' ( 1 ml2)β
3
ac
l 2
Nx
F (3l ' 2l
1)
Nx 0
l' 2 l 3
打击中心
动惯量。
解：质元质量 dm M dx L
质元转动惯量 dJ z x2dm
z
z
dx
x
o
x L/2-x
Jz
dJ L x2 M dx ML2
0L
3
Jz'
L
(
L
x)2 dm
ML2
02
12
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量 dl
m
解: dm 转动惯量 dJ R2dm
R
J L R2dm R2 L dm mR2
圆盘摩擦力矩 M
R
dM
2
mgR
0
3
转动定律 M J d
dM
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
解: 设轴对棒的水平分力为 Nx